当前位置:首页 >> 数学 >>

2016年新课标全国I卷理数解析(精编)


2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国 1 卷)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A ? x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , A ? ?x | 2 x ? 3 ? 0? ,则 A ? B ? (A) ? ? 3,? ? (B) ? ? 3, ? (C) ?1, ? (D) ? ,3 ?
? 1. A ? x x2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? ?x 1 ? x ? 3? , B ? ? x 2 x ? 3 ? 0? ? ? x x ? ? ? 3 ? 故 A ? B ? ? x ? x ? 3? . ? 2 ?

?

?

? ?

3? 2?

? ?

3? 2?

? 3? ? 2?

?3 ? ?2 ?
3? ?. 2?

?

?

故选 D. 2.设 ?1 ? i ?x ? 1 ? yi ,其中 x , y 是实数,则 x ? yi = (A)1(B) 2 (C) 3 (D)2
?x ? 1 ?x ? 1 2. 由 ?1 ? i ? x ? 1 ? yi 可知: x ? xi ? 1 ? yi ,故 ? ,解得: ? . x ? y ?y ?1 ?

所以, x ? yi ? x2 ? y2 ? 2 . 故选 B. 3.已知等差数列 ?an ?前 9 项的和为 27, a10 ? 8 ,则 a100 ? (A)100(B)99(C)98(D)97 3. 由等差数列性质可知: S9 ?
9 ? a1 ? a9 ? 2 ? 9 ? 2a5 ? 9a5 ? 27 ,故 a5 ? 3 , 2

1

而 a10 ? 8 ,因此公差 d ? ∴ a100 ? a10 ? 90d ? 98 . 故选 C.

a10 ? a5 ?1 10 ? 5

4.某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 (A)

1 1 2 3 (B) (C) (D) 3 2 3 4

4. 如图所示,画出时间轴:

7:30

7:40

7:50 A

8:00 C

8:10

8:20 D

8:30 B

小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中,而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时,才能保证他等车的时间不超过 10 分钟 根据几何概型,所求概率 P ? 故选 B. 5.已知方程 值范围是 (A) ?? 1,3? (B) ?1, 3 5.

10 ? 10 1 ? . 40 2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取 m 2 ? n 3m 2 ? n

?

?

(C) ?0,3?

(D) 0, 3

?

?
?

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m2 ? n 3m2 ? n ? 0 2 2 m ? n 3m ? n ∴ ?m2 ? n ? 3m2

?

??

由双曲线性质知: c2 ? m2 ? n ? 3m2 ? n ? 4m2 ,其中 c 是半焦距 ∴焦距 2c ? 2 ? 2 m ? 4 ,解得 m ? 1 ∴ ?1 ? n ? 3 故选 A.

?

? ?

?

6.如图, 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体 的体积是,则它的表面积是 (A)17π (B)18π (C)20π (D)28π

2

6. 原立体图如图所示:

1 是一个球被切掉左上角的 后的三视图 8 7 表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和 8 7 1 S = ? 4? ? 22 +3 ? ? ? 22 =17? 8 4 故选 A.
7.函数 y ? 2 x 2 ? e 在 ?? 2,2? 的图像大致为
x

(A)

(B)

C)

(D) 7. f ? 2? ? 8 ? e2 ? 8 ? 2.82 ? 0 ,排除 A

f ? 2? ? 8 ? e2 ? 8 ? 2.72 ? 1 ,排除 B
x ? 0 时, f ? x ? ? 2x2 ? e x

1 ? 1? f ? ? x ? ? 4x ? e x ,当 x ? ? 0, ? 时, f ? ? x ? ? ? 4 ? e0 ? 0 4 4 ? ?
? 1? 因此 f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,排除 C ? 4?

