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2013版【名师一号】高中数学(人教A版)选修1-2第二章 推理与证明 测试题(含详解)


第二章测试
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若实数 a,b 满足 b>a>0,且 a+b=1,则下列四个数最大的 是( ) A.a2+b2 1 C.2 答案 A ) B.2ab D.a

2.下面使用类比推理正确的是(

A.“若 a· 3=b· 3,则 a=b”类推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b” B.“(a+b)· c=ac+bc”类推出“(a· b)· c=ac· bc” a+b a b C.“(a+b)· c=ac+bc”类推出“ c =c +c (c≠0)” D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn” 解析 由类比出的结果正确知,选 C. 答案 C )

3.下面几种推理是合情推理的是( ①由圆的性质类比出球的有关性质;

②由直角三角形、 等腰三角形、 等边三角形内角和是 180° 归纳出 所有三角形的内角和都是 180° ; ③某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和

是 540° ,由此得凸多边形内角和是(n-2)· 180° . A.①② C.①②④ 答案 C B.①③④ D.②④

4.下面用“三段论”形式写出的演绎推理:因为指数函数 y= 1 ax(a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数,y=(2)x 是指数函数,所以 y 1 =(2)x 在(0,+∞)上是增函数. 该结论显然是错误的,其原因是( A.大前提错误 C.推理形式错误 ) B.小前提错误 D.以上都可能

解析 大前提是:指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是 增函数,这是错误的. 答案 A

5.已知 c>1,a= c+1- c,b= c- c-1,则正确的结论是 ( ) A.a>b C.a=b 解析 1 a= c+1 - c = B.a<b D.a,b 大小不定 1 ,b= c- c+1+ c c-1 =

,∵ c+1+ c> c+ c-1,∴a<b. c+ c-1 答案 B )

6.函数 y=ax2+1 的图像与直线 y=x 相切,则 a=( 1 A.8 1 B.4

1 C.2 解析

D.1 ∵ y = ax2 + 1 , ∴ y′ = 2ax , 设 切 点 为 (x0 , y0) , 则 1 ?a=4.

2ax =1, ? ? 0 ?y0=x0, 2 ? ?y0=ax0 +1, 答案 B

7.求证: 2+ 3> 5. 证明:因为 2+ 3和 5都是正数, 所以为了证明 2+ 3> 5, 只需证明( 2+ 3)2>( 5)2, 展开得 5+2 6>5,即 2 6>0, 显然成立, 所以不等式 2+ 3> 5. 上述证明过程应用了( A.综合法 B.分析法 C.综合法、分析法配合使用 D.间接证法 答案 B )

8.若 a,b,c 均为实数,则下面四个结论均是正确的: ①ab=ba;②(ab)c=a(bc); ③若 ab=bc,b≠0,则 a-c=0; ④若 ab=0,则 a=0 或 b=0. 对向量 a,b,c,用类比的思想可得到以下四个结论: ①a· b=b· a;②(a· b)c=a(b· c);③若 a· b=b· c,b≠0,则 a=c;④

若 a· b=0,则 a=0 或 b=0. 其中结论正确的有( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.3 个

解析 由向量数量积的性质知,只有①正确,其它均错. 答案 B )

1 1 1 1 1 9.设 S(n)=n+ + + +?+n2,则( n+1 n+2 n+3 1 1 A.S(n)共有 n 项,当 n=2 时,S(2)=2+3 1 1 1 B.S(n)共有 n+1 项,当 n=2 时,S(2)=2+3+4 1 1 1 C.S(n)共有 n2-n 项,当 n=2 时,S(2)=2+3+4

1 1 1 D.S(n)共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,S(2)=2+3+4 解析 由分母的变化知 S(n)共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,S(2) 1 1 1 =2+3+4. 答案 D

π π 10. 已知 f(x)=sin(x+1)3- 3cos(x+1)3, 则 f(1)+f(2)+f(3)+? +f(2011)=( A.2 3 C.0 ) B. 3 D.- 3

1 π 3 π π 解析 f(x)=2[2sin(x+1)3- 2 cos(x+1)3]=2sin3x.周期 T=6, f(1) +f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,

π f(2011)=f(335×6+1)=f(1)=2sin3= 3. ∴f(1)+f(2)+f(3)+?f(2011)= 3. 答案 B

11.观察下表: 1 2 3 4 ? 2 3 4 5 ? 3 4 5 6 ? 4?第一行 5?第二行 6?第三行 7?第四行 ?

