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广东省普宁市第二中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题 文

普宁第二中学 2015-2016 学年度第二学期期中考 高一数学(文科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考生务必将自己的姓名、考号 填写在答题卡上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的.)

1 1 1 1 1 1.若数列的前 5 项分别是 ? , ,? , ? ........,则它的通项公式是( 2 3 4 5 6
A.



?? 1?n
n

B.

?? 1?n
n ?1

C. ?? 1?

n ?1

n ?1

D. ?? 1? n

n ?1

2.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a5 ? 9 ,则它的公差为( A.3 B.2 C.-2 D.-3



3.已知 =(3,1) , =(x,x﹣1)且 ∥ ,则 x 等于( A. B. ﹣ C. 3 D.



4.在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 的值为( A. 30 B. 45 C. 60 D. 120



5.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,则最小角的余弦值 为( A.

) D. )

7 8

B. 1

C.

7 9

6 7

6. Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a5 ? a6 ? a7 ? 15,则 S11 为( A. 25 B. 30 C. 35 D. 55

7.若 a,b,c 为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,它的面积为 A. 30° B. 45° C. 60°

a 2 ? b2 ? c2 ,则角 C 等于( 4 3



D. 90°

1

8.定义:称

n 为 n 个正数 p1 , p2 ,? pn 的“均倒数” ,若数列 ?an ? 的前 n p1 ? p 2 ? ? ? p n
1 ,则数列 ?an ?的通项公式为 ( 2n ? 1

项的“均倒数”为 A. 2 n ? 1

) D. 4 n ? 5

B. 4 n ? 1

C. 4 n ? 3

9.设等差数列 ?an ?, ?bn ?的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若对任意自然数 n 都有

S n 2n ? 3 , ? Tn 4n ? 3



a6 的值为( b6
41



A. 19

B.

3 7

C.

7 15

D.

1 3

10 已知数列 ?an ?满足 a1 ? a, a2 ? b, an?2 ? an?1 ? an (n ? N ? ) , Sn 是 ?an ? 的前 n 项的和, 则 a2016 ? S2016 =( A.a+b ) B.a﹣b C.﹣a+b D.﹣a﹣b

1 2 11.数列 ?xn ? 满足: x1 ? , xn ?1 ? xn ? xn ,则下述和数 3
整数部分的值为( A. 0 ) B. 1 C. 2

+

+

+?+



D. 3

12.已知 O 为△ ABC 的外心, AB ? 4, AC ? 2, ?BAC 为钝角, M 是边 BC 的中点, 则 AM ? AO 的值( A. 4
???? ? ????

) B.

5

C.

6

D. 7

第Ⅱ卷 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 若a ? ( x,2),b ? (3,4)且a ? b ? 9, 则x ? ________ 14.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,若 a ? 1 , c ? 3 , C ?

π ,则 3

A ? ________
15.已知等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 OB ? a100 OA ? a101 OC, ,且 A、B、C 三点共线 (该直线不过原点 O) ,则 S 200 =________
2

16.已知 Sn 是正项数列 ?an ? 前 n 项和,对任意 n ? N ,总有 S n ?
?

an 2 ? , 2 an

则 an = 三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,18-22 题 12 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2sin

x x x ? 2? ( 3 cos ? sin ) ? 1 (Ⅰ)若 x ? [ , ] , 2 2 2 6 3

求 f ( x) 的值域; (Ⅱ)在 ?ABC 中, A 为 BC 边所对 的内角若 f ( A) ? 2 , BC ? 1 ,求

uuu r uuu r AB ? AC 的最大值.

