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浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学理试题


温州中学 2013 届高三第三次模拟测试 数学(理)试卷
开始

选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知全集 U ? Z ,集合 M ? ??1,0,1 , N ? ?0,1,3? ,(?UM)∩N 等于( ? (A) )
是 i > 100 S=0 i =1

??1?

(B)

?3?

(C)

?0,1?
?1 ? 2i 1 ? 2i

(D) ??1,3? )
输出 S

2. 已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ?( (A) ?1 ? 2i (C) 1 ? 2i (B) (D)

否 S=S+2 i =2i+1

3. 某程序框图如右图所示,该程序运行后输出 S 的值是( (A) 10 (C) 100 (B) 12 (D) 102



结束

(第 3 题)

4.已知 ? 、 ? 均为锐角,若 p : sin ? ? sin(? ? ? ), q : ? ? ? ? (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?
2

, 则 p 是 q 的(



5. A, B, C , D, E 五个人并排站成一排,如果 A, B 必须相邻且 C 在 D 的右边,那么不同的 排法种数有( (A)60 种 ) (B)48 种 (C)36 种 (D)24 种

? x ? y ? 4, ? 6.设不等式组 ? y ? x ? 0 表示的平面区域为 D .若圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? r 2 (r ? 0) ?x ?1 ? 0 ?
经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是( (A) ? 2 2,3 2 ? )ks5u (C) (B) ? 2 2, 2 5 ?

?

?

?

?

? 0, 2

5? ?

(D)

? 0,3

2? ?

7.已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向量 cn ? ? an , an?1 ? , bn ? (n, n ? 1), n ? N * ,则下列 命题中是真命题的是(
*

?? ?

?? ?

)

(A)若对任意的 n ? N ,都有 cn ∥ bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 (B)若对任意的 n ? N ,都有 cn ∥ bn 成立,则数列 {an } 是等比数列
*

?? ? ?? ?

?? ? ?? ?

(C)若对任意的 n ? N ,都有 cn ⊥ bn 成立,则数列 {an } 是等差数列
*

?? ? ?? ?

?? ? ?? ?

(D)若对任意的 n ? N ,都有 cn ⊥ bn 成立,则数列 {an } 是等比数列
*

8.若关于 x 的方程 x x ? a ? a 有三个不相同的实数根,则实数 a 的取值范围是( (A)



? ?4, 4?

(B)

? ??, ?4?

(C)

? 4,???

(D)

? ??, ?4? ? ? 4, ???

9.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , A1、A2 是实轴顶点, F 是右焦点, B ? 0, b? 是虚 a 2 b2

轴端点, 若在线段 BF 上 (不含端点) 存在不同的两点 pi (i ? 1, 2) , 使得 ?PA1 A2 (i ? 1, 2) i 构成以 A1 A2 为斜边的直角三角形,则双曲线离心率 e 的取值范围是( (A) 2, ??) ( )

(B) (

5 ?1 , ??) 2

(C) (1,

5 ?1 ) 2

(D) 2, (

5 ?1 ) 2

10.已知正四面体 A ? BCD 中, P 为 AD 的中点,则过点 P 与侧面 ABC 和底面 BCD 所 在平面都成 60 的平面共有(
?


? ?

(注:若二面角 ? ? l ? ? 的大小为 120 ,则平面 ? 与平面 ? 所成的角也为 60 ) (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)无数个

非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的体积是 ___. 12.若 (2 x2 ? 1)5 = a0 ? a1 x2 ? a2 x4 ? ? ? a5 x10 ,则 a3 的值为 13.椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B , 16 12 则 ?FAB 的周长的最大值是 .

14. 若函数 f ( x) ? 2sin ? x ?? ? 0? 的图象在 ? 0, 2? ? 上恰有一个极大值和一个极小值, 则 ? 的取值范围是 .

15.在等差数列 {an } 中,当且仅当 n ? 6 时, Sn 取得最大值,则使 Sn ? 0 的 n 的最大值 是 .

16.正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 1 , MN 是正方体内切球的直径, P 为正方体表面 1 上的动点,则 PM ? PN 的最大值为________.ks5u
2 17. 当 x ??0,1? 时,不等式 x cos ? ? x ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? sin ? ? 0 恒成立,则 ? 的取值范 2

???? ???? ?

围为________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 B ? 60 .
0

(I)若 cos ? B ? C ? ? ?

11 ,求 cos C 的值; 14

(II)若 a ? 5, b ? cos C ? ?1 ,求 ?ABC 面积. ks5u

19. (本题满分 14 分) 甲从装有编号为 1, 2,3, 4,5 的卡片的箱子中任取一张,乙从装有编号为 2, 4 的卡片的箱子中 任取一张,用 X , Y 分别表示甲,乙取得的卡片上的数字. (I)求概率 P ? X ? Y ? ; (II)设 ? ? ?

?X , X ? Y ,求 ? 的分布列及数学期望. ?Y , X ? Y

ks5u 20. (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC ? AC ? 4, AB ? BC ? 2 2 (I)求证:平面 ABC ⊥平面 APC (II)若动点 M 在底面三角形 ABC 上,二面角 M ? PA ? C 的余弦值为 小值.

2 2 ,求 BM 的最 3

P

A

C

B

21. (本题满分 15 分) 如 图 , 已 知 抛 物 线 C : y ? ax2 (a ? 0) 与 射 线 l1 : y ? 2 x ? 1 ( x ? 0) 、 l 2 :

1 y ? ?2 x ? 1( x ? 0) 均只有一个公共点,过定点 M (0,?1) 和 N (0, ) 的动圆分别与 l1 、 l 2 交 4 于点 A 、 B ,直线 AB 与 x 轴交于点 P . ??? ??? ? ? (Ⅰ)求实数 a 及 NP ? AB 的值;
(Ⅱ)试判断: | MA | ? | MB | 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

ks5u

22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

ln( x 2 ? 2 x ? a) x ?1

(I)当 a ? 1 时,讨论 f ( x ) 在 (1, ??) 上的单调性; (II)若 f ( x ) 的定义域为 (??,1) U (1, ??) (i)求实数 a 的取值范围;ks5u (ii)若关于 x 的不等式 f ( x) ? ( x ?1) ? e 对任意的 x ? (1, ??) 都成立,求实数 a 的取值范
x

围.

温州中学 2013 届高三第三次模拟考试数学(理)答案
1-5. BABBD 11. 6-10.BADDB 12. 80 13. 16 14. ?

7 ? 6 1 2

? 3 5? , ? 4 4? ?

15. 11 或 12

16.

17. ?

5? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ? 12 ? 12 ?

11 5 ,sin A ? 3, B ? 600 14 14 1 ? cos C ? ? cos ? A ? B ? ? (7 分) 7
18. (I) cos A ?
0 (II) a ? 5 , B ? 60 Ks5u

? b ? cos C ? ?1 ? b2 ? c 2 ? ?35
又? cos B ?

1 a 2 ? c 2 ? b2 ? ? 25 ? c 2 ? b2 ? 5c Ks5u 2 2ac
1 ac sin B ? 15 3 2

解得 c ? 12 ,? S ?ABC ? (法二:

(14 分)

b a b 5 ? 即 ,且 b ? cos C ? ?1 得: b ? sin C ? 6 3 ? 0 sin B sin A sin 60 sin 1200 ? C

?

?

? S?ABC ?

1 ab sin C ? 15 3 ) 2 2 5
(5 分)

19. (I) P ? X ? Y ? ? (II)

?
P

2

3

4

5

1 5 37 10

1 10

1 2

1 5

(13 分)

E? ?

(14 分)

20. 解: (1)取 AC 中点 O,因为 AP=BP,所以 OP⊥OC 由已知易得三角形 ABC 为直角三角 形,∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB ∴OP⊥平面 ABC, ∵OP 在平面 PAC 中,∴平面 ABC ⊥平面 APC ( 6 分) (2) 以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. z P 由题意平面 PAC 的法向量 n1 ? OB ?(1, 0, 0) ,
? ?

(8 分)

设平面 PAM 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? , M ? m, n,0 ?

?? ?

??? ? ???? ? ? AP ? 0, 2, 2 3 , AM ? ? m, n ? 2, 0 ?

?

?

A

O
B

C

y

由 AP ? n2 ? 0, AM ? n2 ? 0

??? ?? ? ?

???? ?? ? ?

x

?2 y ? 2 3z ? 0 ? ?? , mx ? ? n ? 2 ? y ? 0 ? ?
取 n2 ? ?

?? ? 3 ? n ? 2 ? ? ? , 3, ?1? (10 分) ? ? ?m ? ?
? ?

? cos ? n2 , n1 ?? (

3(n ? 2) ?m 3 ? n ? 2? 2 ) ?4 ?m

?

2 2 3



3(n ? 2) ?4 2 m
(12 分)

∴ 4 2m ? 3n ? 2 3 ? 0 ∴BM 的最小值为垂直距离 d ?

8 2 ?2 3 。 ( 14 分 ) 35

? y ? ax 2 2 21、解: (I)联立 ? 得: ax ? 2 x ? 1 ? 0 ? y ? 2x ?1

?? ? 4 ? 4a ? 0,? a ? 1
设动圆 Q : ? x ? t ?
2

(3 分)
2 2

5 5 3? ? ?5? ? ? y ? ? ? t 2 ? ? ? ( ? ? t ? ,圆与 l1 , l 2 相切时取到等号) 4 4 8? ? ?8?

2 2 ? 3? 2 ? ?5? 2 ?Q : ? x ? t ? ? ? y ? ? ? t ? ? ? ? 2t 1 4t ? 联立 ? 8? ? ? 8 ? 得: A ? ? , ? ?5 2 5? ?l : y ? 2 x ? 1 ?1

(6 分)

同理得: B ?

? 2t 1 4t ? ? ,? ? ?5 2 5?

(8 分)

?l AB : y ?

4t 8t ? ? 2t 1 ? ? ? 2t ? ? ? x ? ? ? ? ? ,令 y ? 0 得 P ? , 0 ? 5 5 ? ? 5 2 ?? ?5 ?
(10 分)

??? ??? ? ? ? NP ? AB ? 0
Ks5u

(Ⅱ) | MA | ? | MB | =

4? 5 5 ?t?4 ? t?4 5?
2 2

? ? ? 5 是定值. ?

(动圆 Q : ? x ? t ?

2

5 5 3? ? ?5? ? ? y ? ? ? t 2 ? ? ? , ? ? t ? ,圆与 l1 , l 2 相切时取到等号) 4 4 8? ? ?8?
(15 分)

(或由 yA ? yB ,及几何法得 | MA | ? | MB | ?

5)

22、解: (I)∵ a ? 1 , x ? (1, ??) ∴ f ?( x) ?

∴ f ( x) ?

2 ln( x ? 1) x ?1
解得 x ? e ? 1

2[1 ? ln( x ? 1)] ( x ? 1)2

由 f ?( x) ? 0

当 x ? (1, e ? 1) 时, f ( x ) 单调递增;当 x ?[e ? 1, ??) 时, f ( x ) 单调递减 (II) (i)∵ f ( x ) 的定义域为 (??,1) U (1, ??) ∴当 x ? (??,1) U (1, ??) 时, x ? 2 x ? a ? 0 恒成立
2

即 ( x ? 1)2 ? a ? 1 ? 0 恒成立,? a ? 1 ? 0 ,∴ a ? 1 (ii)由 f ( x) ? ( x ?1) ? e x ,得

ln( x 2 ? 2 x ? a) ? ( x ? 1)e x x ?1

即 ln[( x ?1)2 ? a ?1] ? ( x ?1)2 ex 在 x ? (1, ??) 上恒成立 当 a ? 2 时,∵ x ? (1, ??) ,当 x ? 1 时, ln[( x ?1)2 ? a ?1] ? ln(a ?1) ? 0 而 ( x ? 1) e ? 0 ,∴原不等式不可能恒成立
2 x

当 a ? 2 时,要使 ln[( x ?1) ? a ?1] ? ( x ?1) e 在 x ? (1, ??) 上恒成立
2 2 x

∵ ln[( x ?1) ? a ?1] ? ( x ?1) e ? ln[( x ?1) ? 1] ? ( x ?1) e
2 2 x 2 2

x

设 h( x) ? ln[( x ?1) ? 1] ? ( x ?1) e
2 2

x

∴ h?( x) ?

2( x ? 1) 2 ? [2( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ]e x ? ( x ? 1)[ ? ( x ? 1)e x ] 2 2 ( x ? 1) ? 1 ( x ? 1) ? 1 2 2 ? ( x ? 1)e x ? ? (1 ? 1)e ? 2 ? 2e ? 0 2 ( x ? 1) ? 1 (1 ? 1) 2 ? 1

又∵当 x ? (1, ??) 时,

∴当 x ? (1, ??) 时,h?( x) ? 0 , h( x) 在 (1, ??) 上是减函数, h( x) ? h(1) ? 0 ∴ ∴ ∴ ln[( x ?1) ? a ?1] ? ( x ?1) e ? 0 在 x ? (1, ??) 上恒成立,即原不等式恒成立
2 2 x

综上所述: a ? [1, 2]

(或:参变分离求 a 的取值范围)


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