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函数基本概念与性质备考指南_图文

考 试 内容 映 射 函 数 函 数 的 单 调 性 奇偶 性
, ,

高 考 试 题 中对 函 数 内 容 的 考 查 主 要 集 中在 函




反 函 数 互 为 反 函 数 的 函 数 图 象 间 的关 系
, ,

数 的概 念 性 质 函 数 图 象 的 变 换 等方 面 并 注 意
、 、





指数 概 念 的扩 充 有理 指 数幂 的运 算性 质 指


与方 程 不 等式 数 列 等 内容 相 联 系 进 行 综 合 考





数函数

查 在 考查 中突 出 函 数 的思 想 数 形 结 合 的思 想






对 数 对 数 的运 算性 质 对 数 函数
, ,

特 别需 注 意 的是 在 复 习 中必 须 加 强 对 二 次 函 数 的


函 数 的应 用

再学 习 再认识 从 新 的角度研 究 二 次 函数 加深








考试 要 求



对 二 次 函数 的理 解 和 掌握 方程 可 看作 函数值 为


( 1 ) 了 解 映 射 的 概 念 理 解 函 数 的概 念




零 时 的 函数 的解 析 式 而 不 等式 则 是 函 数 的 图 象


( 2 ) 了解

函数 单调 性 奇偶性 的 概 念 掌 握 判




位于

z

轴上 方 的情 形 在解 决方 程 不 等式 的有关








些 简单 函 数 的单调性 奇偶性 的方 法




问题 时 可 以 从 函 数 的 角 度 去 思 考 分 析 和 解决





( 3 ) 了解 反 函 数 的 概 念 及 互 为 反 函 数 的 函 数

在解 决 函数 的有关 问题 时 可 以 借助 方 程 不 等式



图象 间 的关 系 会 求




些 简 单 函数 的反 函数



的有关 知识 去理 解 和 解 决 这 是 解 决 这 类 问 题 的



( 4 ) 理 解 分数 指数幂 的概 念 ,掌握 有 理 指 数 幂

个重 要 策略

的运 算性 质 掌握 指数 函 数 的概念 图象 和 性 质





高考数学 活数 外 有 关 函数 的命题 趋 势呈 现 以 下 特点 全 方 位


擘 司






(5)理

解对数 的概 念 掌握 对 数 的 运 算性 质






多层次 巧 综合 变角度 背景新等
、 、 、

掌 握 对 数 函 数 的概 念 图 象 和 性 质


潮獭燃
试 题 大致 分为 四 类
(定 义域
、 、


( 6 ) 能 够 运 用 函 数 的性 质 指 数 函 数 和 对 数 函





是考查 函数基 础知识


数 的性 质 解 决 某 些 简 单 的 实 际 问题



值域 单调 性 奇偶 性 图象及 反 函 数 等 )


灏麟
函数 思 想贯 穿 于 高 中数学 的始终 函 数 是 高


和 基 本方 法 的基 础 题



是 与其 他 数 学 问 题 ( 诸 如 方 程 特 别 是 函 数


中数 学 的 重 要 内 容 也 是 历 年 高 考 所 占 比 例 最 大


方 程 不 等 式 数 列 向量 解 析 几 何 等 ) 的 综 合 题
、 、







部 分 内容 对 函 数 内 容 的 考 查




般都高于大


难度大 能力要 求较 高 灵 活 性 较强 多 以 解 答 题
, , ,

纲 的要 求 每年都 出现 在 选 择 填 空 解 答 三 种 题



的形 式 出现




型 中 《 试 大 纲 》 函 数 提 出 了 较 高要 求 因 而 函 考 对




是 与应 用 题 结 合 考 查 建 立 函 数 模 型 及 阅
, ,

数 是 高考 命 题 的 重 点 和 热 点 高 考 将 以 这 些 内 容


读理 解 能力 多 以 解答 题 的形 式 出现



为 背 景来 命 制 解 答 题



对 这 些 重 点 内容 必 须 重 点

四是 与高等数 学 知 识 ( 函 数 连 续 极 限 导 数
、 、

l





剐 舢



5

餐鲢堂塞 噩
… 一

潦 数 讣学




离 鸯数学

等 ) 的结 合




般 以 小题 形 式 出现 有 时以 解 答题
, ,

【 析】 可 以 把 问题 分 为 三 大 步 根 据 映射 解


形 式 出 现 这 是 函 数 命 题 的新 动 向 其 所 占 比 重 将
逐 年 加 大 应 引 起 足 够 的重 视 最 近 几 年 在 高 考 试



的定义 可 得







z





1









1 +

,(



1) + (



1)

_( 厂



1)

卷的后 三 题 中经 常 出 现 函 数 数 列 和 不 等 式 的综


1



所 以 ,(
z


1)


的对应共有 5 个




合题




函数 的基 本 概念

0




0 +

,( O ) +

0

f ( 0 ) 所 以 ,( 0 ) 的


知识 点方 面 要 求 掌握
1 2

. .

对 应共有 2 个




z



1






1+

,( 1 ) + 厂( 1 ) 所 以 ,( 1 ) 的 对






函 数 的性 质 主 要 指 的 是 函 数 的 奇 偶 性 单 调


应共有

5




性 对称性 周期 性 若 能 利 用 函 数 的 图 象 则 性 质



所 以 由 分 步 计 数 原 理 得 :这 样 的 映 射 共 有
5 ×2 × 5


更 直 观 明 了 这 里 应 注 意 对 函 数定 义 域 的 讨论




50 个



3



应 用 函数 的性 质 解题 ( 如单 调性 求 最 值 应




【 评】 集合 A 到集合 点

B

的映 射 问题 要 牢


用 周期性 对 称性求 解 析式 等)
4



牢 地 把 握 ① 映 射 的 定 义 :集 合 素 在集合


M

中的每



个元

函数的 图象 与性 质 的 相 互 联 系 与相 互 转


N


中都 有 惟





的 象 ;② 从 集 合 M 到 集


化 函 数与方程 函 数 与不 等式 函数 与导 数 函 数





N

的映射 共有
【 31 例



与数列 等 知 识 的 交 会 点 与 综 合运 用 这 是 训 练 思


(2005
y
=

年 高考 上 海 卷 ) 对 定 义 域 是


维 成 长 的 重 中之 重



D

,、

噬 的 函数

( ,z )

y



g (z

) ,规 定 ∈D
z



( r. z ) g (z ) 厂





z

s



z

∈D




本 章 的 考 查 重 点 集 中在 以 下 个 方 面




函数

,( z ) l



< ,(

z

)





z

∈D, 且

链D





映 射 和 函数 的定 义

【 (z ) 当 g


z

硭D , 且

z

∈Dg


对 映 射 和 函 数 的定 义 及 表 示 方 法 全 面 系 统 的
理 解 是解 决 函数 问题 的基 础 和 关键 也 是 高 考 考


( 1 ) 若 函 数 ,( z )



i

_ l



g (

z

)

z




写出函



查的



个重要方面



^ (z )

的解 析式





【 1】 若 函数 例
1≤z

y



_ (z ) 是 定义域 为 A 厂




{z l

( 2 ) 求 问题 ( 1 ) (3)

中函数
_ (z + 厂


^ (z )

的值域
a


a

≤7

,z

∈N )



值域

1


B

{0



1

)的 函数 则这 样 的




g

(z )


=

)



其中
R
4
x

是常数 且




函数共有

[o


,“

] 请设 计


个定义 域 为
^ (z )


的函数


y



_ (z )及 ,


【 析】 方法 解
B
1



从 映 射 的 定 义 可 得 _ :A 厂





a

的值 使得


c o s

并予 以证 明




可 以构成2





12 8

个 而 保证 函数 的值 域 为 {0
0


【 析 】 ( 1 ) 由新 定 义 可 知 解




2

} ’ 当 集 合 A 中每 个 元 素 的 象 都 是 则




1

时 这




) =

j刍
11










D u n ’ 叫 +



两 种情 况不 符合题 意 所 以 有


2





2


126









1. 矗( z )




方法 域




2




根 据 映射 的定 义 可 得 使 得 函 数 的 值


0

1


(2 )

B



{0

1

) 则 集合 A 中 的


7

个元 素 中的

6

个至

当 z ≠1 时
> l < l




i . _

z



1+
-

j
-

与+
2

2

个与


0

+ + + 对 应 即有 C { + C ; C; C ; C } + C;





x




^ ( -z ) > 4 1 ,( z ) ≤ 4 l



c 其 中等 号 当 :

时成 立



126 个

x





其 中等 号 当 x
。。


=

O

时成 立




【 评 】 映射 问题 与 函 数 排 列 组 合 的综 合 点






函数

^ (z )

的 值域 (




0

] U {1 ) U [4 +
,a


。。

)



题 在小题 中出现 得 比较 多 它 既 考 查 了 不 同概 念


(3)

令 ,( z )
g

s

in 2 x +

c o s

2x

÷



之 间 的联 系 和 区 别 又 考 查 了 观 察 能 力 和 分 析 能


力 是




类 考 查 功 能 比较 强 的 题 型 所 以 必 须 重 视
. .