第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表所反映的规律,第 n 行第 n 列交叉点上的数应为( A.2n-1 C.n2-1 解析 B.2n+1 D.n2 )

观察数表可知,第 n 行第 n 列交叉点上的数依次为

1,3,5,7,?,2n-1. 答案 A

12.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定: (a,b)=(c,d)当且仅当 a=c,b=d;运算“?”为: (a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad);运算“⊕”为: (a , b)⊕(c, d)=(a+c, b+d). 设 p、 q∈R, 若(1,2)?(p, q)=(5,0), 则(1,2)⊕(p,q)等于( A.(4,0) C.(0,2) ) B.(2,0) D.(0,-4)

解析 由运算的定义知(1,2)? ( p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0),

? ? ?p-2q=5, ?p=1, ? ∴ 解得? ?2p+q=0, ? ? ?q=-2.

∴(1,2)? ( p,q)=(1,2)? (1 ,-2)=(2,0). 答案 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案 填在题中横线上) 13.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直, 那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得 到命题: “_________________________________________________________ _______________________________________________________”. 答案 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直, 那么这两个

二面角相等或互补 14.若下列两个方程 x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 中至 少有一个方程有实数根,则实数 a 的取值范围是________. 解析 假设这两个方程都没有实数根,则
2 2 ? ?Δ1=?a-1? -4a <0, ? 2 ?Δ2=?2a? -4?-2a?<0, ?

?3a2+2a-1>0, ? 即? 2 ? ?a +2a<0,

?x<-1,或x>1, 3 即? ?-2<x<0.
∴-2<a<-1. 故两个方程至少有一个有实数根, a 的取值范围是 a≤-2 或 a≥ -1.

答案

(-∞,-2]∪[-1,+∞)

1 3an 15.已知数列{an},a1=2,an+1= ,则 a2,a3,a4,a5 分别 an+3 为______________,猜想 an=________. 1 3an 解析 ∵a1=2,an+1= , an+3 1 3×2 3 ∴a2=1 =7, 2+3 3 7 ×3 9 3 a3=3 =24=8, 7+3 3 3×8 9 3 a4=3 =27=9, 8+3 3 3×9 9 3 a5=3 =30=10, 9+3 ? 3 猜想 an= . n+5 3 3 1 3 答案 7,8,3,10 3 n+5

16.从 1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52 中,可得到一般规 律为________. 解析 等式左边从 n 项起共有(2n-1)项相加,右边为(2n-1)2, ∴n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2. 答案 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)设 f(x)=x2+ax+b,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少 1 有一个不小于2. 1 1 1 证明 假设|f(1)|<2,|f(2)|<2,|f(3)|<2, 1 1 于是有-2<1+a+b<2, 1 1 -2<4+2a+b<2, 1 1 -2<9+3a+b<2. ①+③得-1<10+4a+2b<1, ∴-3<8+4a+2b<-1. 3 1 ∴-2<4+2a+b<-2. 1 1 由②知,-2<4+2a+b<2, 矛盾,故假设不成立. 1 ∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于2. 18.(12 分)下列推理是否正确?若不正确,指出错误之处. (1) 求证:四边形的内角和等于 360° . 证明:设四边形 ABCD 是矩形,则它的四个角都是直角,有∠A +∠B+∠C+∠D=90° +90° +90° +90° =360° ,所以四边形的内角 和为 360° . (2) 已知 2和 3都是无理数,试证: 2+ 3也是无理数. 证明:依题设 2和 3都是无理数,而无理数与无理数之和是无 ① ② ③

理数,所以 2+ 3必是无理数. (3) 已知实数 m 满足不等式(2m+1)(m+2)<0,用反证法证明: 关于 x 的方程 x2+2x+5-m2=0 无实根. 证明:假设方程 x2+2x+5-m2=0 有实根.由已知实数 m 满足 1 不等式(2m+1)(m+2)<0,解得-2<m<-2,又关于 x 的方程 x2+2x 1 +5-m2=0 的判别式 Δ=4-4(5-m2)=4(m2-4),∵-2<m<-2,∴ 1 2 2 2 4<m <4,∴Δ<0,即关于 x 的方程 x +2x+5-m =0 无实根. 解 (1) 犯了偷换论题的错误,在证明过程中,把论题中的四边

