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2012高三数学一轮复习单元练习题:函数与数列(Ⅲ)


2012 高三数学一轮复习单元练习题:函数与数列(Ⅲ)
一.填充题: (本题共 10 个小题,每题 4 分,共 40 分) 1、设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 4 ? a12 ? a17 ? a19 ? 8 ,则 S 2 5 的值为 2、函数
f ( x) ? x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)



的定义域为

。 。 。
f ( x)

3、设方程 2 ln x ? 7 ? 2 x 的解为 x 0 ,则关于 x 的不等式 x ? 2 ? x0 的最大整数解为 4、函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg( 2 sin x ? 5、 设函数
f ( x) ? g ( x) ? x
2

3 ) 的定义域是

, 曲线 y ? g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 则曲线 y ? 。
a x ( x ? 0, a ? R )

在点 (1, f (1)) 处

切线的斜率为 6、已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 7、函数 y ?
2x ? x ? 1
2

在区间 ? 2, ?? ? 是增函数,则实数 a 的取值范围为 。



x ?1

( x ? 1) 的值域是

? x ? y ≥ 0, ? ? 2 x ? y ≤ 2, 8、若不等式组 ? ? y ≥ 0, ? ?x ? y ≤ a

表示的平面区域是一个三角形及其内部,则 a 的取值范围是



9、若关于 x 的不等式 a ?

3 4

x ? 3x ? 4 ? b
2

的解集恰好是 ? a , b ? ,则 a ? b ?



10、已知 f 1 ( x ) ? sin x ? cos x ,记
' ' f 2 ( x ) ? f1 ( x ) , f 3 ( x ) ? f 2 ( x ) ,…, f n ( x ) ? f n ?1 ( x ) ( n ? N *, n ? 2 ) ,

'

则 f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ?? ? f 2009 ( ) ?
4 4 4

?

?

?



二.附加题: (本题共 2 个小题,满分 10 分,不计入总分) 11、在计算机的算法语言中有一种函数 [ x ] 叫做取整函数(也称高斯函数) ,它表示 x 的整数部分,即[ x ] 是不超过 x 的最大整数.例如:[2] ? 2,[3.1] ? 3,[ ?2.6] ? ?3 .设函数 值域为 。
f ( x) ? 2
x x

1? 2

?

1 2

,则函数 y ? [ f ( x )] ? [ f ( ? x )] 的

12、 在公差为 d ( d ? 0 ) 的等差数列 ?a n ? 中, S n 是 ?a n ? 的前 n 项和, 若 则数列 S 20 ? S 10 , S 30 ? S 20 , S 40 ? S 30 也 成 等 差 数 列 , 且 公 差 为 100 d , 类 比 上 述 结 论 , 相 应 地 在 公 比 为 q ( q ? 1) 的 等 比 数 列 ?b n ? 中 , _______________________________ ____________________________________________________________________________________。

三.解答题: (本题共 4 个大题,满分 60 分)
π ? 1 2 ? 13、(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? cos ? x ? ? , g ( x ) ? 1 ? sin 2 x . 12 ? 2 ?

(I)设 x ? x 0 是函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴,求 g ( x 0 ) 的值. (II)求函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调递增区间.

14、 (本小题满分 16 分)已知函数 g ( x ) ? m∈R. (1)求 θ 的值; (2)若 F ( x ) ?

1 sin ? ? x

? ln x

π) 在[1, +∞) 上为增函数, θ∈ 且 (0, ,f x()

m x?

?

m ?1 ?nl x x



f ( x) ? g ( x)

在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围;

15、(本小题满分 15 分) 已知函数
f ( x)

f ( x) ?

x

2

x?2

( x ? R , x ? 2) .(1)求 f ( x )

的单调减区间;(2)若 g ( x ) ? x 2 ? 2 ax 与函数

在 x ? [0,1] 上有相同的值域,求 a 的值;(3)设 m ? 1 ,函数 h ( x ) ? x 3 ? 3m 2 x ? 5 m , x ? [0,1] ,若对于任意 x ? [0,1] ,总存 在 x 0 ? [0,1] 使得 h ( x0 ) ? f ( x ) 成立,求 m 的取值范围. 16、(本小题满分 16 分)已知:数列﹛ a n ﹜,﹛ b n ﹜中, a 1 =0, b1 =1,且当 n ? N ? 时, a n , b n , a n ?1 等差数列, b n , a n ?1 , b n ?1 成等比数列. (1)求数列﹛ a n ﹜,﹛ b n ﹜的通项公式;
1? 不等式 2 ? ? 3)b n ≥ 2 ? ? 4)a n ? ? ? 3) (2) 求最小自然数 k , 使得当 n ≥ k 时, 对任意实数 ? ? ?0, , ( ( (