c 。s

(

z

)



f (z +
C0 8

d

)



s

in 2

(

z

+

{ )+

知识 网络 的构 建

【 2 】 设 集合 M 例
5




{



1



0



1

) N




{2



3
z



4

2



(

z

+

詈)
o s

=

2 3 [:
-

8

in 2 z



6

: ) 映射 厂 M





N



使对任何


z

∈M



都有

+
c o s

于是 h (z )
2x ) (c 2x




f (z )
in 2 x )


厂( z +
c o s

a

)

=

( s in 2 x +

,( z ) +

x

f (z ) 是奇数 这样 的映射 ,的个 数有


s

4x





【 评 】 本 题 先 给 出两 个 具 体 函 数 利 用 新 点


6

总 《 第3

期 嬲 剥)
18











i

— ● 1名 学 一  ●   枝 寒
』   l l   ?   k   “ ,   d   }   E  

定 义 , 考 查 新 函 数 的性 质 . 三 问 是 开 放 性 的 , 来 第  

> z 时 , 峰 区间 的长 度 为 z . 。 含   由条 件 
z 1  

抓住两 点 : 一 , ( ) 定义 域是 一 切 实数 , 第 hz 的 则 

)0 , z ≥ 0 3 . 此 , 了将 含 峰 区  .2 得   . 4 因 为
缩 短 到 0 3 , 要 取  1 0 3 , =  .4只 = . 4 2
0. 2. 3  

,  ) g z 的定 义域 也 必 为 一 切 实 数 . 二 , ( 与 () 第 其  本 质 是 将 csx分 解 成 两个 因式 的 乘 积. o4   【 4 设 厂 z 是 定 义 在 [ ,] 的 函数 , 例 】 () O1上 若  存在 z  ∈ ( ,) 使 _ z 在 E , ] 单 调 递 增 , O 1 , 厂 ) o 。 上 (  
在  ,] 单 调递 减 , 1上 则称 ,( ) [ ,] 的单  z 为 o 1上
峰 函数 , 为 峰点 , 含 峰 点 的 区 间 为含 峰 区 间.  ‘ 包  

间 
0  .

} 本 题 是 一 个 新 定 义 问题 , 面 中 含  】 题
有  等 

慨 念 . :单 峰 ” “ 点 ” “ 峰 区 问 ” 如 “ 、峰 、含  
: 分考 查 了学 生 的 自学 能 力 及创 新 能 力 .  

: 函数 的三 要 素 问题 
改 的 定 义 域 

对 任 意 的 [ .] 的单 峰 函 数 , z , 面 研  O 1上 ( )下
究 缩 短 其 含 峰 区 间长 度 的 方法 .   ( 证 明 : 任 意 的 z , 2 ( , )E < z , I) 对 l z ∈ O 1 ," L l 2   域 

己用 解 析 式  =, z 表 示 的 函 数 的 定 义  () 以下 几 种 情 况 :  

若 f x ) f x )N ( , ) ( 1≥ ( 2 , O 2 为含 蜂 区 间 ; f x ) 若 (1  
≤ f x )则 ( ,) ( 2 ,  l 1 为含 峰 区 间 ;  
实 

I _ ) 整 式 , 么 函 数 的 定 义 域 是  果 厂 是 ( 那 『 , z 是 分 式 , 么 函数 的 定 义 域 是  果 () 那 使  亭于 零 的 实数 的集 合 ;  
『 _ z 为 二 次 根 式 , 么 函 数 的 定 义  果 厂 ) ( 那

(I 对 给 定 的 rO r 5 , 明 : 在  。 I) (< < )证 存 ,   ∈ ( ,)满 足 z 一  ≥ 2 , 得 由 ( 所 确 定 的 O1 , 2 r使 I)  
含 峰 区 间 的 长度 不 大 于 0 s r .+ ;   ( ) 取 3 , 2 ( , ) l . , ( 可  Ⅲ 选 2 z ∈ 0 1 , < 7 由 I) l 2 2 确 定 含 峰 区 间为 ( , : 或 (   1 . 所 得 的 含 峰  Oo ) z ,)在 T 区 间 内选取  , . 与 z 由 7 C 。  或  。 与 。类 似 地 可 
集 合;  

域 是使 根 号 内 的 式 子 大 于 或 等 于 0的 实 数 的 
() 4 如果 l ) 由几 个 部分 的数 学 式 子构 成  厂 是 (

确 定 一 个新 的含 峰 区 间. 第 一 次 确 定 的 含 峰 区 在   间为 ( ,z 的情 况 下 , 确 定 z ,z 。的 值 , Oz ) 试  z , 满  足 两 两 之差 的绝 对 值 不 小 于 0 0 , 使 得 新 的 含  . 2且 峰 区间 的 长度 缩 短 到 0 3 ( 间 长度 等 于 区间 的 .4 区   右 端 点 与左 端 点 之 差 ) .  
【 析 】 ( 当 f x ) _ 5 ) , 设  解 I) ( ≥ 厂 1 时 假 (7 z
硭 (  z , O, ) 则  。 a < T z。  < .由 题 意 得 f( )   > 

的 , 么 函数 的定 义 域 是 使 各 部 分 式 子 都 有 意 义  那 的 实数 集 合 .   函数 的 定 义域 是 研 究 函 数诸 多 问 题 中 的一 个  最基 本 、 重 要 的 问题 . 数表 达 式 本 身包 含 着 它  最 函 的定 义 域 , 复合 函数 的定 义 域 要 弄 清 复合 关 系 , 应  用 问题 的定 义 域 由 实 际 问 题 确 定 . 外 要 特 别 注  另
意某 些 问题 中 的 隐蔽 条 件 .   有些 函数 在它 的定 义 域 中 , 于 自变 量  的不  对

f x ) , z )这 与 f x ) f x ) 盾 . 以 3 ( z> (  , (  ≥ (  矛 所 2  

∈ ( ,  , ( , 。 是 含 峰 区 间. 理 可 证 :   oz ) 即 0 z ) 同 当
f(   ≤ f x ) ,  , ) 含 峰 区 间. x) (z时 ( 1是  

同取值 范 围, 对应 法则 不同 , 样 的函 数通 常 称为 分  这
段 函数 . 分段 函数 是一个 函数 , 不是几 个 函数 . 而  

(i 当 f x ) f x ) , 峰 区 间 的 长 度 为  t) (  ≥ ( 。 时 含 = ; ,   ) 厂(   时 , 峰 区 间 的 长 度 为   z 当 ( ≤ z) 含
f , 0. + r   ≤ r 5  

() I确定 函数 ( 等 函数 ) 义域 的 大致 原 则  初 定

络 氦 拜  《高 考 数 学  孪 
( ,  ) ∈N _( ) o;  , z ≥   厂

( ) 数 的 原 则 : 次 根 号 下 的 值 应 是 非 负  1实 偶
的 , 如  一  形

z —   由题意得 {。 、   =l z ;  

l 一 Xl O   1 ≤ .5十 r  

, 于是 1   +z
1  
J …

() 2 函数 值 存 在 的 原 则 : 理 分 式 函 数 Y 有 一  的分 母 ,( ) 0 对 数 函 数 y— l d  ) z≠ ; 0 f(   g
 

—z ≤ 1 2 , z2 l + r即 一 1 2 . z 一 z ≥ 2 , ≤ r又 2 1 r 所 

以 z 一z 一2 , 么 z —0 5 , 2 。 +r 2 l r那 1 . 一r z =0 5 .  

( > 0 a 1 应 有 , z > 0  口 ,≠ ) () ;

显 然 , 在  ,z使 得 所 确 定 的 含 峰 区 间 的  存 z
长 度 不 大于 0 5 . . +r   (l 对 先 选 择 的 - , 2 z < z , ( 可 知  1) I z z ,   2 由 Ⅱ)  


( ) 限个 初 等 函 数 的 四则 运 算 而 合 成 的 函  3有 数 的定 义 域是 各 个 初 等 函数 的 定 义域 的交 集 ;   ( ) 合 函数 j f g x ] 4复 , E ( ) 的定 义 域 是 “ 层  : 内
函数 ” ( )的定 义域 与 满 足 “ 层 函 数” ( ) — gz 外 _。(   厂 gz ) ( ) 的定 义 域 - z的集 合 的 交集 .   (I 求 函数 定 义域 的 四类 主 要 问题  I)

+ z = 1  2 .

在第 一 次 确 定 的 含 峰 区 间 为 ( ,   的 情 况  0z )
f 。= 1 z,   r 一  

下 ,3的取值应满足 z + l   f z 。 =z , 

.  

l   一翱

7  

_

名枝 学黎
?  

I — ■ ■●  
h   L  i f   u  t   *    【

离 考 数 警 

( ) 已知 函数 解 析 式 比较 复 杂 , 1若 求  通 常根 据 各 种 条 件列 不 等 式 组 求 解 ;  

时 
. 

