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圆锥曲线的参数方程


第三课时 一、教学目标:

圆锥曲线的参数方程

知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

? x ? r cos? (1)圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?

( ? 为参数)

? x ? x0 ? r cos? (2) 圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为:? ? y ? y 0 ? r sin ?
2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗? (二) 、讲解新课: 1.椭圆的参数方程推导:椭圆
x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

( ? 为参数)

? x ? a cos? ( ? 为参 ? y ? b sin ? ?

数),参数 ? 的几何意义是以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正 半轴的夹角。
6 5 4

3

A

2

1

M

-8

-6

-4

-2 -1

O

L1

2

N

4

6

8

10

-2

-3

-4

-5

-6

-7

2.双曲线的参数方程的推导:双曲线

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a sec? (? ? ? y ? b tan?

为参数)
2500

2000
Q P

1500
B

1000

500

A

-4000

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

M

4000

5000

-500

-1000

-1500

-2000

-2500

-3000

-3500

参数 ? 几何意义为以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴 的夹角。
? x ? 2 Pt 2 3.抛物线的参数方程:抛物线 y 2 ? 2Px 参数方程 ? (t 为参数),t ? y ? 2 Pt

为以抛物线上一点(X,Y)与其顶点连线斜率的倒数。 (1) 、关于参数几点说明: A.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式, 它借助于中间变量把曲线上的 动点的两个坐标间接地联系起来,参数方程与变通方程同等地描述,了解曲线, 参数方程实际上是一个方程组, 其中 x ,y 分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。 (3) 、 参数方程求法: (A) 建立直角坐标系, 设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) ; (B)选取适当的参数; (C)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立 点 P 坐标与参数的函数式; (D)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取:选取参数的原则是曲线上任一点坐标当 参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间 t 做参数;与旋 转的有关问题选取角 ? 做参数; 或选取有向线段的数量、 长度、 直线的倾斜斜角、

斜率等。 4、 椭圆的参数方程常见形式: (1) 、 椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a cos? (? ? ? y ? b sin ?

为 参 数 ) ; 椭 圆

2 x ? y ? 1(b ? a ? 0) 2 2 的 参 数 方 程 是 b a

?

x ?b cos? y ?a sin?

(?为参数,且0 ? ? ? 2?).
0

(2) 、 以 ( x 0, y ) 为 中 心 焦 点 的 连 线 平 行 于 x 轴 的 椭 圆 的 参 数 方 程 是

{

x?

x 0 ? a cos? ? x ? a cos? (? 为参数) 。 (3)在利用 ? 研究椭圆问题时,椭圆上 y ? y ? b sin ? 0 ? y ? b sin ?

的点的坐标可记作(acos ? ,bsin ? ) 。 (三) 、巩固训练
1 ? ?x ? t ? t (t为参数) 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 4 。 1、曲线 ? 1 ?y ? t ? t ?

2、曲线 ? A.
1 2

? x ? cos? ? y ? sin?

(?为参数) 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(D)

B.

2 2

C.1

D. 2

? x ? 3 cos? 3、已知椭圆 ? ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数) 求 (1) ? ?

?
6

时对应的点 P 的坐标

(2)直线 OP 的倾斜角 (四) 、小结:本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义,能选取适 当的参数,求简单曲线的参数方程,通过推到椭圆及双曲线的参数方程,体会求 曲线的参数方程方法和步骤,对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。 (五) 、作业: 五、教学反思:


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