恒成立; (3)设 d n ? 参考答案 一.填充题: 1. 设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 4 ? a12 ? a17 ? a19 ? 8 ,则 S 2 5 的值为 2.函数
f ( x) ? x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

1 b1

?

1 b2

? ??? ?

1 bn

( (n ∈ N ? ) ,求证:当 n ≥2 都有 d n2 >2

d2 2

?

d3 3

? ??? ?

dn n

).

.50

的定义域为





3.设方程 2 ln x ? 7 ? 2 x 的解为 x 0 ,则关于 x 的不等式 x ? 2 ? x0 的最大整数解为____▲____.

4. 函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg( 2 sin x ?
f ( x ) ? g ( x )? x ,曲线
2

3 ) 的定义域是________. (2 k ? ?

?
3

, 2k? ?
f ( x)

2? 3

]( k ? Z ) 5.设函数

y ? g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ?



点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 6.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 7.函数 y ?
2x ? x ? 1
2



。4 在区间 ? 2, ?? ? 是增函数,则实数 a 的取值范围为 ▲ .

a x

( x ? 0, a ? R )

x ?1

( x ? 1) 的值域是___ ? 7, ?? ? __________________

8.若不等式组

? x ? y ≥ 0, ? ? 2 x ? y ≤ 2, ? ? y ≥ 0, ? ?x ? y ≤ a

表示的平面区域是一个三角形及其内部,则 a 的取值范围是



4 (0, 1] U [ , ? ? ) 3


3 4 x ? 3x ? 4 ? b
2

9.若关于 x 的不等式 a ?

的解集恰好是 ? a , b ? ,则 a ? b ?

4

.

' 10. 已知 f 1 ( x ) ? sin x ? cos x ,记 f 2 ( x ) ? f1' ( x ) , f 3 ( x ) ? f 2' ( x ) ,…, f n ( x ) ? f n ?1 ( x ) ( n ? N *, n ? 2 ) ,

则 f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ?? ? f 2009 ( ) ? ____▲____. 2
4 4 4

?

?

?

二.附加题: (本题共 2 个小题,满分 10 分) 11. 在计算机的算法语言中有一种函数 [ x ] 叫做取整函数(也称高斯函数) ,它表示 x 的整数部分,即[ x ] 是不超过 x 的最大整数.例如:[2] ? 2,[3.1] ? 3,[ ?2.6] ? ?3 .设函数 值域为 ___ ? ? 1, 0? _______ 12. 在 公 差 为 d ( d ? 0 ) 的 等 差 数 列 ?a n ? 中 , 若 S n 是 ?a n ? 的 前 n 项 和 , 则 数 列
S 20 ? S 10 , S 30 ? S 20 , S 40 ? S 30 也成等差数列, 且公差为 100 d , 类比上述结论, 相应地在公比为 q ( q ? 1) 的
f ( x) ? 2
x x

1? 2

?

1 2

,则函数 y ? [ f ( x )] ? [ f ( ? x )] 的

等比数列 ?b n ? 中,_________________________________________ 若 T n 是数列 ?b n ? 的前 n 项积,则有
T 20 T 30 T 40 100 , , 也成等比数列 , 且公比为 q T10 T 20 T 30

三.解答题: (本题共 4 个大题,满分 60 分)
π ? 1 2 ? 13、已知函数 f ( x ) ? cos ? x ? ? , g ( x ) ? 1 ? sin 2 x . 12 ? 2 ?

(I)设 x ? x 0 是函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴,求 g ( x 0 ) 的值. (II)求函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调递增区间. 解: (I)由题设知 f ( x ) ?
1 2 [1 ? cos(2 x ? π 6 )] . π 6
? kπ ,

因为 x ? x 0 是函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴,所以 2 x 0 ? 即 2 x0 ? kπ ?
π 6

(k ? Z ) .
1 2 sin 2 x 0 ? 1 ? 1 2 sin( k π ? π 6 ).