( )   一 厂 z 的 定 义 域 , 复 合  2由 () 求 f gx ] i ( ) 的定 义 域 问题 , 际 上 是 已 知 斗 实  
?



÷  
一  

。1一   +≥ 丢

3 ≤÷ 一.  

g z 的 值域 , 自变 量 z的 取值 范 围 问j () 求  



‘间 , 1 中 为 。n÷  区 n ] 点  一+ , +的
,  
_

() 含 字 母 参 数 的 一切 允 许 值 分  3对
() 是实 际 问 题 除 应 考 虑 解 析 式  4若 义 外 , 应 使 实 际 问题 有 意 义 . 还   ( 中学 数 学 中涉 及 的求 初 等 函 数  Ⅲ)
题 , 要 有 以 下 五种 : 主  
() 1  — P(   ∈ R;  ),  

定 

(当+1 一1 一≤≤ ÷ , 1 a ≥  , 1n一 时 ) 即  
E ( ) m =  fx ] x
?

问 
. .

( n+ 1 + ( + 1 一 1 ) n )







i  。 .1  
曩 l | j      

6  
n 一 一

8 +2 一  n l

(一 ’ 。 2器 Q ; )   (    
( ) 一  3Y
R, n∈ N’;  

÷n一 不 题 舍   ( } 合 意  ;  一 _

,  

,  ) o, =  P( ≥  

∈ 

( ) 口 1< 一  即 一 3≤ n 一 l时 2 当 +  1   <

[() 一 () 而 , _ ,z   ,a一 1   

. o

a + n — 一而 2 一   1 1



l口 +玉 n 5 0: 巷 2 巷 一 - :" = 

中 

n一 ( { 合 意 去. 一 T。 不 题 舍 ) 5一  
综 , 一 或 一 T  上a } n一5 一 .

等 

于 分 数 线 的个 数 , 分数 线 下 的部 分 不 等 于 零. 即  
() 2 由对 数 函 数 复 合 的 函数 定 义 域 限 制 条 件  的个 数 等 于对 数 符 号 的 个 数 , 对 数 的 真 数 大 于  即 零 ( , z =lgz 的  次迭 代 函数 ) 即 ( ) o  .  

【 】 设函 () z+ 一   例s 数厂z一   z 寺.
( 若 定 义域 限制 为 [ ,]求 , z 的 值 域 ; I) O3 , ( )   ( 若 定 义 域 限 制 为 [ , + 1 时 , ( ) 值  Ⅱ) aa ] , z 的

域 [ 1 ,n值 为~ , 求 的 .   ]   [t .x ( ÷  , Mf ‘ ) z ) 1 l。(一 + 一   f


对称轴为  一一÷.  
,  

(I) .3 z≥ O 一  ‘ > ‘/ > 1

A( ) 。 y x +B(  + c  )  ) ( 一0的 形 式 , 利 用 判 别  再



f (z ) 的 值 域 为 I ( ), 3]  f 0 ,(),

即一 ,] [÷ ;   
(   [ ()m一一÷ , Ⅱ)‘,  ]i . n  
几 何 意 义 相 联 系 的 函 数类 型.  


‘  

?

?

对称轴 :一÷ ∈[ ,+1 ,   nn ]  

8《蝴一 制   第l 种l 总    3 1 删

——■一 - 名枝学幂 ■  
0   u   ‘ k     u r   a   ‘  

等式 及 推 论来 求 得 最 值 的 函 数 类 型. 如 :  b ( a一  
≥ 2 b口 6 2 口 ,+ ≥   )  

厂 z ) f( ) n— f   卉 广一 L  且  ( 1 - z ̄ \ , ]
/  
1- Xz



J \  

1   … L L

J .   L

日 

9 有 界 性法 .

适用类型: 一般 用 于三 角 函数 ,  

;  

即 利用 s x∈[ ,] CS i n 一1 1 , XE[ 1 1等 . O 一 ,-   ] 1. 词 性 法 O单 适 用类 型 : 般 能 用 于 求 复 合  一

-( 1 一,( 2  n— f  rz ) z) ,
z 1一 z2   … ’J …  

r L  — 1 L旦 
L… J 

函数 的值 域 或最 值 . 原 理 : ( 同增 异 减 )  
1 . 一 映 射 法  适 用 类 型 : 理 : 为  1一 原 因
ax   c

①的 几 何 意义 是 : ( ) 增 减 函数 图 象 上 任 意 两 


f(   ) ( z f(   ) 线 的 斜 率 都 大 于  x ) ,z , - ) 连 r

+b (
十 d

c ) 定 义 域 上  与 Y 是 一 一 对 应  ≠O 在

、 ) ; 于 零  

的 . 两个 变量 中 , 知 道 一 个 变 量 范 围 , 可 以 故 若 就  
求 另一 个 变 量 范 围.  

② ( 1 7 ) f( 1 一f( 2 ] O ,  ) z 一. E z ) C 2 x ) > ∞ ( 在  ] 是 增 函数 ; 上  

【 6 若 函数 _ z =l(  z 。的 值  例 】 厂 ) g x +2 +n ) ( 域 为 R, 实 数 4的取 值 范 围 是 ( 则  
A. 一 o 一 1   ( 。。 ) B. 1 + ∞ ) ( ,  

( 1 z ) f( 1 一 _( 2 ] 0 f( 在  z一 2I .) 厂z)< 铮 r z)
] 是 减 函数 . 上   (1 设 函 数  一 , z 在 某 个 区 间 内 可 导 , I) () 如 

) .  

( ) , , z 为增 函数; z >0 则 ( ) 如果 /( < o   ) ,
减 函数 .   函数 是 增 函 数 还 是 减 函数 , 对 定 义 域 内 某  是

C ( 。 一1 U( , o   . 一o , ) 1 +o )

D [ ,] . 一1 1  【 析】 ‘ ( ) l(   2 解 . z 一 g z + x+n ) 值 域  。    的
为 R,  
. 

个 区间 而 言 的 . 的 函数 在 一 些 区 间 上是 增 函数 , 有   而在 另 一 些 区 间上 不 是 增 函数 . 如 函 数 .    例 ) . :z ,

+2 +n z  能 取 到一 切 正 实 数.  

当 z 0 +。 ) ∈[ , 。 时是 增 函数 , z 一。 ,) 是  当 ∈( o 0 时
减 函数 .  

令  ( 一z +2  )   z十口 , 使 “  ) 取 到 一   要 ( 能 切 R 必须 △ —4   ,  , 一4 n ≥O  
即 口 ≤ 1 一 1 ≤ 1 选 D.   , ≤口 ,  
I x    ) uf

() 调 性 、 调 区间  如果 函数  =, ) 2单 单 ( 在  某 个 区 间是 增 函 数 或 减 函 数 , 么 就 说 函 数 y 那 一  , z 在 这一 区间 具 有 ( 格 的 ) 调 性 , 一 区 间  () 严 单 这 叫 做  = _ z 的单 调 区 间 . 厂 ) (  

D \/   

l/ / I  

2 函数 单 调性 的有 关命 题  . () 偶 函数 的 单调 性  1奇 关 于 原 点 对称 的 区间 上 的奇 函数 有 相 同 的单  调 性 , 函数 有 相 反 的单 词 性 ; 偶   () 合 函数 的单 词 性  2复

潦 效 盼字 司 高 考 数 学 

【 评 】 很 容 易 与定 义域 为 R 的 问题 混淆 , 点   从 而得 到 △ —4 。 O的错 误 解 法. 一4 a <   三 、 数 的 三性  函 1 函数 单 调 性 的相 关概 念  . ( ) 函数 、 函数 的 两 种定 义  1增 减

设 复 合 函 数 y f [ x) 的 定 义 域 为 B, = g( ]   D  B, g ) D 上 的 值域 为 g( . 且 ( 在 D)   ① 若 g  ) D 上 与 厂 “ ( 一g z ) g D) ( 在 ( ) “ ( )在 (  

上 有 相 同的 单 调 性 , y i ( ] D 上 单 调  则 —f g ) 在
递增 ;  

( 设 函数 , z 的 定义 域 为 I, 于 属 于 定  I) () 对 义 域 I内某 个 区 间上 的任 意 两 个 自变 量 的 值 - 、 r  。
z , z <  z 当   z时 , 如果 f x ) ,   ) 那 么 就 说  (。< (。 , - z 在 这 个 区 间 上 是 增 盾 数 ; 果 f( ) 厂 ) ( 如  , > 

② 若 g z 在 D 上 与 f( ) “ g ) 上 有 相  () “ (= ( )

反 的单调性 , =, g )在 D上 单调递减. 则  [( ] 简 
记 为: 同性 为 增 , 性 为 减. 异   ( ) 为 反 函数 的单 调 性  3互

f z )那 么 就说 - ) 这 个 区间 上是 减 函数 . (  , 厂 在 (   此 定 义 有 如 下两 种 等 价 形式 :  

互 为 反 函数 的两 个 函数 具 有 相 同 的增 减 性 ;   () 4 函数 和 、 、 、 的 单 调性  差 积 商 ① 设 F( ) ,( + g( ) 定 义 域 为 B, z一 z) z的  

①设 z z ∈ [ , ,l 2那 么  l? 2 口 胡 z ≠  .