18. (本小题满分 12 分)某汽车公司为了考查某 4S 店的服务态度,对到店维修保养的客户 进行回访调查,每个用户在到此店维修或保养后可以对该店进行打分,最高分为 10 分.上 个月公 司对该 4S 店的 100 位到店维修保养的客户进行了调查,将打分的客户按所打分值分 成以下几组: 第一组, 得到频率分布直方图如图所示. (Ⅰ) 分别求第四、 五组的频率; (Ⅱ) 该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取 6 名客户进行深入调查,之后将从这 6 人中 随机抽取 2 人进行物质奖励,求得到 奖励的人来自不同组的概率.
频率 组距

0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 0 2 4 6 8 10
分数

3

19. (本小题满 分 12 分)定理:平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影 垂直, 则这条直线垂直于斜线。试证明此定理: 如图所示:若 PA ? ? , A 是垂足,斜线 PO ? ? ? O, a ? ? , a ? AO , 试证明 a ? PO
A

P

O

a

20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) ,过其焦点作斜率为 1 的直
2

线 l 交抛物线 C 于 M、N 两点,且 | MN |? 16 .

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程;

(Ⅱ)已知动圆 P 的圆心在抛物线 C 上,且过定点 D(0,4),若动圆 P 与 x 轴交于 A、B 两点,且 | DA |?| DB | ,求

| DA | 的最小值. | DB |

4

? 1 ,函数 g ( x) ? ax 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x e
零的常数. (Ⅰ)求函数

x

?4 x ,其中 a 为大于

f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求证: g ( x) ? 2 f ( x) ? 2(ln a ? ln 2) .

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 ? 2t ? ?y ? ? 2 ?t

( t 为参数), 在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系

中,曲线 C 2 的方程为 ? ?

2 1 ? 3sin 2 ?

( Ⅰ)求曲线 C1 、 C 2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 .

A 、 B 分别为曲线 C1 、 C 2 上的任意点,求 AB 的最小值.

5

参考答案 1-6 BBDCAD 13. 1 15. 100 7-12 ACABCB 14. (30 ) 16.

π 6

?

an ? 2( n ? n ?1)

17. (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ?

?
6

),

-------------3 分

? 2? ? ? 5? ? x ? [ , ] ? x ? ? [ , ] ,? f ( x) 的值域为 [1, 2] ;-------------6 分 6 3 6 3 6
(Ⅱ)? f ( A) ? 2 ,? sin( A ?
2 2 2

?

6

) ? 1 ,? A ?

?

3



AB ? AC ? BC 1 ? cos A ? ? 2 AB AC 2
2 2

-------------9 分

? AB AC ? AB ? AC ? 1 ? 2 AB AC ? 1 ,? AB AC ? 1

??? ? ???? 1 1 ? AB ? AC ? AB AC cos A ? AB AC ? . 2 2 ??? ? ???? 1 ? AB ? AC 的最大值为 . -------------12 分 2 18. 解:(1)由直方图知, 第四组的频率为 0.175 ? 2 ? 0.35 , 第五组的频率为 0.15 ? 2 ? 0.30
所以第四、五组的频率分别为 0.35 和 0.3 . ?????????4 分

(2) 由直方图知,第二、三组客户人数分别为 10 人和 20 人,所以抽出的 6 人中,第 二组有 2 人,设为 A,B,第三组有 4 人,设为 a,b,c,d. 从中随机抽取 2 人的所有情况如下: AB,Aa,Ab,Ac,Ad, Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd 共 15 种.?8 分 其中,两人来自不同组的情况共有 8 种, ?????????10 分 ?????????12 分

8 . 15 19. ((1)证明:? PA ? ?,a ? ? ? PA ? a
所以,得到奖励的人来自不同组的概率为

? a ? AO

又? PA ? AO ? A a ? 平面PAO

PO ? 平面PAO?a ? PO -.
20. 解:(1) 设抛物线的焦点为 F (0,

p p ) ,则直线 l : y ? x ? , 2 2

6

p ? ?y ? x ? 由? 2 ,得 x 2 ? 2 px ? p 2 ? 0 ? x 2 ? 2 py ?