故选 D.
3

0 ? c ? 1 ,则 8.若 a ? b ? 1,
(A) a c ? b c (B) abc ? bac (C) a logb c ? b loga c (D) loga c ? logb c 8. A 错误 对 B: 由于 ?1 ? c ? 1 ? 0 ,∴函数 y ? xc ?1 在 ?1, ?? ? 上单调递减, ∴ a ? b ? 1 ? ac ?1 ? bc ?1 ? bac ? abc ,B 错误 a ln c b ln c ln c ln c 对 C: 要比较 a logb c 和 b log a c ,只需比较 和 ,只需比较 和 ,只 ln a b ln b a ln a ln b 需 b ln b 和 a ln a 构造函数 f ? x ? ? x ln x ? x ? 1? ,则 f ' ? x? ? ln x ? 1 ? 1 ? 0 , f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调 递增,因此 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 ? a ln a ? b ln b ? 0 ? 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴ 对 A: 由于 0 ? c ? 1 , ∴函数 y ? x c 在 R 上单调递增, 因此 a ? b ? 1 ? ac ? bc ,

1 1 ? a ln a b ln b

ln c ln c ? ? b loga c ? a logb c ,C 正确 a ln a b ln b ln c ln c 对 D: 要比较 log a c 和 log b c ,只需比较 和 ln a ln b 1 1 而函数 y ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 a ? b ? 1 ? ln a ? ln b ? 0 ? ? ln a ln b ln c ln c 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴ ? ? loga c ? logb c ,D 错误 ln a ln b
故选 C. 9.执行右面的程序图,如果输入的 x ? 0,y ? 1 ,n ? 1 , 则输出 x , y 的值满足 (A) y ? 2 x (B) y ? 3x (C) y ? 4 x (D) y ? 5 x

9. 如下表: 循环节运 行次数 运行前 第一次 第二次 第三次
n ?1? ? x? x ? x ? ? 2 ? ?

y ? y ? ny ?
1

判断

x2 ? y 2 ? 36
/ 否 否 是

是否 输出 / 否 否 是

n ? n ? n ? 1?
1

0 0

1 2
6

2
3

1 2

3 2

4

3 , y ? 6 ,满足 y ? 4 x 2 故选 C.
输出 x ? 10.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的标准线于 D、E 两点.已知 |AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 10. 以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理 设抛物线为 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? ,设圆的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,题目条件翻译如图:

F

? p ? 设 A x0 , 2 2 , D ? ? , 5 ? , ? 2 ?

? ? 点 A ? x , 2 2 ? 在抛物线 y
0

2

? 2 px 上,∴ 8 ? 2 px0 ……①
2

? p ? ? p? 点 D ? ? , 5 ? 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,∴ 5 ? ? ? ? r 2 ……② ? 2 ? ?2?
2 ? 8 ? r 2 ……③ 点 A x0 , 2 2 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,∴ x0

?

?

联立①②③解得: p ? 4 ,焦点到准线的距离为 p ? 4 . 故选 B.

? // 平面 CB1D1 ,? ? 平面 ABCD ? m , 11.平面 ? 过正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的顶点 A ,

? ? 平面 ABB 1A 1 ? n ,则 m, n 所成角的正弦值为
(A)

3 (B) 2 2 2

(C)

3 3

(D) 1

D α A B

C

3

11.如图所示:
A1

D1 B1

C1

∵ ?∥平面CB1 D1 , ∴ 若 设 平 面 CB1 D1 ? 平 面

ABCD ? 1 m ,则 m1∥m
5

又∵平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1 D1 ,结合平面 B1 D1C ? 平面 A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ∴ B1 D1∥m1 ,故 B1 D1∥m 同理可得: CD1∥n 故 m 、 n 的所成角的大小与 B1 D1 、 CD1 所成角的大小相等,即 ?CD1 B1 的大小. 而 B1C ? B1 D1 ? CD1 (均为面对交线) ,因此 ?CD1 B1 ? 故选 A.

?
3

,即 sin ?CD1 B1 ?

3 . 2

n x+ ( ? 12. 已 知 函 数 f ( x )? s i ?

?)? ( , ?0 ?

?
2

x ?)? ,

?
4

为 f ( x) 的 零 点 , x ?

?
4



? ? 5? ? y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 ? , ? 单调,则 ? 的最大值为 ? 18 36 ?
(A)11 12. (B)9 (C)7 由题意知: (D)5

? π ? ? +? ? k1 π ? ? 4 ? ? π ? +? ? k π+ π 2 ? ?4 2
则 ? ? 2 k ? 1 ,其中 k ? Z

5? ? π T ? π 5π ? ? f ( x) 在 ? , ? 单调,? ? ? ? , ? ? 12 36 18 12 2 ? 18 36 ?
接下来用排除法
π? π ? ? π 3π ? ? 3π 5 π ? 若 ? ? 11,? ? ? , 此时 f ( x) ? sin ?11x ? ? , f ( x) 在 ? , ? 递增, 在 ? , ? 递减, 4 18 44 4 ? ? ? ? ? 44 36 ? ? π 5π ? 不满足 f ( x) 在 ? , ? 单调 ? 18 36 ?