‘ 语数外学 ̄) 0 8 7 2 0奉 月号中旬剃 
《 第3 8   总 1 期)

J~   璺鼍
;   ^   ㈩ t   f  

.一……   . . . ……
£  

臻 爨 蠢 孽   高 考 数 学  岛
[ 一 13上 为 增 函数 , [ , × 上为 减 函数 . 一n ,] 在 3 +c ) 3  
( 2)’ 口 0, .~ a一 1 0. . > ’   <  

D B, , z 与 g( 在 D 上 有 相 同 的 单 调 性 ,   且 ()  )   则 F( 在 D 上 与 f( ) g( 也 有 相 同 的 单   ) z 、 z)
调性 ;  

由 () 厂 z 在 [ , ] 为 增 函 数 , ( , J 1知 ( ) O 3上 在 3 4 

② 设 F( ) ,( + g( ) 定 义 域 为 B, z =  ) z 的   D B, ( ) , ( ) D 上 单 调 递 增 .   , z gz 在  

上 为 减 函 数 ,. f(c ‘ . . 7 )在 [ , ]上 的 值 域 为  0 4 E i{ O ,( ) ,( )一 [ (n )3口 ] mn ( ), 4 ), 3 ] 一 2 +3e ,+6 .  

( 若 ,( ≥ 0 g ) 0 则 F z 在 D 上  I)  ) ,( ≥ , () 单 调递 增 ;  
(I , z ≤ 0 g  ) O 则 F _ 在 D 上 单 凋  I) ( ) , ( ≤ , () r 递 减.  
③ 设 F( z): f( z)+ g( 的 定 义 域 为 B、 z)  

又 g( 在 [ , ] 为 增 函 数 , 值 域 为   ) 04 上 其

[ 孕(+ ) , 抖 ,z譬e  口 4 ] 而2荨 +)( ÷ o n   6 n ) , _ + = 一 ≥ 



D B, ( ) g z 在 D 上 单 调 递 减 .   厂 z ,()   ( 若 _  ) o g( ) o 则 F( ) D 上  I) 厂 ≥ , z ≥ , ( T在 单 调 递减 .  



1 (t 一g   ) >口 + 一 ( +6 = n ~  , £) ( I     口 ) 。

n 寺. 题 只   。 专<1 可  + 依 意,需n + 一 即 ,

( 若 , z ≤ 0 g z ≤ 0 则 F( ) D 上  Ⅱ) () ,() , z在
单 调 递 增.   ④ 设 F( : _ z + g( ) 定 义 域 为 B, z) 厂 ) ( z 的   D B, 在 D 上 _( ) 0 g  ) 0   且 厂z ≥ ,( ≤ .   ( 若 , z 在 D 上 单 调 递 增 , ( ) D 上  I) () gz 在 单 调 递 减 , F( ) D 上 单 调 递 减 ; 则 z在   (I 若 ,  ) D 上 单 调 递 减 , ( 在 D 上  I) ( 在 g z) 单 调 递 增 , F( 在 D 上 单 调 递 增 . 则  )   【 】 判定 两 函 数积 的 函数 的单 调性 , 用 到  注 常 如下 变 形 技 巧 : z ) z )一 f( z g( z   f(   g(   z ) z )一

又 >澈n (軎 . n0 ∈o ) ,  
【 评 】 本 题 考 查 函 数 、 等 式 和 导 数 的 应  点 不

用 等 知 识 . 二 问 对 运 算 能 力 和 思 维 能 力 有 较 高  第
的要 求 . 题 时 , 能 因 为 是 压 轴 题 就 望 而 却 步 , 答 不  

第 一 问方 法 比较 常规 , 对 容 易得 分 ; 二 问 要 注  相 第 意理解题意 , 只要 存 在 满 足 条 件 的  和  即可 ,   这 样 就 会 想 到 将 条 件 转化 为 J (t 一g   ) 的 最  , e) ( I
小 值小 于 1 问题 就 迎 刃 而解 了. ,  
3 函数 的奇 偶 性  .

f x )g x ) g x )+g z ) [ (  -f x ). ( 。E (1 - ( 2] ( 2 ? , z ) (2]  
【 7 ( 0 6年 高 考 湖 北 卷 ) 例 】 20 设  :3是 函  数 _ 3 = (  Ⅱ 厂 2 ( ) z + z+ 6 e ( ) 。 z∈ R) 一 个 极    的 值 点.   ( ) n与 b的 关 系 式 ( n表 示 6 , 求  1求 用 )并 _ z 的单 调 区 间 ; 厂 ) (  

【 8   (0 5年 高 考 广 东 卷 ) 于 函 数  例 】 20 对
,  ) 足 : z∈ ( c) + 。 ) , 2一 )   ( 满 当 一 u, 。 时 f(   = t

f 2 )且 厂7 ( +z , ( 一z 一 , 7 z 在 闭 区 间 [ , ] ) (+ ) O 7 
上 只 有 , 1 一厂( ) 0  () 3  .

( ) 判 断 函数 , £ 的 奇偶 性 ; 1试 ()   ( ) 求 方 程 f z) 0在 闭 区 间 [ 2 0 , 2试 ( 一 一 05  2 0] 的 根 的 个 数 , 证 明 你 的结 论 . 05上 并  
2 ) 【 析 】 ( ) l ( - x  f( + 解 1由 f2


(设 > ,z (+ ),存 6 2   o ( 一n 孕  若 在 , ) g) z  
∈[ ,J 得 { ( ) g( ) < 1 立 , n的  O4使 厂  +   I 成 求 取值范围.  

厂7 (~





厂 7+  (

x ;  

【 解析】 ( ) z =一[ +( 一2 +b     1 厂( )   口 ) -
n e一 . ]。  

一  【 (  

厂  ) 厂 4 z) ( 一 ( 一  

1  

,( - x …f‘ 4 z ,4 )   一 J一  

, z =, +l ) 从 而 知 函数  = , z 的  () ( o, ()
周 期 为 丁 1. 一 0  
又 ,( ) 3 =,( ) 1 =0, 厂( ) 而 7 ≠0,  

由 /() 3 =0得 6 =一2 一3  n ,




. 

( z)一 ( 3一 z)( z十 口+ 1)   . e  

令 /( ) , z —3 z 一一 z —1 依 题  z 一0 有 1 , 2 1 ,
意  l 2 即 n 一4 ≠z , ≠ .  

所 以 _ 一3 =, 一3 0 = , 7 ≠ O  厂 ( ) ( +1 ) ( ) ,
所 以_( 3 ≠ 士f( ) 厂一 ) 3.  

.< 一 4 , () ( 。 3 上 为 减 函数 , 口 时 _  在 一。 ,] 厂 在  [ , 一1上 为增 函 数 , [ 日 1 + o ) 为 减  3 一n ] 在 一 ~ , 。上 函数 ;> 一4时 , ( 。 一n ] 为 减 函数 , n 在 一o , 一1 上 在 

故 函数  一, z 是非 奇 非 偶 函 数 . ()  
( )由 , 1 一, 3 一 0得 , 1 ) , 1 )   2 () () (1 一 (3 一 厂 一9 一, ~ 7 一0 可 知 , ( ) ( ) ,  

J3   ̄7 '

蹶  刊 J ‘l      眸帕 I

———■ _ 稆枝学幕 ■ 
u   ‘   h   。   -   t   i   ‘  

_ ) 厂 =0在 区问 [ ,O 及 [ 1 , ] 各 有 两  ( OlJ 一 Oo上
个 根 ;而 在 [ 0 0 0 5 2 0 ,20 ]上 亦 有 两 根 ;在 

勾 8 .- 20 ) () 0 8 , . ( 0 8 =厂 0 一2 0 .  厂  

二: 次 计 算 f 24 6 8 知周 期 为 8 须  依 ( 、 、、 ) ,
再 验 

[ 05 一2 0 ] 没 有根 . ~2 0 , 0 0 上   因此 ,() , z =0在 区 间 [ ,0 0 上 有 4 2个  O 20 ] 0 根 ; 区 间[ 0 5 O 上 有 40个 根 . 在 一2 0 ,] 0  
故在 [ 20 ,05 一 0 5 2 0 ]上 所 有 根 的 个 数 为 
8 2个 . 0  

I 1 求周 期 只需 找 出 一个 常 数 ; 】 .   蕞既 得 关 系式 的连 续 使用 .  
『 的 图象  数

拘图 象 是 高 考 必考 内 容 , 熟 练 掌 握 一  在
次 函 


【 评 】 本 题 的 创新 之 处 , 于 思 维 创 新 . 点 在 我 

次 函数 、 比饲 函数 、 数 函 数 、 数 函  反 指 对

们 知 道 , 对 一 个 数 学 结论 , 肯 定 它 , 要 给 予  面 要 就
证明 ; 否定它 , 要 只需 举 出反 例 . 来 这 是 一 个 很  本

