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《三角函数》高考真题理科大题总结及答案

《三角函数》大题总结
?ABC 中, 1. 【2015 高考新课标 2, 理 17】 D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC ,
?ABD 面积是 ?ADC 面积的

2 倍.

(Ⅰ) 求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ?

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

2.【2015 江苏高考,15】在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60? . (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值. 3.【2015 高考福建,理 19】已知函数 f( x) 的图像是由函数 g ( x) = cos x 的 图像经如下变换得到: 先将 g ( x) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,再将所得到的图像向右平移 个单位长度. (Ⅰ)求函数 f( x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (Ⅱ)已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b . (1)求实数 m 的取值范围;
2m 2 - 1. (2)证明: cos(a - b ) = 5
p 2

4.【2015 高考浙江,理 16】在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分 别为 a , b , c ,已知 A ? , b 2 ? a 2 = c 2 .
4

?

1 2

(1)求 tan C 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 7,求 b 的值.

?? 5.【2015 高考山东,理 16】设 f ? x ? ? sin x cos x ? cos 2 ? ? x ? ?.
? 4?

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间;
A? (Ⅱ)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ? ? ? ? 0, a ? 1 , 2 ? ?

求 ?ABC 面积的最大值.

?? 6.【2015 高考天津,理 15】已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? sin 2 ? ? x ? ?, x?R
? 6?

(I)求 f ( x) 最小正周期; (II)求 f ( x) 在区间 [p p , ] 上的最大值和最小值. 3 4

7.【2015 高考安徽,理 16】在 ?ABC 中, A ? 在 BC 边上, AD ? BD ,求 AD 的长.

3? , AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D 4

? 2 8.【2015 高考重庆,理 18】 已知函数 f ? x ? ? sin ? ? ? x ? sin x ? 3 cos x 2 ? ?

?

(1)求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2)讨论 f ? x ? 在 ? ? ,
?6

? 2? ?

上的单调性. 3 ? ?

9.【2015 高考四川,理 19】 如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 的四个内角. (1)证明: tan (
tan A 1 ? cos A ? ; 2 sin A

2





A ? C ? 180o , AB ? 6, BC ? 3,CD ? 4, AD? 5,



A B C D ? tan ? tan ? tan 的值. 2 2 2 2

10. 【 2015 高 考 湖 北 , 理 17 】 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数
f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? π ) 在某一个周期内的图象 2

时,列表并填入了部分数据,如下表:
?x ? ?

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6
?5



x

A sin(? x ? ? )

0

5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直 ........... 接写出函数 f ( x) 的解 析式; (Ⅱ) 将y? 得 f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度,

到 y ? g ( x) 的图 象. 若 y ? g ( x) 图象的一个对称中心为 ( 5π , 0) ,求 ? 的最小值.
12

???C 的内角 ? , 11. 【2015 高考陕西, 理 17】 (本小题满分 12 分) ?,
? ? C 所对的边分别为 a , b , c .向量 m ? a, 3b 与 n ? ? cos ?,sin ? ? 平行.

?

?

(I)求 ? ; (II)若 a ? 7 , b ? 2 求 ???C 的面积.

12.【2015 高考北京,理 15】已知函数 f ( x) ? (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值.

x x x 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2

13. 【 2015 高考广东,理 16 】在平面直角坐标系 xoy 中,已知向量
?? ? 2 ? 2? ? ?? m?? , ? x ? , , n ? sin x ,cos x ? ? ? ? 0, ? . ? 2 2 ? ? 2? ? ?

(1)若 m ? n ,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值.
?? ?

??

?

? 3

14.【2015 高考湖南,理 17】设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为
a , b , c , a ? b tan A ,且 B 为钝角.

(1)证明: B ? A ?

?
2



(2)求 sin A ? sin C 的取值范围.

