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衡水中学2011~2012高一下学期一调理科数学试题+答案


衡水中学 2011—2012 学年度第二学期第一次调研考试 高一年级数学(理科)试卷
命题人 赵鸿伟 审核人 褚艳春 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

A .3

B.1

C.-1

D.-3 ) .

7.设 A(0, 0), B(1,1), C (4, 2) ,若线段 AD 是△ ABC 外接圆的直径,则点 D 的坐标是( A.(-8,6) B.(8,-6) C.(4,-6) D.(4,-3)
A B
A1 B1 C1

8.如图,M 是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 DD1 的中点,给出命题 ①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都平行. 其中真命题是 A.②③④ B.①③④ C.①②④
y ?1

D
C

?M
D1

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号 填涂在答题卡上) 1.已知 A ? {x | x是4与10的公倍数,x ? N ? } , B ? {x | x ? 20 m, m ? N ? },则 ( A. A ? B 且 A ? B B. B ? A 且 A ? B C. A ? B D. A? B )

( D.①②③

)

y ? 9.定义新运算“&”与“ ? ” x & x :
是( ) B、偶函数

, x ? y ? log ( x ?1) y ,则函数 f ( x) ?

( x & 3) ? 1 3 ? 2x

?3 x ( x ? 0) 2.已知函数 f ( x) ? ? ?log 2 x( x ? 0)
A.27

A、奇函数

C、非奇非偶函数

D、既是奇函数又是偶函数

1 ,那么 f [ f ( )] 的值为 8

(

)

10.若点 A(2,-3)是直线 a1 x ? b1 y ? 1 ? 0 和 a 2 x ? b 2 y ? 1 ? 0 的公共点,则相异两点 (a1 , b1 ) 和

(a 2 , b 2 ) 所确定的直线方程为
1 D. ? 27
( ) D. 16 ? 32 2 A. 2x ? 3y ? 1 ? 0 B. 3x ? 2 y ? 1 ? 0
O

( C. 2x ? 3y ? 1 ? 0



1 B. 27

C. ?27

D. 3x ? 2 y ? 1 ? 0

3.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 A.32 B.16+ 16 2 C.48
2 2

11.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60 ,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则三棱锥B-ACD 的体积为为 A. ( B. )

4.若直线 y ? x ? b 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1 有两个不同的公共点, 则实数 b 的取值范围为 A. (2 ? 2,1) B. [2 ? 2, 2 ? 2] ( ) D. (2 ? 2, 2 ? 2)

2 12

1 12

C.

2 6

D.

2 4

12.已知直线 l : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,若圆上恰好存在两个点P、Q,他们到直线 l 的距离为1,则称该 圆为“完美型”圆。则下列圆中是“完美型”圆的是 A. x ? y ? 1
2 2

C. (??, 2 ? 2) ? (2 ? 2, ??)


2 2


2

5.已知直二面角 ? ? l ? ? ,点 A ?? , AC ? l , C 为垂足, B ? ? , BD ? l , D 为垂足,若

B. x ? y ? 16
2 2

C. ( x ? 4) ? ( y ? 4) ? 1
2

D. ( x ? 4) ? ( y ? 4) ? 16

AB ? 2, AC ? BD ? 1,则 CD ?
A. 2 B. 3 C. 2
x

( D.1



6.设 f (x) 为定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数), f (?1) = 当 则 (
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第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

20.已知函数 f (x) = (log 2 x ? 2)(log 4 x ? ) ,2≤ x ≤4 (1)求该函数的值域; (2)若 f ( x) ? m log 2 x 对于 x ? [2,4] 恒成立,求 m 的取值范围.

