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2018版高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案

2.4.1

平面向量数量积的物理背景及其含义

1.平面向量的数量积.(重点) 2.平面向量的数量积的几何意义.(难点) 3.向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)

[基础?初探] 教材整理 1 向量数量积的定义及性质 阅读教材 P103~P104“例 1”以上内容,完成下列问题. 1.向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ ,我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数 量积(或内积),记作 a?b,即 a?b=|a||b|cos θ . 规定零向量与任一向量的数量积为 0. 2.向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量,θ 为 a 与 b 的夹角. (1)a⊥b?a?b=0. (2)当 a 与 b 同向时,a?b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时,a?b=-|a||b|. (3)a?a=|a| 或|a|= a?a= a .
2 2

a?b (4)cos θ = . |a||b|
(5)|a?b|≤|a||b|.

判断(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.( (2)两个向量的数量积是向量.( ) ) )

(3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ ,则 cos θ >0?a?b>0.(

【解析】 (1)?.因向量的夹角包括 180°,直线的倾斜角不包括 180°. (2)?.因两个向量的数量积没有方向,不是向量. (3)√.由数量积的定义可知.
1

【答案】 (1)?

(2)? (3)√

教材整理 2 向量的数量积的几何意义及运算律 阅读教材 P104 例 1 以下至 P105 例 2 以上内容,完成下列问题. 1.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 → → 如图 2?4?1 所示:OA=a,OB=b,过 B 作 BB1 垂直于直线 OA,垂足为 B1,则 OB1=|b|cos θ . |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影,|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影.

图 2?4?1 (2)数量积的几何意义:

a?b 的几何意义是数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的
乘积. 2.向量数量积的运算律 (1)a?b=b?a(交换律). (2)(λ a)?b=λ (a?b)=a?(λ b)(结合律). (3)(a+b)?c=a?c+b?c(分配律).

π 已知|a|=3,向量 a 与 b 的夹角为 ,则 a 在 b 方向上的投影为________. 3 【解析】 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ =3?cos π 3 = . 3 2

【答案】

3 2

[小组合作型]

与向量数量积有关的概念 (1)以下四种说法中正确的是________. ①如果 a?b=0,则 a=0 或 b=0;
2

②如果向量 a 与 b 满足 a?b<0,则 a 与 b 所成的角为钝角; → → ③△ABC 中,如果AB?BC=0,那么△ABC 为直角三角形; ④如果向量 a 与 b 是两个单位向量,则 a =b . (2)已知|a|=3,|b|=5,且 a?b=-12,则 a 在 b 方向上的投影为________,b 在 a 方向上的投影为________. → → (3)已知等腰△ABC 的底边 BC 长为 4,则BA?BC=________. 【精彩点拨】 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答. 【自主解答】 (1)由数量积的定义知 a?b=|a||b|cos θ (θ 为向量 a,b 的夹角). ①若 a?b=0,则 θ =90°或 a=0 或 b=0,故①错; ②若 a?b<0,则 θ 为钝角或 θ =180°,故②错; → → ③由AB?BC=0 知 B=90°,故△ABC 为直角三角形,故③正确; ④由 a =|a| =1,b =|b| =1,故④正确. (2)设 a 与 b 的夹角为 θ ,则有
2 2 2 2 2 2

a?b=|a|?|b|cos θ =-12,
所以向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|?cos θ = 方向上的投影为|b|?cos θ =

a?b -12 12 = =- ;向量 b 在向量 a |b| 5 5

a?b -12 = =-4. |a| 3

(3)如图,过 A 作 AD⊥BC,垂足为 D.

因为 AB=AC, 1 所以 BD= BC=2, 2 → → 于是|BA|cos∠ABC=|BD| 1 → 1 = |BC|= ?4=2. 2 2 → → → → 所以BA?BC=|BA||BC|cos∠ABC=4?2=8. 【答案】 (1)③④ (2)- 12 5 -4 (3)8

1.在书写数量积时,a 与 b 之间用实心圆点“?”连接,而不能用“?”连接,更不能 省略不写.

3

2.求平面向量数量积的方法: (1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式 a?b=|a||b|cos θ . (2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影, 可利用数量积的几何意义求 a?b.

