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2011——2012学年度第二学期高一年级第一次月考数学试题答案


2011—— ——2012 学年度第二学期高一年级第一次月考数学答案 学年度第二学期高一年级第一次月考数学答案 ——
小题, 四个选项中只有一个符合要求) 一、选择题(总 60 分,共 12 小题,每题 5 分,四个选项中只有一个符合要求) 选择题(
1.已知数列 {an }中, a1 = 1 ,且 an = 1 +

1 a n ?1

,那么 a4 的值等于(

D )

A.

2 3

B.

3 2
2

C.
2

7 2
2

D.

5 3

2.在 △ ABC 中,角 C 为最大角,且 a + b ? c > 0 ,则 △ ABC 是( B ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定

3. 在△ABC 中,三个内角∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,且 a∶b∶c=1∶ 3 ∶
A. 3 ∶2∶1 2,则 sin A∶sin B∶sin C=( C.1∶2∶ 3 D

).
D.1∶ 3 ∶2 A ). D.64

B.2∶ 3 ∶1

4.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是( A.15 B.30 C.31 A D.

5. 在等比数列{ a n }中, a 2 =8, a5 =64,则公比 q 为( A. 2 B. 3 C. 4


8

6. ΔABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于

( D.120°

B )

A.60°

B.60°或 120°

C.30°或 150°

7.在 ? ABC 中, a : b : c = 3 : 5 : 7 ,则 ? ABC 的最大角为( B )

A.150°

B.120°

C.90°

D.60°

8. 等差数列{an}中, 1+a2+a3=-24, 18+a19+a20=78, a a 则此数列前 20 项和等于( B ). A.160
2

B.180
2 2

C.200

D.220

9. 在 ? ABC 中,若 a + b + ab = c , c = 2 ,则 ? ABC 的外接圆的半径为( C )

A.

3 3

B.

4 3 3

C.

2 3 3

D. 4 A )

10.在 ? ABC 中,若 a = 2b cos C ,则这个三角形一定是( A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.正三角形

11. △ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列, ∠B

1

=30°,△ABC 的面积为
A.

3 ,那么 b=( B 2

).
C. 2+ 3 2 D.2+ 3

1+ 3 2

B.1+ 3

12. 已知{an}是等比数列,a2=2,a5=

1 ,则 a1a2+a2a3+…+anan+1=( C ). 4 32 32 ?n ?n A. 16(1 ? 4 ) B. 16(1 ? 2 ) C. (1 ? 4 ? n ) D. (1 ? 2 ? n ) 3 3

二、填空题(总 20 分,每小题 5 分,答案填在横线上)
13. 在△ABC 中,若 b=2csinB,则∠C=_______ 14. 在三角形 ABC 中,A=60 , °= 1, △ABC = ∠A=60 ,b=1,S

π
6



5π 6

3, 则

2 39 a+b+c =________. sin A + sin B + sin C 3

15. 等比数列{an}的公比 q>0,已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和

S4=



15 2
,

16.已知数列{an}中,an= ?

?2 n ?1 , ( n为奇数) ( ?2n ? 1, n为偶数)
106

则 a 9=

256

,

设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S7=

(用数字作答).

解答题( 三、解答题(总

70 分)

17.(10 分)在锐角 ? ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,又 c = 21, b = 4 ,
且 BC 边上高 h = 2 3 ,求角 C 及 a 边之长 解: ? ABC 为锐角三角形,过 A 作 AD ⊥ BC 于 D 点,

sin C =

2 3 3 o = ,则 C = 60 . 4 2
2 2 2

A ……………4 分
c h b

又由余弦定理可知 c = b + a ? 2ab cos C , 则 ( 21) = 4 + a ? 2 ? 4 ? a ?
2 2 2


a D



1 2 ,即 a ? 4a ? 5 = 0 , 2

∴ a = 5 或 a = ?1(舍) .因此所求角 C = 60 o , a 边为 5.………………10 分
18.(12 分) 设数列{an}是公差不为零的等差数列,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 S12 =9S2, S4=4S2,求数列{an}的通项公式.

2

解:设等差数列{an}的公差为 d,由前 n 项和的概念及已知条件得
2 a 1 =9(2a1+d ),

① ② ………………………4 分 ……..7 分

4a1+6d=4(2a1+d ).

由②得 d=2a1,代入①有 a12 =36a1,解得 a1=0 或 a1=36.

Q d = 2a1 ≠ 0

∴ a1=0 应舍去. 因此 a1=36,d=72,

故数列{an}的通项公式 an=36+(n-1)·72=72n-36=36(2n-1). ……..10 分 19. 12 分) ( △ABC 的三个内角 A、 C 对边分别是 a, b, c, tan A + tan B = 3 tan A tan B ? 3 , B、 且
c= 7 3 3 ,又△ABC 的面积为 S?ABC = . 求: (1)角 C; (2)a+b 的值. a+b 2 2

解: (1)由已知: tan A + tan B = ? 3 (1 ? tan A tan B )

∴ tan( A + B ) =

tan A + tan B =? 3 1 ? tan A tan B

∴ A + B = 120 o
∴ ab = 6

∴ C = 60 o

…4 分

(2) S = 1 ? a ? b ? sin C = 1 ? a ? b × 3 = 3 3 2 2 2 2
2

…………6 分 ……8 分

Q c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C

73 1 ?7? ∴ a2 + b2 = ∴? ? = a2 + b2 ? 2× 6 × 4 2 ?2?
121 4 又 Q a > 0 ,b > 0 ∴a + b = 11 2

∴ (a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab =
2

………12 分

20. ( 12 分) 在公差为 d ( d ≠ 0) 的等差数列 {a n } 和公比为 q 的等比数列 {bn } 中,已知

a1 = b1 = 1, a 2 = b2 , a8 = b3 .(1)求数列 {a n } 与 {bn }的通项公式;
(2)令 c n = a n ? bn ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn .
?1 + d = q ?d = 5 解: 由条件得: ? ? ? ? a n = 5 n ? 4 , b n = 6 n ?1 2 q=6 1 + 7d = q ? ?

…4 分

(2) Tn = c1 + c 2 + c3 + L + c n

Tn = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 + L + a n?1bn ?1 + a n bn qTn = a1b2 + a 2 b3 + a3 b4 + L + a n ?1bn + a n bn+1

① ② …………………8 分

n ?1 ①-②: (1 ? q)Tn = a1b1 + qb2 + qb3 + L + qbn ?1 + qbn ? an bn+1 = a1b1 + q b2 (1 ? q ) ? an bn+1 1? q

3



? 5Tn = 1 + 5


6(1 ? 6n ?1 ) ? (5n ? 4)6n ?5
…………………………12 分

Tn = (n ? 1)6 n + 1

21. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B = (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. (Ⅰ)求 sin C 的值; 解: (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B =

π
3

, cos A =

4 ,b = 3 。 5

π
3

, cos A =

2π 3 ? A,sin A = , ∴C = 3 5
∴ sin C = sin ?

4 , 5

3 1 3+ 4 3 ? 2π ? ? A? = cos A + sin A = . ……5 分 2 10 ? 3 ? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A = 又∵ B = ∴

3 3+ 4 3 ,sin C = , 5 10

π
3

, b = 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 b sin A 6 = . sin B 5
………………………………10 分

a=

∴△ABC 的面积 S =

1 1 6 3 + 4 3 36 + 9 3 ab sin C = × × 3 × = 2 2 5 10 50

…………12 分

22.在数列{an}中,Sn+1=4an+2,a1=1. (1)设 bn=an+1-2an,求证数列{bn}是等比数列;(2)设 cn= (3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和. 解:(1)由 a1=1,及 Sn+1=4an+2, 有 a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,∴ b1=a2-2a1=3. 由 Sn+1=4an+2 ①,则当 n≥2 时,有 Sn=4an-1+2. ②

an ,求证数列{cn}是等差数列; 2n

②-①得 an+1=4an-4an-1,∴ an+1-2an=2(an-2an-1). 又∵ bn=an+1-2an,∴ bn=2bn-1.∴ {bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列. ∴ bn = 3 × 2 (2)∵ cn=
n ?1

………………………………………………………………….6 分

a an a a ? 2a b 3 × 2 n?1 3 ,∴ cn+1-cn= n +1 - n = n+1 n+1 n = nn 1 = = , 2n 2 2+ 2 n+1 2 n +1 2 n 4

4

c1=

a1 1 1 3 = ,∴ {cn}是以 为首项, 为公差的等差数列. 2 4 2 2

………….10 分

(3)由(2)可知数列 ?

? an ? 1 3 是首项为 ,公差为 的等差数列. n? 2 4 ?2 ?

∴ ∵ ∴

an 1 1 3 3 n ?2 = +(n-1) = n- , an = ( 3n ? 1) ? 2 是数列{an}的通项公式. n 2 2 4 4 4
an = (3n ? 1) ? 2n ? 2
由已知 Sn = 4an ?1 + 2 ……………..12 分

Sn = 4 ? (3n ? 4) ? 2 n ? 3 + 2 = (3n ? 4) ? 2n ?1 + 2

5


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