若 ? ? 9,? ? 故选 B.

π? π ? ? π 5π ? ,此时 f ( x) ? sin ? 9 x ? ? ,满足 f ( x) 在 ? , ? 单调递减 4? 4 ? ? 18 36 ?

6

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 13.设向量 a ? ?m,1?, b ? ?1,2? , a ? b ? a ? b 且,则 m=______ 13.
? ? 由已知得: a ? b ? ? m ? 1,3?

?

?

?

?

?2

?2

? ?2 ?2 ?2 2 ∴ a ? b ? a ? b ? ? m ? 1? ? 32 ? m2 ? 12 ? 12 ? 22 ,解得 m ? ?2 .

14. (2 x ? 14.

x )5 的展开式中, x 3 的系数是_______.(用数字填写答案)
设展开式的第 k ? 1 项为 Tk ?1 , k ??0,1,2,3,4,5?
5? k

k ∴ Tk ?1 ? C5 ? 2x ?

? ?
x

k

k 5? k ? C5 2 x

5?

k 2


4

5? k 4 5? 4 2 x 2 ? 10 x3 ? 3 时, k ? 4 ,即 T5 ? C5 2 故答案为 10.

当5?

15.设等比数列满足 a1 ? a3 ? 10, a2 ? a4 ? 5 ,则 a1a2 ?an 的最大值为______。 15.由于 ?an ? 是等比数列,设 an ? a1qn?1 ,其中 a1 是首项, q 是公比.

?a1 ? 8 ?a1 ? a1q2 ? 10 ?a1 ? a3 ? 10 ? ? ∴? ,解得: ? ?? 1. 3 q? ?a1q ? a1q ? 5 ?a2 ? a4 ? 5 ? ? ? 2
?1? 故 an ? ? ? ?2?
n?4

?1? ,∴ a1 ? a2 ? ... ? an ? ? ? ?2?

? ?3? ? ? ?2 ? ?...? ? n ? 4 ?

? 1 ?2 ?? ? ?2?

1

n? n ? 7 ?

?? ? 1 ?2? ?? ? ?2? 1 ?? 7?
2

1 ?? 7 ? 49 ? ?? n ? ? ? ? 2? 4? ?
2

?? n ? ? 2 ? 1 ?2? 1 ?? 7 ? 49 ? ?? 2 ? 当 n ? 3 或 4 时, ?? n ? ? ? ? 取到最小值 ?6 ,此时 ? ? 2? 2? 4? ?2? ?? ?

?

49 ? ? 4? ?

取到最大值 2 6 .

所以 a1 ? a2 ? ... ? an 的最大值为 64.

16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材 料 1.5kg, 乙材料 1kg, 用 5 个工时; 生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg, 乙材料 0.3kg, 用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元。该 企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、 产品 B 的利润之和的最大值为__________元。
7

16.

设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限

制条件,构造线性规则约束为
?1.5 x ? 0.5 y ≤ 150 ? ? x ? 0.3 y ≤ 90 ?5 x ? 3 y ≤ 600 ? ? ?x ≥ 0 ?y≥0 ? ?x ? N * ? * ? ?y? N

目标函数 z ? 2100 x ? 900 y 作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为 (60,100) (0, 200) (0, 0) (90,0)

在 (60,100) 处取得最大值, z ? 2100 ? 60 ? 900 ? 100 ? 216000 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分为 12 分)

?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别别为 a,b,c,已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c.
(I)求 C ; (II)若 c ? 7 , ?ABC面积为 17.⑴

3 3 ,求 ?ABC 的周长. 2

2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c

由正弦定理得: 2cos C ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A? ? sin C

2cos C ? sin ? A ? B ? ? sin C
∵ A ? B ? C ? π , A 、B 、C ? ? 0 ,π ? ∴ sin ? A ? B ? ? sin C ? 0
8

∴ 2cos C ? 1 , cos C ? ∵ C ? ? 0 ,π ? ∴C ?