二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 13. 若 直 线 l 1 : x ? 2my ? 1 ? 0 与 l 2 : (3m ? 1)x ? my ? 1 ? 0 平 行 , 那 么 实 数 m 的 值 为 __________。 14. 如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 3 ,那么
2 2

1 2

y 的最大值是________。 x

15.如图,半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面 积之差是_________. 16. 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f (x ) 为 奇 函 数 。 且 满 足 f (x ? 2) ? ?f (x ) , 当 x ? ?0,1? 时 , 21.如图, 四棱锥 S ? ABCD 中,AB ? BC ,BC ? CD , 侧面 SAB 为等边三角形, AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1 . (Ⅰ)证明: SD ? 平面 SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.

f (x ) ? 2 x ? 1 ,则 f (log 1 24) =
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题 纸的相应位置) 17.已知圆 M 经过直线 l : 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点,且圆 M 的圆心
2 2

到直线 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 的距离为 3 10

,求圆 M 的方程 22. (本小题 12 分)定义:若函数 y ? f (x) 在某一区间 D 上任取两个实数 x1 、 x 2 ,且 x1 ? x2 , 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) ,则称函数 y ? f (x) 在区间 D 上具有性质 L。 2 2

18.设 x ? y ? 1 ? 0, 求 d ?

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 10 y ? 34 ? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 30 y ? 229 的最小值。

(1)写出一个在其定义域上具有性质 L 的对数函数(不要求证明) 。 (2)对于函数 f ( x) ? x ?

1 ,判断其在区间 (0,??) 上是否具有性质 L?并用所给定义证明你的结 x

19.在长方体 ABCD ? A B1C1 D1 中, AB ? BC ? 2 ,过 A1 、 C1 、 B 三点的平 1 面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? A1C1D1 ,且这个 几何体的体积为 10 . (1)求棱 A1 A 的长; (2)若 AC1 的中点为 O1 ,求异面直线 BO1 与 A1 D1 所成角的余弦值。 1
A
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D1 A1

C1

论。 (3)若函数 f ( x) ?

1 ? ax 2 在区间(0,1)上具有性质 L,求实数 a 的取值范围。 x

D
B

C

高一数学(理科)第4页(共8页)

衡水中学 2011-2012 学年度第二学期一调考试高一数学(理科)答案 一、选择题 二、填空题 13. 0 或
1 6
14.

CBBDC

DBCAC

AD

3

15. 32π

16. ?

1 2

三、解答题
17. 解:设经过直线 l 与圆 C 的交点的圆系方程为 x +y +2x-4y+1+ ? (2x+y+4 )=0
2 2

1 2 3 1 3 1 t ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? 2 2 2 2 8 ??????????4 分 ? 2 ? x ? 4 ?1 ? t ? 2 3 1 当 t ? 时, y min ? ? ,当 t ? 1 或 2 时, y max ? 0 2 8 ? 1 ? ??????????6 分 ?函数的值域是 ? ? ,0? ? 8 ? 1 3 (2)令 t ? log 2 x ,可得 t 2 ? t ? 1 ? mt 对于 1 ? t ? 2 恒成立。 2 2
令 t ? log 2 x ,则 y ? 所以 m ?

则 x +y +2( ? +1)+ ( ? -4)y+4 ? +1=0
2 2

∴圆 M 的圆心为 M( ?? ? 1, 由条件可得

4?? ) 2
= 3 10

1 1 3 t ? ? 对于 t ? [1,2] 恒成立 2 t 2 1 1 3 t ? ? , t ? [1,2] 2 t 2

??????????8 分

?????????????3 分

设 g (t ) ?

| ?2? ? 2 ? 3(4 ? ? ) ? 5 | 22 ? 62
2 2

?????????????6 分 ?????????????8 分
2 2

g (t ) ?

解得 ? =-11 或 ? =13

1 1 3 1 2 3 t ? ? ? (t ? ) ? 2 t 2 2 t 2
??????????10 分 ??????????12 分

所以所求圆的方程为 x +y -20x-15y-43=0 或 x +y +28x+9y+53=0 18.解:

?????10 分

g (1) ? 0, g (2) ? 0 所以 g (t ) max ? 0 ,
所以 m ? 0

21.解: (I)取 AB 中点 E,连结 DE,则四边形 BCDE 为矩形,DE=CB=2,

d?

