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高三数学一轮复习211变化率与导数、导数的运算课件(理)新人教A_图文

第十一节 变化率与导数、导数的运算 1.导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过 程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及 其内涵. (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数的定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=x3,y= 的导数. (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简 ,y= 单函数的导数,能求简单的复合函数〔仅限于形如 f(ax+b)〕的导数. 1 (3)x 会使用导数公式表. x 1.平均变化率 Δf f(x2)-f(x1) 函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 = . Δx x2-x1 2.导数的概念 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 f(x0+Δx)-f(x0) Δf lim = lim ,我们称它为函数 y=f(x)在 x= Δx Δx→0 Δx→0 Δx x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0 即 f′(x0)= f(x0+Δx)-f(x0) lim . Δx Δx→0 3.导数的几何意义 函数 f(x)在 x=x0 处的导数就是切线的斜率 k,即 k= f(x0+Δx)-f(x0) lim =f′(x0). Δx Δx→0 4.导函数(导数) 当 x 变化时,f′(x)便是 x 的一个函数,我们称它为 f(x)的导 函数(简称导数),y=f(x)的导函数有时也记作 y′,即 f′(x)=y′ f(x+Δx)-f(x) = lim . Δx Δx→0 5.几种常见函数的导数 (1)c′=0(c 为常数),(xn)′=nxn 1(n∈Z) - (2)(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx 1 1 (3)(lnx)′= ,(logax)′= logae x x (4)(ex)′=ex,(ax)′=axlna 6.函数的和、差、积、商的导数 (u± v)′=u′± v′,(uv)′=u′v+uv′ ?u? u′v-uv′ ? ?′= ,(cu)′=cu′(c 为常数). 2 v v ? ? 7.复合函数的导数 设函数u=φ(x)在点x处有导数ux′=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对应 点u处有导数yu′=f′(u),则复合函数y=f[φ(x)]在点x处有导数,且 yx′=yu′·ux或 ′ f′[φ(x)]=f′(u)·φ′(x) . 1.f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a 的值等于( A. 19 3 B. 16 3 ) 13 C. 3 2 10 D. 3 10 解析:f′(x)=3ax +6x,f′(-1)=3a-6=4,a= . 3 答案:D π 2.设正弦函数 y=sinx 在 x=0 和 x= 附近的平均变化率为 2 k1,k2,则 k1,k2 的大小关系为( A.k1>k2 C.k1=k2 ) B.k1<k2 D.不确定 解析:∵y=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx, π k1=cos0=1,k2=cos =0,∴k1>k2. 2 答案:A 3.函数y=xcosx-sinx的导数为( A.xsinx C.xcosx ) B.-xsinx D.-xcosx 解析: y′ = (xcosx)′ - (sinx)′ = x′cosx + x(cosx)′ - cosx = cosx - xsinx-cosx=-xsinx. 答案:B 4.已知一个物体的运动方程是s=1-t+t2,其中s的单位是米,t 的单位是秒,那么该物体在3秒末的瞬间速度是________. 解析:s′=-1+2t,∴s′|t=3=-1+6=5. 答案:5米/秒 5 .设 f0(x) = sinx , f1(x) = f0′(x) , f2(x) = f1′(x) ,…, fn + 1(x) = fn′(x) , n∈N,则f2008(x)=__________. 解析:f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx, f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx ∴fn(x)是以4为周期的周期函数,2008被4整除, ∴f2008(x)=f0(x)=sinx 答案:sinx 热点之一 利用导数的定义求函数的导数 根据导数的定义求函数 y=f(x)在点 x0 处导数的方法: (1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f(x0+Δx)-f(x0) (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)得导数 f′(x0)=Δx lim .简记作:一差、二比、三极限. →0 Δx [例 1] 用定义法求下列函数的导数. 4 (1)y=x ;(2)y= 2. x 2 [课堂记录] Δy f(x+Δx)-f(x) (1)因为 = Δx Δx (x+Δx)2-x2 x2+2x· Δx+Δx2-x2 = = =2x+Δx, Δx Δx Δy 所以 y′= lim = lim (2x+Δx)=2x. Δx Δx→0 Δx→0 4Δx(2x+Δx) 4 4 (2)Δy= - 2=- 2 , (x+Δx)2 x x (x+Δx)2 2x+Δx Δy =-4·2 , Δx x (x+Δx)2 Δy ∴ lim = lim Δx Δx→0 Δx→0 ? 2x+Δx ? 8 ? ? 2 2?=- 3. ?-4· x x ( x + Δx ) ? ? 1 即时训练 用导数的定义求函数 y= 在 x=1 处的导数. x 1 解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= -1 1+Δx 1- 1+Δx 1-1-Δx = = 1+Δx (1+ 1+Δx) 1+Δx -Δx = , (1+ 1+Δx) 1+Δx Δy 1 ∴ =- . Δx (1+ 1+Δx) 1+Δx Δy 1 ∴f′(1)= lim =- .

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