1 2

π 3
1 2

⑵ 由余弦定理得: c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cos C

7 ? a2 ? b2 ? 2ab ?

? a ? b?
S?

2

? 3ab ? 7

1 3 3 3 ab ? sin C ? ab ? 2 4 2

∴ ab ? 6 ∴ ? a ? b ? ? 18 ? 7
2

a?b?5

∴ △ ABC 周长为 a ? b ? c ? 5 ? 7

18.(本题满分为 12 分) 如 图 , 在 以 A, B, C , D, E, F 为 顶 点 的 五 面 体 中 , 面 ABEF 为 正 方 形 , AF ? 2 FD ,

?AFD ? 90? , 且二面角 D ? AF ? E D 与二面角
C ? BE ? F 都是 60? .
(I)证明平面 ABEF ? EFDC ; (II)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值. 18.⑴ ∵ ABEF 为正方形

∴ AF ? EF ∵ ?AFD ? 90? ∴ AF ? DF ∵ DF ? EF =F ∴ AF ? 面 EFDC

AF ? 面 ABEF

∴平面 ABEF ? 平面 EFDC

9

⑵ 由⑴知 ?DFE ? ?CEF ? 60? ∵ AB ∥EF
AB ? 平面 EFDC

EF ? 平面 EFDC
∴ AB ∥平面 ABCD

AB ? 平面 ABCD
∵面 ABCD ? 面 EFDC ? CD ∴ AB ∥ CD ∴ CD ∥ EF ∴四边形 EFDC 为等腰梯形 以 E 为原点,如图建立坐标系,设 FD ? a

E ?0 , 0, 0?

?a 3 ? B ?0 , 2a , 0? C ? 0, a? ?2, 2 ? ? ?

A ? 2a ,2a , 0?

??? ? ?a ??? ? ? 3 ? ??? ? 2a , a ? , AB ? ? ?2a , EB ? ? 0 , 2a , 0? , BC ? ? 0, 0? ?2, ? 2 ? ?
?? 设面 BEC 法向量为 m ? ? x ,y ,z ? .

?? ??? ? ?2a ? y1 ? 0 ? ? ?m ? EB ? 0 ,即 ? ?a ? ?? ??? 3 a ? z1 ? 0 ? ? x1 ? 2ay1 ? ? ?m ? BC ? 0 ?2 2

x1 ? 3 ,y1 ? 0 ,z1 ? ?1
?? m?

?

3 ,0 ,? 1

?

? 设面 ABC 法向量为 n ? ? x2 ,y2 ,z2 ?

10

? ??? ? ?a 3 ? az2 ? 0 ? x2 ? 2ay2 ? ?n ? BC =0 . 即 ? ??? ? ? 2 2 ? ?2ax ? 0 ? ?n ? AB ? 0 ? 2

x2 ? 0 ,y2 ? 3 ,z2 ? 4
? n ? 0 , 3 ,4

?

?

设二面角 E ? BC ? A 的大小为 ? . ?? ? m?n ?4 2 19 cos? ? ?? ? ? ?? 19 3 ? 1 ? 3 ? 16 m?n

∴二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 ?

2 19 19

19.(本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器 时, 可以额外购买这种零件作为备件, 每个 200 元.在机器使用期间, 如果备件不足再购买, 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率, 记X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一,应 选用哪个? 19.⑴ 每台机器更换的易损零件数为 8,9,10,11 记事件 Ai 为第一台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ?i ? 1,2,3,4? 记事件 Bi 为第二台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ?i ? 1,2,3,4?
11

由题知 P ? A1 ? ? P ? A3 ? ? P ? A4 ? ? P ? B1 ? ? P ? B3 ? ? P ? B4 ? ? 0.2 , P ? A2 ? ? P ? B2 ? ? 0.4 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X , 则 X 的可能的取值为 16, 17, 18,19,20,21,22