所以 g ( x 0 ) ? 1 ?

当 k 为偶数时, g ( x 0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x 0 ) ? 1 ? (II) h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?

1

1 3 ? π? sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 4 4 ? 6?
sin π 6 ?1? 1 4 ? 5 4

1 2



1? π ?? 1 ? ?1 ? cos ? 2 x ? ? ? ? 1 ? sin 2 x 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1? π? ? 3 1? 3 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? ? ? ? 2 2? 6? 2 ? ? 2 2? 2 ?

?

1

π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 3? 2 ?
π 2 ≤ 2x ? π 3 ≤ 2 kπ ? π 2

当 2 kπ ?

,即 k π ?

5π 12

≤ x ≤ kπ ?

π 12

( k ? Z )时,

函数 h ( x ) ?

1

π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 3? 2 ?

5π π ? ? , kπ ? 故函数 h ( x ) 的单调递增区间是 ? k π ? (k ? Z ) . 12 12 ? ? ?

14、已知函数 g ( x ) ?

1 sin ? ? x

? ln x

在[1,+∞)上为增函数,且 θ∈(0,π) f x() ,

m x?

?

m ?1 ?nl x x

,m∈R. (1)

求 θ 的值; (2)若 F ( x ) ? 解: (1)由题意, g ?( x ) ? ?

f ( x) ? g ( x)

在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围; ≥0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即
sin ? ? x ? 1 sin ? ? x
2

1 sin ? ? x
2

?

1 x

≥0



∵θ∈(0,π) ,∴ sin ? ? 0 .故 sin ? ? x ? 1 ≥ 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,

只须 sin ? ? 1 ? 1 ≥ 0 ,即 sin ? ≥ 1 ,只有 sin ? ? 1 .结合 θ∈(0,π) ,得 ? ? (2)由(1) ,得 f ( x ) ? g ( x ) ?
mx ? m x ? 2 ln x

π 2



. ? ? f ( x ) ? g ( x ) ?? ?

mx ? 2 x ? m
2

x

2



∵ f ( x ) ? g ( x ) 在其定义域内为单调函数,∴ mx 2 ? 2 x ? m ≥ 0 或者 mx 2 ? 2 x ? m ≤ 0 在[1,+∞)恒成立.
2 mx ? 2 x ? m ≥ 0 等价于 m (1 ? x ) ≥ 2 x ,即 m ≥ 2 ,而 1? x
2

2x

2x x ?1
2

?

2 x? 1 x

2

, x? (

1 x

)max=1,∴ m ≥ 1 .
2x x ?1
2

2 mx ? 2 x ? m ≤ 0 等价于 m (1 ? x ) ≤ 2 x ,即 m ≤
2

2x 1? x
2

在[1,+∞)恒成立,而

∈(0,1], m ≤ 0 .

综上,m 的取值范围是 ? ?? , 0 ? ? ?1, ?? ? .

15、已知函数

f ( x) ?

x

2

x?2

( x ? R , x ? 2) .(1)求 f ( x )

的单调减区间;(2)若 g ( x ) ? x 2 ? 2 ax 与函数
x ? [0,1]

f ( x)

在 x ? [0,1] 上有相
x 0 ? [ 0 , 1]使 得

同 的值 域, 求 a 的 值;(3) 设 m ? 1 , 函 数 h ( x ) ? x 3 ? 3m 2 x ? 5 m , x ? [0,1] , 若对 于任 意 h ( x0 ) ? f ( x )成立,求 m 的取值范围. 解: (1)
f '( x ) ? x ? 4x
2

, 总存在

( x ? 2)

2

,令 f '( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 2 或 2 ? x ? 4 ,所以 f ( x ) 的单调减区间为 (0, 2) 和 (2, 4)

(2) 由 (1) 可 知 , f ( x ) 在 [0,1] 上 是 减 函 数 , ? 其 值 域 为 [ ? 1 , 0 ,]? 当 x ? [0,1] 时 , g ( x ) 的 值 域 为
[ ? 1, 0] .? g (0) ? 0 为最大值,? 最小值只能为 g (1) 或 g ( a ) .

若 g (1) ? ? 1 ,则 ?

?

a ?1

?1 ? 2 a ? ? 1
?1 ? ? a ?1 ?? a 2 ? ?1 ?

? a ?1

,
?1.