[再练一题] 1.给出下列判断:①若 a +b =0,则 a=b=0;②已知 a,b,c 是三个非零 向量,若 a+b=0,则|a?c|=|b?c|;③a,b 共线?a?b=|a||b|;④ |a||b|<a?b;⑤a?a?a=|a| ;⑥a +b ≥2a?b;⑦向量 a,b 满足:a?b>0, 则 a 与 b 的夹角为锐角;⑧若 a,b 的夹角为 θ ,则|b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上 的投影长. 其中正确的是________. 【解析】 由于 a ≥0,b ≥0,所以,若 a +b =0,则 a=b=0,故①正确; 若 a+b=0,则 a=-b,又 a,b,c 是三个非零向量,所以 a?c=-b?c,所以|a?c| =|b?c|,②正确;a,b 共线?a?b=±|a||b|,所以③不正确; 对于④,应有|a||b|≥a?b; 对于⑤,应该是 a?a?a=|a| a; ⑥a +b ≥2|a||b|≥2a?b,故正确; 当 a 与 b 的夹角为 0 时,也有 a?b>0,因此⑦错; |b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影的数量,而非投影长,故⑧错.综上可知① ②⑥正确. 【答案】 ①②⑥
2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2

数量积的基本运算 已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a 与 b 的夹角为 135°时,分 别求 a 与 b 的数量积. 【导学号:00680054】 【精彩点拨】 (1)当 a∥b 时,a 与 b 夹角可能为 0°或 180°.(2)当 a⊥b 时,a 与 b 夹角为 90°.(3)若 a 与 b 夹角及模已知时可利用 a?b=|a|?|b|?cos θ (θ 为 a,b 夹角) 求值. 【自主解答】 设向量 a 与 b 的夹角为 θ , (1)a∥b 时,有两种情况:

①若 a 和 b 同向,则 θ =0°,a?b=|a||b|=20;
②若 a 与 b 反向,则 θ =180°,a?b=-|a||b|=-20. (2)当 a⊥b 时,θ =90°, ∴a?b=0.
4

(3)当 a 与 b 夹角为 135°时,

a?b=|a||b|cos 135°=-10 2.

1.求平面向量数量积的步骤是: ①求 a 与 b 的夹角 θ , θ ∈[0, π ]; ②分别求|a|和|b|;

③求数量积,即 a?b=|a||b|cos θ .
2.非零向量 a 与 b 共线的条件是 a?b=±|a||b|.

[再练一题] 2.已知正三角形 ABC 的边长为 1,求:

图 2?4?2 → → → → (1)AB?AC;(2)AB?BC; → → (3)BC?AC. → → 【解】 (1)AB与AC的夹角为 60°, 1 1 → → → → ∴AB?AC=|AB||AC|cos 60°=1?1? = . 2 2 → → (2)AB与BC的夹角为 120°, 1 → → → → ? 1? ∴AB?BC=|AB||BC|cos 120°=1?1??- ?=- . 2 ? 2? → → (3)BC与AC的夹角为 60°, 1 1 → → → → ∴BC?AC=|BC||AC|cos 60°=1?1? = . 2 2

与向量模有关的问题 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=4,|b|=2,求: (1)|a+b|; (2)|(a+b)?(a-2b)|. 【导学号:70512035】 【精彩点拨】 利用 a?a=a 或|a|= a 求解. 【自主解答】 由已知 a?b=|a||b|cos θ =4?2?cos 120°=-4,a =|a| =16,
2 2 2 2

b2=|b|2=4.

