当前位置:首页 >> 数学 >>

§1&§2 生活中的变量关系 对函数的进一步认识 2.1 生活中的变量关系 函数概念(北师大版)


2.1 生活中的变量关系 函数的概念

引入新课

世界是千变万化的,变量与变量之间有的有依赖关系,

而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系.
问题1:某十字路口,通过汽车的数量与时间的关系

是否具有依赖关系?是函数关系吗?
提示:没有依赖关系,不是函数关系.

问题2:某农作物的产量Q与施肥量W的关系是否具有
依赖关系?是函数关系吗? 提示:具有依赖关系,但不是函数关系. 问题3:在公路上匀速行驶的汽车,它行驶的里程 s与 时间t具有依赖关系吗?是函数关系吗? 提示:具有依赖关系,也是函数关系. 问题4:两个变量之间有几种关系? 提示:①不相关 ,②依赖关系,③函数关系.

1. 函数关系
并非有依赖关系的两个变量都有函数关系. 只有 满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有 唯一确定 的值时,才称它们之间具有函数关系.

一枚炮弹发射后,经过26 s落在地面击中目标.炮弹 的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(

单位:s)变化的规律是h=130 t-5 t2.
问题1:炮弹飞行时间t的变化范围的数集A是什么?

提示:A={t|0≤t≤26}.

问题2:炮弹距地面的高度h的变化范围的数集B是什
么? 提示:B={h|0≤h≤845}. 问题3:高度h与时间t是否具有依赖关系?是函数关 系吗?为什么?

提示:具有,且是函数关系.因为对于数集A中的任
意一个时间t,按照h=130 t-5 t2,在数集B中都有唯一确 定的高度h和它对应.

2. 函数的定义
给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f, 对 于集合A中 任何一个 数x,在集合B中都存在 唯一确定 的

数f(x)与之对应,那么就把 对应关系 f叫做定义在集合A上
的函数,记作 f:A→B,或y=f (x) x∈A . 此时,x叫作自 变量,集合A叫做函数的定义域,集合 { f (x)| x∈A} 叫做函 数的值域,习惯上称 y是x的函数 .

一小球在距离地面 98 米高的平台上做自由落体 运动.(g=9.8 米/秒 2) 问题 1:下落时距离 s 与时间 t 的关系式是什么? 1 提示:s=2× 9.8t2=4.9t2.

问题 2:变量 s 和 t 的变化范围是什么? 提示:{s|0≤s≤98},{t|0≤t≤2 5}. 问题 3:如果{x|a≤x≤b}可用[a,b]表示,上面变 量 s 和 t 的变化范围还可怎样表示? 提示:s∈[0,98],t∈[0,2 5].

3.区间
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b}

(1)区间的表示
名称 闭区间 开区间 左闭右 开区间 [a,b) (a,b] 符号 [a,b] (a,b) 几何表示

{x|a<x≤b}

左开右
闭区间

(2)无穷大
概念:实数集R可以用区间表示为 (-∞,+∞) “∞”读作“无穷大”, ,

“-∞”读作“负无穷大”,
“+∞”读作“正无穷大”.

我们可以把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别
表示为 [a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b) .

定义
{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b}

符号
[a,+∞) (a,+∞) (-∞,b] (-∞,b)

数轴表示

典题精讲
[例 1] 某山海拔7500m,海平面温度为25 ℃气 温是海拔高度的函数,而且高度每升高100m,

气温下降0.6℃.请你用解析表达式表示出气温T
随海拔高度x 变化的函数关系,并指出函数的

定义域和值域.

课堂练习

练习P28:T1, 2.

1.函数关系是特殊的依赖关系,具有依赖关系的两

个变量有的是函数关系,有的不是函数关系.
2.对函数的理解: (1)符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示, 应理解为 x是自变量,它是对应法则所施加的对象;f是对应法则; y是自变量的函数,当x取某一具体值时, 相应的y值为与该

自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不表示
“y等于f与x的乘积”.

(2)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数

f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情
况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值. 3.区间是连续数集的另一种表示形式.

典题精讲

[例1] 函数关系?

下列变量之间是否具有依赖关系?其中哪些是

①正方形的面积和它的边长之间的关系; ②姚明罚球次数与进球数之间的关系; ③施肥量与作物产量之间的关系; ④汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系.

[思路点拨]

先分析是否存在依赖关系,再去判

断是否有函数关系.
[精解详析] ①、②、③、④中两个变量都存在

依赖关系,其中①、④是函数关系,②、③中两个变 量间有依赖关系,但不是函数关系.

[一点通]

分析两个变量是否具有函数关系,关

键是看它们的关系是确定的,还是不确定的.