数 和 
个 问 

函数 图 象 的 基 础 上 , 着 重 掌 握 以 下 三  应
乍图 :  

普 通 的道 理 , 在 考 试 中 , 们 对 于 奇 偶 性 的命  但 我 题, 总是 从 正 面 来 考 虑 . 题 正 击 中要 害 , 破 思  此 打 维 定 势 , 行 逆 向设 计 . 进  
4 函数 的周 期 性. 个 常 见 函 数 方 程 的 周 期  . 几
( 下约 定 口 )  以 >O :

I 描点 法  用

步骤 是 : 确 定 函数 的定 义域 ; 化 简 函  ① ② 数 解 
期 性 

③ 讨 论 函数 的 性质 ( 奇偶 性 、 调 性 、 单 周 
: ; 画 出函 数 图象 . )④  

① , z 一 , z ) 则 , ) ( ) ( +口 , ( 的周 期 T =a  ;

『 基 本 函数 图 象 的变 换 作 图 : 用   ① 平移 变 换 
fz h (   >0右移 


② ( - + ) , ( 口一 _ , ) r n 或, + ) l z (  0 z z  



 

( ≠) , +) ~ .‘( ≠ )   厂 )o 或 ( 口一  } / )o 或 ( , z   ,
÷+ ̄   二   一 (+ ),z ∈[, ) / 7 了 ,z 口(() o1 , ] 
则 , z 的周 期 T一2 ; () a 

② 伸 缩 变 换 
) k  + :

③ () 一 L ,z≠ ) ()  厂  1 =  (( o, z的 z _ ) 则厂
周 期 T=3 ; a  ④  +x)   2- , fa 且 ( 
一 ,( ——   ) 一 厂(口一 I)  2 ;



 



 

0簿 
.一,( 一 ) , z)
一 ,(    )
z轴  

( z )? I ) 1 O j ~z < 2 ) 则 ,( ) ,( 1 ,( 2 ≠ , <  t 2 l n, z 的  周 期 T一4   a; ⑤,( +f( z) x+n + f( ) x+2 + f( a) x+3   a) +,(  +4 ) 口 一,( ,(  ) z+口) x+ 2 _( 3 ) f( a) I+ a  厂

 —f一  )   ( ;

潦 = 一 ,( 挲 司 高 考 数 学  ;静. 数  ) 
面  —  

④ 翻折 变换 
, 、

保 留 Y 右侧 图象 , 轴 作关 于 Y轴对 称图象 

厂 z 4 ) 则 ,  ) (+ a , ( 的周 期 丁一5 ; a  ⑥, z ) ( 一f z+口 , _  ) 周  ( +口 一厂  ) ( )则 厂 ( 的 期 T=6 . a   【 9 ,  ) 定 义 域 是 R, ,( 2 一  例 1 ( 的 且  + )

一, — — —   ’
Y =, 1 』 (z )  

c  z (I 识 图 I)

: I( .    ? f   对 于 给 定 函数 的 图 象 , 能 从 图 要  

[ 一 _ z ] 1+ f( , f( )一 2 0 , 1 厂 )一 ( z) 若 0 08 求 
f20) ( 0 8 的值 .  

象 的左 右 、 下 分 布 范 围 、 化 趋 势 、 称 性 等 方  上 变 对 面研 究 函数 的定 义 域 、 域 、 调 性 、 偶性 、 期  值 单 奇 周 性, 注意 图象 与 函 数解 析 式 中 参数 的关 系 .   ( 用 图  函数 图象 形 象 地 显示 了函 数 的 性  Ⅲ) 质, 为研 究 数 量 关 系 问题 提供 了“ 的 直 观性 , 形” 它 
是 探 求 解题 途 径 , 得 问 题结 果 的 重 要 工具 . 重  获 要

【析 法 : )   解 】方 一 (= , 餐  
兰 ±  二    一

皂    = 1=c s   二q 7 ) ,+) ±   厂(-   … … ,  +4    
一 -



,  + 4 + 1 。 ( )  

l 舢 ¨ 一    

_ 



■ —— —-  

高 考 数 学 

数 函 数 


(l 。 +a + … +a ) 2    + ( 1 +  。 1

a z + … + 口 ) z  1 ; 22   (≤ ) 
( 1 a + … +a ) 口+ z    一 ( 1 +a  2 口 zl 2  

, z 一  ()

+ … + az ) z 岛 )     ( ≥ ;

[n +n+ … +n) 口 +n 2 (l 2  一(H1 f +  +


+口 )一 (1l 22 … +口    ] na +口  +   T 。) z 
( 。l n + 汁1 a+ 嚣+ + … +a + 。2 2   )  



(1 z z ≤ ≤墨+ ,:1 2 … , 1 . l  , ,  一 )  

.函数 , z 既 有 最 大值 , 有 最小 值 , - . () 又 故 
f , mi{ x1 , x ) … , x ) , m 一 n f( ) f( 2 , f(   )  。 , 。(   ma ( x ), x2 , , (   ) m  z) x f( 1 f( ) … f x ) .  

【 评 l 本 题 以形 求 直 观 , 点 以数 求 入 微 , 形  数 结合 , 由形 得 到 简 单 结 论 , 译 成 数 , 大 简 化 了  翻 大
运算.   五、 函数 的 反 函 数 

【 11 已知: 题 P f 是 厂 z =1 3  例 1 命 :  () — x
溉 ≤     \ / \。 V/   、


的 原 函 数 , I   ( ) < 2 命 题 q 集 合 A 一  且 , n I ; :

‘ 

4  \
  .

/ 
.  
一  

{   + ( +2 x+ 1 0 z∈R) B= { z> 0 , zl n ) — , , zI ) 
且 A nB一  .  

\ 2  




6- -0 V 4 4 2    

( ) 不 等 式 l  () < 2  1求 f 口I ; ( ) 使 命题 P q中 有 且 只 有一 个 真 命 题 时 , 2求 、   实 数 a的 取值 范 围.  
【 析 】 ( ). ( ) 1 x   解 1 。 , z 一 —3 , 。
. .

2?2-)   ,1  (

( ). ( ) 图 象 是 由 一 些 折 线 ( ) 成 , 2 ‘, z 的 。 段 组  

它 的 最值 只可 能 在 图象 的转 折 点 处 取 得 ,  
‘ . .

,  ( 一 mi ,( 3 , 一 1 , 2 ) m z) n{ 一 ) ,( ) ,( ) = 

f  ( 一— x 一 z) l m 
. 

mi 6, 一 1 一 一 1 n{ 8, } .  

( ) ) 口 +n +… + a > 0  3 (i 若 l 2   , 当z z <  时 , ( ) 减 ,. ( ) , z ) ,z递 .厂 z > ( 。 ; .  

由 (<, l训 2    


l,   <解 2得

5< a< 7.  

当 z ≤ z z 时 , ( ) 一 次 函 数 或 常 数 函    < z -z为 厂 数 ,‘厂z ≥mi{ ( 1 , (2 ) ._ ) .( nf x ) f x ) ;  
当 z ≤z  时 , ( ) 一 次 函 数 或 常 数  一 <z 厂z 为 函数 , . ( ) mi { (   , , (   ) ., z ≥ n, z一 )f x ) ; ’   当z ≥  时 , ( ) 增 , . ( ) f x ) 厂 z递 .厂 z ≥ (   .    
. .

() 2 设  + (+ 2 十 1 n ) —0的判 别 式 为 △, 当 
△< O时 , A=j『 此 时 △一 ( +2 一 4 O, 2, n ) <  
0 O





4 n< 0. <  

当 △ O时 , AnB一 , ≥ 由   得 
r △一 ( 2 一 4 O 口+ ) ≥  

当: r ER 时 , 数 , z 有 最 小 值 , 最 大  函 () 无


z +z 一 一 ( + 2 <o 解 得 Ⅱ . 1 2 n ) , ≥o  
I x1?z 一 z

值 , m ( 一mi { ( 1 , ( 2 , , (   ) f    ) nfx)fs )… fx). c   ( l 若 n + Ⅱ +… + a < O  i) l 2   ,

1 0 >  

,  

综 上 可 得 n 一4 > .  

同理 可 得 , z∈R 时 , 当 函数 , z 有 最 大 值 , ()   无 最 小 值 , 。 z)一 ma f(   ,  z , ^  ( x{ z ) f( ) 


要 使 P真 q假 , 则 



f(   )  x ).