5

(1)∵|a+b| =(a+b) =a +2a?b+b =16+2?(-4)+4=12,∴|a+b|=2 3. (2)∵(a+b)?(a-2b)=a -a?b-2b =16-(-4)-2?4=12,∴|(a+b)?(a-2b)| =12.
2 2

2

2

2

2

1.此类求模问题一般转化为求模平方,与数量积联系. 2.利用 a?a=a =|a| 或|a|= a ,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
2 2 2

[再练一题] 3.题干条件不变,求|a-b|. 【解】 因为|a|=4,|b|=2,且 a 与 b 的夹角 θ =120°. 所以|a-b|= ?a-b? = a -2a?b+b = 4 -2?4?2?cos 120°+2 =2 7, 所以|a-b|=2 7. [探究共研型]
2 2

2

2

2

平面向量数量积的性质 探究 1 设 a 与 b 都是非零向量,若 a⊥b,则 a?b 等于多少?反之成立吗? 【提示】 a⊥b?a?b=0. 探究 2 当 a 与 b 同向时,a?b 等于什么?当 a 与 b 反向时,a?b 等于什么?特别地,

a?a 等于什么?
【提示】 当 a 与 b 同向时,a?b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b=-|a||b|;a?a =a =|a| 或|a|= a?a. 探究 3 |a?b|与|a||b|的大小关系如何?为什么?对于向量 a,b,如何求它们的夹角 θ ? 【提示】 |a?b|≤|a||b|,设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 a?b=|a||b|cos θ . 两边取绝对值得: |a?b|=|a||b||cos θ |≤|a||b|. 当且仅当|cos θ |=1, 即 cos θ =±1,θ =0 或 π 时,取“=”, 所以|a?b|≤|a||b|.
2 2

a?b cos θ = . |a||b|
已知|a|=3,|b|=2,向量 a,b 的夹角为 60°,c=3a+5b,d=ma-3b,求

6

当 m 为何值时,c 与 d 垂直? 【精彩点拨】 由条件计算 a?b,当 c⊥d 时,c?d=0,列方程求解 m. 【自主解答】 由已知得 a?b=3?2?cos 60°=3. 由 c⊥d,知 c?d=0, 即 c?d=(3a+5b)?(ma-3b)=3ma +(5m-9)a?b-15b =27m+3(5m-9)-60=42m-87=0, 29 29 ∴m= ,即 m= 时,c 与 d 垂直. 14 14
2 2

1.已知非零向量 a,b,若 a⊥b,则 a?b=0,反之也成立. 2.设 a 与 b 夹角为 θ ,利用公式 cos θ = 的取值范围 θ ∈[0,π ].

a?b 可求夹角 θ ,求解时注意向量夹角 θ |a||b|

[再练一题] 4.若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为________. 【解析】 设 a 与 b 夹角为 θ ,因为|a|=3|b|, 所以|a| =9|b| . 又|a|=|a+2b|,所以|a| =|a| +4|b| +4a?b =|a| +4|b| +4|a|?|b|?cos θ =13|b| +12|b| cos θ , 1 2 2 2 即 9|b| =13|b| +12|b| cos θ ,故有 cos θ =- . 3 1 【答案】 - 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2

→ → 1.在△ABC 中,BC=5,AC=8,∠C=60°,则BC?CA=( A.20 C.20 3 B.-20 D.-20 3

)

→ → → → ? 1? 【解析】 BC?CA=|BC||CA|cos 120°=5?8??- ?=-20. ? 2? 【答案】 B 2.设 e1,e2 是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是( )
7

A.e1?e2=1 C.|e1?e2|=1

B.e1?e2=-1 D.|e1?e2|<1

【解析】 e1?e2=|e1||e2|cos〈e1,e2〉=±1. 【答案】 C → → 3.在△ABC 中,AB=a,BC=b,且 b?a=0,则△ABC 是( A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.无法确定 )

【解析】 在△ABC 中,因为 b?a=0,所以 b⊥a,故△ABC 为直角三角形. 【答案】 C 4.已知|a|=4,e 为单位向量,a 在 e 方向上的投影为-2,则 a 与 e 的夹角为________. 【导学号:00680055】 【解析】 因为 a 在 e 方向上的投影为-2, 即|a|cos〈a,e〉=-2, -2 1 所以 cos〈a,e〉= =- , 〈a,e〉=120°. |a| 2 【答案】 120° 5.已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 60°,求(a+2b)?(a-3b). 【解】 (a+2b)?(a-3b) =a?a-a?b-6b?b =|a| -a?b-6|b|
2 2 2

=|a| -|a|?|b|cos θ -6|b| =6 -6?4?cos 60°-6?4 =-72.
2 2

2

8


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