《三角函数》大题答案
1 ;(Ⅱ) 1 . 2 1 1 【 解 析 】 ( Ⅰ ) S ?ABD ? AB ? AD sin ?BAD , S ?ADC ? AC ? AD sin ?CAD , 因 为 2 2 sin ?B AC 1 ?BAD ? ?CAD , 所以 AB ? 2 AC . 由正弦定理可得 S ?ABD ? 2S ?ADC , ? ? . sin ?C AB 2
1.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)因为 S ?ABD : S ?ADC ? BD : DC ,所以 BD ? 得

2 .在 ?ABD 和 ?ADC 中,由余弦定理

AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? 2 AD ? BD cos ?ADB ,AC 2 ? AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC . AB 2 ? 2 AC 2 ? 3 AD 2 ? BD 2 ? 2 DC 2 ? 6 .由(Ⅰ)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 .
2.【答案】 (1) 7 ; (2)
4 3 7

3.【答案】(Ⅰ) f( x) = 2sin x , x = kp +

p (2)详见解析. (k ? Z). ;(Ⅱ)(1)(- 5, 5) ; 2

【解析】解法一:(1)将 g ( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 变 ) 得 到 y = 2 cos x 的 图 像 , 再 将 y = 2 cos x 的 图 像 向 右 平 移

p 个单位长度后得到 2

y = 2 cos( x -

p ) 的图像,故 f( x) = 2sin x ,从而函数 f( x) = 2sin x 图像的对称轴方程为 2

p x = kp + (k ? Z). 2
(2)1) f( x) + g( x) = 2sin x + cos x = 5(

2 1 sin x + cos x) 5 5

= 5 sin( x +j ) (其中 sin j =

1 2 , cos j = ) 5 5

依题意,sin( x +j )=

m m |< 1 ,故 m 的 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b 当且仅当 | 5 5

取值范围是 (- 5, 5) . 2)因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=

m m , sin( b +j )= . 5 5

p - j ), a - b = p - 2( b +j ); 2 3p 当 - 5<m<1 时, a +b =2( - j ), a - b = 3p - 2( b +j ); 2
当 1 ? m< 5 时, a +b =2( 所以 cos(a - b ) = - cos 2( b +j ) = 2sin ( b +j ) - 1 = 2( 解法二:(1)同解法一. (2)1) 同解法一. 2) 因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=
2

m 2 2m 2 ) - 1= - 1. 5 5

m m , sin( b +j )= . 5 5

p - j ), 即a +j = p - ( b +j ); 2 3p 当 - 5<m<1 时, a +b =2( - j ), 即a +j = 3p - ( b +j ); 2
当 1 ? m< 5 时, a +b =2( 所以 cos(a +j ) = - cos( b +j ) 于是 cos(a - b ) = cos[(a +j ) - ( b +j )] = cos(a +j ) cos( b +j ) + sin(a +j )sin( b +j )

= - cos 2 ( b +j ) + sin(a +j ) sin( b +j ) = - [1 - (

m 2 m 2m 2 ) ] + ( )2 = - 1. 5 5 5

4.【答案】 (1) 2 ; (2) b ? 3 .

又∵ A ?

?
4



1 bc sin A ? 3 ,∴ bc ? 6 2 ,故 b ? 3 . 2

5.【答案】 (I)单调递增区间是 ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ; 4 ? 4 ?

单调递减区间是 ?

3? ?? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 4 ?4 ? 2? 3 4

(II) ?ABC 面积的最大值为 【解析】

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? sin 2 x 2? ? ? (I)由题意知 f ? x ? ? 2 2
? sin 2 x 1 ? sin 2 x 1 ? ? sin 2 x ? 2 2 2

由? 由

?

?
2

2

? 2 k? ? 2 x ?

?

? 2 k? ? 2 x ?

3? ? 3? ? 2k? , k ? Z 可得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 2 4 4

2

? 2k? , k ? Z 可得 ?

?
4

? k? ? x ?

?
4

? k? , k ? Z

所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ; 4 ? 4 ? 单调递减区间是 ?

? ?

?

?

3? ?? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 4 ?4 ?