{ 1  

f一 5 口< 7 <  

n 一4 ≤  

一5 ≤ 一4 <口 .  
、   。  

(i 若 a +a + … +口 =0  i) 1 2 i   ,

要 使 P假 q , 真 则 

当 z  或 z  时 , ( ) 常 数 函 数 ; <z ≥z _z 为 厂   当 .在 其 它 区 间 内时 , ( ) 一 次 函数 或 常  3 2 ,z 为

』 一 或n 4 7 n   ≥ ≥. ≤  

第  神I 3 堋铡 , 8   钾 ) 嬲

—■■● 1 名胶学寨 ■  
f   n   ●   k   d   -  E   £  

.当 a的取 值 范 围 为 ( 5 ~4 U[ , o  . . 一 , ] 7 +c )
时 , 题 P 口中有 且 只有 一 个 为 真命 题 . 命 、  
六 、 数 应用 麓  荫

题: 题、 读 翻译 、 掘 ; 挖  

模 : 当 引 参 , 出 满 足 题 意 的 数 量 关  恰 列 耨 足题 意的 几 何 图形 ;   模 : 注 意 两 点 : 当构 建 函数 模 型 时 , 应 ①   曼 的范 围应 在 实 际 问 题 中 考 虑 ; 解 模  ② 十 , 意 保持 一 定 的精 确 度 ; 算 注   价 : 解 出 的 结 果 代 人 原 问 题 进 行 检  将

1 注 意 事项 ; J  

( ) 数 的应 用 , 质 上 是 函数 思 想 方 法 的 应  1函 实 用 . 处 理 问题 的一 般 方 法是 根 据 题 意 , 构 建 函 其 先   数 , 所 给 问题 转 化 为 函 数 的 图象 和性 质 的研 究 , 把  
从 而 间 接求 出所 需要 的结 论 .  

() 2 本节 函数 的应 用 主 要 研 究 如 何 利 用 函 数  思 想解 决 生 产 实 践 中 的 实 际 问 题 . 先 要 求 学 生  首 有 较宽 的知 识 面 , 读懂 题 意 , 后 对 问 题 进 行 分  能 然 析 , 活 运用 所 学 过 的 数学 知 识 , 立 “ ” “ ” 灵 建 量 与 量   之 间 的 函数 关 系 , 实 际 问题 转 化 为 函数 问题 , 把 通  过 函数 问题 的 解 决达 到 实 际 问题 解 决 的 目的 .   () 过 本 节 内 容 的学 习 , 学 会 数学 建模 思  3通 要 想 , 时 培养 将 实 际 问题 抽 象 为 数 学 问题 的能 力 , 同  
系式.  

三 的 函 数 关 系 式 解 决 某 些 实 际 问 题  知 字 计 算较 繁 , 时可 以借 助计 算 器 或 其  这
[ 具加 以解 决 .  

录 问题 的建 模 方法 
真 审题 , 准确 理 解 题 意 .  

问题 出 发 , 准 数 量 关 系 , 当 引 入 变  抓 恰 莹 坐 标 系. 用 已 有 的 数 学 知 识 和 方  角 运

关 系用 数 学 符 号表 示 出来 , 立 函数 关  建 ( ) 究 函数 关 系 式 的定 义 域 . 结 合 问 题 的  3研 并
实 际 意 义作 出解 答 .  

解 题 时 要 注 意不 同 的实 际 背景 对 函数 自变 量取 值 
的 限制 .   () 掌 握 解答 应 用 问 题 的 四个 步 骤 , 步 骤  4要 按 解题.   () 用 问 题 广 泛 存 在 于 生 活 、 产 、 学 研  5应 生 科 究等各个方面, 近几 年 来 , 用 问 题 已 逐渐 成 为数  应 学 高考 的必 考 内容 .   () 学 应用 题的学 习 , 提 高学 生分 析 问 6数 是   题 、 决 问题 能 力 的好 途 径 . 用 题 一 般文 字 叙 述  解 应 较 长 , 映 的 事 物 背 景 陌 生 , 识 涉 及 面 广 , 就  反 知 这 要 求 学 生有 较 强 阅 读 理解 能 力 , 捉 信 息 的 能 力 , 捕   归 纳 抽 象 的能 力 . 会 将 普 通 语 言 转 化 为 数 学 语  学
言 和 数 学符 号 , 实际 问题 转化 为数 学 问 题 , 应 用  再

②几 种 常 见 的 数学 建 模  ( ) 均增 长率 问 题 : 果 原来 产 值 的 基 础 数  1平 如
为 N, 均增 长 率 为 P 则对 于 时 间  的总 产值 或  平 ,
总产量 Y —N( +p    1 ).

() 蓄 中的 复利 问题 : 果本 金 为 a元 , 期  2储 如 每

利 率为 r本 利 和 为  , 期 为 z 则  =n 1 ). , 存 , (+r   
() 据 几 何 、 理 概 念 建 立 的 函数 关 系 , 3根 物 如  位移、 速度 、 间 的 函 数 关 系 , 溉 渠 的 横 截 面 面  时 灌
积 A 和 水 深 h的 函数 关 系 .   () 过 观 察 、 验 建 立 的 函 数 关 系 , 自 由 4通 实 如  

数学方法、 数学 思 想 去 解 决 问题 .  
( ) 考数 学 对 “ 用 能 力 ” 考 查 力 度 会 逐  7高 应 的 渐加大, 考查 构 建 函 数 的思 想 方 法 , 用 不 等 式 、 运   方 程 、 列 等知 识 解 决 实 际 问题 的 能 力 仍 然 是 今  数 后 高考 考 查 的 重 点.  
2 解 实 际  .

落体 的 距 离 公式 等.  

潦 数 球 学 司 高 考 数 学 

【 l】 九 十年 代 , 府 间 气 候 变 化 专 业 委  例 2 政 员 会 (P C 提供 的 一 项 报 告 指 出 : 全 球 气 候 逐  IC ) 使 年 变 暖 的 一个 重 要 因素 是人 类 在 能 源 利用 与 森 林  砍 伐 中使 C  浓 度 增 加 . 测 , 90年 、9 1年 、 O 据 19 19   19 92年 大气 中的 C   度 分别 比 18 O 浓 9 9年 增 加 了   1个 可 比单 位 、 可 比 单 位 、 可 比单 位. 用  3个 6个 若


个 函 数模 拟 九 十 年 代 中 每 年 C  浓 度 增 加 的  O

可 比单 位 数 Y与年 份 增 加 数 . r的关 系 , 拟 函 数  模
应 

分 析 、联想 、转 化 、抽 

可 选 用二 次 函数 或 函数 Y =a? + f其 中 a 6 C   ( 、、  为 常 数 ) 且 又 知 19 , 9 4年 大 气 中 的 C 。浓 度 比 O   18 9 9年增 加 了 1 6个 可 比单 位 , 问 用 以 上 哪 个  请

答数 学 问  

函 数 作 为模 拟 函数 较好 ?  

l 舢 一  

■ 名枝学幕 ■ ■—■■ 

毂 转 字 司 离 考 数 学 

所 以  (  

2   卅
Z T

一 
1   z 十 l  

,  

令 g  ) x  ̄2 +b  ( 一2   x ,

得 
L r一 0  

则 g( 在 (  ,。 上递增 在  ) 一1+。 ) ;  (1  ) 递 . 以 一, 1 上 减所   - ,  

所 ,)1 +   以 (一  专.        z

g)一(÷ 一 l b (… g )一 +.   一   当> 时g)一 l bO  6÷ , 一 一 + , (   >故
g z =2   x > O在 ( 1+ 。 ) 恒 成 立 . ( ) x +2 +b 一 , 。上  
‘ . .

:  

藩 8  
/= 一3 c  

r  

/( ) , z >o 


即 当 6 1时 >  十 O ) 单 调 递增 .  ̄上 3  

函 数 厂( ) 定 义 域 ( 1 z 在 一 ,  

所 g)了? ) 3 以 (一 (   . z 8 号 一 
, 5 =1 () 5可 比单位 ,( ) 1.5可 比单 位. g 5 = 72  
’ ?

(I 分 以 下 几 种情 形 讨 论 : 1)   ( ) (I) 当 6 1时 1由 知 > 


函 数 厂( 无 极  z)

值点.  
1  
:  

‘ , 5 一1 I l ( ) 1 l l( ) 6 < g 5 ~ 6 ,  
,  

故选 , z 一 ÷ X +÷ z作为模拟函数,   () 2 与


19 年 的实 际 数 据较 为 接 近 . 94   【 评】 求 解数 学 应 用 题 必 须 突破 三关 : 点   () 1 阅读 理 解 关 . 般 数 学 应 用题 的文 字 阅 读  一 量都 比较 大 , 通 过 阅读 审题 , 出关 键 词 、 , 要 找 句 理 





z ( 1  ) ,( > ; ∈ 一 , 时/  o 一 )  

z ( ,o 时/ > . ∈ 一1+。 ,( o ) )  

. .

b l l = t

,, i 函数 厂  ) ( 1 + o ) 无 极  - ( 在 一 , 。上

解其意义 ;  


( ) 模 关 . 立 实 际 问 题 的 数 学 模 型 , 其  2建 建 将

值点.  

转化 为 数 学 问 题 ;   ( ) 理 关 . 用 恰 当 的 数 学 方法 去 解 决 已建  3数 运

(当< 时解 (=得 个 同  3 6÷ ,/ )o两 不 解 ) z


1  
 



、  

立 的数 学 模 型 .  