P ? X ? 16? ? P ? A1 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 P ? X ? 17 ? ? P ? A1 ? P ? B2 ? ? P ? A2 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.16 P ? X ? 19? ? P ? A1 ? P ? B4 ? ? P ? A2 ? P ? B3 ? ? P ? A3 ? P ? B2 ? ? P ? A4 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ?0.2 ? 0.4 ? 0.24
P ? x ? 21? ? P ? A3 ? P ? B4 ? ? P ? A4 ? P ? B3 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.08 P ? X ? 20? ? P ? A2 ? P ? B4 ? ? P ? A3 ? P ? B3 ? ? P ? A4 ? P ? B2 ? ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 P ? X ? 18? ? P ? A1 ? P ? B3 ? ? P ? A2 ? P ? B2 ? ? P ? A3 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.24

P ? x ? 22? ? P ? A4 ? P ? B4 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

X P

16 0.04

17 0.16

18 0.24

19 0.24

20 0.2

21 0.08

22 0.04

⑵ 要令 P ? x ≤ n ? ≥ 0.5 ,? 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.5 , 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.24 ≥ 0.5 则 n 的最小值为 19 ⑶ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备 件不足时额外购买的费用 当 n ? 19 时,费用的期望为 19 ? 200 ? 500 ? 0.2 ? 1000 ? 0.08 ? 1500 ? 0.04 ? 4040 当 n ? 20 时,费用的期望为 20 ? 200 ? 500 ? 0.08 ? 1000 ? 0.04 ? 4080 所以应选用 n ? 19 20. (本小题满分 12 分)

l 交圆 A 于 C , 设圆 x2 ? y 2 ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A , 直线 l 过点 B?1,0? 且与 x 轴不重合,
D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E .
(I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1 ,直线 l 交 C1 于 M , N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交
5

y

于 P, Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

4

3

2

C
x

1

A
14 12 10 8 6 4 2

B
1

2

4

E

2

3

D
4

20.⑴

圆 A 整理为 ? x ? 1? ? y2 ? 16 ,A 坐标 ? ?1,0? ,如图,
2

12

? BE∥AC ,则 ∠C ? ∠EBD ,由 AC ? AD, 则∠D ? ∠C ,
?∠EBD ? ∠D, 则 EB ? ED

?AE ? EB ? AE ? ED ? AD ? 4
所以 E 的轨迹为一个椭圆,方程为 ⑵ C1 :
x2 y 2 ? ? 1 ;设 l : x ? my ? 1 , 4 3
x2 y 2 ? ? 1 ,( y ? 0 ); 4 3

因为 PQ⊥l ,设 PQ : y ? ?m ? x ? 1? ,联立 l与椭圆C1
? x ? my ? 1 ? 2 得 3m2 ? 4 y2 ? 6my ? 9 ? 0 ; ?x y2 ? ? 1 ? 3 ?4

?

?

则 | MN |? 1 ? m | yM ? yN |? 1 ? m
2
y
5

2

36m2 ? 36 ? 3m2 ? 4 ? 3m2 ? 4

?

12 ? m2 ? 1? 3m2 ? 4



P

4

3

2

1

N
x

A
12 10 8 6 4 2

B
1

2

4

M

Q
2 3

4

圆心 A 到 PQ 距离 d ?

| ?m ? ?1 ? 1? | 1? m
2

?

| 2m | 1 ? m2



所以 | PQ |? 2 | AQ |2 ?d 2 ? 2 16 ?

4m2 4 3m2 ? 4 , ? 1 ? m2 1 ? m2

? S MPNQ ?

2 1 1 12 ? m ? 1? 4 3m 2 ? 4 24 m 2 ? 1 1 | MN | ? | PQ |? ? ? ? ? 24 ?? ?12,8 3 2 2 1 2 2 3m 2 ? 4 1? m 3m ? 4 3? 2 m ?1

?

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? ?x ? 2?e x ? a?x ?1? 有两个零点.
2

(I)求 a 的取值范围; (II)设 x1 , x2 是的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 . 21.⑴ 由已知得: f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? x ? 1? ? ? x ? 1? ex ? 2a
13

?

?

① 若 a ? 0 ,那么 f ? x? ? 0 ? ? x ? 2? ex ? 0 ? x ? 2 , f ? x ? 只有唯一的零点 x ? 2 , 不合题意; ② 若 a ? 0 ,那么 e x ? 2a ? e x ? 0 , 所以当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增 当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减 即:
x

? ??,1?
?