6.【答案】(I) ? ; (II) f ( x ) max ? 【解析】(I) 由已知,有

3 1 , f ( x ) min ? ? . 4 2

1 ? cos 2 x f ( x) ? ? 2

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 3 3? 1?1 ? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? cos 2 x 2 2?2 2 ? 2

?

3 1 1 ? ?? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? . 4 4 2 ? 6?
2? ?? . 2

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)因为 f ( x ) 在区间 [ -

p p p p , - ] 上是减函数,在区间 [ - , ] 上是增函数, 3 6 6 4

? 1 ? 1 ? 3 3 p p , 所以 f ( x) 在区间 [- , ] 上的最大值为 , f (? ) ? ? , f (? ) ? ? , f ( ) ? 3 4 6 2 4 4 4 3 4
最小值为 ?

1 . 2

7.【答案】 10 【解析】如图,

设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ?BAC ? (3 2) 2 ? 62 ? 2 ? 3 2 ? 6 ? cos
所以 a ? 3 10 . 又由正弦定理得 sin B ?

3? ? 18 ? 36 ? (?36) ? 90 , 4

b sin ?BAC 3 10 ? ? . a 3 10 10
2

由题设知 0 ? B ?

?
4

,所以 cos B ? 1 ? sin B ? 1 ?

1 3 10 ? . 10 10

在 ?ABD 中,由正弦定理得 AD ?

AB ? sin B 6sin B 3 ? ? ? 10 sin(? ? 2 B) 2sin B cos B cos B
22 3
; (2 ) f ( x ) 在 [

8. 【答案】 (1) 最小正周期为 p , 最大值为 在[

? 5?

, ] 上单调递增; f ( x) 6 12

5? 2? , ] 上单调递减. 12 3

5? 2? 时, f ( x) 单调递减, ?x? 2 3 12 3 ? 5? 5? 2? 综上可知, f ( x) 在 [ , ] 上单调递增; f ( x) 在 [ , ] 上单调递减. 6 12 12 3 4 10 9.【答案】 (1)详见解析; (2) . 3


?

? 2x ?

?

? ? 时,即

A A 2sin 2 A 2 ? 2 ? 1 ? cos A . 【解析】 (1) tan ? A A A 2 cos sin A 2sin cos 2 2 2 sin
(2)由 A ? C ? 180 ,得 C ? 180 ? A, D ? 180 ? B .
?
? ?

由(1) ,有 tan

A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2

?

1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cos(180? ? A) 1 ? cos(180? ? B) ? ? ? sin A sin B sin(180? ? A) sin(180? ? B)

?

2 2 ? sin A sin B

连结 BD, 在 ?ABD 中,有 BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD cos A ,
2 2 2

在 ?BCD 中,有 BD ? BC ? CD ? 2 BC ? CD cos C ,
2 2 2

所以 AB ? AD ? 2 AB ? AD cos A ? BC ? CD ? 2 BC ? CD cos A ,
2 2 2 2

则 cos A ?

AB 2 ? AD 2 ? BC 2 ? CD 2 62 ? 52 ? 32 ? 42 3 ? ? , 2( AB ? AD ? BC ? CD ) 2(6 ? 5 ? 3 ? 4) 7
2

于是 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ?
2

3 7

2 10 . 7

连结 AC,同理可得

cos B ?

AB 2 ? BC 2 ? AD 2 ? CD 2 62 ? 32 ? 52 ? 42 1 ? ? , 2( AB ? BC ? AD ? CD ) 2(6 ? 3 ? 5 ? 4) 19
2

于是 sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ( 所以 tan

1 2 6 10 ) ? . 19 19

A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2

?

2 2 ? sin A sin B

?