I 1一



9  

' 2一 z 一

— — — —  — ~

1  ̄1 6  + / —2  ;
< _l ,  

七、 函数 与 其 他 知 识 结合 的 综 合 问 题  【 1 1 (0 7年 高 考 山 东卷 ) 函 数 ,( ) 例 3 20 设 z  = 十b ( + 1 , 中 6 0   l x )其 n ≠ .  
一   > _ 1  .

当 

=  

( ) >÷时, I 当6 判断函数 厂 z 在定义域上  ()
的单 调 性 ;   (I 求 函数 _ z 的极 值 点 ; 1) 厂 ) (   ( )证 明 对 任 意 的 正 整 数 ” Ⅲ ,不 等 式 

-z 硭 ( 1 +。 ) z ∈( , o ) . l 一 , 。 , 2 一1 + o . .  

此 时 , ) ( 1 +o ) 有 惟 一 的极 小 值  ( 在 一 , 。上 点 z: z 

I + ) ~ 成 . n  >  都 立 (  
【 析】 ( 解 I)函 数  ( =  +bn x 1 的   ) l( + )
定 义 域 为 ( 1 +。 ) 一 , 。.  

当<< 时 。 (1 。,( o6÷ ,,∈一, 。/z  z 十) )  
在( 1 z ) ( , 。) 都 大于 0 , ( ) 一 ,   、 z + 。 上 / z 在 
( 1z ) , 于 0 , z ,2 上 j 、  

¨ 第  肿l  3 铂删 停J 一   T 嗍 砌  

—— — 一

tl




耘放 学寨




k

u

I口

d

!



!

( 此时 ,z )有



个 极 大 值点
-

1
z

=





f C1= ~
2

;(



{



十o



) 时 ,^ ( z ) > O ,
。。



t ( z ) 在 ( O,+
x

) 内 的最 小 值 是 h ( F


)

=

O







个极 小 值 点





1+





C1



-

2b


> 0

时 ,( z ) ≥ g ( z ) 对 任 意 正 实 数


t

综上可 知 惟




b< 0

时 ,( z ) 在 (

-



1



+

。。

) 上有

-

的极 小值点
o<

1+
— —

z :



,

/ i


=

-

~



时任 意
F
}

z 。

> o



岛 (z



)

=

4z







r

萼因 为


b <

÷


的最 大值 是

时 ,( z ) 有




个极大值点
-

X l



÷3
z




所 以要使



(X

o

)

寸 意 正 实 数 成 立 的充 分 必 要 条 件 是 任




上二


÷时



个极 小值点

_

1+

i1= ~ , /


-





T
1


≥ ;了 小

1




z 。

2

) 2 (z



+ 4 ) ≤o





6≥



函数 f (工 ) 在 (



+

o 。

) 上无



勾z
2




> 0

不 等 式 ① 成 立 的充 分 必 要 条


值点


所 以有且 仅有


个 正 实数

z o



2



使



( Ⅲ)

当6
=





1

( 时 厂z )

=

=

z






ln ( z + 1 )


≥g (z




) 对任意正

实数

t

成立



^ (z ) ^ (






,( z )





z

+ ln ( z + 1 )







】 本题 主 要 考查 函数 的基 本性 质 导




)



垒量
在[0




阳不 等 式 的 证 明 等 基 础 知 识 以 及 综 合


在[。 +
)上

o 。

) 上恒正

运 用 所 学知识 分析 和解 决 问题 的能力



7 ^ (z )


+


o o

单调 递 增




【 例


15




女 z



( 20 0 7 年

高考福 建卷) 已 知 函数



z

∈ ( O,
z

十o


) 时 , 恒 有 h ( z ) > ^ ( O)


0



( ,z )



e

即当

∈ (O +
z



)时







z



z



+ ln ( z + 1 )
n


(1)若 女

e



试 确 定 函 数 - ( z ) 的单 调 区 间 ; 厂

> O ,l n ( x + 1 ) >
n

对 任意正 整 数
1



z



( 2 ) 若 k > 0 ,且 对 于


任意

z

∈R



_ ( 12 1) > 厂

O



+ 得 ÷ I (÷ )
1

>

1








成 立 试 确 定 实 数 k 的取 值 范 围 ;
(3 )设 F (1)F (2)


【 评】 本题 主要 考 查 运 用 导 数研 究 函 数性 点

函数


F (z )

=

f (x


) +

f (



. r

)




求证



质 考 查 分 类 讨论 的 数 学 思 想 和 分 析 推 理 能 力


F (" )> (e

一十

+ 2 ) 号( h E N



)


【 例

14

1

( 200 7 年
t


高 考 浙 江 卷 ) 设 ,( z )




【 析J 解

( I )
=




志=
e


e

得 厂( z )



e
o



e z






对 任意实数



r 戤 (. )

f

号 z
(z )








所 以 厂( z )


r

由 /( 上 ) >



。。

z

> 1



故 ,( z ) 的 单 调 递 增 区 间 是 ( 1 +
由f
(z ) < 0 得
z

)



( I ) 求 函数y

=

,( z 】


g



的单 调 区 间 ;

< 1



( Ⅱ) 求 证



( i )


当七 >

O

( 时 厂 z )≥毋 (z )对任


意正 实数 得
g
s

t

成立


( ii ) 有 且
)

仅有

个 正 实数
t

z 。



使

1) ( 敞 , 卫 ) 的 单 调 递 减 区 间 是 (司 。 。 高 学 数

( Ⅱ)


由, f

涪 (










考数学
等价

z

1)



_ ( 1z 厂

I ) 可 知 厂( I z l ) 是 偶
z

(z



)≥g

(z



对 任 意正 实数


成立




函 数 于 是 ,( { z I ) > O 对 任 意
( , z )>
O

∈R 成立

【 析】 ( I 解

), 4


}




4z +





对 于任 意
=

z

≥ 0 成立
h








y









0





z

土2
2 )


由 厂( z )


e





0




z

=

In k





因为 当
(


z


∈ (

。。




。 。



. > ),



0







z



①当 ^∈ (0
( z > O)




1]

时 /( z )




h> 1



^≥ 0

2 ,2 )





了 < O ;当

z

∈ (2

+

) 时 ,y > O


此 时 ,( z ) 在 [ o +
)≥, 0 ) (
1



Cx3

) 上 单调递增




故所求 函 数 的单 调 递 增 区 间 是 (
(2


o 。





2)

故 ,( z
, ’

1> 0
。。



符合题 意
In k > 0


+

o 。

) ;单 调 递 减 区 间 是 (
=



2



2)

②当 ^∈ (


+

)







z

变化时

( , ( T ) , z ) 的变化情况 如 下 表


( Ⅱ) 证 明 :( i ) 令 ^ ( z )

,( z )
=



g



(z )




T

(0
)



ln k )

ln k
O

( 1n h



+



)



,z +

÷t (z
0

> o)





h (z )



z





z





/( z

+

当 t>

时 由


h (工 )





0





z



号 £

f (z )

单调递减

极小值

单调递增



l











f



名 较 学寨
g
u ^

k


麓—圈■
^

数 球学
r Li



高 考数学



e

x

由此 可 得 在 [ O +
, ,

o o

)上



,( z ) ≥


k



七l 畦



依题 意




k

-

k l n k > O , 又 五> 1





综 合① ② 得 实数


是 的取 值 范 围 握


( Ⅲ) ? F ( z )
‘ .






( ( ,z ) 4 ,


z

)
-



F
l

F (x


1

) F (。2 )
l 。
z

e
‘ 。

x

l

’。

2

+

e

(~





+

-

e

x

l

+

2

> F

2

+
e



e


1

+



2



+ 2>

e

X

l

+

7 F (1)F (


n

)>
1)>

’ ’

+ 2




F (2 )F ("



e



+ 2



F (n )F (1)>


e



’’

+ 2



由此 得 [ F ( 1 ) F ( 2 )



F (" )]





[j


[F

(2)F (n



1)]



IF (n )F (1)]> (e


’ 卜

故 F (1)F (2 )

F (n )> (e



’。

- -

k 2)~

【 评 】 1 .本 小 题 主 要 考 查 函 数 j 点

极值 导数 不等式 等基 本 知 识 考查 运





d

b

:笼 :

■‘ k

j t L

-: 鼻

^ 厶



I





=

■L

. .

-

, ~ j I‘

! _L ,^


f I



-

P

能力



2




第三 问需 要 先从 结论 两 边 的项 数 引 发 联


想 平方 之后 比较两 边 的 通 项 可 联 系第二 问 解答


【 例 f (x


16]
z 。

对 于 函 数 厂( z ) 若 存 在


z o

∈R 使


)



成立 则称

=

z 。

( 是 , z ) 的不动点

已知

函数 L (z ) 厂
(1)

z



+ 妇 +
1
, ,f


c





6

=





3
z

时 求 ,( 毒 ) 的 不 动点





(2 )

若规定 , (



。 ’

)



f (
。 ’

z

)








(

z

)

, ,( z [

)

]









(霈)

=

,[ 产


(z )]

n

为大于

l

的正 整 数



j

j


① 证 明 :若 函 数 f ( z ) 无 不 动 点 时 则 函 数

厂 ’( z ) 也 无 不 动 点 ;



. .