形改为矩形. (2) 使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”,这个论据 是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数,因此原题的真实性仍 无法判定. (3)利用反证法进行证明时,要把假设作为条件进行推理,得出 矛盾,本题在证明过程中并没有用到假设的结论,也没有推出矛盾, 所以不是反证法. 19.(12 分)证明:若 a>0,则 证明 ∵a>0,要证 只需证 只需证( 1 1 a2+a2- 2≥a+a-2.

1 1 a2+a2- 2≥a+a-2,

1 1 a2+a2+2≥a+a+ 2, 1 1 a2+a2+2)2≥(a+a+ 2)2, 1 1 1 a2+a2≥a2+a2+4+2 2(a+a),

1 即证 a2+a2+4+4

即证

1 2 1 a2+a2≥ 2 (a+a),

1 1 1 即证 a2+a2≥2(a2+a2+2), 1 即证 a2+a2≥2, 1 即证(a-a)2≥0, 该不等式显然成立. ∴ 1 1 a2+a2- 2≥a+a-2.

20.(12 分)已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列, cn=an+bn. 求证:数列{cn}不是等比数列. 证明 假设{cn}是等比数列,则 c1,c2,c3 成等比数列.设{an}, {bn}的公比分别为 p 和 q 且 p≠q,则 a2=a1· p,a3=a1p2,b2=b1q, b3=b1q2. ∵c1,c2,c3 成等比数列, ∴c2 c3, 2=c1· 即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3). ∴(a1p+b1q)2=(a1+b1)(a1p2+b1q2). ∴2a1b1pq=a1b1p2+a1b1q2. ∴2pq=p2+q2,∴(p-q)2=0. ∴p=q 与已知 p≠q 矛盾. ∴数列{cn}不是等比数列.

21. (2010· 江苏)如右图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90° . (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. 解 (1)∵PD⊥平面 ABCD,

BC?平面 ABCD,∴PD⊥BC. 由∠BCD=90° ,得 BC⊥DC. 又 PD∩DC=D,∴BC⊥平面 PDC. ∵PC?平面 PDC,∴BC⊥PC,即 PC⊥BC. (2)连接 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离为 h, ∵AB∥DC,∠BCD=90° ,∴∠ABC=90° .

从而由 AB=2,BC=1,得△ABC 的面积 S△ABC=1, 1 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V=3S
△ABC

1 · PD=3. ∵PD⊥平面 ABCD,DC?平面 ABCD, ∴PD⊥DC,又 PD=DC=1. ∴PC= PD2+DC2= 2. 2 由 PC⊥BC,BC=1,得△PBC 的面积 S△PBC= 2 , 1 1 2 1 由 V=3S△PBC· h=3·2 · h=3,得 h= 2. 因此,点 A 到平面 PBC 的距离为 2. 22. (12 分)已知 f(x)= bx+1 1 且 f(1)=log162, f (- 2(x≠- , a a>0), ?ax+1?

2)=1. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)已知数列{xn}的项满足 xn=[1-f(1)][1-f(2)]?[1-f(n)],试求

x1,x2,x3,x4; (3) 猜想{xn}的通项公式. 解 1 (1) 把 f(1)=log162=4,f(-2)=1,代入函数表达式得
2

b+1 1 ? ??a+1? =4, ?-2b+1 ? ??1-2a? =1,
2

?4b+4=a2+2a+1, ? 即? 2 ?-2b+1=4a -4a+1, ?

? ?a=1, 1 解得? (舍去 a=-3<0), ? ?b=0,

1 ∴f(x)= (x≠-1). ?x+1?2 1 3 (2) x1=1-f(1)=1-4=4 3 1 2 x2=[1-f(1)][1-f(2)]=4×(1-9)=3 2 2 1 5 x3=3[1-f(3)]=3×(1-16)=8, 5 1 3 x4=8×(1-25)=5. 3 2 4 5 3 6 (3) 由(2)知,x1=4,x2=3=6,x3=8,x4=5=10,?,由此可 以猜想 xn= n+2 . 2n+2


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