14 2 ?19 ? 2 10 2 10

π π 10.【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ; (Ⅱ) . 6 6 π 【解析】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表: 6

?x ? ?
x

0
π 12

π 2 π 3

π
7π 12

3π 2 5π 6
?5



13 π 12

A sin(? x ? ? )

0

5

0

0

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,得 g ( x) ? 5sin(2 x ? 2? ? ) . 6 6

因为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z . 令 2 x ? 2? ?
π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? ?? , k ?Z . 6 2 12 5π kπ π 5π , , 0) 成中心对称,令 ? ? ? ? 12 2 12 12

由于函数 y ? g ( x) 的图象关于点 ( 解得 ? ?

kπ π π ? , k ? Z . 由 ? ? 0 可知,当 k ? 1 时, ? 取得最小值 . 2 3 6

11.【答案】 (I) 【解析】

3 3 ? ; (II) . 2 3

(I)因为 m //n ,所以 a sin B 由正弦定理,得 sinA sinB-

? ?

3b cos A = 0 ,

3 sinBcos A = 0

又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 ,

从而 sin B =

21 , 7 2 7 . 7

又由 a > b ,知 A > B ,所以 cos B =

故 sinC ? sin ? A ? B ? ? sin ? ? ?

? ?

??

? ? 3 21 ? ? sin B cos ? cos B sin ? 3? 3 3 14

所以 ???C 的面积为

1 3 3 . bc sinA = 2 2

12.【答案】 (1) 2? , (2) ?1 ? 【解析】 :

2 2

f(x ) ?

2 sin

x
2

cos

x
2

?

2 sin2

x
2

?

2?

1 sin x ? 2

2?

1 ? cos x ? 2

?

2 2 2 ? 2 sin x ? cos x ? ? sin(x ? ) ? 2 2 2 4 2
2? ? 2? ; 1

(1) f (x )的最小正周期为T ?

(2)? ?? ? x ? 0,? ?

3? ? ? ? ? 3? 时, ? x ? ? ,当 x ? ? ? ,x ? ? 4 4 4 4 2 4

f(x )取得最小值为: ?1 ?
13.【答案】 (1) 1 ; (2 ) x ? 【解析】 (1)∵ m ? ?

2 2

5? . 12

??

?? ? ? 2 2? ? , ? , n ? ? sin x,cos x ? 且 m ? n , ? ? 2 2 ? ? ?

∴m?n ? ?

?? ?

? 2 2? 2 2 ?? ? ? ?? x ? ? ? 0 ,又 x ? ? 0, ? , ? 2 ,? 2 ? ? ? ? sin x,cos x ? ? 2 sin x ? 2 cos x ? sin ? 4? ? ? 2? ? ?

∴x?

?

? ? ? ? ? ?? ? ? ? , ? ,∴ x ? ? 0 即 x ? ,∴ tan x ? tan ? 1 ; 4 ? 4 4? 4 4 4

?? ? ?? ? sin ? x ? ? ? m?n ?? 4? ? ? ? sin ? x ? ? , (2)由(1)依题知 cos ? ?? ? ? 2 2 3 m?n 4? ? ? 2? ? 2? 2 2 ? ? ?? ? ? sin x ? cos x ? 2 ? ? 2 ?
∴ sin ? x ? ∴x?

? ?

??
?
6

1 ? ? ? ?? ? ? 又 x ? ??? , ?, 4? 2 4 ? 4 4?
即x ?

?
4

?

5? . 12

14.【答案】 (1)详见解析; (2) (

2 9 , ]. 2 8

? ? ? ? ? ? (2 A ? ) ? ? 2 A ? 0 ,∴ A ? (0, ) ,于是 sin A ? sin C ? sin A ? sin( ? 2 A)
2 2 4 2

1 9 ? , ∵ 0? A? ? sin A ? cos 2 A ? ?2sin 2 A ? sin A ? 1 ? ?2(sin A ? ) 2 ? 4 8 4

, ∴

0 ? sin A ? 2 9 , ]. 2 8

2 2 1 9 9 ,因此 ? ?2(sin A ? ) 2 ? ? ,由此可知 sin A ? sin C 的取值范围 2 2 4 8 8

是(