_





j

j

i

② 证 明 :若 函 数 ,( z ) 存 在 惟 ÷ 不 动 点 刚强


数厂

n



( z ) 也存在惟



不 动点
1




0





' ll

【 析1 解

(1)



3



( 2 ) 证 明 :① 函 数 ,( z ) 无 不 动 点 + (6
0





即方程 ∥
1)



1)
z

z 。

+

c



0

无实根 即


△=


(6



4c <

那么

+ (6
z



1)x +


c

恒 为正


所以V


∈R )





∈N+


都有

厂 ’( z (




’ ’

(z )


( ,, (,







(z ) )









(z )


=

。 ’

(z ) ) + (6
E一

1),

’ ’

(z ) +

f

> o



所 以 , ’( z ) > f


’ ’

(z )





嬲 锹 俾第 咖
3 /
-









l
_

■■■_
g
IL ‘




名 蔽 学察
u e x


_

k

u

“,



i

正整数





‘ 。 。 ‘ + 4 + 5 + 6 ≠ 7 , 等式 不 成 立



( I ) 用 (1+
z

数 学 归 纳法 证 明
m z





X

>



1







5

时 同


n

=

4

的情形可 分析 出 等式 不


)





1+



( Ⅱ) 对 于


n

> /

6



已知
“ =

(

1

1




再两


)

<

÷求 证




所 求 的 只有
( I )证






2
. r



3



;2 】
,m







0







1

时 原不


焉 )
( (i + 3 )


<

(专 )

l , , z




号显 然 成 立 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 :


Ⅲ) 求 满 足 等 式

3
n



+ 4


+



+ (

+ 2 )





>



1





z

≠o 时
z



m

≥2 所以


的所有 正 整 数
1】
m


(1+

)




> 1+
=

m

3 7




z



【 法 解

( I ) 用 数学 归纳法 证
1


明:

当m
,z



2


时 左边
,

1 + 2z +


右边




1

( i )当

时 原 不 等式成 立






≠0 所以

27



> O 即左 边 >

右边 不 等



m



2


时 左边


i + 2z + ,




右边

1 + 2z





因为
( .) _ (1+
z


z

≥ O 所 以 左 边 ≥ 右 边 原 不 等 式成 立
m




暖设 当
?

,2 ,



是( 量≥ 2 )

时 不 等式 ① 成 立




假 设 当


k
m






不 等 式 成 立





> 1 + kx
>




则当

m



^+ 1






) ≥ 1 + ^z
-. > z





则当
‘ . .

&+ 1 >
0






z

1




所以

1+

z

> O 又

因为

z

≠o k


1



1 +

z

于 是 在 不 等 式
z

, 忌 > 0

(1+

z

) ≥1 + kx 两边 (1+
z

同乘 以
z

1+


z

薛不 等 式 ( 1 + )
(1十
z

z

) >



1 + kx

两 协 同乘 以


)



(1+

z )≥ (1+ 女 ) (1+

)




z



1 + ( 女+ 1 ) x + 女 ≯
z

≥ 1 + ( 七+ 1 ) z
1)
z




(1+
7, z
=

)



(1+

z

)> ( 1 + kx ) ( 1 +


z

)

所以(1+


)





≥ l + ( 女+

即当

k + 1




1 + (^ + 1 )x + kx
z

> 1 十 ( 女+ 1 ) z




时 不 等式也 成立




所以(1+


)





> 1 + (^+ 1 ) z


即当



=

k+ 1

综 合 ( i ) ( ii

)

知 对




切正 整数

m



不 等式

时 不 等式① 也 成 立


都成立



综上 所 述 所 证 不 等式成 立




( Ⅱ) 证





≥6

,m

≤ 月 时 由( I ) 得


( Ⅱ) 证
’ .




1

n

≥6


,m

≤” 时
1




(1 +
于是

熹)
” “



≥1






> o




(1





)
1

<

i


(




£ ) 邕




(



b)



. .


[(






)


]
1



<


(丢 )
>
-





《(
( Ⅲ) 解

) 熹 ) ] < (÷




m







而 由( I ) 知

(

1


;巧 再


)

i



i 惫>
” ”

o



由 ( Ⅱ) 知 当




n

≥6 时






(卜
<

. 熹) + ( 熹) + .+ ( 篇 )





霹 < 考 ) (, 南潦 数[ (, 字 ) ]高 (÷数 学 )≤ 井莉
i



( II ) 解
3




假设 存在 正 整 数
+ (n


”。

≥ 6 使等式
, ”

÷
+
. .

(÷ )




+



+
n


(÷ )







<

o



+ 4
3





+




+ 2 )~



(‰ + 3 )

o

成 立 即有



(糍 )
“ ”

+ 1

j

)

+ . + .


(熹 )





<



(丽

)

+

(志 ) +


. + .

(翁 )
+ .+ .
-





即 3 + 4 +



+ (n + 2 ) < (n + 3 )


又 由 ( 1I ) 可 得
n

即 当 n ≥ 6 时 不 存 在 满 足 该 等式 的 正 整 数



(南 )


+

(南 )




(翁 )
+ .+ .




故只需 讨论 当 当
当 当



n



1 ,2




3



4



5

的情 形




1 2 3 4

时 时 时


,3 ≠ 4

等式不 成立


I

-

南 )


+

(



n 0


1

0十3 ,


]



(

1



n

=



3 3 3



+ 4。

5




等 式成 立
6





1










+ 4。+ 5。



等式成立


吾 巧 了
7


)

<

(÷ )



+

(÷ )


+



+

÷









+ 4‘+ 5‘+ 6‘

为偶 数 而



=

1



1 这 与⑦式 矛盾 丙 <


1







专 矧





u

^

k

u



^

瀹簸 讣学
’ ’



高 考数学

故 当 n ≥ 6 时 不 存 在 满 足 该 等式 的 正 整 数


n



Z≤

m

≤ 5





A

> 0 成 立
— —



余 下 解 题 过 程 同解 法
【 评】 数 列 是 点
函数 的


1





。 B




2m


2

z c





种 离 散 的 函 数 同样 具 有


2m

z

-

1
y




些 性 质 本 小题 主要 考查 数 学 归 纳 法 数





‘ .



A
B



B




C




D

都在直线


z

+ 1 上






列求和 不 等式等基 础 知识 和 基 本运 算技 能 考查








1A

l

厦lX

B

z ^

l j





伍( z

B

z

A

)
)



分 析 问题 能 力 和 推 理 能 力 最 近 几 年 湖 北 省 最 后




{C D l



~ 三j z /




D

z

c



虿 、 (z /




D

z c



的 压 轴 题 基 本 上 是 数 列 函 数 和 不 等式 的 综 合 题




I lA B i


IC D I 『 抠 Iz




z 。



。 D

+

z c

l

值 得 我们 关 注
【 例
18



~ 手l ( z /
’ . 。

B

+


z

c


)



(z


A

+

=

z D

)

1



1


如图



已知椭 圆

_ l 象+ 磊差
1




1


7


z

^



77 I

, aT D

m

》z ^

+
z

z D



O



(2≤m ≤5)

过 其左 焦 点且 斜 率 为

的 直 线 与椭
B


I lA

B

l
-



lC D l l
2m
z



拉 lz



+



I
)


圆 及 其 准 线 的 交 点 从 左 到 右 的顺 序 为 A

C



D






。 . ‘

设 厂( m )



I 『A B

l



lCD l l




丽 卜
f (m )
-

( 1 ) 求 , 晰 ) 的解 析 式 ( ( ( 2 ) 求 , m ) 的最 值


(2)

l=券 f 丽 等 ≯
2


(2 ≤鸸

2m

z



(2≤优 ≤ 5) ,



【 析】 解
C



(1)依题 有
1


:n





m




b









1










b

0

=

∥ 枨 当 当

[s 0 4~
L 49





学]



. .

椭 圆的左 焦 点 为
z

F (



1



0 )



故 直线方程
. .





:y



+ 1

2

时 厂( 。 ) 的 最 大 值 为 娶 时 _ ( m ) 的最 小 值 为 厂








又 椭 圆的准线方 程 为
‘ .

z



士生
0
,m











m

=

5

号 乒




A (



ln

'






m



+ 1)




D (m

+ 1)



【 评 】 在 处 理 直 线 与 圆 锥 曲线 的 位 置 关 系 点 问 题 时 应 注 意 直 线 与 圆 锥 曲线 相 交 或 相 切 时 判


ry



z

+ 1





程组


气 矗 嘉
Lm
0

+
-





0



1






别式应不 小 于


0



本 题 是 函 数 与 圆锥 曲线 的综 合


题 采 用 处 理 直 线 与 圆 锥 曲线 的
m


般方法来处 理



(2m
A




1)z




4 2m
-

o

z

+ 2





tn






0



【 者 单 位 :湖 北 省 黄 石 市】 作

4m 8
m



4 (2

m





1) (2m
0




// 7

)



0

(m





1)



缫 彗期) f 第 剥

3 18

2









i