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 10 y ? 34 ? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 30 y ? 229
2 2 2 2

连结 SE,则 SE ? AB , SE ? 3. 到 直 线 又 SD=1,故 ED ? SE ? SD ,
2 2 2

? ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? ( x ? 2) ? ( y ? 15)

可 看 作 点 A(? 3 , 5 ) B(2,15) 和

x ? y ? 1 ? 0, 上的点的距离之和,
'

?????????????4 分

作 A(?3,5) 关于直线 x ? y ? 1 ? 0, 对称的点 A (4, ?2) ,?????????????8 分 则 d min ? A B ?
'

所以 ?DSE 为直角。

????3 分

由 AB ? DE, AB ? SE, DE ? SE ? E , 得 AB ? 平面 SDE,所以 AB ? SD 。 SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。 所以 SD ? 平面 SAB。 ????6 分

293

?????????????12 分

19.解: (1)设 A1 A ? h ,由题设 VABCD ? A1C1D1 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 ? 10 ,

1 1 1 得 S ABCD ? h ? ? S?A1B1C1 ? h ? 10 ,即 2 ? 2 ? h ? ? ? 2 ? 2 ? h ? 10 ,解得 h ? 3 . 3 3 2 故 A1 A 的长为 3 . ?????????????6分 (2)因为在长方体中 A1 D1 // BC , 所以 ?O1BC 即为异面直线 BO1 与 A1 D1 所成的角(或其补角) .??????????8分
在△ O1 BC 中,计算可得 O1 B ? O1C ? 11 ,则 ?O1BC 的余弦 值为 20.解: (1)y =( log 2 x ? 2) (

(II)由 AB ? 平面 SDE 知, 平面 ABCD ? 平面 SED。 作 SF ? DE, 垂足为 F,则 SF ? 平面 ABCD,

11 。?????12 分 11

1 1 1 3 log 2 x ? ) = (log 2 x) 2 - log 2 x ? 1 ????2 分 2 2 2 2
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SF ?

SD ? SE 3 ? . DE 2
高一数学(理科)第6页(共8页)

作 FG ? BC ,垂足为 G,则 FG=DC=1。 连结 SG,则 SG ? BC , 又 BC ? FG, SG ? FG ? G , 故 BC ? 平面 SFG,平面 SBC ? 平面 SFG。 作 FH ? SG ,H 为垂足,则 FH ? 平面 SBC。



x ? x2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 1 1 1 2 ? a( 1 ) ) ? f( 1 ) ? ( ? ax12 ? ? ax2 2 ) ? ( 2 x1 x2 x1 ? x2 2 2 2

?

[2 ? a ? x1 ? x2 ( x1 ? x2 )] ( x1 ? x2 ) 2 ( x ? x2 ) 2 2 ?a? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) 2 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) 4

? x1 、 x2 ? (0,1) 且 x1 ? x2 ,
??????????10 分 即a ?

? (x ? x )
1 2

2

? 0 , 4 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) ? 0

SF ? FG FH ? ? SG

21 ,即 F 到平面 SBC 的距离为 7 7

3

要使上式大于零,必须 2 ? a ? x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) ? 0 在 x1 、 x2 ? (0,1) 上恒成立,

由于 ED//BC,所以 ED//平面 SBC,E 到平面 SBC 的距离 d 也有 设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ? , 则 sin ? ?

21 7

2 , x1 ? x2 ( x1 ? x2 )

? a ? 1,即实数 a 的取值范围为 (??,1] ?????12 分

d 21 。 ? EB 7
2

?????????????12 分

22. 解: (1) y ? log 1 x (或其它底在(0,1)上的对数函数) 。????2 分 (2)函数 f ( x) ? x ?

1 在区间 (0,??) 上具有性质 L。????3 分 x

证明:任取 x1 、 x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 则

x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 1 1 1 2 ? ) ? f( 1 ) ? ( x1 ? ? x2 ? ) ? ( 1 2 x1 x2 2 x1 ? x2 2 2
( x ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) 2 1 x1 ? x2 2 ? ? ? 1 ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) 2 x1 ? x2 ( x1 ? x2 )

?

? x1 、 x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 ,


? (x ? x )
1 2

2

? 0 , 2 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) ? 0
2 1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) >0, 2 2

? f (x ) ? f (x ) ? f ( x 2
1

? x2 ) 2

所以函数 f ( x) ? x ?

1 在区间 (0,??) 上具有性质 L。?????7 分 x

(3)任取 x1 、 x2 ? (0,1) ,且 x1 ? x2

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