1
0

?1, ?? ?
?

f '? x?
f ? x?



极小值



故 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上至多一个零点,在 ? ??,1? 上至多一个零点 由于 f ? 2? ? a ? 0 , f ?1? ? ?e ? 0 ,则 f ? 2 ? f ?1? ? 0 , 根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上有且仅有一个零点. 而当 x ? 1 时, e x ? e , x ? 2 ? ?1 ? 0 , 故 f ? x ? ? ? x ? 2? ex ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 2? ? a ? x ? 1? ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e
2 2 2

则 f ? x ? ? 0 的两根 t1 ?

?e ? e2 ? 4ae ?e ? e2 ? 4ae ? 1 , t2 ? ? 1 , t1 ? t2 ,因为 2a 2a
2

a ? 0 ,故当 x ? t1 或 x ? t2 时, a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e ? 0

因此,当 x ? 1 且 x ? t1 时, f ? x ? ? 0 又 f ?1? ? ?e ? 0 ,根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ? ??,1? 有且只有一个零点. 此时, f ? x ? 在 R 上有且只有两个零点,满足题意.

e ③ 若 ? ? a ? 0 ,则 ln ? ?2a ? ? ln e ? 1 , 2
当 x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? ln ? ?2a ? ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即 f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? 0 , f ? x ? 单调递增; 当
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,

?

?

ln ? ?2a ? ? x ? 1





x ?1 ? 0



e x ? 2a ? e

ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0





14

f ' ? x ? ? ? x ? 1? ? ex ? 2a ? ? 0 , f ? x ? 单调递减;
当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即:
x
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增.

? ??,ln ? ?2a ??
+ ↑

ln ? ?2a ?
0 极大值

? ln ? ?2a ? ,1?


1
0 极小值

?1, ?? ?
+ ↑

f '? x? f ? x?
而极大值

f? ?ln ? ?2a ?? ? ? ?2a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ? a? ?ln ? ?2a ? ? 1? ? ?a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ?1 ? 0
2 2

?

?

故 当 x≤1 时 , f ? x ? 在 x ? ln ? ?2a ? 处 取 到 最 大 值 f ? 2?? ?? a ?l n ? ,那么
f

?x ?≤

f ? x ? ? 0 无解 fl n a? 恒成立,即 0 ? ? ? 2?? ? ?

而当 x ? 1 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点 此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题意.

e ④ 若 a ? ? ,那么 ln ? ?2a ? ? 1 2
当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
又 f ? x ? 在 x ? 1 处有意义,故 f ? x ? 在 R 上单调递增,此时至多一个零点,不合题 意.

e ⑤ 若 a ? ? ,则 ln ? ?2a ? ? 1 2
当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e1 ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
当 1 ? x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

15

f ? x ? 单调递减
当 x ? ln ? ?2a ? 时,x ? 1 ? ln ? ?2a ? ?1 ? 0 ,e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 , 即 f '? x? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
即:
x

? ??,1?
+ ↑

1
0 极大值

?1,ln ? ?2a ??


ln ? ?2a ?
0 极小值

?ln ? ?2a? , ???
+ ↑

f '? x? f ? x?

故当 x≤ln ? ?2a ? 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取到最大值 f ?1? ? ?e , 那么 f ? x ?≤ ? e ? 0 恒 成立,即 f ? x ? ? 0 无解 当 x ? ln ? ?2a ? 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点 此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题意. 综上所述,当且仅当 a ? 0 时符合题意,即 a 的取值范围为 ? 0, ?? ? .

⑵ 由已知得: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,不难发现 x1 ? 1 , x2 ? 1 , 故可整理得: ?a ?

? x1 ? 2? e x 2 ? x1 ? 1?

1

?

? x2 ? 2? e x 2 ? x2 ? 1?

2

? x ? 2? ex 设 g ? x? ? ,则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 2 ? x ? 1?
那么 g ' ? x ? ?

? x ? 2? ? 1 x ,当 x ? 1 时, g ' x ? 0 , g x 单调递减;当 x ? 1 时, e ? ? ? ? 3 ? x ? 1?
2

g ' ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增.
设 m ? 0 ,构造代数式:
g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? ? m ? 1 1? m ?m ? 1 1? m 1 ? m 1? m ? m ? 1 2 m ? e ? e ? 2 e ? e ? 1? m2 m2 m ? m ?1 ?