1.张大爷种植了10亩小麦,每亩施肥x千克,小麦总产

量为y千克,则
A.x,y之间有依赖关系 C.y是x的函数

(

)

B.x,y之间有函数关系 D.x是y的函数

解析:小麦总产量与施肥有关系,但这种关系又不是 确定的.

答案:A

2.下列过程中,变量之间的关系是否为函数关系?

(1)公路上行驶的汽车在路程一定的条件下, 时间与平均
车速之间的关系; (2)化学实验中,加入溶液中的溶质的质量与溶液浓度之 间的关系. 解:(1)是函数关系.其中时间是自变量,速度是因变

量;反之也行;
(2)是函数关系.其中溶质是自变量,溶液浓度是因变 量;反之也行.

[例 2] 判断下列函数是否为同一函数: x2-4 (1)f(x)= 与 g(x)=x+2; x-2 (2)f(x)= x x+1与 g(x)= x? ( x+1? ); (3)f(x)=x2-2x-1 与 g(t)=t2-2t-1; (4)f(x)=1 与 g(x)=x0(x≠0).

[思路点拨] [精解详析]

判断函数的定义域和对应关系是否一致. (1) f(x)的定义域中不含有元素2,而g(x)

定义域为R,即定义域不相同,所以不是同一函数. (2)f(x)的定义域为[0,+∞),而g(x)的定义域为(-∞, -1]∪[0,+∞),定义域不相同,所以不是同一函数.

(3)尽管两个函数的自变量一个用x表示,另一个用t表

示,但它们的定义域相同,对应关系相同, 即对定义域内
同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值, 因此 二者为同一函数. (4)f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},因此不 是同一函数. [一点通] 函数有三个要素:定义域、值域和对应法

则,值域是由定义域和对应法则确定的, 所以只要定义域

和对应法则相同,这两个函数就是同一函数.

3.下列各组中的两个函数是相同函数的是 A.f(x)=(x-1)0 与 g(x)=1 B.f(x)=x 与 g(x)= x2 1-x 1+x C.f(x)= 2 与 g(x)= 2 x +1 x +1 ? x? 4 t 2 D.f(x)= x 与 g(t)=( ) t

(

)

解析:A 中,f(x)=(x-1)0 的定义域是{x|x≠1},g(x)=1 的 定义域为 R,它们的定义域不相同,不是相同函数.B 中, f(x)=x 与 g(x)= x2=|x|的对应关系不同(值域不同),不 1-x 1+ x 是相同函数.C 中,f(x)= 2 与 g(x)= 2 的对应关系 x +1 x +1 ? x?4 不同,不是相同函数.D 中,f(x)= x =x(x>0)与 g(t)= t(t>0)的定义域与对应关系均相同,它们是相同函数.

答案:D

4.如图所示,可表示函数y=f(x)图像的只能是

(

)

解析:判断一个图像是否是某一个函数的图像, 应看它

是否符合函数的概念,即对定义域内的任意数x,按照
某种确定的对应关系,都有唯一确定的数y与它对应. 对于A、C中令x=0,有两个y与之对应.而B中, 当x取 大于0的任意值时,也都有两个y值与之对应. 答案:D

1.求函数定义域的方法: (1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R; (2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不为 0的实数的集合; (3)如果f(x)为偶次根式,那么函数的定义域是使根号 内的式子大于或等于0的实数的集合;

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函 数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合;

(5)如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外, 还
要符合实际情况.

2.函数定义域要用集合或区间形式表示,这一点初学者
易忽视.

[例 3]

求下列函数的定义域.

(1)f(x)=x,x∈{1,2,3,4,5}; 1 (2)f(x)= ; x- 5 (3)y=2 x- 1-7x; ?x+1?0 (4)y= . |x|-x
[思路点拨] 求函数的定义域就是求使函数表达式有意

义的自变量的取值范围,可考虑列不等式或不等式组.

[精解详析] (1)显然定义域为{1,2,3,4,5}; 1 (2)要使 有意义,只要 x-5≠0,即 x≠5,所以函数 f(x)= x-5 1 的定义域为{x|x≠5}; x-5 ? ? ?x≥0, ?x≥0, 1 ? ? (3)令 即 所以 0≤x≤7. 1 ? 1 - 7 x ≥ 0 , x≤7, ? ? ? ? 1? 所以函数的定义域为?x|0≤x≤7?; ? ? ? ? ?x+1≠0, ?x≠-1, (4)令? 即? ? ? ?|x|-x>0, ?x<0, 所以x<0且x≠-1. 所以函数的定义域为{x|x<0,且x≠-1}.