?????????2 分

? x1 ? x2 ? 2 p ,? y1 ? y2 ? 3 p , ? | MN |? y1 ? y2 ? p ? 4 p ? 16 ,? p ? 4
?????????4 分

? 抛物线 C 的方程为 x 2 ? 8 y

?????????5 分

2 (2) 设动圆圆心 P( x0 , y0 ), A( x1 ,0), B( x2 ,0) ,则 x0 ? 8 y0 , 2 且圆 P : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? x0 ? ( y0 ? 4)2 , 2 令 y ? 0 ,整理得: x 2 ? 2x0 x ? x0 ?16 ? 0 ,

解得: x1 ? x0 ? 4, x2 ? x0 ? 4 ,

?????????7 分

( x0 ? 4) 2 ? 16 | DA | ? ? | DB | ( x0 ? 4) 2 ? 16
当 x0 ? 0 时,

2 x0 ? 8 x0 ? 32 16 x0 , ? 1? 2 2 x0 ? 8 x0 ? 32 x0 ? 8 x0 ? 32 ????9 分

| DA | ? 1, | DB |

当 x0 ? 0 时,

| DA | 16 32 ? 1? ,? x0 ? 0 ,? x0 ? ?8 2 , 32 | DB | x 0 x0 ? 8 ? x0

| DA | 16 ? 1? ? 3 ? 2 2 ? 2 ? 1 ,? 2 ? 1 ? 1 | DB | 8?8 2
所以

| DA | 的最小值为 2 ? 1 . | DB |

?????????12 分

21. (1)解: f ?( x) ?

1? x ,----- ----------------------1 分 x

令 f ??x ? ? 0 得 0 ? x ? 1 ,则 f ?x ? 在 ?0,1? 上单调递增; 令 f ??x ? ? 0 得 x ? 1 ,则 f ?x ? 在 ?1,??? 上单调递减。---------------------3 分 (2) g ?x? ? 2 f ?x? ? axe ? 2x ? 2 ln x ? 2 .令 F ?x ? ? axe ? 2 ln x ? 2 x ? 2 ,---------4
x x



7

则 F ??x ? ? ?x ? 1?? aex ? 令 G?x ? ? axex ? 2 ,

? ?

2 ? x ?1 axex ? 2 , ?? x? x

?

?

则 G??x? ? a?x ? 1?e x ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?0,??? 上单调递增。 ------------------ -------6 分
? a ? 2? 而 G?0? ? ?2 ? 0 , G? ,故存在 x0 ? ? 0, ? ,使得 G?x0 ? ? 0 , e ? 1? ? ? ? 2? ? ??0 ? a? ?a? ? ?
2

?

2?



ax0 e x0 ? 2 ? 0



---------------------------------------------------------------------------8 分 则 x ? ?0, x0 ? 时, G ??x ? ? 0 ,故 F ??x ? ? 0 ; x ? ?x0 ,??? 时, G??x ? ? 0 ,故 F ??x ? ? 0 。 则

F ?x ? 在

?0, x0 ?

上 单 调 递 减 , 在

?x0 ,???

上 单 调 递 增 ,

------------------------------------10 分 故 F ?x? ? F ?x0 ? ? ax0 e x0 ? 2x0 ? 2 ln x0 ? 2 ? ?2?x0 ? ln x0 ?

? ?2 ln x0 e x0 ? ?2 ln


?

?

2 ? 2 ln a ? 2 ln 2 。 a


ag?x? ? 2 f ?x? ? 2?ln a ? ln 2?

----------------------------------------------- ---------------12 分 22. (1) C1 : x ? 2 y ? 3 2 ? 0, C2 :

x2 ? y 2 ? 1 .-------------6 分 4

?? ? 2 2 cos ? ? ? ? ? ?3 2 2cos ? ? 2sin ? ? 3 2 4? ? (2)设 B ? 2cos? ,sin ? ? ,则 AB ? , ? 5 5
当且仅当 ? ? 2k? ?

?
4

?k ? Z ? 时

AB min ?

2 10 .-------------12 分 ? 5 5

8


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