设 h ? m? ?

m ? 1 2m e ? 1, m ? 0 m ?1

16

则 h ' ? m? ?

2m2

? m ? 1?

2

e2m ? 0 ,故 h ? m ? 单调递增,有 h ? m? ? h ? 0? ? 0 .

因此,对于任意的 m ? 0 , g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? . 由 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 可知 x1 、 x 2 不可能在 g ? x ? 的同一个单调区间上,不妨设 x1 ? x2 ,则 必有 x1 ? 1 ? x2 令 m ? 1 ? x1 ? 0 ,则有 g ? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g ? 2 ? x1 ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ?

x2 ? 1 , g ? 2 ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 而 2 ? x1 ? 1 , 因此:
整理得: x1 ? x2 ? 2 .

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?OAB 是等腰三角形, ?AOB ? 120 .以⊙ O 为圆心, OA 为半径作圆.
0

(I)证明:直线 AB 与⊙ O 相切; (II)点 C , D C,D 在⊙ O 上,且 A, B, C , D 四点共圆,证明: AB // CD .

22.⑴

设圆的半径为 r ,作 OK ? AB 于 K

?AOB ? 120? ∵ OA ? OB ,

∴ OK ? AB , ?A ? 30? , OK ? OA ? sin30? ? ∴ AB 与 ⊙O 相切 ⑵ 方法一: 假设 CD 与 AB 不平行
CD 与 AB 交于 F

OA ?r 2

FK 2 ? FC ? FD ①
∵ A 、B 、C 、D 四点共圆 ∴ FC ? FD ? FA ? FB ? ? FK ? AK ?? FK ? BK ? ∵ AK ? BK ∴ FC ? FD ? ? FK ? AK ?? FK ? AK ? ? FK 2 ? AK 2 ②
17

由①②可知矛盾 ∴ AB ∥ CD

方法二: 因为 A, B, C , D四点共圆,不妨设圆心为 T , 因为 OA ? OB, TA ? TB, 所以 O, T 为 AB 的 中垂线上,同理 OC ? OD, TC ? TD, 所以 OT 为CD 的中垂线,所以 AB∥CD . 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cost ( t 为参数, a ? 0 ) ? y ? 1 ? a sin t

在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? cos? . (I)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 ? ? a0 ,其中满足 tana0 ? 2 ,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在

C3 上,求 a0
23.⑴
? x ? a cos t ( t 均为参数) ? ? y ? 1 ? a sin t
2

∴ x2 ? ? y ? 1? ? a2 ①

1? 为圆心, a 为半径的圆.方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ∴ C1 为以 ? 0 ,
∵ x2 ? y 2 ? ? 2 ,y ? ? sin ? ∴ ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0 ⑵ C2 :? ? 4cos ? 两边同乘 ? 得 ? 2 ? 4? cos? ? ? 2 ? x2 ? y 2 ,? cos? ? x 即为 C1 的极坐标方程

? x2 ? y 2 ? 4 x
即 ? x ? 2? ? y 2 ? 4 ②
2

C3 :化为普通方程为 y ? 2 x
由题意: C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3

18

①—②得: 4 x ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ,即为 C3 ∴ 1 ? a2 ? 0 ∴a ?1 24.(本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? 1 ? 2x ? 3 . (I) 在答题卡第 (24) 题图中画出 y ? f ?x ? 的图像; (II)求不等式 f ?x ? ? 1 的解集。 24.⑴ 如图所示:

? ? x ? 4 ,x ≤ ?1 ? 3 ? ⑵ f ? x ? ? ?3x ? 2 ,? 1 ? x ? 2 ? 3 ? 4 ? x ,x ≥ ? ? 2
f ? x? ? 1

当 x ≤ ?1 , x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3
∴ x ≤ ?1

3 1 , 3x ? 2 ? 1,解得 x ? 1 或 x ? 2 3 1 3 ∴?1 ? x ? 或 1 ? x ? 3 2 3 当 x ≥ , 4 ? x ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3 2 3 ∴ ≤ x ? 3或 x ? 5 2 1 综上, x ? 或 1 ? x ? 3 或 x ? 5 3 1? ? ∴ f ? x ? ? 1 ,解集为 ? ?? , ? ? ?1 ,3? ? ? 5 ,? ? ? 3? ?
当 ?1 ? x ?

19


相关文章:
2016年新课标全国I卷理数解析(精编).doc
2016年新课标全国I卷理数解析(精编)_数学_高中教育_教育专区。一手资料,仅
2016年高考理科数学新课标I试卷及其解析.doc
2016年高考理科数学新课标I试卷及其解析 - 1 绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(...
2016年高考理科数学新课标I试卷及其解析.doc
2016年高考理科数学新课标I试卷及其解析_高考_高中...全国统一考试 理科数
2017年高考新课标Ⅲ卷理数试题解析(精编版)(解析版).doc
2017年高考新课标卷理数试题解析(精编版)(解析版) - 绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名...
2016年高考新课标1理数解析.doc
2016年高考新课标1理数解析_高考_高中教育_教育专区...年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学详细解析宿州...2016年高考新课标I卷理数... 19页 2下载券 2016...
2016年高考新课标Ⅲ卷理数试题解析(正式版).doc
2016年高考新课标卷理数试题解析(正式版) - 绝密★启封并使用完毕前 试题类型:新课标Ⅲ 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。...
2016年高考全国1卷理数试题(解析版).doc
2016年高考全国1卷理数试题(解析版) - 绝密★启封并使用完毕前 试题类型:
2016年高考全国卷I卷(理科数学word版)答案解析版.doc
2016年高考全国卷I卷(理科数学word版)答案解析版_...【详细解答】 (I)这 100 台机器更换的易损零件数...2016年高考新课标2全国卷... 5页 免费 2016年高考...
2017年高考新课标Ⅱ卷理数试题解析(精编版)(解析版).doc
2017年高考新课标卷理数试题解析(精编版)(解析版) - 1 绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 课标 II 理科数学 【试卷点评】 【命题特点】 ...
2016年理科数学新课标I试卷解析.doc
2016年理科数学新课标I试卷解析_数学_高中教育_教育...以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理 设...全国1卷2016年高考理科数... 18页 1下载券 ...
2016年高考新课标I卷理数试题及资料.doc
2016年高考新课标I卷理数试题及资料 - 2016 年普通高等学校招生全国统一考试新课标 I 卷 理科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)...
16年全国新课标I卷理科综合答案解析.doc
2016 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I 卷) 理科综合(化学部分)一、...2.24 L CCl4 含有的共价键数为 0.4 NA 【答案】A ) 【解析】A、乙烯和...
2016年高考试题(数学理)新课标Ⅰ卷 解析精校版.doc
A 2016 普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)...F ? ? 【答案】 (I)解析(II) ? 2 19 19...理数【解析版】2016年高... 暂无评价 19页 1下载...
2016年高考理科数学新课标I试卷及其解析.doc
2016年高考理科数学新课标I试卷及其解析_高考_高中教育_教育专区。1 第Ⅰ卷一....2013年高考理科数学全国... 13页 5下载券 2013新课标1卷高考数学理... 11...
2016全国1高考数学(理)真题及答案解析精编版.doc
2016全国1高考数学(理)真题及答案解析精编版 - 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学及答案 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)...
2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析.doc
2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析 - 2016 年普通高等学校招生全国
2016年高考新课标Ⅰ卷理综化学试题解析(精编版).doc
2016年高考新课标Ⅰ卷理综化学试题解析(精编版)_...碳原子数,任何物质只要其构成的基本微粒数 与 0....(OH)2 ②d→c→f→e→i; (2)①红棕色气体...
2016年高考新课标I卷理综物理试题解析(解析版).doc
2016 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I 卷...121 D. 144 【答案】D 【解析】设质子的质量数...,故 vB ? (S1 ? S2 ) f 2 f 同理可得 vC...
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(新课....doc
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(新课标卷 I)解析版 - 江西金太阳好教育云平台资源中心 绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A 2016 年普通高等...
2016年全国高考全国丙卷(理科数学)解析版.doc
2016年全国高考全国卷(理科数学)试题+解析版 试题类型:新课标2016 年普通...(t i ?1 n ? ? ? , a =y ? bt . ? t )2 【答案】 (Ⅰ)理由...
更多相关标签: