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2015秋高中数学 第一章 集合与函数概念本章复习学案设计 新人教A版必修1


第一章

集合与函数概念 本章复习

学习目标 通过总结和归纳集合与函数的知识,能够使学生综合运用知识解决有关问题 ,培养学生 分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣,逐步培养学生应用数学思想(数形 结合、分类计论思想等)解决实际问题的能力. 合作学习 一、提出问题 ①第一节是集合,分为几部分? ②第二节是函数及其表示,分为几部分? ③第三节是函数的基本性质,分为几部分? ④画出本章的知识结构图.

二、应用示例 2 2 【例 1】若 P={x|y=x },Q={(x,y)|y=x ,x∈R},则必有( A.P∩Q=? B.P? Q C.P=Q D.P? Q 2 【例 2】求函数 y=x +1 的最小值.

)

【例 3】求函数 y=的最大值和最小值.

【例 4】 函数 f(x)=x -2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)=在区间(1,+∞)上 一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数

2

三、变式训练 2 1.设集合 M={x|x>1},P={x|x -6x+9=0},则下列关系中正确的是( ) A.M=P B.P? M C.M? P D.M∩P=R 2.定义集合 A 与 B 的运算 A*B={x|x∈A 或 x∈B,且 x?A∩B},则(A*B)*A 等于( A.A∩B B.A∪B C.A D.B 3.求函数 f(x)=的单调区间.

)

四、作业 课本 P44 复习参考题第 5,7 题. 参考答案 一、提出问题 ①分为:集合的含义与表示、集合间的基本关系和集合的基本运算三部分. ②分为:函数的概念(定义、定义域、值域),函数的表示(列表法、图象法、解析法)两部 分;其中又把函数的概念拓展为映射. ③分为:单调性、最值和奇偶性三部分. ④第一章的知识结构图如图所示,

二、应用示例 【例 1】解析:从选项来看,本题是判断集合 P,Q 的关系,其关键是对集合 P,Q 的意义的 2 2 理解.集合 P 是函数 y=x 的定义域,则集合 P 是数集;集合 Q 是函数 y=x 的图象上的点组成的 集合,则集合 Q 是点集.故 P∩Q=? . 答案:A 点评:判断用描述法表示的集合间关系时,一定要搞清两集合的含义,明确集合中的元素. 形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集,形如集合{(x,y)|x,y∈P(x,y),x,y∈R}是点集,数集和 点集的交集是空集. 2 【例 2】解:方法一(观察法)∵函数 y=x +1 的定义域是 R, 2 2 2 ∴观察到 x ≥0.∴x +1≥1.∴函数 y=x +1 的最小值是 1. 2 2 方法二:(公式法)函数 y=x +1 是二次函数,其定义域是 x∈R,则函数 y=x +1 的最小值是 f(0)=1. 点评:求函数最值的方法: 2 2 观察法:当函数的解析式中仅含有 x 或|x|或时,通常利用常见的结论 x ≥0,|x|≥0,≥0 等,直接观察写出函数的最值; 公式法:求基本初等函数(正、反比例函数,一次、二次函数)的最值时,应用基本初等函 数的最值结论(看成最值公式),直接写出其最值. 2 【例 3】解:(判别式法)由 y=得 yx -3x+4y=0,

∵x∈R,∴关于 x 的方程 yx -3x+4y=0 必有实数根. 当 y=0 时,则 x=0,故 y=0 是一个函数值; 2 当 y≠0 时,则关于 x 的方程 yx -3x+4y=0 是一元二次方程, 2 2 则有 Δ =(-3) -4×4y ≥0. 2 ∴0<y ≤.∴-≤y<0 或 0<y≤. 综上所得,-≤y≤. ∴函数 y=的最小值是-,最大值是. 2 点评:形如函数 y=(d≠0),当函数的定义域是 R(此时 e -4df<0)时,常用判别式法求最值, 2 其步骤是:①把 y 看成常数,将函数解析式整理为关于 x 的方程的形式 mx +nx+k=0;②分类讨 2 论 m=0 是否符合题意;③当 m≠0 时,关于 x 的方程 mx +nx+k=0 中有 x∈R,则此一元二次方程 2 必有实数根,得 n -4mk≥0,即关于 y 的不等式,解不等式组此不等式组的解集与②中 y 的值取 并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值. 2 【例 4】 解析:函数 f(x)=x -2ax+a 的对称轴是直线 x=a,由于函数 f(x)在开区间(-∞,1) 上有最小值,所以直线 x=a 位于区间(-∞,1)内,即 a<1.g(x)==x+-2a,下面用定义法判断函数 g(x)在区间(1,+∞)上的单调性. 设 1<x1<x2,则 g(x1)-g(x2)=(x1+-2a)-(x2+-2a)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)(1-)=(x1-x2). ∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1>0. 又∵a<1,∴x1x2>a.∴x1x2-a>0. ∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)<g(x2). ∴函数 g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,函数 g(x)在区间(1,+∞)上没有最值. 答案:D 三、变式训练 1.解析:P={3},∵3>1,∴3∈M.∴P? M. 答案:B 2. 解 析 : 设 A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7}, 则 A*B={3,4,5,6,7}, 于 是 (A*B)*A={1,2,5,6,7}=B. 答案:D 点评:解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质,本题 A*B 的本质就是 集合 A 与 B 的并集中除去由它们公共元素组成的集合. 2 3.解:函数的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞).设 y=,u=x -1, 2 当 x≥0 时,u=x -1 是增函数,y=是增函数, ∴函数 f(x)=在[1,+∞)上是增函数. 2 当 x≤0 时,u=x -1 是减函数,y=是增函数, ∴函数 f(x)=在(-∞,-1]上是减函数, 即函数 f(x)的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,-1]. 点评:复合函数是指由若干个函数复合而成的函数 ,它的单调性与构成它的函数的单调 性 有 密 切 联 系 , 其 单 调 性 的 规 律 为 :“ 同 增 异 减 ”, 即 复 合 函 数 y=f[g(x)], 如 果 y=f(u),u=g(x)有相同的单调性时,函数 y=f[g(x)]为增函数,如果具有相异(即相反)的单调 性,则函数 y=f[g(x)]为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是:①求复合函数的定义域;② 把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性;③依据复合函数的单调性规 律口诀:“同增异减”,判断或写出函数的单调性或单调区间. 注意:本题如果忽视函数的定义域,会错误地得到单调递增区间是[0,+∞),单调递减区 间是(-∞,0].其避免方法是讨论函数的性质时要遵守定义域优先的原则.

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