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1.4.3正切函数(新)


正切函数的图象与性质

1、利用正切函数的定义,说出正切函数的定义域

2、正切函数 y ? tan x 是否为周期函数?

y tan ? ? ? x ? 0 ? ?的终边不在y轴上 x ? ? ? ? k? ? ( k ? z ) 2
由诱导公式知

? f ?x ? ? ? ? tan ?x ? ? ? ? tan x ? f ?x ?, x ? R, x ?
所以,正切函数是周期函数,周期是

?
2

? k? , k ? Z

?.

3、正切函数 y ? tan x 是否具有奇偶性? 由诱导公式知

? f ?? x ? ? tan ?? x ? ? ? tan x ? ? f ?x ?, x ? R, x ?
正切函数是奇函数.

?
2

? k? , k ? Z

y
T

y

4、回顾探究
x
A

x
O

A

x

O

x

(1)
y

(4)
y

T

试根据研究正弦 函数的图象的经 验,以同样的方 法研究正切函数 的图象.
x

x
O

x
A

T
A

x

O

T

(2)

(3)

? ? y ? tan x ,x ? ? ? , ? 的图像: 利用正切线画出函数 ? ? ? 2 2? 作法: (1) 等分: 把单位圆右半圆分成8等份。 (2) 作正切线 y (3) 平移 (4) 连线

o1

?

? 3? ? ? 0 ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

x

性质
1
-3?/2 -? -?/2

y

0

?/2

?

x
3?/2

-1
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 y=tanx
{x | x ? k? ?

? , k ? Z} 2

R T= ? 奇函数 ? ? 增区间 (k? ? , k? ? )k ? Z 2 2

? 渐近线方程: ? k? ? , k ? Z x 2
渐 进 线 渐 进 线

正切曲线

kπ 对称中心( ,0) 2

3 ? ? 2

??

0

问题:
(1)正切函数在整个定义域上是增函数吗?
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数?
A
B

π π (- + kπ, + kπ) ,k ? Z 2 2

在每一个开区间 内都是增函数。

例1 求函数 y ? tan ? ? x ? ? ?的定义域、周期和单调区间. ? ?
3? ?2 ? ? ? 解:函数的自变量 x应满足 x ? ? k ? ? , k ? Z, 2 3 2 ? 即 x ? 2k ? , k ? Z, 3 ? ? ? 所以,函数的定义域是 ? x x ? 2k ? , k ? Z? . 3 ? ?

由于 f ( x) ? tan(
? tan[

?
2

? ? tan? ? x ? ? ? ? ? ? ? x? )
3
?2 3?
?

?

( x ? 2) ? ] ? f ( x ? 2) 2 3

因此函数的周期为2.

函数y ? A tan( x ? ? )(常数A ? 0, ? ? 0, ? ) ? ? 周期T ? ?
由 解得
? ? ? ? k ? ? < x ? <k ? ? , k ? Z, 2 2 3 2 ? ? 2k ? <x<2k ? , k ? Z. 3 3

因此,函数的单调递增区间是:
? ?? ? ? 2k ? ,2k ? ? , k ? Z. 3 3? ?

tan 例 2 解不等式: x ? 3

解:

y
3

?

?
2

0

?
3

? x
2

? ?? ? 由图可知,x ? ?k? ? , k? ? ?, k ? Z 3 2? ?


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