2 5.函数 y= 的定义域为 1- 1-x A.(-∞,1) C.(-∞,0)∪(0,1)
? ?1-x≥0, 解析:由? ? ?1- 1-x≠0, ? ?x≤1, ∴? ? ?x≠0.

(

)

B.(-∞,0)∪(0,1] D.[1,+∞)

答案:B

6.求下列函数的定义域: 5-x (1)f(x)= ; |x|-3 (2)y= x-1+ 1-x.
解(1)要使函数有意义,
? ?5-x≥0, 则? ? ?|x|-3≠0, ? ?x≤5, 即? ? ?x≠±3.

在数轴上标出,

如图,即x<-3,或-3<x<3,或3<x≤5.故函数f(x)的定

义域为(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].
当然也可以表示为{x|x<-3,或-3<x<3,或3<x≤5}.

(2)要使函数有意义,
? ?x-1≥0, 则? ? ?1-x≥0, ? ?x≥1, 即? ? ?x≤1.

所以 x=1,从而函数的定义域为{1}.

函数的值域就是函数值构成的集合,即{f(x)|x∈A} 其中A为定义域.所以求函数的值域首先确定函数的定义

域.求函数的值域的常用方法有:
(1)观察法: 根据式子的特征直接观察出函数的值域;

1 例如1: 求函数 f ( x) ? 的值域. 2 x ?1
(2)配方法: 利用二次函数的最值确定所给函数的值域;

例如2: 求函数 f ( x) ? x2 ? 2x,?x ?[0,3] 的值域.

(3)换元法: 采用换元之后转化为二次函数型, 再利用
配方法求值域,但换元时一定要注意新元的取值范围. 例如3: 求函数 f ( x) ? x ? 4 1 ? x 的值域.

(4)分离常数法: 把分子配成分母的倍数关系, 分离常 数之后再利用观察法求出函数的值域 ; 例如4: 求函数 f ( x) ? 3 x ? 1 的值域.

x?2

(5)判别式法: 利用二次三项式的判别式求值域;

x2 ? x 例如5: 求函数 f ( x) ? 2 的值域. x ? x ?1

(6)数形结合法: 由函数的图像确定值域. 例如6: (略)

[例 4]

求下列函数的值域:

(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}; (2)y= x+1; 1 - x2 (3)y= 2; 1+ x (4)y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2).
[思路点拨] 求值域的方法很多,(1)利用解析式逐 个求;(2)用直接法;(3)分离常数后,逐步求出;(4)利用 二次函数.

[精解详析]

(1)将 x=1,2,3,4,5 分别代入 y=2x+1 计算

得函数的值域为{3,5,7,9,11}; (2)∵ x≥0,∴ x+1≥1, 即所求函数的值域为[1,+∞); 1-x2 2 (3)∵y= =-1+ , 1+x2 1+ x2 ∴函数的定义域为 R, 2 ∵x +1≥1,∴0< ≤2. 1+x2
2

∴y∈(-1,1].∴所求函数的值域为(-1,1];

(4)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 又∵-5≤x≤-2,∴-4≤x+1≤-1. ∴1≤(x+1)2≤16. ∴-12≤4-(x+1)2≤3. ∴所求函数的值域为[-12,3].

7.函数 y=x2+x,x∈[-1,1),则 f(x)的值域是 A.[0,2) 1 C.[-4,2) 1 B.[-4,2]

(

)

1 D.[-4,+∞) 12 1 2 解析:∵f(x)=x +x=(x+2) -4,-1≤x<1,

1 ∴-4≤f(x)<2, 1 即值域为[-4,2). 答案:C

8.函数 y=2x- x-1的值域是________.
解析:函数的定义域是{x|x≥1}. 令 x-1=t,则 t∈[0,+∞),x=t2+1, ∴y=2(t +1)-t=2t 15 ∵t≥0,∴y≥ 8 .
?15 ? ∴原函数的值域为? 8 ,+∞?. ? ?
?15 ? 答案:? 8 ,+∞? ? ?
2 2

? 1?2 15 -t+2=2?t-4? + 8 . ? ?

1. 集合表示法和区间表示法都是表示取值范围的 方法.一般地,用哪种方法表示取值范围应该与原题的 表示方法保持一致,在没有明确的要求下,一般选择比 较简便的表示法.

2.根据图形判断对应是否为函数的方法:
①任取一条垂直于x轴的直线l; ②在定义域内移动直线l;

③若l与图形有一个交点,则是函数,若有两个或两 个以上的交点,则不是函数.

3.函数的定义域是使表达式有意义的自变量的取值
集合,一般转化为解不等式或不等式组的问题. 4.求函数的值域方法较多,常用的有配方法、换元 法、分类讨论法和数形结合法.在利用换元法时, 注意新 元的范围.