若 g ( a ) ? ? 1 ,则 ? 2

? a ? 1 ,综上可得 a

(3)设 h ( x ) 的值域为 A ,由题意知 [ ? 1, 0] ? 减函数,所以 ?
? h ( x ) max ? h (0) ? 5 m ? 0

A .又 h '( x ) ? 3 x 2 ? 3 m 2 ? 0

恒成立( ? m ? 1, x ? [0,1] ),所以 h ( x ) 在[0,1]上为

? h ( x ) min ? h (1) ? 1 ? 3 m ? 5 m ? ?1
2

? m?2

,所以 m 的取值范围为 [2, ?? ) .

16、(本小题满分 16 分)已知:数列﹛ a n ﹜,﹛ b n ﹜中, a 1 =0, b1 =1,且当 n ? N ? 时, a n , b n , a n ?1 成 等差数列, b n , a n ?1 , b n ?1 成等比数列. (1)求数列﹛ a n ﹜,﹛ b n ﹜的通项公式;
1? 不等式 2 ? ? 3)b n ≥ 2 ? ? 4)a n ? ? ? 3) (2) 求最小自然数 k , 使得当 n ≥ k 时, 对任意实数 ? ? ?0, , ( ( (

恒成立; (3)设 d n ?
1 b1 ? 1 b2 ? ??? ? 1 bn

( (n ∈ N ? ) ,求证:当 n ≥2 都有 d n2 >2

d2 2

?

d3 3

? ??? ?

dn n

).

(1) ∵当 n ∈ N ? 时, a n , b n , a n ?1 成等差数列, b n , a n ?1 , b n ?1 成等比数列.
2 ∴2 b n = a n + a n ?1 , a n ?1 = bn ? bn ?1 .

又∵ a 1 ? 0 , b1 ? 1 ,∴ b n ≥0, a n ≥0 , 且 2 b n ? ∴ 2 bn ?
b n ?1 ? b n ?1 ( n ≥2),

b n ?1 b n ?

b n b n ?1 ,

∴数列﹛ b n ﹜是等差数列,又 b 2 ? 4 ,∴ b n ? n , n ? 1 也适合.
2 ∴ b n ? n , a n ? ( n ? 1) n .

(2) 将 a n , b n 代入不等式 2 ? ? 3)b n ≥ 2 ? ? 4)a n ? ? ? 3) ( ( ( 整理得: ( 2 n ? 1) ? ? n ? 4 n ? 3 ≥0
2

(? )

2 令 f ( ? ) ? ( 2 n ? 1) ? ? n ? 4 n ? 3 ,则 f ( ? ) 是关于 ? 的一次函数,

? f (0) ? 0 由题意可得 ? ? f (1) ? 0

?n 2 ? 4n ? 3 ? 0 ? ∴? 2 ?n ? 2n ? 2 ? 0 ?

,解得 n ≤1 或 n ≥3.

∴存在最小自然数 k ? 3 ,使得当 n ≥ k 时,不等式( ? )恒成立. 1 1 1 1 1 (3) 由(1)得: d n ? 1 ? ? ? …+ .∴ d n ? d n ?1 ? , d n ? d n ?1 ? 2 d n ? ( n ≥2) , n n 2 3 n
2 2 ∴ d n ? d n ?1 ? 2

dn n

?

1 n
2

由( d n ? d n ?1 )+( d n ?1 ? d n ? 2 )+…+( d 2 ? d 12 )
2 2 2 2
2

? 2(

d2 2

?

d3 3

?

d4 4 ?

? …+ d3 3 ?

dn n

) ?(

1 2
2

?

1 3
2

?

1 4 1
2 2

? …+ ? 1 3
2

1 n
2 2

), 1 n
2

即: d n2 ? 2( ∵
1 2
2

d2 2 1 4 1 3
2

d4 4
1 n
2

? …+

dn n

) ?(
1 2?3 1 n ?

2

?

1 4

? …+

) ?1

? ?

1 3
2

? ?

? …+ 1 3 ? 1 4



1 1? 2 1 n ?1

? ?

1 3? 4

? …+

1 ( n ? 1) n

=1 ?

1 2

1 2

?

? …+

=1 ?

1 n

<1
d2 2 ? d3 3 ? d4 4 ? …+
dn n

∴当 n≥2 时, d n2 >2(

) .


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