点击下列图片进 入应用创新演练


相关文章:
第2章 §1 §2 2.1 函数概念.doc
§1 §2 生活中的变量关系 对函数的进一步认识 函数概2. 1 1.通过实例,...1 生活中的变量关系 阅读教材 P23~P25 内容,完成下列问题. 并非有依赖关系...
...学年北师大版高中数学必修一课时训练 第二章 函数.doc
第二章 函 数 § 1 生活中的变量关系 § 2 对函数的进一步认识 2.1 函数...通过实例,了解生活中的变量关系.(易混点) 2.理解函数的概念及函数的三要素.(...
2.1生活中的变量关系.doc
§2.1 生活中的变量关系【学习目标】1.通过学习结合实例来理解生活中变量之间的依赖关系函数关 系,特别要注 意这两种关系之间的区别和联系; 2. 2.结合初中...
学年高中数学2.1函数概念课时作业北师大版必修1.doc
第二章 §1 §2 函 数 生活中的变量关系 对函数的进一步认识 2.1 函数概念 课时目标 1.理解函数概念,明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集, 表示...
高中数学2.1函数概念课时作业北师大版必修1.doc
第二章 §1 §2 函 数 生活中的变量关系 对函数的进一步认识 2.1 函数概念 课时目标 1.理解函数概念,明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集, 表示...
北师大版数学必修一课件:2.1-2.2函数的概念_图文.ppt
第二章 §1 生活中的变量关系~§2 对函数的进一步认识 2.1 函数概念 学习 ...(x+1)=(x+1)2,而函数y=f(x)=2x中,“f” 表示的对应关系为因变量y...
2.1生活中的变量关系_图文.ppt
北师版第函数 §1 生活中的变量关系 生活中的变量关系 教学目标 1.知识与技能 能够发现和认识生活中变量间的依赖关系。并能利用初中所学函数知识 对依赖...
北师大数学必修一2.1~2.2.1_图文.ppt
北师大数学必修一2.1~2.2.1_数学_高中教育_教育专区。第章 函 数 目录 退出 § 生活中的变量关系 1 § 对函数的进一步认识 2 目录 退出 2.1 函数...
2013年秋北师大版必修1示范教案2.1生活中的变量关系.doc
发展对变量的 认识,了解现实世界充满变量间的相互依赖关系.通过操作和思考,感受...(仅供参考):§1 生活中的变量关系 约 1 课时 2.1 函数概念 约 1 课时 2...
高中数学2-1、2-1函数概念课件北师大版必修_图文.ppt
函数建模方式来解决实际问题. §1 §2 生活中的变量关系 对函数的进一步认识 第1课时函数概念 学习方法指导 知能自主梳理 方法警示探究 思路方法技巧 探索延拓创新...
北师大版高中数学详细教材目录.doc
第二章 函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 2.1函数概念 2.2函数的表示方法 2.3映射 阅读材料 生活中的映射 §3 函数的单调性 §4 二次...
高中数学课本总目录 (1).doc
第二章 函数§ 1 生活中的变量关系 § 2 对函数的进一步认识 2.1 函数的...1.2 生活中的概率 § 2 古典概型 2.1 古典概型的特征和概率计算公式 2....
高中数学北师版教材目录(必修+选修).doc
§2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 3.1 交集与并集 3.2 全集与补集 第二章 函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 2.1 函数概念 2.2...
《生活中的变量关系》教案.doc
`北师大版高一数学必修 1 § 1 生活中的变量关系...课堂小结 量与量之间的关系 依赖关系 函数关系 感悟...设计 生活中的变量关系一、函数定义 函数关系...
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修) 2_图文.doc
§1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 次...日常经济生活中的 应用 本章小节建议 复习题一 课题学习 教育储蓄 第章 解...
01生活中的变量关系、函数的概念_图文.ppt
01生活中的变量关系函数的概念_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数 §1生活中的变量关系 §2 2.1函数的概念 一、预习检测 二、导入 1.阅读书本 P23 的...
§1生活中的变量关系.doc
§1生活中的变量关系_其它课程_高中教育_教育专区。...2.难点:变量之间的依赖关系不一定都是函数关系. ★...从而导出课 题生活中的变量关系.(板书课题 、...
高中数学北师大版目录.doc
第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习...
高中数学必修和选修内容.doc
第二章 函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数...关系认识 4.2 空间图形的公理 §5 平行关系 5....1.2 生活中的概率 §2 古典概型 2.1 古典概型...
北师大版高中数学课本目录 标准版.doc
全集与 补集 第二章 函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识 2.1...1.2 生活中的概率§2 古典概型 2.1 古典概型 的特征和概率计算公式 2.2...
更多相关标签: