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2013年北京市初三数学一模试题及答案合编卷(海淀--东城-西城-朝阳--丰台--大兴-石景山

丰台区 2013 年初三统一练习(一模)

数 学 试 卷 2013.5.8
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 1.-2 的倒数是 A.2 B.-2 C.

1 2

D. ?

1 2

2.第九届中国(北京)国际园林博览会将于 2013 年的 5 月 18 日至 11 月 18 日在丰台区举办.据相关介绍,本 届园博会在占地面积、建设规模、园区特色、标志建筑、绿色低碳等方面均超过以往任何一届,目前 已有 120 多个国内外城市参展.业界专家预测,北京园博会接待游客将达 20 000 000 人次,堪称园林版 的“奥运会”.将 20 000 000 用科学记数法表示为 A. 2?10
6

B. 20?10

6

C. 2?10

7

D. 0.2?10

8

3.如图,下列水平放置的几何体中,俯视图是长方形的是

A

B

C

D

4.如果一个正多边形的每个外角为 36°,那么这个正多边形的边数是 A.12 B.10 C.9 D.8

5. 某中学周末有 40 人去体育场观看足球赛,40 张票分别为 A 区第 2 排 1 号到 40 号, 小明同学从 40 张票中 随机抽取一张,则他抽取的座位号为 10 号的概率是 A.

1 40

B.

1 39

C.

1 2

D.

1 4
D A C 14 3 15 2 16 2 O B E

? 6.如图,直线 AB 、 CD 相交于点 O , OE ? CD , ?BOE ? 54 ,则∠AOC 等于

A.54° B.46° C.36° 7. 某中学书法兴趣小组 12 名成员的年龄情况如下: 年龄(岁) 人数 12 1 13 4

D.26°

则这个小组成员年龄的众数和中位数分别是 A. 15,16 B. 13,14 C. 13,15 D.14,14

? 8.如图,在 △ ABC 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 20 .动点 P、Q 分别在直线 BC 上运动,且始终保

? 持 ?PAQ ? 100 .设 BP ? x , CQ ? y ,则 y 与 x 的函数关系的图象大致可以表示为

y

y

y

y A P Q 1 B C

O A

x O B

x

O C

x

O D

x

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.在函数 y= x ? 2 中,自变量 x 的取值范围是___________. 10.分解因式: x 2 y ? y 3 = .

11.某地铁站的手扶电梯的示意图如图所示.其中 AB、 CD 分 别 表 示 电梯出入口处 的 水 平 线 , ∠ABC=135° ,BC 的长是 5 2 m, 则乘电梯从点 B 到点 C 上 升 的高度 h 是 m.
135°

C h

D

A B 12. 我们把函数图象与 x 轴交点的横坐标称为这个函数的零点.如函数 y ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴

1 1 交点的坐标为( ? ,0) ,所以该函数的零点是 ? . 2 2

y C D B O A x

(1)函数 y ? x 2 ? 4 x ? 5 的零点是



(2)如图,将边长为 1 的正方形 ABCD 放置在平面直角坐标

系 xOy 中,且顶点 A 在 x 轴上.若正方形 ABCD 沿 x 轴正方向滚动,即先 以顶点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 x 轴上时,再以顶点 B 为中心顺时针旋 转,如此继续.顶点 D 的轨迹是一函数的图象,则该函数在其两个相邻零点间的图象 与 x 轴所围区域的面积为
三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: 12 ? 3?1 ? 4sin 60? ? (? ? 2013)0 .

.

? x ? 3 ? 0, 14.解不等式组: ? ?2( x ? 1) ? 3 ≥ 3x.

15.已知:如图,在△ABC 中,AD 是中线,分别过点 B、C 作 AD 及其延长线的垂线 BE、CF, 垂足分别为点 E、F. 求证:BE=CF. E C F
2

A

D

B

16.已知 x ? 3 y ? 0 ,求代数式

y 2 的值. ? 2 x ? 4 xy +4y x ? 2 y
2

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? kx +3 的图象与反比例函数 y ? 点 A(1,m),与 x 轴交于点 B ,过点 A 作 AC ? x 轴于点 C . y (1)求一次函数的解析式; (2)若 P 为 x 轴上一点,且△ABP 的面积为 10,直接写出点 P 的坐标.

4 (x >0) 的图象交于 x

A

B O 18.列方程或方程组解应用题:

C

x

去年暑期,某地由于暴雨导致电路中断,该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地 15 千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发,10 分钟后,电工乘吉普车从同一地点出发,结果他们 同时到达抢修工地.已知吉普车速度是抢修车速度的 1.5 倍,求吉普车的速度.

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.如图,四边形 ABCD 中,AB = AD,∠BAD=90°,∠CBD=30°,∠BCD=45°, 若 AB= 2 2 .求四边形 ABCD 的面积. A D

B C

C

20.已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D, E 是 BC 的中点,连结 DE. (1)求证:DE 与⊙O 相切; (2)连结 OE,若 cos∠BAD=

14 3 ,BE= ,求 OE 的长. 3 5
A

D

E

B O

3

21.某电器商场从生产厂家购进彩电、洗衣机、冰箱共 480 台,各种电器的进货比例如图 1 所示,商场经 理安排 6 人销售彩电,2 人销售洗衣机,4 人销售洗冰箱.前 5 天这三种电器的销售情况如图 2 与表格 所示.
每天每人销量(台) 洗衣机 15% 冰箱 30%

5 3

0 图1

彩电

洗衣机

冰箱

电器

图2
彩电 150 洗衣机 30 冰箱

电器 前 5 天的销售总量(台)

请你根据统计图表提供的信息,解答以下问题: (1)该电器商场购进彩电多少台? (2)把图 2 补充完整; (3)把表格补充完整; (4)若销售人员与销售速度不变,请通过计算说明哪种电器最先售完? 22.操作与探究: 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 M 0 的坐标为(1,0).将线段 OM 0 绕原点 O 沿逆时针 方向旋转 45
?

,再将其延长到 M 1 ,使得 M1 M 0 ? OM 0 ,得到线段 OM 1 ;又将线段 OM 1 绕原点 O
?

沿逆时针方向旋转 45

,再将其延长到 M 2 ,使得 M 2 M 1 ? OM1 ,得到线段 OM 2 ,如此下去,得 y 5

到线段 OM 3 , OM 4 ,…, OM n . (1)写出点 M5 的坐标; (2)求 △OM 5 M 6 的周长; (3)我们规定:把点 M n ( xn,yn ) ( n ? 0,1,2,3…) -5 的横坐标 xn ,纵坐标 y n 都取绝对值后得到的新坐标 M4 M3

M2 M1
O M0

5 x

?x

n

, yn ? 称之为点 M n 的“绝对坐标”.根据图中点 M n
M5 -5

的分布规律,请写出点 M n 的“绝对坐标”. 五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)

4

23.二次函数 y ? x2 ? bx ? c 的图象如图所示,其顶点坐标为 M(1,-4). (1) 求二次函数的解析式; (2) 将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折, 图象的其余部分保持不变, 得到一个新的图象, 请你结合新图象回答:当直线 y ? x ? n 与这个新图象有两个公共点时,求 n 的取值范围.

24.在 △ ABC 中,∠ACB=90°,AC>BC,D 是 AC 边上的动点,E 是 BC 边上的动点,AD=BC,CD=BE . (1) 如图 1,若点 E 与点 C 重合,连结 BD,请写出∠BDE 的度数; (2)若点 E 与点 B、C 不重合,连结 AE 、BD 交于点 F,请在图 2 中补全图形,并求出∠BFE 的度 数. B B

A

D 图1

C (E)

A 图2

C

25.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,⊙C 的圆心坐标为(-2,-2) ,半径为 2.函数 y=-x+2 的图 象与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,点 P 为直线 AB 上一动点. (1)若△POA 是等腰三角形,且点 P 不与点 A、B 重合,直接写出点 P 的坐标; (2)当直线 PO 与⊙C 相切时,求∠POA 的度数; (3)当直线 PO 与⊙C 相交时,设交点为 E、F,点 M 为线段 EF 的中点,令 PO=t,MO=s,求 s 与 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围. y

B A D · C F E B A

O

A D

x

5

丰台区 2013 年初三统一练习(一模)
数学参考答案及评分标准 一、选择题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 题号 答案 9. x ? 2 1 C 2 D 3 D 4 B 5 A 6 C 7 A 8 A

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 10. y( x ? y)( x ? y) 11.5

? 12.1- S n ;

?

4

1 π ? n ?1 n ?1 2 2

三、解答题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 13.解:原式= 2 3 ?

1 3 ? 4? ?1 3 2

-------- 4 分

∴原式=

y y 1 ? ? . 2(3y-2y) 2 y 2

------------- 5 分

=

4 . 3

-------------- 5 分

(1)解: (1)由图象知反比例函数 y 2 ? 经过点 B(4,3), ∴3 ?

m 的图象 x

? x ? 3 ? 0, ? 2( x ? 1) ? 3 ≥ 3x. 14.解: ?
由①得 x ? ?3 .???1 分 由②得 x≤1. ???3 分 ∴ 原不等式组的解集是-3<x≤1.??5 分 15.证明:∵在△ABC 中,AD 是中线, ∴BD=CD,-------------- 1 分 ∵CF⊥AD,BE⊥AD, ∴∠CFD=∠BED=90° ,--------------- 2 分 在△BED 与△CFD 中, ∠BED=∠CFD, ∠BDE=∠CDF,-------------- 3 分 BD=CD, ∴△BED≌△CFD,-------------- 4 分 ∴BE=CF.-------------- 5 分
y x-2 y 16.解:原式= ? , 2 2 (x ? y )

m . 4

∴m=12.

---------- 1 分

∴反比例函数解析式为 y2 ?

12 . ---------- 2 分 x

由图象知一次函数 y1 ? kx ? b 的图象经过点 A(-6,-2) , B(4,3), ∴?

?? 6k ? b ? ?2, . ?4k ? b ? 3 

1 ? 解得 ?k ? 2 ,--------- 3 分 ? ?b ? 1. ?

∴一次函数解析式为 y1 ?

1 x ?1 . 2

-------- 4 分

(2)当 0<x<4 或 x<-6 时, y1 ? y2 .------ 5 分 18.解:设抢修车的速度为 x 千米/时,则吉普 车的速度为 15x 千米/时. ------ 1 分 由题意得,

15 15 15 ? ? x 1.5x 60
解得, 经检验, .

.

是原方程的解,并且

------------ 2 分 ------------ 3 分

=

y . 2(x-2 y )

∵ x ? 3 y ? 0 ,∴ x ? 3 y .

都符合题意. 答:抢修车的的速度为 20 千米/时,吉普车的速 度为 30 千米/时. 根据题意,得:150x+90(1000-x)=126000,------ 3 分 解方程得 x=600. ------ 4 分 ∴1000-600=400. 答 : 当 日 这 一 售 票 点 售 出 普 通 票 600 张 , 优 惠 票 400 张 . ------- 5 分
6

7

四、解答题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 19.解:过点 C 作 CE∥DB,交 AB 的延长线于点 E. ∴∠ACE=∠COD=60°. -----------------1 分 又∵DC∥AB, ∴四边形 DCEB 为平行四边形.---------------- 2 分 ∴BD=CE,BE = DC =3,AE=AB+BE=8+3=11. ---------------- 3 分 又∵DC∥AB,AD=BC, ∴DB=AC =CE. ∴△ACE 为等边三角形. ∴ AC=AE=11 , CAB=60°. -------------------------------------------------- 4 分 过点 C 作 CH⊥AE 于点 H.在 Rt△ACH 中, CH=AC·sin∠CAB=11× ∴
11 3 . 2



3 11 3 = . 2 2






ABCD





-------------------------------------------------- 5 分

20.(1)证明:如图 1 所示,连接 OD,BD
∵AB 是⊙O 的直径,∴ ?ADB ? ?BDC ? 90 °. 在 Rt△BDC 中 ∵E 是 BC 的中点,∴DE= ∴DE=BE; ∴ ?1 ? ? 2 . ……1 分

1 BC; 2

∵OD=OB, ∴ ?3 ? ? 4 ; ∵ ?ABC ? ?2 ? ?4 ? 90 ° ∴ ?ODE ? ?1 ? ?3 ? 90 ° 即 OD⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线 ??2 分

(2)解:

∵ ?ABC ? ?ADB , ?A ? ?A ??3 分

∴△ ABC ∽ △ ADB ∴ AC ? AB AB AD ∵ AD ? 3 , AB ? 4 ∴ AC ? 16 3 7分 ∵OE 是△ABC 的中位线

??

8

∴ OE ? 1 AC ? 8 2 3

21. 解: (1)480×55%=264(件). ----------------- 1 分 (2)画图正确. -----------------2 分 (3)如表格 60 . ----------------- 3 分 (4)上衣售完需 264÷6÷5=8.8(天).----------------- 5 分 裤子售完需 480×30%÷4÷3=12(天). 鞋子售完需 480×15%÷2÷3=12 (天). ∴上衣先售完.

22.解:(1)M5(―4,―4)???????????????4 分 (2)由规律可知, OM 5 ? 4 2 , M 5 M 6 ? 4 2 , OM 6 ? 8 ?????6 分 ∴ △M 5OM 6 的周长是 8 ? 8 2 ??????????????8 分 (3)解法一:由题意知, OM 0 旋转 8 次之后回到 x 轴的正半轴,在这 8 次旋转中,点 M n 分别落在坐标象限的分角线上或 x 轴或 y 轴上,但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负 数,因此,点 M n 的“绝对坐标”可分三类情况: 令旋转次数为 n ? 当点 M 在 x 轴上时: M( ( 2 )0 ,0 ) M( ( 2 )4 ,0 ) M( ( 2 )8 ,0 ) M12 ( 2 )12 ,0 ) ,4 , 8 , ( ,?, 0

即:点 M n 的“绝对坐标”为( ( 2 )n ,0 )。??????????????9 分 ? 当点 M 在 y 轴上时: M2 (0, ( 2 )2 ) , 6 (0, ( 2 )6 ) , 10 (0, ( 2 )10 ) , 14 (0, ( 2 )14 ) ,??, M M M

即:点 M n 的“绝对坐标”为 (0, ( 2 )n ) .???????????10 分

? 当点 M 在各象限的分角线上时:M1 (( 2 )0 , ( 2 )0 ) ,M3 (( 2 )2 , ( 2 )2 ) , M5 (( 2 )4 , ( 2 )4 ) ,M7 (( 2 )6 , ( 2 )6 ) ,??,即: M n 的“绝对坐标”为

(( 2 )n ?1, ( 2 )n ?1 ) .????????????12 分
9

解法二:由题意知, OM 0 旋转 8 次之后回到 x 轴的正半轴,在这 8 次旋转中,点分别落在 坐标象限的分角线上或 x 轴或 y 轴上,但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数,因此, 各点的“绝对坐标”可分三种情况: ①当 n ? 2k 时(其中 k =0,1,2,3,?),点在 x 轴上,则 M 2n ( 2n ,0 )????9 分 ②当 n ? 2k ? 1 时(其中 k =1,2,3,?),点在 y 轴上,点 M 2n ( 0, 2n )????10 分 ③当 n =1,2,3,?,时,点在各象限的分角线上,则点 M 2n ?1 ( 2n ?1,2n ?1 )???12 分 五、解答题(共 3 小题,满分 22 分) 23.解;(1) 因为 M(1,-4) 是二次函数 y ? ( x ? m) 2 ? k 的顶点坐标, 所以 y ? ( x ? 1) 2 ? 4 ? x 2 ? 2x ? 3 ?????????1 分

令 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, 解之得 x1 ? ?1, x2 ? 3 . ∴A,B 两点的坐标分别为 A(-1,0) ,B(3,0)????????3 分 (2) 如图 1,当直线 y ? x ? b(b ? 1) 经过 A 点时,可得 b ? 1. 当直线 y ? x ? b(b ? 1) 经过 B 点时,可得 b ? ?3. 由图可知符合题意的 b 的取值范围为 ? 3 ? b ? 1 ------------------- 7 分

24.

B

F

E

A 25. (1)延长 CO 交 AB 于 D ,过点 C 作 CG ⊥ x 轴于点 G .

D

C

0) 2) 因为直线 AB 的函数关系式是 y ? ? x ? 2 ,所以易得 A(2, , B(0, ,
所以 AO ? BO ? 2 , 又因为 ?AOB ? 90 ,所以 ?DAO ? 45 . ························ 1 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ···
? ?

因为 C (?2, 2) ,所以 CG ? OG ? 2 , ?

y

B ? ? 所以 ?COG ? 45 , ?AOD ? 45 , ···························· 分 ··········· ·········· ······· ···························P 2 A· D D A G 10 OHD A A D · C D F

x

所以 ?ODA ? 90? , 所以 OD ⊥ AB ,即 CO ⊥ AB . ······························ 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ 3 (2)要使 △POA 为等腰三角形, ①当 OP ? OA 时,此时点 P 与点 B 重合,所以点 P 坐标为(0,2) ; ②当 PO ? PA 时, ?OAB ? 45? , 由 所以点 P 恰好是 AB 的中点, 所以点 P 坐标为 (1, ; 1) ③当 AP ? AO 时,则 AP ? 2 .过点 P 作 PH ⊥ OA 交 OA 于点 H ,在 Rt△ APH 中,易 得 PH ? AH ?

2 ,所以 OH ? 2 ? 2 ,所以点 P 的坐标为 (2 ? 2,2) .

所以,若 △POA 为等腰三角形,则点 P 的坐标为(0,2) ,或(1,1) ,或 (2 ? 2,2) . ··········· ··········· ·········· ··········· ······ 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ····· 7 ·········· ··········· ··········· ·········· ······ (3)当直线 PO 与 ? C 相切时,设切点为 K ,连接 CK ,则 CK ⊥ OK .

? ,易得 CO ? 2 2 . 由点 C 的坐标为( ?2, 2 )
? 又因为 ? C 的半径为 2 ,所以 ?COK ? 30 ,

y B P A D D A G O D A F D · C K M FE E B A D

所以 ?POD ? 30? ,又 ?AOD ? 45? ,所以 ?POA ? 75? . 同理可求出 ?POA 的别一个值为 15 ,
?

所以 ?POA 等于 75 或 15 . ············· 分 ············10 ·········· ··
? ?

x

因为 M 为 EF 的中点,所以 CM ⊥ EF , 又因为 ?COM ? ?POD,CO ⊥ AB , 所以 △COM ∽△POD , 所以

CO MO ? ,即 MO?PO ? CO?DO , PO DO

因为 PO ? t,MO ? s,CO ? 2 2,DO ?

2 ,所以 st ? 4 . ············· 分 ············ 12 ·········· ··

当 PO 过圆心 C 时,MO ? CO ? 2 2,PO ? DO ? 2 , M P 即 O ?O ? 4 , 也满足 st ? 4 . 所以 s ?

4 2 6 . 2 ≤t ? ( ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ ) . ····························· 14 分 t 3

2013 年北京市朝阳区九年级综合练习(一模)









2013.5.8
11

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 1.-3 的倒数是 A.

1 3

B. ?

1 3

C. 3

D.-3

2. “厉行勤俭节约,反对铺张浪费”势在必行.最新统计数据显示,中国每年浪费食物总量 折合为粮食大约是 200000000 人一年的口粮.将 200000000 用科学记数法表示为 A. 2 ? 108 B. 2 ? 109 C. 0.2 ? 109 D. 20 ? 107

3. 若一个正多边形的一个外角是 72° ,则这个正多边形的边数是 A.10 B.9 C.8 D.5

4.如图,AB∥CD,E 是 AB 上一点,EF 平分∠BEC 交 CD 于点 F,若∠BEF=70° ,则∠C 的度数是 A.70° C.45° B.55° D.40°
C F D A E B

5.掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,掷得面朝上 的点数大于 4 的概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 2

6.把方程 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 化成 ? x ? n ? ? m 的形式,正确的结果为
2

A. ? x ? 3? ? 6
2

B. ? x ? 3? ? 6
2

C. ? x ? 3 ? ? 12
2

D. ? x ? 6 ? ? 33
2

7.某校春季运动会上,小刚和其他 16 名同学参加了百米预赛,成绩各不相同,小刚已经知 道了自己的成绩,如果只取前 8 名参加决赛,他想知道自己能否进入决赛,还需要知道所 有参加预赛同学成绩的 A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 8.如图,将一张三角形纸片 ABC 折叠,使点 A 落在 BC 边上,折痕 EF∥BC,得到△EFG; 再继续将纸片沿△BEG 的对称轴 EM 折叠,依照上述做法,再将△CFG 折叠,最终得到矩 形 EMNF,折叠后的△EMG 和△FNG 的面积分别为 1 和 2,则△ABC 的面积为
A
A A A

E

F

E

F

E

F
12

B

C

B

G

C

B M G

C

B M G

N

C

A. 6

B. 9

C. 12

D. 18

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.在函数 y ?

1 中,自变量 x 的取值范围是 x?2
.



A

10.分解因式: m3 ? m ?

O
.

D B

C

11.如图,AB 为⊙O 的弦,半径 OC⊥AB 于点 D,AB= 2 3 , ∠B=30° ,则△AOC 的周长为

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 从原点 O 出发,每次向上平移 1 个单位长度或向右 平移 2 个单位长度, 在上一次平移的基础上进行下一次平移. 例如第 1 次平移后可能到 达的点是(0,1)(2,0) 、 ,第 2 次平移后可能到达的点是(0,2)(2,1)(4,0) 、 、 , 第 3 次平移后可能到达的点是(0,3)(2,2)(4,1)(6,0) 、 、 、 ,依此类推??.我 们记第 1 次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为 l1,l1=3;第 2 次平移后可能 到达的所有点的横、纵坐标之和为 l2,l2=9;第 3 次平移后可能到达的所有点的横、纵 坐标之和为 l3,l3=18;按照这样的规律,l4= 正整数). ; ln= (用含 n 的式子表示,n 是
y

9 8 7 6 5 4 3 2 1
O

1 23 4 5 6 78 9 x

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: 2
?2

? 3 tan 60? ? 27 ? ? 2013 ? .
0

13

14.求不等式 x ? 1 ? 3( x ? 1) 的非负整数解.

15.已知 x 2 ? 2 x ? 7 ? 0 ,求 ( x ? 2)2 ? ( x ? 3)( x ? 3) 的值.

16.已知:如图,OP 平分∠MON,点 A、B 分别在 OP、ON 上, 且 OA=OB,点 C、D 分别在 OM、OP 上,且∠CAP=∠DBN. 求证:AC=BD.
O B A

C

M

D

P

N

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y= -x 的图象 与反比例函数 y ?

y

k ? x ? 0? 的图象相交于点 A? ?4 ,m? . x

A O -4 x

(1)求反比例函数 y ?

k 的解析式; x

(2)若点 P 在 x 轴上,AP=5,直接写出点 P 的坐标.

18.北京地铁 6 号线正式运营后,家住地铁 6 号线附近的小李将上班方式由自驾车改为了乘 坐地铁,这样他从家到达上班地点的时间缩短了 0.3 小时.已知他从家到达上班地点,自驾 车时要走的路程为 17.5 千米,而改乘地铁后只需走 15 千米,并且他自驾车平均每小时走的 路程是乘坐地铁平均每小时所走路程的 少小时? 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 如图,在四边形 ABCD 中,∠D=90° ,∠B=60° ,AD=6,AB=

2 .小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是多 3

10 3 , 3

B

AB⊥AC,在 CD 上选取一点 E,连接 AE,将△ADE 沿 AE 翻折,使点 D 落在 AC 上的点 F 处. 求(1)CD 的长; (2)DE 的长.

A F E D

C

20. 如图,⊙O 是△ABC 是的外接圆,BC 为⊙O 直径,作∠CAD=∠B,且点 D 在 BC 的延 长线上. (1)求证:直线 AD 是⊙O 的切线; A

B

O

C D

14

(2)若 sin∠CAD =

2 ,⊙O 的半径为 8,求 CD 长. 4

21. “2012 年度中国十大科普事件”今年 4 月份揭晓, “PM2.5 被写入‘国标’ ,大气环境 质量广受瞩目”名列榜首.由此可见,公众对于大气环境质量越来越关注,某市对该市 市民进行一项调查,以了解 PM2.5 浓度升高时对人们户外活动是否有影响,并制作了 统计图表的一部分如下:
PM 2.5浓度升高时对于户外活动 公众的态度的扇形统计图 2% A 6% E 30% D B
PM 2.5 浓度升高时对于户外活动 公众的态度的统计表 对于户外活动公众的态度 A.没有影响 B.影响不大,还可以进行户外活动 C.有影响,减少户外活动 百分比 2% p 42% m 6%

42% C

D.影响很大,尽可能不去户外活动 E.不关心这个问题

PM 2.5浓度升高时对于户外活动公众的态度的条形统计图 人数 880 800 720 640 560 480 400 320 240 160 80 0 40 A B C D E 公众的态度 120 840

(1)结合上述统计图表可得:p = ,m = ; (2)根据以上信息,请直接补全条形统计图; (3)若该市约 400 万人,根据上述信息,请你估计一下持有“影响很大,尽可能不去 户外活动”这种态度的约有多少万人.
(说明: “PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于 2.5 微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)

22.阅读下面材料: 小雨遇到这样一个问题:如图 1,直线 l1∥l2∥l3 ,l1 与 l2 之间的距离是 1,l2 与 l3 之间的

l1 l2
C

A D

E

H l1 l2

15

距离是 2,试画出一个等腰直角三角形 ABC,使三个顶点分别在直线 l1、l2、l3 上,并求出 所画等腰直角三角形 ABC 的面积.

小雨是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法利用平行线之间的距离,根据所 求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图 2 所示:在直线 l1 任取一点 A,作 AD⊥l2 于点 D,作∠DAH=90° ,在 AH 上截取 AE=AD,过点 E 作 EB⊥AE 交 l3 于点 B,连接 AB,作∠BAC=90° ,交直线 l2 于点 C,连接 BC,即可得到等腰直角三角形 ABC. 请你回答:图 2 中等腰直角三角形 ABC 的面积等于 参考小雨同学的方法,解决下列问题: 如图 3,直线 l1∥l2∥l3, l1 与 l2 之间的距离是 2,l2 与 l3 之间的距离是 1,试画出一个等 边三角形 ABC,使三个顶点分别在直线 l1、l2、l3 上,并直接写出所画等边三角形 ABC 的面 积(保留画图痕迹) . .

l1

l2 l3
图3

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23 . 二 次 函 数 y1 ? x 2 ? x ? n ?

3 的图象与 x 轴只有一个交点;另一个二次函数 4

y2 ? nx2 ? 2(m ?1) x ? m2 ? 4m ? 6 的图象与 x 轴交于两点,这两个交点的横坐标都是整数,
且 m 是小于 5 的整数. 求(1)n 的值; (2)二次函数 y2 ? nx2 ? 2(m ?1) x ? m2 ? 4m ? 6 的图象与 x 轴交点的坐标.

16

24.在 Rt△ABC 中,∠A=90° ,D、E 分别为 AB、AC 上的点. (1)如图 1,CE=AB,BD=AE,过点 C 作 CF∥EB,且 CF=EB,连接 DF 交 EB 于点 G, EB 连接 BF,请你直接写出 的值; DC (2)如图 2,CE=kAB,BD=kAE, EB ? 1 ,求 k 的值. DC 2
A E D B G C
B C D A E

F
图1 图2

25.如图,二次函数 y=ax2+2ax+4 的图象与 x 轴交于点 A、B,与 y 轴交于点 C,∠CBO 的 正切值是 2. (1)求此二次函数的解析式. (2)动直线 l 从与直线 AC 重合的位置出发,绕点 A 顺时针旋转,与直线 AB 重合时终止 运动,直线 l 与 BC 交于点 D,P 是线段 AD 的中点. ①直接写出点 P 所经过的路线长. ②点 D 与 B、C 不重合时,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E、作 DF⊥AB 于点 F,连接 PE、 PF,在旋转过程中,∠EPF 的大小是否发生变化?若不变,求∠EPF 的度数;若 变化,请说明理由. y ③在②的条件下,连接 EF,求 EF 的最小值.
C

A

O

B

x

17

北京市朝阳区九年级综合练习(一模)
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 1.B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.x ≠-2 10. m(m ? 1)(m ? 1) 11.6
2013.5.8

12.30;

3n ? n ? 1? (说明:结果正确,不化简整理不扣分).(每空 2 分) 2
1 - 3 3 + 3 3 - 1 ????????????????????4 分 4 3 = - .????????????????????????????5 分 4
?????????????????? ?????????1 分

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13. 解:原式 =

14.解:x ? 1 ? 3 x ? 3

?2 x ? ?4 x ? 2 .? ????????????????????????????3 分
∴原等式的非负整数解为 1,0. ????????????????????5 分 15. 解:原式 ? x ? 4 x ? 4 ? x ? 9
2 2

?????????????????????2 分

? 2 x 2 ? 4 x ? 5 .?????????????????????????3 分
∵ x2 ? 2x ? 7 ? 0 , ∴ x ? 2 x ? 7 .?????????????????????????????4 分
2

∴原式 ? 2( x2 ? 2 x) ? 5

? 9 .??????????????????????????????5 分
16.证明:∵OP 平分∠MON, ∴∠COA=∠DOB.?????????????????????????1 分 ∵∠CAP=∠DBN, ∴ ?CAO ? ?DBO .????????????????????????2 分 ∵OA=OB,????????????????????????????3 分 ∴ ?COA ≌ ?DOB . ????????????????????????4 分 ∴AC=BD. ????????????????????????????5 分

m 17.(1)解:把 A ? ?4 , ? 代入 y = -x,得 m=4.?????????????????1 分
∴ A ? ?4 ,4 ? . ??????????????????????????????2 分

18

把 A ? ?4 ,4 ? 代入 y ?

k ,得 k = -16. x

16 . ?????????????????????3 分 x (2) (-7,0)或(-1,0).????????????????????????5 分
∴反比例函数解析式为 y ? ? 18. 解:设小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是 x 小时. ??????????1 分 由题意,得

17.5 15 2 ? ? . ????????????????????2 分 x x ? 0.3 3

解方程,得 x =0.7. ???????????????????????????3 分 经检验,x=0.7 是原方程的解,且符合题意.?????????????????4 分 答:小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是 0.7 小时. ???????????5 分 四、解答题(本题共 20 分,题每小题 5 分) 19.解: (1)∵AB⊥AC, ∴∠BAC=90° . ∵∠B=60° ,AB=

10 3 , 3

∴AC=10. ???????????????????????????1 分 ∵∠D=90° ,AD=6, ∴CD=8. ???????????????????????????2 分 (2)由题意,得∠AFE=∠D=90° ,AF=AD=6, EF=DE. ∴∠EFC=90° , ∴FC=4. ? ??????????????????????????3 分 设 DE=x,则 EF=x,CE=8-x. 在 Rt△EFC 中,由勾股定理,得 x ? 4 ? (8 ? x) .?????????4 分
2 2 2

解得 x=3. 所以 DE=3. ??????????????????????????5 分 20.(1)证明:连接 OA. ∵BC 为⊙O 的直径, ∴∠BAC=90° ?????????????????????????????1 分 . ∴∠B+∠ACB=90° . A ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA. B ∵∠CAD=∠B, C D O ∴∠CAD+∠OAC=90° . 即∠OAD=90° . ∴OA⊥AD. ∴AD 是⊙O 的切线. ??????????????????????????2 分 (2) 解:过点 C 作 CE⊥AD 于点 E. ∵∠CAD=∠B, ∴sinB =sin∠CAD =

2 .????????????????????????3 分 4
19

∵⊙O 的半径为 8, ∴BC=16. ∴AC= BC ? sin B ? 4 2 . ∴在 Rt△ACE 中,CE= AC ? sin ?CAD ? 2.????????????????4 分 ∵CE⊥AD, A ∴∠CED=∠OAD=90° . ∴CE∥OA. E ∴△CED ∽△OAD.

CD CE ? ∴ . OD OA
设 CD=x,则 OD=x+8. 即

B

O

C D

x 2 ? . x ?8 8 8 解得 x= . 3 8 所以 CD= .??????????????????????????????5 分 3 人数
21.解: (1)30%,20%; ?????????2 分 (2)如图;????????????4 分 (3)400×20%=80(万人). ????5 分
880 800 720 640 560 480 400 320 240 160 80 0 40 A B C D E 公众的态度 120 400 600 840

22. 解: 5;?????????????????2 分 如图; ???????????????3 分

A E C D B H

l1

7 3 . ???????????????5 分 3

l2 l3

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23. 解:(1)∵ y1 ? x ? x ? n ?
2

3 的图象与 x 轴只有一个交点, 4 3 2 ∴令 y1 ? 0 , x ?x ?n ? ? 0 .?????????????????1 分 即 4
∴ ?1 ? 1 ? 4 ? n ?

? ?

3? ? ? 0. 4?
20

解得 n=1. ???????????????????????????2 分 (2)由(1)知, y2 ? x2 ? 2 ? m ?1? x ? m2 ? 4m ? 6 . ∵ y2 ? x2 ? 2 ? m ?1? x ? m2 ? 4m ? 6 的图象与 x 轴有两个交点,
2 ∴ ? 2 ? ? ?2(m ? 1) ? ? 4(m ? 4m ? 6) 2

? 8m ? 20 .
∵ ?2 ? 0 ,

5 .?????????????????????????????3 分 2 又∵ m ? 5 且 m 是整数,
∴m ? ∴m=4 或 3. ????????????????????????????5 分 当 m=4 时, y2 ? x2 ? 6x ? 6 的图象与 x 轴的交点的横坐标不是整数;

0 解得 x1 ? 1 ,x2 ? 3 . 当 m=3 时,y2 ? x2 ? 4x ? 3 , y2 ? 0 , x ? 4 x ?3 ? , 令 即
2

综上所述,交点坐标为(1,0)(3,0). ???????????????7 分 , 24. 解:(1)

EB 2 . ???????????????????????????2 分 ? DC 2 (2)过点 C 作 CF∥EB 且 CF=EB,连接 DF 交 EB 于点 G, 连接 BF. ∴四边形 EBFC 是平行四边形. ???????????????????3 分 ∴CE∥BF 且 CE=BF. ∴∠ABF=∠A=90° .
∵BF=CE=kAB.∴ ∵BD=kAE,

BF ?k. AB

BD ? k .? ??????????????????????????4 分 AE BF BD ? ∴ . AB AE ∴ ?DBF ∽ ?EAB . ???????????????????????5 分 DF A ? k ,∠GDB=∠AEB. ∴ E BE ∴∠DGB=∠A=90° . D ∴∠GFC=∠BGF=90° . G


CF EB 1 ? ? . DC DC 2 DF DF ∴ ? ? 3. EB CF


B

C

∴k= 3 .????????????????????????????7 分 25. 解:(1)根据题意,C (0,4).

F

21

∴OC=4. ∵tan∠CBO=2,∴OB=2. ∴B (2,0).???????????????????????????1 分

1 . 2 1 2 ∴二次函数的解析式为 y ? ? x ? x ? 4 . ??????????????2 分 2
∴ 0 ? 4a ? 4a ? 4 .∴ a ? ? (2) ①点 P 所经过的路线长是 5 .?? ?????????????????3 分 ②∠EPF 的大小不发生改变.?????????????????????4 分 由y??

1 2 x ? x ? 4 可得,A (-4,0). 2

y E C D P A O F B x

∴OA= OC. ∴△AOC 是等腰直角三角形. ∴∠CAO=45° . ∵DE⊥AC, DF⊥AB, ∴∠AED= ∠AFD=90° . ∵点 P 是线段 AD 的中点, ∴PE= PF =

1 AD = AP. 2

∴∠EPD=2∠EAD ,∠FPD=2∠FAD . ∴∠EPF =∠EPD+∠FPD =2∠EAD +2∠FAD= 2∠CAO=90° .???????5 分 ③由②知,△EPF 是等腰直角三角形. ∴EF= 2 PE=

2 AD.???????????????????????6 分 2

∴当 AD⊥BC 时,AD 最小,此时 EF 最小.??????????????7 分 在 Rt△ABD 中, ∵tan∠CBO=2,AB=6, ∴AD=

12 5 . 5 6 10 . 5 6 10 .????????????????????8 分 5

∴EF =

即此时 EF 的最小值为

说明:各解答题其它正确解法请参照给分.

22

2013 年北京市西城区初三一模数学试卷
2013. 5.8 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 1. ? 3 的相反数是 A. ?

1 3

B.

1 3

C.3

D. ? 3

2.上海原世博园区最大单体建筑“世博轴”被改造成一个综合性商业中心,该项目营业面积 约 130 000 平方米,130 000 用科学记数法表示应为 A.1.3× 5 10 B.1.3× 4 10 C.13× 4 10 D.0.13× 6 10 3.如图,AF 是∠ BAC 的平分线,EF∥ 交 AB 于点 E.若∠ AC 1=25° ,则 ?BAF 的度数为 A.15° C.25° B.50° D.12.5°

4.在一个不透明的盒子中装有 3 个红球、2 个黄球和 1 个绿球,这些球除颜色外, 5.没有任何其他区别,现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 6

D.1

5.若菱形的对角线长分别为 6 和 8,则该菱形的边长为 A.5 年龄(单位:岁) 人数 B.6 C.8 D.10 6.某中学篮球队 12 名队员的年龄情况如下: 14 1 15 4 16 2 17 3 18 2

则该队队员年龄的众数和中位数分别是 A.16,15 的小正方体共有 A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 B.15,15.5 C.15,17 D.15,16

7.由一些大小相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示,则构成这个几何体

23

8.如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4.将矩形 ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90° 后, 得到矩形 FGCE (点 A、 D 的对应点分别为点 F、 E) B、 G、 .动点 P 从点 B 开始沿 BC-CE 运动到点 E 后停止,动点 Q 从点 E 开始沿 EF-FG 运动到点 G 后停止,这两点的运动速 度均为每秒 1 个单位.若点 P 和点 Q 同时开始运动,运动时间为 x(秒) ,△APQ 的面积 为 y,则能够正确反映 y 与 x 之 间的函数关系的图象大致是

A

B

C . .

D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.函数 y ? x ? 3 中,自变量 x 的取值范围是 10.分解因式: a ? 8a ? 16a =
3 2

11.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,BD⊥ DC,∠ C=45° AD=2,BC=8,则 AB 的长 .若 为 .

12.在平面直角坐标系 xOy 中,有一只电子青蛙在点 A(1,0)处. 第一次,它从点 A 先向右跳跃 1 个单位,再向上跳跃 1 个单位到达点 A1; 第二次,它从点 A1 先向左跳跃 2 个单位,再向下跳跃 2 个单位到达点 A2; 第三次,它从点 A2 先向右跳跃 3 个单位,再向上跳跃 3 个单位到达点 A3; 第四次,它从点 A3 先向左跳跃 4 个单位,再向下跳跃 4 个单位到达点 A4; …… 依此规律进行,点 A6 的坐标为 则 n= . 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: 8 ? ( 3 ? 1)0 ? 2 sin 45? ? 3?1 . ;若点 An 的坐标为(2013,2012),

24

?7 ?4( x ? 1) ≤ x ? 8, ? 14.解不等式组 ? 并求它的所有整数解. x?2 ?x ? 5 ? 3 , ?

15.如图,点 C 在线段 AB 上,△DAC 和△DBE 都是等边三角形. (1) 求证:△DAB≌ △DCE; (2) 求证:DA∥ EC.

16.已知

x x 2 ? y 2 2( x ? y )2 = 3 ,求 的值. ? y xy xy ? y 2

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正比例函数错误!未指定书签。 y ? ? 函数 y ?

3 x 与反比例 2

第二象限交于点 A,且点 A 的横坐标为 (1) 求反比例函数的解析式;

k 的图象在 x

-2 .

(2) 点 B 的坐标为(-3,0),若点 P 在 y 轴上,

25

且△AOB 的面积与△AOP 的面积相等, 直接写出点 P 的坐标.

18.列方程(组)解应用题: 某工厂原计划生产 2400 台空气净化器,由于天气的影响,空气净化器的需求量呈 上升趋势,生产任务的数量增加了 1200 台.工厂在实际生产中,提高了生产效率,每 天比原计划多生产 10 台,实际完成生产任务的天数是原计划天数的 1.2 倍.求原计划 每天生产多少台空气净化器.

26

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,AC⊥ AB,AB=2,且 AC︰BD=2 ︰3. (1) 求 AC 的长; (2) 求△AOD 的面积.

20.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径作⊙ 交 BC 于点 D,过点 D 作 FE⊥ 于 O AB 点 E,交 AC 的延长线于点 F. (1) 求证:EF 与⊙ 相切; O (2) 若 AE=6,sin∠ CFD=

3 ,求 EB 的长. 5

27

21.近年来, 北京郊区依托丰富的自然和人文资源, 大力开发建设以农业观光园为主体的多 类型休闲旅游项目, 京郊旅游业迅速崛起, 农民的收入逐步提高.以下是根据北京市统 计局 2013 年 1 月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的 一部分. 北京市 2009-2012 年农业观光园
年份

北京市 2008-2012 年农业观光园 经营年收入统计图

经营年收入增长率统计表 年增长率(精确到 1%) 12%

2009 年 2010 年 2011 年 2012 年

22% 24%

请根据以上信息解答下列问题: (1) 北京市 2010 年农业观光园经营年收入的年增长率是 ; (结果精确到 1%) (2) 请补全条形统计图并在图中标明相应数据; (结果精确到 0.1) (3) 如果从 2012 年以后,北京市农业观光园经营年收入都按 30%的年增长率增长,请 你估算,若经营年收入要不低于 2008 年的 4 倍,至少要到 22.先阅读材料,再解答问题: 小明同学在学习与圆有关的角时了解到:在同圆或等圆中, 同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图,点 A、B、C、D 均 为⊙O 上的点,则有∠ C=∠ D. 小明还发现,若点 E 在⊙O 外,且与点 D 在直线 AB 同侧, 则有∠ D>∠ E. 请你参考小明得出的结论,解答下列问题: (1) 如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(0,7),点 B 的坐标为(0,3), 点 C 的坐标为(3,0) . ① 在图 1 中作出△ABC 的外接圆(保留必要的作图痕迹,不写作法) ; ② 若在 x 轴的正半轴上有一点 D,且∠ ACB =∠ ADB,则点 D 的坐标为 ; (2) 如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(0,m),点 B 的坐标为(0,n), 其中 m>n>0.点 P 为 x 轴正半轴上的一个动点,当∠ APB 达到最大时,直接写出此 时点 P 的坐标. 年.(填写年份)

28

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知关于 x 的一元二次方程 2 x2 ? (a ? 4) x ? a ? 0 . (1) 求证:无论 a 为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根; (2) 抛物线 C1 : y ? 2 x2 ? (a ? 4) x ? a 与 x 轴的一个交点的横坐标为 将抛物线 C1 向右平移 的解析式; (3) 点 A( m ,n )和 B(n ,m)都在(2)中抛物线 C2 上,且 A、 B 两点不重合,求代数式

a ,其中 a ? 0 , 2

1 1 个单位, 再向上平移 个单位, 得到抛物线 C2 . 求抛物线 C2 4 8

2m3 ? 2mn ? 2n3 的值.

24.在 Rt△ABC 中,∠ ACB=90° ABC= ? ,点 P 在△ABC 的内部. ,∠ (1) 如图 1,AB=2AC,PB=3,点 M、N 分别在 AB、BC 边上,则 cos ? =_______, △PMN 周长的最小值为_______; (2) 如图 2,若条件 AB=2AC 不变,而 PA= 2 ,PB= 10 ,PC=1,求△ABC 的面积; (3) 若 PA= m ,PB= n ,PC= k ,且 k ? m cos ? ? n sin ? ,直接写出∠ APB 的度数.

25.如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l: y ?

3 x ? m 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 4

29

和点 B(0,-1),抛物线 y ?

1 2 x ? bx ? c 经过点 B,且与直线 l 的另一个交点为 C(4,n). 2

(1) 求 n 的值和抛物线的解析式; (2) 点 D 在抛物线上,且点 D 的横坐标为 t(0< t <4) .DE∥ 轴交直线 l 于点 E,点 F y 在直线 l 上,且四边形 DFEG 为矩形(如图 2).若矩形 DFEG 的周长为 p,求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值; (3) M 是平面内一点,将△AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90° 后,得到△A1O1B1,点 A、 O、B 的对应点分别是点 A1、O1、B1.若△A1O1B1 的两个顶点恰好落在抛物线上,请 直接写出点 A1 的横坐标. ...

图1

图2

30

北京市西城区 2013 年初三一模试卷

数学答案及评分参考
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 A 6 D

2013. 5。8

7 C

8 A

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9 x≥3 10 11
2 5

12 (-2, -3),4023 (各 2 分)

a(a-4) 2

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.解:原式= 2 2 ? 1 ? 2 ?

2 1 ? . 2 3

………………………………………………4 分 ………………………………………………… 5 分

4 = 2? . 3

4( x ? 1) ? 7 x ? 8 14.解: ? ? x?2 ? ?x ? 5 ? 3 ?

① ②

由① x ? 4 . 得 13 由② x ? . 得 2

…………………………………………………………1 分 …………………………………………………………3 分

∴ 原不等式组的解集是 4 ? x ? ∴ 它的整数解为 4,5,6. 15. 证明: (1)如图 1.

13 . 2

………………………………… 4 分 ………………………………………… 5 分
E

∵ △DAC 和△DBE 都是等边三角形, ∴ DA=DC,DB=DE, ∠ ADC=∠ BDE=60? . ∴ ADC+∠ ∠ CDB=∠ BDE+∠ CDB, 即∠ ADB=∠ CDE. 在△DAB 和△DCE 中,
? DA ? DC, ? ??ADB ? ?CDE , ? DB ? DE, ?

…………1 分
D

……………2 分

A

C

B

图1

∴ △DAB≌ △DCE. (2)∵ △DAB≌ △DCE, ∴∠ A=∠ DCE=60°.

………………………………………… 3 分 ……………………………………… 4 分
31

∵∠ ADC=60° , ∴∠ DCE =∠ ADC. ∴ DA∥ EC. ………………………………………………… 5 分

y ? x ? y? 16. 解:原式= ( x ? y )( x ? y ) ? ..….….….…. …..…………..……………………2 分 2 xy 2? x ? y?
= x? y. 2x ∵ ………………………………………………………… 3 分

x ?3, y

∴ x ? 3y . ∴ 原式=

3y ? y 2 ? . 2? 3y 3

……………………………………………… 5 分

17. 解: (1)∵ 正比例函数 y ? ?

3 x 的图象经过点 A,且点 A 的横坐标为 ?2 , 2
…………………………………………… 1 分

∴ A 的纵坐标为 3. 点 ∵ 反比例函数 y ?

k 的图象经过点 A( ?2,3 ) , x

∴3 ?

k . ?2
……………………………………………………… 2 分 ……………………………………………………… 3 分

∴k ? ?6 . ∴y ? ?

6 . x
9 2

(2)点 P 的坐标为 (0, ) 或 (0, ? ) . 18.解:设原计划每天生产空气净化器 x 台. 依题意得 2400 ? 1200 ? 1.2 ? 2400 . x ? 10 x 解得 x ? 40 .

9 2

……………………………… 5 分 ……………………………………1 分 …………………………………… 2 分

…………………………………………………………… 3 分 ……………………… 4 分 ……………………………………………5 分

经检验, x ? 40 是原方程的解,并且符合题意. 答: 原计划每天生产空气净化器 40 台. 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.解: (1)如图 2.

32 图2

∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O, 1 1 ∴ OA= AC,OB= BD . 2 2 ∵ AC︰BD=2︰3, ∴ OA︰OB=2︰3 . 设 OA=2x (x >0),则 OB=3x. ∵ AC⊥ AB, ∴ ∠BAC =90°. 在 Rt△OAB 中,OA2+AB2=OB2. ∵ AB=2, ∴ 2+22=(3x)2 . (2x) 2 5 解得 x=± (舍负). 5 ∴ AC=2OA= 8 5 . 5 …………………………………………………… 3 分 …………………………………… 2 分 …………… 1 分

(2)∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O, ∴ OB=OD. 1 1 4 5 4 5 ∴ △AOD= S△AOB= AO·AB = × S ×2= . 2 2 5 5 20. (1)证明:连接 OD . (如图 3) ∵ OC=OD, ∴ ∠OCD=∠ODC. ∵ AB=AC, ∴ ∠ACB=∠B. ∴ ∠ODC=∠B. ∴ OD∥ AB. ∵ EF⊥ AB, ∴ ∠ODF =∠AEF =90°. ∴ OD⊥ . EF ∵ 为⊙O 的半径, OD ∴ 与⊙O 相切. EF ………………………………………………2 分 AE 3 = ,AE=6. AF 5 (2)解:由(1)知:OD∥ AB,OD⊥ . EF 在 Rt△AEF 中,sin∠CFD = ∴ AF=10. ∵ OD∥ AB, ∴ ODF∽ AEF. △ △ ∴ ∴ ∠ODF=∠AEF.
A
图3

……………………… 5 分
F

C O

D E B

…………………………………………………………… 1 分

………………………………………………………………3 分

OF OD . ? AF AE
33

设⊙O 的半径为 r, 10-r r ∴ = . 10 6 解得 r= 15 . 4 ……………………………………………………………… 4 分 15 . 2 ………… 5 分

∴ AB= AC=2r = ∴ EB=AB-AE=

15 3 -6= . 2 2

21.解: (1)17%;

……………………………2 分 ………………… 4 分
图4

(2)所补数据为 21.7; ……………………3 分 补全统计图如图 4; (3)2015. 22.解: (1)① 如图 5; (2)点 P 的坐标为 ………………………… 5 分
y

………………………… 1 分

A

② D 的坐标为 ? 7,? ; 点 0

?

mn, . 0

?

………………… 3 分 ……………… 5 分

B

O

C

x

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23. (1)证明:∵? ? (a ? 4)2 ? 4 ? 2a ? a2 ? 16 , 而a ? 0,
2

图5

…………………………………1 分

∴a 2 ? 16 ? 0 ,即 ? ? 0 . ∴ 无论 a 为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根. (2)解:∵ x ? 当 …………2 分

a 时, y ? 0 , 2 a 2 a ∴2 ? ( ) ? (a ? 4) ? ? a ? 0 . 2 2
∴a ? 3a ? 0 ,即 a(a ? 3) ? 0 .
2

∵a ? 0 , ∴a ? ?3 . ………………………………………………………… 3 分
2

∴ 抛物线 C1 的解析式为 y ? 2 x ? x ? 3 ? 2( x ? ) ?
2

1 4

25 . 8

34

∴ 抛物线 C1 的顶点为 (? , ?

1 4

25 ). 8

∴ 抛物线 C2 的顶点为 (0, ?3) . ∴ 抛物线 C2 的解析式为 y ? 2 x2 ? 3 . …………………………4 分

(3)解:∵ A( m , n )和 B( n , m )都在抛物线 C2 上, 点 ∴n ? 2m ? 3 ,且 m ? 2n ? 3 .
2 2

∴n ? m ? 2(m2 ? n2 ) . ∴n ? m ? 2(m ? n)(m ? n) . ∴(m ? n)[2(m ? n) ? 1] ? 0 . ∵ 、B 两点不重合,即 m ? n , A ∴2(m ? n) ? 1 ? 0 . ∴m ? n ? ?
2

1 . 2
2

……………………………………………………… 5 分

∵2m ? n ? 3 , 2n ? m ? 3 , ∴2m ? 2mn ? 2n
3 3

? 2m2 ? m ? 2mn ? 2n2 ? n
? (n ? 3) ? m ? 2mn ? (m ? 3) ? n
? 3(m ? n).

………………………………………………………………6 分 ………………………………………………………………7 分

3 ?? . 2
24.解: (1) cos ? =

3 ,△PMN 周长的最小值为 3 ; 2

………………………2 分

(2)分别将△PAB、△PBC、△PAC 沿直线 AB、BC、AC 翻折,点 P 的对称点分别是 点 D、E、F,连接 DE、DF, (如图 6) 则△PAB≌ △DAB,△PCB≌ △ECB,△PAC≌ △FAC. ∴ AD=AP=AF, BD=BP=BE,CE=CP=CF. ∵ 由(1)知∠ ABC=30° BAC=60° ACB=90° ,∠ ,∠ ,
D P A F C
35 E

B

∴ DBE=2∠ ∠ ABC=60° DAF=2∠ ,∠ BAC=120° , ∠ FCE=2∠ ACB=180° . ∴ △DBE 是等边三角形,点 F、C、E 共线. ∴ DE=BD=BP= 10 ,EF=CE+CF=2CP=2. ∵ △ADF 中,AD=AF= 2 ,∠ DAF=120° , ∴ ADF=∠ ∠ AFD=30° . ∴ DF= 3 AD = 6 . ∴EF 2 ? DF 2 ? 10 ? DE 2 . ∴ DFE=90° ∠ . ………………………………………………………4 分

∵S多边形BDAFE ? 2S?ABC ? S?DBE ? S?DFE ? S?DAF , ∴2S?ABC ?

3 1 1 2 ? ( 10)2 ? ? 6 ? 2 ? ? 6 ? ?3 3? 6. 4 2 2 2
……………………………………………5 分

∴S?ABC ?

3 3? 6 . 2

(3)∠ APB=150° .

………………………………………………………… 7 分

说明:作 BM⊥ 于 M,AN⊥ 于 N.(如图 7) DE DF 由(2)知∠ DBE= 2? ,∠ DAF= 180? ? 2? . ∵ BD=BE= n ,AD=AF= m , ∴ DBM= ? ,∠ ∠ DAN= 90? ? ? . ∴ 1= 90? ? ? ,∠ ? . ∠ 3= ∴ DM = n sin ? ,DN= mcos? . ∴ DE=DF=EF. ∴ 2=60° ∠ . ∴ APB=∠ ∠ BDA=∠ 1+∠ 2+∠ 3=150° . 3 25.解: (1)∵ 直线 l: y ? x ? m 经过点 B(0, ?1 ) , 4 ∴m ? ?1 . ∴ 直线 l 的解析式为 y ? ∵ 直线 l: y ? ∴n ?
A D 1
2 3

B

P N

M

E

C

F
图7

3 x ? 1. 4

3 , x ? 1 经过点 C(4,n) 4
………………………………………………1 分

3 ? 4 ?1 ? 2 . 4

36

∵ 抛物线 y ?

1 2 , x ? bx ? c 经过点 C(4,2)和点 B(0, ?1 ) 2

1 ? 2 ? ? 42 ? 4b ? c, ∴? 2 ? ??1 ? c. ? 5 ? b?? , 解得 ? 4 ? ?c ? ?1. ?
∴ 抛物线的解析式为 y ? (2)∵ 直线 l: y ?

1 2 5 x ? x ?1 . 2 4

…………………………2 分

3 x ? 1 与 x 轴交于点 A, 4 4 ∴ A 的坐标为( ,0). 点 3 4 ∴ OA= . 3
在 Rt△OAB 中,OB=1, ∴ AB= OA2 ? OB2 = ( )2 ? 12 ? ∵ DE∥y 轴,
E

4 3

5 . 3

y
l
C F

∴ OBA=∠ ∠ FED. ∵ 矩形 DFEG 中,∠ DFE=90° , ∴ DFE=∠ ∠ AOB=90° .

O A
B D

G

x

∴ △OAB∽ △FDE. 图8 OA OB AB ∴ . ? ? FD FE DE OA 4 ∴FD ? ? DE ? DE , AB 5 OB 3 …………………………………………4 分 FE ? ? DE ? DE . AB 5 4 3 14 ∴ p =2(FD+ FE)= 2 ? ( ? ) DE ? DE . 5 5 5 3 1 5 ∵ D( t , t 2 ? t ? 1 ) ,E( t , t ? 1 ) ,且 0 ? t ? 4 , 4 2 4 3 1 5 1 ∴DE ? ( t ? 1) ? ( t 2 ? t ? 1) ? ? t 2 ? 2t . 4 2 4 2 14 1 7 28 ∴ p ? ? (? t 2 ? 2t ) ? ? t 2 ? …………………………… 5 分 t. 5 2 5 5 7 7 28 ∵ p ? ? (t ? 2) 2 ? ,且 ? ? 0 , 5 5 5

37

∴ t ? 2 时, p 有最大值 当 (3)点 A1 的横坐标为

28 . 5

…………………………………… 6 分 ……………………………………………8 分

3 7 或? . 4 12

说明:两种情况参看图 9 和图 10,其中 O1B1 与 x 轴平行,O1A1 与 y 轴平行.

y
l
C

y
l
C

O
B

A1

A B1

x

A1

O

A

x

O1

B O1 B1 图 10

图9

2013 北京市海 淀 区 初三(一模)试题





2013.5.8

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 1.2 的相反数是 A. 2 B. ? 2 C.

1 2

D. ?

1 2

2.十八大开幕当天,网站关于此信息的总浏览量达 5.5 亿次.将 5.5 亿用科学记数法表示为 A. C.

5.5? 108 550 ? 107

B. 55? 10

8

D. 0.55? 10

10

3.如图是某几何体的三视图,则这个几何体是 A. 圆柱 B. 正方体 C. 球 D. 圆锥

4.一个多边形的外角和是内角和的一半,则这个多边形的边数为 A. 5 B.6 C. 7 D. 8

5.小林在元宵节煮了 20 个元宵,其中 10 个黑芝麻馅,6 个山楂馅,4 个红豆馅(除馅料不 同外,其它都相同).煮好后小明随意吃一个,吃到红豆馅元宵的概率是 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 5

D.

2 5

6.一副三角板如图放置,若∠1= 90? ,则∠2 的度数为
38

A.45°

B.60°

C.75°

D.90°

7.在篮球比赛中,某队员连续 10 场比赛中每场的得分情况如下表所示: 场次(场) 得分(分) 1 13 2 4 3 13 4 16 5 6 6 19 7 4 8 4 9 7 10 38

则这 10 场比赛中他得分的中位数和众数分别是 A.10, 4 B.10,7 C.7,13 D. 13,4

8.如图,△ ABC 是等边三角形, AB ? 6 厘米,点 P 从点 B 出发, 沿

BC 以每秒 1 厘米的速度运动到点 C 停止;同时点 M 从点 B 出发 ,沿
折线 BA - AC 以每秒 3 厘米的速度运动到点 C 停止.如果其中一个 点停止运动,则另一个点也停止运动.设点 P 的运动时间为 t 秒, P 、 则表示 y 与 t 的函数关系的图象大致是 M 两点之间的距离为 y 厘米,

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. 分解因式: a 2b ? 6ab2 ? 9b3 ?
2



10.若关于 x 的一元二次方程 x ? 3x ? m ? 0 有实数根,则 m 的取值范围是 . 11.如图,将正方形纸片对折,折痕为 EF .展开后继续折叠,使点 A 落在 EF 上, 折痕为 GB ,则 ?ABG 的正切值是 .

12. 如图 1 所示, 圆上均匀分布着 11 个点 A1 , A2 , A3 ,?, A .从 A1 起每隔 k 个点顺 11 次连接,当再次与点 A1 连接时,我们把所形成的图形称为“ k +1阶正十一角星” ,其中

1 ? k ? 8 ( k 为正整数).例如,图 2 是“2 阶正十一角星” ,那么 ?A ? ?A2 ? ? ? ?A ? 1 11
°;当 ?A ? ?A2 ? ? ? ?A ? 900°时, k = 1 11 .
39

图1

图2

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: 12 ? 2 cos 30? ? ( 3 ? 1) ? ( )
0

1 8

?1



? x ? 2 ? 0, ? 14.解不等式组: ? x ? 1 ? 2 ? 1 ? x. ?

1 ? x2 ? 1 ? 15.先化简,再求值: ? 1 ? ,其中 x ? 3 . ?? x ? 2 ? 2x ? 4 ?

40

16.已知:如图,点 A , D , C 在同一直线上, AB ∥ EC , AC ? CE ,

E

?B ? ?EDC.
求证: BC ? DE.
A B D C

17. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 y ? ? 图象的一个交点为 A(?1, n) . (1)求这个一次函数的解析式;

2 的图象与一次函数 y ? kx ? k 的 x

(2)若 P 是 x 轴上一点,且满足 ?APO ? 45? ,直接写出点 P 的坐标.

18. 列方程(组)解应用题: 雅安地震灾情牵动全国人民的心.某厂计划加工 1500 顶帐篷支援灾区,加工了 300 顶 帐篷后,由于救灾需要,将工作效率提高到原计划的 2 倍,结果提前 4 天完成了任务.求原 计划每天加工多少顶帐篷.

41

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分)

D 19. 如 图 , 在 四 边 形 A B C 中 , 对 角 线 AC , BD 相 交 于 点
E , ? DAB = ?CDB = 90? , ? ABD = 45? ,∠ DCA = 30? , AB ? 6 .求 AE 的长和△

ADE 的面积.

20.已知:如图,在△ ABC 中, AB ? AC .以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于点 D ,过点 D 作

DE ⊥ AC 于点 E .
(1)求证: DE 与⊙ O 相切; (2) 延 长 DE 交 BA 的 延 长 线 于 点 F . 若 AB ? 6 ,

sin B =

5 , 求线段 AF 的长. 5

21. 下图为北京某天空气质量指数实时查询的一个结果.

为了解今年北京市春节假期空气质量情况, 小静查到下表所示的某天 15 个监测子站的 空气质量指数;小博从环境监测网随机抽取了某天部分监测点的空气质量情况,并绘制了 以下两个统计图. 解答下列问题:

42

(1)小静查到的统计表中重度污染出现的频率为



(2)计算小博抽取的监测点的个数,并补全条形统计图; (3)据统计数据显示,春节期间燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因. 市民在今年 春节期间自觉减少了购买和燃放烟花爆竹的数量,全市销售烟花爆竹 37 万余箱,比去年减 少 35%.求今年比去年同期少销售多少万箱烟花爆竹.(结果保留整数)

22.问题:如图 1, a 、 b 、 c 、 d 是同一平面内的一组等距平行线(相邻平行线间的距离为 1).画出一个正方形 ABCD ,使它的顶点 A 、 B 、 C 、 D 分别在直线 a 、 b 、 d 、 c 上, 并计算它的边长.

图1 小明的思考过程:

图2

他利用图 1 中的等距平行线构造了 3 ? 3 的正方形网格,得到了辅助正方形 EFGH ,如 图 2 所示, 再分别找到它的四条边的三等分点 A 、 B 、 C 、 D ,就可以画出一个满足题目 要求的正方形. 请回答:图 2 中正方形 ABCD 的边长为 请参考小明的方法,解决下列问题: (1)请在图 3 的菱形网格(最小的菱形有一个内角为 60? ,边长为 1)中,画出一个 等边△ ABC ,使它的顶点 A 、 B 、 C 落在格点上,且分别在直线 a、b、c 上; (3) 如图 4, l1 、 l2 、 l3 是同一平面内的三条平行线, l1 、 l2 之间的距离是 .

21 , l2 、 5

l3 之间的距离是

21 ,等边△ ABC 的三个顶点分别在 l1 、 l2 、 l3 上,直接写出△ ABC 的边 10

43

长.

图3

图4

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8分) 23.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? mx ? 2mx ? n 与 x 轴交于 A 、 B 两点,点 A 的
2

坐标为 ( ?2,0) . (1)求 B 点坐标; (2)直线 y =

1 x + 4m + n 经过点 B . 2

①求直线和抛物线的解析式; ②点 P 在抛物线上,过点 P 作 y 轴的垂线 l ,垂足为 D(0, d ) .将抛物线在直线 l 上方 的部分沿直线 l 翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象 G .请结合图象回答:当 图象 G 与直线 y =

1 x + 4m + n 只有两个公共点时, d 的取值范围是 2



24.在△ ABC 中,∠ ACB = 90? .经过点 B 的直线 l(l 不与直线 AB 重 合)与直线 BC 的夹角等于 ?ABC ,分别过点 C 、点 A 作直线 l 的垂线,

44

垂足分别为点 D 、点 E . (1)若 ?ABC ? 45? , CD = 1 (如图) ,则 AE 的长为 (2)写出线段 AE 、 CD 之间的数量关系,并加以证明; (3)若直线 CE 、 AB 交于点 F , ;

CF 5 ? , CD =4,求 BD 的长. EF 6

25. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x2 ? 2mx ? m2 ? m 的顶点为 C . (1) 求点 C 的坐标(用含 m 的代数式表示) ; (2) 直线 y ? x ? 2 与抛物线交于 A 、 B 两点,点 A 在抛物线的对称轴左侧. ①若 P 为直线 OC 上一动点,求△ APB 的面积; ②抛物线的对称轴与直线 AB 交于点 M ,作点 B 关于直线 MC 的对称点 B ' . 以 M 为 圆 心, MC 为 半 径的 圆上存在 一点 Q , 使 得 QB '? 为 .

2 QB的 值最小, 则这 个最 小值 2

45

2013 海淀中考一模数学参考答案
数学试卷答案及评分参考
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 题 号 答 案 题 号 答 案 1 B 9 2 A 3 D 10 4 B 5 C 11 6 C 7
[来源:学科网 ZXXK]

8 D 12

A

[来源:Zxxk.Com]

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)

b(a ? 3b)2

m≤

9 4

2? 3

1260? ;2 或 7

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: 12 ? 2 cos 30? ? ( 3 ? 1) ? ( )
0

1 8

?1



解:原式 ? 2 3 ? 2 ?

3 ?1? 8 2

?????????4 分

? 3 ? 7 .?????????5 分

解:由①得 x ? ?2 .?????????2 分 由②得 x ? 1 .?????????4 分 则不等式组的解集为 ? 2 ? x ? 1 .?????????5 分
1 ? x2 ? 1 ? 15.先化简,再求值: ? 1 ? ,其中 x ? 3 . ?? x ? 2 ? 2x ? 4 ?

解:原式 ?
?

x ? 2 ? 1 2x ? 4 ? 2 x?2 x ?1
2( x ? 2) x ?1 ? x ? 2 ( x ? 1)( x ? 1)

??? ??????2 分 ?????????3 分

2 . ?????????4 分 x?1 2 1 当 x ? 3 时,原式= ? .?????????5 分 x?1 2 16.证明:? AB ∥ EC , ∴ ?A ? ?DCE . ?????????1 分 在△ ABC 和△ CDE 中, ?

E

??B ? ?EDC , ? ? ?A ? ?DCE , ? AC ? CE , ?
∴△ ABC ≌△ CDE .?????????4 分 ∴ BC ? DE . ?????????5 分

A B

D

C

46

17.解:(1)∵ 点 A (?1, n) 在反比例函数 y ? ? ∴ n ? 2. ?????????1 分 ( , ) ∴ 点 A 的坐标为 ? 1 2 . ∵ 点 A 在一次函数 y ? kx ? k 的图象上, ∴ 2 ? ?k ? k . ∴ k ? ?1 .?????????2 分

2 的图象上, x

∴ 一次函数的解析式为 y ? ? x ? 1 .?????????3 分 (2)点 P 的坐标为(-3,0)或(1,0) .?????????5 分 (写对一个给 1 分) 18.解:设原计划每天加工 x 顶帐篷. ?????????1 分

1500 ? 300 1500 ? 300 ? ? 4 .?????????3 分 x 2x
解得 x ? 150 . ?????????4 分 经检验, x ? 150 是原方程的解,且符合题意. 答:原计划每天加工 150 顶帐篷. ?????????5 分 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 解:过点 A 作 AF ⊥ BD 于 F . ∵∠ CDB =90°,∠1=30°, ∴∠2=∠3=60°. ?????????1 分 在△ AFB 中,∠ AFB =90°. ∵∠4=45°, AB ? 6 , ∴ AF = BF = 3 .?????????2 分 在△ AFE 中,∠AFE=90°. ∴ EF ? 1, AE ? 2 .?????????3 分 在△ ABD 中,∠ DAB =90°. ∴ DB ? 2 3 . ∴ DE ? DB ? BF ? EF ? 3 ? 1.?????????4 分 ∴ S?ADE ?

1 1 3? 3 DE ? AF ? ( 3 ? 1) ? 3 ? .?????????5 分 2 2 2
?????????1 分

20.(1)证明:连接 OD . ∵ AB = AC , ∴ ?B ? ?C . 又∵ OB ? OD , ∴ ?B ? ?1 .

47

∴ ?C ? ?1 . ∴ OD ∥ AC . ∵ DE ⊥ AC 于 E , ∴ DE ⊥ OD . ∵点 D 在⊙ O 上, ∴ DE 与⊙ O 相切. ?????????2 分 (2)解:连接 AD . ∵ AB 为⊙ O 的直径, ∴∠ ADB =90° .
[来源:Z,xx,k.Com]

∵ AB =6, sin B =

5 , 5
6 5 .??????3 分 5

∴ AD ? AB ? sin B =

∵ ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?2 ? 90? , ∴ ?1 ? ?3 . ∴ ?B ? ?3. 在△ AED 中,∠ AED =90° . ∵ sin?3 ?

AE 5 , ? AD 5

∴ AE ?

5 5 6 5 6 AD ? ? ? . ?????????4 分 5 5 5 5

又∵ OD ∥ AE , ∴△ FAE ∽△ FOD .

FA AE ? . FO OD ∵ AB ? 6 , ∴ OD ? AO ? 3 . FA 2 ? . ∴ FA ? 3 5 ∴ AF ? 2 . ?????????5 分 1 21.(1) .?????????1 分 3
∴ (2)∵ (3 ? 3 ? 18) ? 80% ? 30 , ∴被小博同学抽取的监测点个数为 30 个. ?????????2 分

?????????3 分
48

(3)设去年同期销售 x 万箱烟花爆竹.

(1 ? 35%) x ? 37 .

12 .?????????4 分 13 12 12 ? 37 ? 19 ? 20 . ∴ 56 13 13
解得 x ? 56 答:今年比去年同期少销售约 20 万箱烟花爆竹. ????????? 5 分 22.(1) 5 .?????????2 分 (2)①如图:

(答案不唯一) ② 7 21 . ?????????5 分
5

?????????4 分

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.解: (1)依题意,可得抛物线的对称轴为 x ? ?

?2 m ? 1 .?????????1 分 2m

∵抛物线与 x 轴交于 A 、 B 两点,点 A 的坐标为 ( ?2,0) , ∴点 B 的坐标为 (4,0) .?????????2 分 (2)∵点 B 在直线 y = ∴ 0 ? 2 ? 4m ? n ①. ∵点 A 在二次函数 y ? mx - 2mx ? n 的图象上,
2

1 x + 4m + n 上, 2

∴ 0 ? 4m ? 4m ? n ②. ?????????3 分 由①、②可得 m ?

1 n ? ?4 . 2,

?????????4 分

1 1 ∴ 抛物线的解析式为 y= x 2 ? x ? 4 ,直线的解析式为 y= x ? 2 . ?????5 分 2 2
(3) ?

5 ? d ? 0 . ?????????7 分 2

24. (1) AE ? 2 .?????????1 分 (2)线段 AE 、 CD 之间的数量关系为 AE ? 2CD .?????????2 分

49

证明:如图 1,延长 AC 与直线 l 交于点 G . 依题意,可得∠1=∠2. ∵∠ ACB = 90? , ∴∠3=∠4. ∴ BA ? BG . ∴ CA = CG .?????????3 分 ∵ AE ⊥ l , CD ⊥ l , ∴ CD ∥ AE . ∴△ GCD ∽△ GAE . ∴

CD GC 1 = ? . AE GA 2

∴ AE ? 2CD .?????????4 分 (3)解:当点 F 在线 段 AB 上时,如图 2, 过点 C 作 CG ∥ l 交 AB 于点 H ,交 AE 于点 G . ∴∠2=∠ HCB . ∵∠1=∠2, ∴∠1=∠ HCB . ∴ CH ? BH . ∵∠ ACB = 90? , ∴∠3+∠1=∠HCB+∠4 = 90? . ∴∠3=∠4. ∴ CH ? AH ? BH . ∵ CG ∥ l , ∴△ FCH ∽△ FEB . ∴ 图2

CF CH 5 = ? . EF EB 6

设 CH ? 5 x, BE ? 6 x ,则 AB ? 10 x . ∴在△ AEB 中 ,∠ AEB = 90? , AE ? 8 x . 由(2)得, AE ? 2CD . ∵ CD ? 4 , ∴ AE ? 8 . ∴ x ? 1. ∴ AB ? 10, BE ? 6, CH ? 5 . ∵ CG ∥ l , ∴△ AGH ∽△ AEB . 图3

50



HG AH 1 ? ? . BE AB 2

∴ HG ? 3 .?????????5 分 ∴ CG ? CH ? HG ? 8 . ∵ CG ∥ l , CD ∥ AE , ∴四边形 CDEG 为平行四边形. ∴ DE ? CG ? 8 . ∴ BD ? DE ? BE ? 2 .????????6 分 当点 F 在线段 BA 的延长线上时,如图 3, 同理可得 CH ? 5 , GH ? 3 , BE ? 6 . ∴ DE = CG ? CH ? HG ? 2 . ∴ BD ? DE ? BE ? 8 . ∴ BD ? 2 或 8.????????7 分
2 2 25.解: (1)? y ? x ? 2mx ? m ? m ? ? x ? m ? ? m ,????????1 分 2

∴顶点坐标为 C ( m, m ) .????????2 分 (2)①? y ? x ? 2 与抛物线 y ? x2 ? 2mx ? m2 ? m 交于 A 、 B 两点, ∴ x ? 2 ? x ? 2mx ? m ? m .
2 2

解方程,得 x1 ? m ? 1, x2 ? m ? 2 .????????4 分

?点A 在点 B 的左侧,
∴ A(m ? 1, m ? 1), B(m ? 2, m ? 4). ∴ AB ? 3 2. ????????5 分

? 直线 OC 的解析式为 y ? x ,直线 AB 的解析式为 y ? x ? 2 ,
∴ AB ∥ OC ,两直线 AB 、 OC 之间距离 h = ∴ S? APB ?

2.

1 1 AB ? h ? ? 3 2 ? 2 ? 3 .?????????6 分 2 2
[来源:Z#xx#k.Com]

②最小值为 10. ????????8 分

(注:本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)

51

2013 北京市东城区学年第二学期初三综合练习(一模)

数学试卷
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1. ?

2013.5。 8

1 的倒数是 5
B.

A. 5

1 5

C. ?

1 5

D. -5

2. 2013 年国家财政支出将大幅向民生倾斜,民生领域里流量最大的开销是教育,预算支出 达到 23 000 多亿元.将 23 000 用科学记数法表示应为 A. 23× 4 10 B. 0.23× 6 10
2

C. 2.3× 5 10

D. 2.3× 4 10

3.用配方法解方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,配方后的方程是 A. ( x ? 2)2 ? 3 B. ( x ? 2)2 ? 3 C. ( x ? 2)2 ? 5 D. ( x ? 2)2 ? 5

4.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人 10 次射击的平均成绩恰好都是 9.4 环,方差分 别是 S2 甲=0.90,S2 乙=1.22,S2 丙=0.43,S2 丁=1.68.在本次射击测试中,成绩最稳定的是 A.甲 B.乙 C.丙 D. 丁

5. 如图,下面是利用尺规作∠AOB 的角平分线 OC 的作法,在用尺规作角平分线时,用到 的三角形全等的判定方法是
1 作法:○以 O 为圆心,任意长为半径作弧,交 OA,OB 于点 D,E. 2 ○分别以 D, 为圆心, E 以大于

1 DE 的长为半径作弧, 2

两弧在 ?AOB 内交于点 C. 3 ○作射线 OC.则 OC 就是 ?AOB 的平分线. A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS

6. 如图,AB 与⊙O 相切于点 B,AO 的延长线交⊙O 于点 C,连结 BC,若

1 OC ? OA ,则∠C 等于 2
A. 15° C. 45° B. 30° D. 60°

52

7. 在一个不透明的口袋中有 3 个完全相同的小球, 标号为 1, 3, 2, 现随机地取出一个小球, 然后放回,再随机地取出一个小球,两次取得小球的标号相同的概率是 A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

8. 如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,动点 P 从 A 点出发,以每秒 1 个单位长度的速度 沿 AB 向 B 点运动,同时动点 Q 从 B 点出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 BC→CD 方 向运动,当 P 运动到 B 点时,P,Q 两点同时停止运动.设 P 点运动的时间为 t,△APQ 的面积为 S,则 S 与 t 的函数关系的图象是

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. 已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣2x+k=0 有两个相等的实数根,则 k 的值为 10. 分解因式: a ? 16a =________________.
3

2



11. 已知每个网格中小正方形的边长都是 1,图中的阴影图 案是由三段以格点为圆心,半径分别为 1 和 2 的圆弧围成. 则阴影部分的面积是 . 12. 在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的位置如右图所示, 点 A 的坐标为(1,0) ,点 D 的坐标为(0,2) .延长 CB 交 x 轴于点 A1,作正方形 A1B1C1C;延长 C1B1 交 x 轴于 点 A2,作正方形 A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去, 第 2013 个正方形的面积为 . 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: ? 12 ? 2sin 60? ? ( ) ? (2013) .
0

1 3

?1

14.求不等式 2x+9 ≥ 3(x+2) 的正整数解.

53

15.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 是 BC 的中点,作∠EAB=∠BAD,AE 边交 CB 的延长线于点 E,延长 AD 到点 F,使 AF=AE,连结 CF. 求证:BE=CF.

16.先化简,再求值: 2(m ?1)2 ? 3(2m ? 1) ,其中 m 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的根.
2

17.列方程或方程组解应用题 小红到离家 2100 米的学校参加初三联欢会, 到学校时发现演出道具忘在家中, 此时 距联欢会开始还有 45 分钟,于是她马上步行回家取道具,随后骑自行车返回学校.已 知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少 20 分钟,且骑自行车的平均速度是 步行平均速度的 3 倍.初中 数学 辅 导网 (1)小红步行的平均速度(单位:米/分)是多少? (2)小红能否在联欢会开始前赶到学校?(通过计算说明你的理由)

54

18.如图,平行四边形 ABCD 放置在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(-2,0),B(2,0) , D(0,3),反比例函数 y ?

k (x>0)的图象经过点 C. x

(1)求此反比例函数的解析式; (2)问将平行四边形 ABCD 向上平移多少个单位,能使点 B 落在双曲线上.

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注.为此某媒体记者随机调查了某市城 区若干名中学生家长对这种现象的态度(态度分为:A:无所谓;B:反对;C:赞成) , 并将调査结果绘制成图①和图②的统计图(不完整) .请根据图中提供的信息,解答下 列问题: (1)此次抽样调査中,共调査了 名中学生家长; (2)将图① 补充完整; (3)根据抽样调查结果,请你估计该市城区 80 000 名中学生家长中有多少名家长持赞 成态度?

55

20. 如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 在线段 CB 的延长线上,连接 DE 交 AB 于点 F, ∠AED=2∠CED,点 G 是 DF 的中点. (1)求证:∠CED=∠DAG; (2)若 BE=1,AG=4,求 sin ?AEB 的值.

21. 如图,C 是以 AB 为直径的⊙O 上一点,过 O 作 OE⊥AC 于点 E,过点 A 作⊙O 的切线 交 OE 的延长线于点 F,连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P. (1)求证:PC 是⊙O 的切线. (2)若 AB=4, AP ∶ PC =1∶ 2,求 CF 的长. ??????????????????????

56

22. 如图,在菱形纸片 ABCD 中,AB=4cm,∠ ABC=120° ,按下列步骤进行裁剪和拼图:

第一步:如图 1,在线段 AD 上任意取一点 E,沿 EB,EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余 下部分不再使用); 第二步:如图 2,沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分,并在线段 GH 上任意 取一点 M,线段 BC 上任意取一点 N,沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分; 第三步:如图 3,将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180° ,使线段 GB 与 GE 重 合,将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180° ,使线段 HC 与 HE 重合,再与三角形 纸片 EGH 拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片. (注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) (1)请你在图 3 中画出拼接成的四边形; (2)直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为________cm,最大值为________cm.

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0. (1)求证:无论 m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根; (2)当 m 为何整数时,原方程的根也是整数.

57

24. 问题 1:如图 1,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=BC=CD,点 M,N 分别在 AD, CD 上,若∠ MBN=

1 ∠ ABC,试探究线段 MN,AM,CN 有怎样的数量关系?请直接写 2

出你的猜想,不用证明; 问题 2:如图 2,在四边形 ABCD 中,AB=BC,∠ ABC+∠ ADC=180° ,点 M,N 分别在 DA,CD 的延长线上,若∠ MBN=

1 ∠ ABC 仍然成立,请你进一步探究线段 MN,AM, 2

CN 又有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.

25.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x2 ? 2mx ? m2 ? 9 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧,且 OA<OB) ,与 y 轴的交点坐标为(0,-5).点 M 是线段 AB 上的任 意一点,过点 M(a,0)作直线 MC⊥ 轴,交抛物线于点 C,记点 C 关于抛物线对称轴 x 的对称点为 D(C,D 不重合) ,点 P 是线段 MC 上一点,连结 CD,BD,PD. (1)求此抛物线的解析式; (2)当 a ? 1 时,问点 P 在什么位置时,能使得 PD⊥ BD; (3)若点 P 满足 MP ?

1 MC ,作 PE⊥ 交 x 轴于点 E,问是否存在这样的点 E,使 PD 4

得 PE=PD,若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.

58

59

2013 北京市东城区学年第二学期初三综合练习(一模) 参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 题 号 答 案 题 号 答 案 1 D 9 1 2 D 3 A 10 4 C 5 A 11 6 B 7 C 12 8 D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)

a(a ? 4)(a ? 4)

π?2

9 5 ? ( ) 2012 4

三、解答题: (本题共 30 分,每小题 5 分) 13. (本小题满分 5 分) 解:原式= 2 3 ? 2 ? = 3?2 . 14. (本小题满分 5 分) 解: 2 x ? 9 ? 3x ? 6 , ………………1 分 ………………2 分 ………………3 分 ………………4 分

3 ? 3 ?1 2

………………4 分

………………5 分

2x ? 3 ? 6 9 , x ? ? x ? ?3 x ? 3.


∴ 不等式的正整数解为 1,2,3 . ………………5 分 15. (本小题满分 5 分) 证明:∵AB=AC,点 D 是 BC 的中点, ∴∠ CAD=∠ BAD. 又∵∠ EAB=∠ BAD, ∴∠ CAD=∠ EAB. 在△ACF 和△ABE 中, ………………2 分 ………………1 分

? AC ? AB, ? ??CAF ? ?BAE , ? AF ? AE , ?
∴△ACF≌ ABE. △ ∴BE=CF. ………………4 分 ………………5 分

60

16. (本小题满分 5 分) 解:原式= 2(m2 ? 2m ? 1) ? 6m ? 3 = 2m ? 4m ? 2 ? 6m ? 3
2

= 2m ? 2m ? 5 .
2 2

………………3 分

∵m 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的根, ∴ m ? m ?1 ? 0 .
2

∴ m ? m ? 1.
2

∴ 原式= 2(m2 ? m) ? 5 =7.………………………5 分 17. (本小题满分 5 分) 解:(1)设小红步行的平均速度为 x 米/分,则骑自行车的平均速度为 3x 米/分. 根据题意得:

1分

2100 2100 ? ? 20 . ··················· 分 ··········· ······· 2 ·········· ········ x 3x x ? 70 . ····························3 分 得 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ 经检验 x ? 70 是原方程的解 . ··········· ··········· 分 ··········· ·········· 4 ·········· ···········
答:小红步行的平均速度是 70 米/分. (2)根据题意得:

2100 2100 ? ? 40 ? 45 70 3 ? 70



∴ 小红能在联欢会开始前赶到. …………………………………5 分 18.(本小题满分 5 分) 解: (1)∵ 平行四边形 ABCD,A(-2,0),B(2,0) ,D(0,3), ∴ 可得点 C 的坐标为(4,3). ∴ 反比例函数的解析式为 y ?

12 . x

…………………………………3 分

(2)将点 B 的横坐标 2 代入反比例函数 y ?

12 中,可得 y=6. x

∴ 将平行四边形 ABCD 向上平移 6 个单位,能使点 B 落在双曲线上.………5 分 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.(本小题满分 5 分) 解: (1)调查家长总数为:50÷ 25%=200 人; …………………………1 分 (2)持赞成态度的学生家长有 200﹣50﹣120=30 人, 故统计图为: …………………………3 分 (3)持赞成态度的家长有:80000× 15%=12000 人.………………………………5 分

61

20.(本小题满分 5 分) 解: (1)证明:∵ 矩形 ABCD, ∴AD∥ BC. ∴∠ CED =∠ ADE. 又∵ G 是 DF 的中点, 点 ∴AG=DG. ∴∠ DAG =∠ ADE. ∴∠ CED =∠ DAG. …………………………2 分 (2) ∵∠ AED=2∠ CED,∠ AGE=2∠ DAG, ∴∠ AED=∠ AGE. ∴AE=AG. ∵AG=4, ∴AE=4. 在 Rt△AEB 中,由勾股定理可求 AB= 15 . ∴ sin ?AEB ?

AB 15 ? . AE 4

…………………………5 分

21. (本小题满分 5 分) 解: (1)证明:连结 OC . ? OE⊥ ∵ AC, ? ? ? ∴AE=CE . ∴FA=FC. ∴∠ FAC=∠ FCA. ∵OA=OC, ? ∠ ∴ OAC=∠ OCA. ? ? ? ∴∠ OAC+∠ FAC=∠ OCA+∠ FCA. 即∠ FAO=∠ FCO . ∵FA 与⊙ 相切,且 AB 是⊙ 的直径, O O
62

? ? ?

∴FA⊥ AB. ∴∠ FCO=∠ FAO=90° . ∴PC 是⊙ 的切线. ………………………………………………… 2 分 O (2)∵ PCO=90° ∠ ,

? ?

? ACO +∠ 即∠ ACP =90° . 又∵ BCO+∠ ∠ ACO =90° , ∴∠ ACP=∠ BCO. ∵BO=CO, ∴∠ BCO=∠ B. ∴∠ ACP=∠ B. ∵∠ 公共角, P ∴△PCA∽ PBC . △

? ? ? ?



PC PA AC ? ? . PB PC BC AC 1 = . BC 2

∵ AP ∶PC =1∶ 2, ∴

∵∠ AEO=∠ ACB=90° , ∴OF∥ BC. ∴ ?AOF ? ?ABC . ∴ tan ?AOF ? tan ?ABC ? ∴ tan ?AOF ? ∵AB=4, ∴AO=2 . ∴AF=1 . ∴CF=1 . ………………5 分

1 . 2

AF 1 ? . AO 2

22. (本小题满分 5 分) 解: (1)拼接成的四边形所图虚线所示; (2) 8 ? 2 3 ; 8 ? 4 7 . ………………2 分

…………………………5 分

(注:通过操作,我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形,

63

其上下两条边的长度等于原来菱形的边 AB=4,左右两边的长等于线段 MN 的长,当 MN 垂 直于 BC 时,其长度最短,等于原来菱形的高的一半,于是这个平行四边形的周长的最小值 为 2( 3 +4)= 8 ? 2 3 ;当点 E 与点 A 重合,点 M 与点 G 重合,点 N 与点 C 重合时,线 段 MN 最长,等于 2 7 ,此时,这个四边形的周长最大,其值为 8 ? 4 7 .)

五、解答题: (本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23. (本小题满分 7 分) 解:(1)证明: Δ= m ? 3)2 ? 4(m ? 1) ( = m ? 6m ? 9 ? 4m ? 4
2

= m ? 2m ? 5
2

= (m ? 1)2 ? 4 . ∵ (m ? 1) ≥0,
2

∴ (m ? 1) ? 4 >0.
2

∴ 无论 m 取何实数时,原方程总有两个不相等的实数根. (2) 解关于 x 的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0, 得 x?

…………2 分

?m ? 3 ? (m ? 1)2 ? 4 . 2
2

………………3 分

要使原方程的根是整数,必须使得 (m ? 1) ? 4 是完全平方数. 设 (m ? 1) ? 4 ? a ,
2 2

则 (a ? m ? 1)(a ? m ? 1) ? 4 . ∵ a + m ? 1 和 a ? m ? 1 的奇偶性相同, 可得 ?

?a ? m ? 1 ? 2, ?a ? m ? 1 ? ?2, 或? ?a ? m ? 1 ? 2. ?a ? m ? 1 ? ?2.
………………5 分

解得 ?

?a ? 2, ?a ? ?2, 或? . ?m ? ?1. ?m ? ?1.

64

将 m=-1 代入 x ?

?m ? 3 ? (m ? 1)2 ? 4 ,得 2
………………6 分 ……………7 分

x1 ? ?2, x2 ? 0 符合题意.
∴ 当 m=-1 时 ,原方程的根是整数. 24. (本小题满分 7 分)

解:(1)猜想的结论:MN=AM+CN .
(2)猜想的结论:MN=CN-AM. 证明: 在 NC 截取 CF= AM,连接 BF. ∵∠ ABC+∠ ADC=180° , ∴ ∠ DAB+∠ 180° C= .

……………1 分 ……………3 分

又∵∠DAB+∠ MAB=180° , ∴ ∠ MAB=∠ . C
∵AB=BC AM=CF, ∴ △AMB≌ CFB △



∴∠ ABM=∠ CBF , BM=BF. ∴∠ ABM +∠ ABF =∠ CBF+∠ ABF. 即 ∠ MBF =∠ ABC. ∵∠ MBN=

1 ∠ ABC, 2

∴ MBN= ∠

1 ∠ MBF. 2

即∠ MBN=∠ NBF. 又∵BN=BN BM=BF, ∴△MBN≌ FBN. △ ∴ MN=NF.

65

∵NF=CN-CF, ∴MN=CN-AM .

……………… …7



25. (本小题满分 8 分) 解 : 1 ) ? 抛 物 线 y ? x2 ? 2mx ? m2 ? 9 与 y 轴 交 点 坐 标 为 (

(0,-5) ,
??5 ? m 2 ?9 . 解得 m ? ?2 .

? 抛物线 y ? x2 ? 2mx ? m2 ? 9 与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在点
B 的左侧,且 OA ? OB ) ,

?m ? 2 .
? 抛物线的解析式为 y ? x2 ? 4x ? 5 . ……….. 2 分
(2)过 D 点作 DF ? x轴 于点 F ,

?CD / / MF , DF ? MF ,

? CD ? MF .
? PD ? BD ,
.??PDC ? ?BDF . 又? ?PCD ? ?BFD =90? , ??PCD∽?BFD .

?

CD PC ? . FD BF

(1,y) , ? C (1, ?8), D(3, ?8), F (3,0), B(5,0) ,设 P
2 y ?8 15 ? = . 解得 y ? ? . 8 2 2 15 ? 当 P 的坐标为 (1, ? ) 时, 2 PD ? BD . ……….. 4 分
(3)假设 E 点存在, ? MC ? EM , CD ? MC , ??EMP ? ?PCD . ? PE ? PD , ??EPM ? ?PDC .

? PE ? PD,

66

??EPM ≌?PDC .
? PM ? DC, EM ? PD .
设 C( x0 , y0 ) ,则 D(4 ? x0 , y0 ) , P( x0 ,

1 y0 ) . 4

1 y0 . 4 1 2 ? 2 x0 ? 4 ? ? ( x0 ? 4 x0 ? 5) . 4 ? 2 x0 ? 4 ? ?
解得 x0 ? 1 或 x0 ? 3 .

? P(1,-2)或P(3,-2) .
? PC ? 6 . ? ME ? PC ? 6 .
? E (7, 0) 或 E (-3,0) .
…………………………………………… 8 分

2013 年大兴区中考数学模拟试卷(一)
学校 姓名 准考证号

1.本试卷共 5 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟。 考 生 须 知 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 1. ?

1 的相反数是 2
B. ?2 C.
1 2

A. 2

D. ?

1 2

67

2.某区在一次扶贫活动中,共捐款 3180000 元,将 3180000 用科学记数法表示为 A. 31.8 ?10
5

B.3.18× 10

6

C. 0.318 ?10

7

D. 3.18 ?10

7

3.如图,△ABC 的周长为 30cm,把△ABC 的边 AC 对折,使顶点 C 和点 A 重合,折痕交 BC 边于点 D,交 AC 边于点 E,连接 AD,若 AE=4cm,则△ABD 的周长是 A.22cm B.20 cm C.18cm D.15cm

4.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人 10 次射击成绩的平均数都是 9.2 环,
2 2 2 2 方差分别为 s甲 ? 0.56 , s乙 ? 0.60 , s丙 ? 0.50 , s丁 ? 0.45 ,则成绩最稳定的是

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

5.从 1~9 这九个自然数中任取出一个,这个数是 2 的倍数的概率是

A.

2 9

B.

4 9

C.

5 9

D.

2 3

6.如图,在平面直角坐标系中,点 P 坐标为(﹣2,3) ,以点 O 为圆心,以 OP 的长为半径 画弧,交 x 轴的负半轴于点 A,则点 A 的横坐标介于

A.﹣4 和﹣3 之间 B.3 和 4 之间

C.﹣5 和﹣4 之间

D.4 和 5 之间

7. 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视 图,那么构成这个几何体的小正方体的个数为

A
A.7 个 C.5 个 B.6 个 D.4 个 俯 视 图 左 视 图

B

主 视 图

E D C

8. 如图, 已知 A、 是反比例函数 y= B

k x>0)图象上的两点, x (k>0,

BC∥x 轴,交 y 轴于点 C.动点 P 从坐标原点 O 出发,沿 O→A→B→C 匀速运 动,终点为 C.过点 P 作 PM⊥x 轴,PN⊥y 轴,垂足分别为 M、N.设四边形 OMPN 的面积为 S,点 P 运动的时间为 t,则 S 关于 t 的函数图象大致为

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)

68

1? x 9.函数 y ? 中,自变量 x 的取值范围是 x

A

. .
B

E C

10.分解因式: mx 2 ? 8mx ? 16m =

11.如图,⊙O 的直径 CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB 大小 为 .
D

12.如图,正方形 ABCD 边长为 2cm,动点 P 从 A 点出发,沿正方形的边按逆时针方向运 动,当它的运动路程为 2013cm 时,线段 PA 的长为______cm;当点 P 第 n 次(n 为正整数) 到达点 D 时,点 P 的运动路程为______cm(用含 n 的代数式表示).

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: (?1)
2013

??

1 ? 9 ? (3.14 ? ? )0 ? sin 30? 2

14.解不等式组 ?

? x ? 2 ? 0, ?5 x ? 1 ? 2( x ? 1).
4 3 2

15.证明:不论 x 取何实数,多项式 ?2 x ? 12 x ? 18 x 的值都不会是正数.
D

16.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,延长 AB 到点 D, 使 BD=AB,取 AB 的中点 E,连结 CD 和 CE. 求证:CD=2CE .

B

O B

A C
D

C

A(P)

B

17.已知:关于 x 的一元二次方程 x ? (2 ? m) x ? (1 ? m) ? 0 .
2

.

(1)求证:方程有两个实数根; (2)设 m<0,且方程的两个实数根分别为 x1 , x2 , 数,且 y ?
4 x2 ,求这个函数的解析式. 1 ? x1

(其中 x1< x 2 ) ,若 y 是关于 m 的函

18.列方程或方程组解应用题:

69

为了改善生态环境,防沙造林,某村计划在荒坡上种植 480 棵树,由于有志愿者的支援,每 日比原计划多种

1 ,结果提前 4 天完成任务,问原计划每天种多少棵树? 3

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.已知:如图,过正方形 ABCD 的顶点 B 作直线 BE 平行于对角线 AC,AE=AC(E,C 均在 AB 的同侧). 求证:∠CAE=2∠BAE .

20. 已知: 如图, 为⊙O 的直径且 PA⊥AC, 是⊙O 的一条弦, AC BC 连结 PB、 PO, PO//BC, 错误!未找到引用源。 . (1)求证:直线 PB 是⊙O 的切线; (2)求 tan∠BCA 的值.

A
21.某区在“阳光体育进校园”活动中,各校学生坚持每天锻炼一小 时.某校根据实际,决定主要开设 A:乒乓球,B:篮球,C:跑步, D:跳绳四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种项目,随机抽取了 部分学生进行调查, 并将调查结果绘制成如下统计图. 请你结合图中 信息解答下列问题, (1)样本中最喜欢 B 项目的人数百分比是____,其所在扇形图中的 圆心角的度数是___________ (2)请把统计图补充完整. (3)已知该校有 1200 人,请根据样本估计全校最喜欢乒乓球的人数是 多少? 人数(单位: 5 人) 4 0 4 4 0 3 0 2 0 1 0 8 8 A B C D 项目

D

B E

C

P B

C

OI

A

2
B C 8%

A 44℅
D 28%

22.分别以△ABC 的边 AC 与边 BC 为边,向△ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E2, 连结 D1D2. (1)如图 1,过点 C 作直线 HG 垂直于直线 AB 于点 H,交 D1D2 于点 G.试探究线段 GD1 与线段 GD2 的数量关系,并加以证明.
70

(2)如图 2,CF 为 AB 边中线,试探究线段 CF 与线段 D1D2 的数量关系,并加以证明.

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.如图,已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 与一直线相交于 A(﹣1,0) ,C(2,3)两点,与 y 轴交于点 N.其顶点为 D. (1) 抛物线 D1 及直 线 AC 的函 数关系 D2 式; E1 C (2) 设点M (3, 使

E2 A F 图2 B

m) ,求

MN+MD 的值最小时 m 的值; (3) 若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B, 为直线 AC 上的任意一点, E 过点 E 作 EF∥BD 交抛物线于点 F,以 B,D,E,F 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点 E 的坐标; 若不能,请说明理由.

71

24. 如图所示,现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD,点 P 为正方形 AD 边上的一点(不 与点 A、点 D 重合)将正方形纸片折叠,使点 B 落在 P 处,点 C 落在 G 处,PG 交 DC 于 H,折痕为 EF,连接 BP、BH. (1)求证:∠APB=∠BPH; (2)当点 P 在边 AD 上移动时,△PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论; (3)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,请直接写出 S 与 x 的函数关系式,并求出 S 的 .... .. 最小值 .

25. 小明同学在研究 某条抛物线

y ? ax2 (a ? 0)
的性质时, 将一 把直角三角板 的直角顶点置 于平面直角坐 标系的原点 O ,两直角边与该抛物线交于 A 、 B 两点,请你帮小明解答以下问题: (1)若测得 OA ? OB ? 2 2 (如图 1) ,求 a 的值; (2)对同一条抛物线,小明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时,过 B 作 BF ? x 轴于点 F ,测得 OF ? 1 ,写出此时点 B 的坐标,并求点 A 的横坐标; ... (3)对该抛物线,小明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现,交点 A 、 B 所连 的线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.

72

2013 年大兴区中考数学模拟试卷(一) 参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 B 6 A 7 D 8 A
73

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. x ≤1 且 x≠0 . 10. m ( x – 4 ) 2 . 8n-2 .
B F D

11.

25? . 12. 5 .
E

A

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.

C

1 1 解:原式=– 1 – +3+ ????????????????4 分 2 2
=2 . 14. 解:解不等式 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 2 . ????????????2 分 ????????????????????5 分

解不等式 5 x ? 1 ? 2( x ? 1) ,得 x ? ?1 .????????????4 分 ∴原不等式组的解集为 ?1 ? x ? 2 . 15. 证明:原式= – 2 x 2 ( x 2 – 6x + 9 ) = – 2 x 2 ( x – 3 )2 .
2 ∵ ?2 x ? 0 , ( x ? 3) ? 0
2

?????????????5 分

????????????????2 分

∴– 2 x 2 ( x – 3 )2 ≤ 0 ∴不论 x 取何实数,原式的值都不会是正数.?????????5 分 16. 证明一: ∵ E 是 AB 中点,可设:AE = BE = x ∵ AB = AC,BD = AB,则有 AC = 2x,AD = 4x ????1 分

AE AC 1 ? ? ??????????????????2 分 AC AD 2 又∵ ∠A = ∠A,
∴ ∴ △AEC∽△ACD ?????????????????3 分 ∴

CE 1 ? CD 2

?????????????????4 分 ?????????????????5 分

∴ CD = 2 CE.

证明二:过点 B 作 BF//AC 交 CD 于点 F,????????1 分 ∵ BD = AB,

74

∴ 点 B 为 AD 的中点. ∴ 点 F 为 CD 的中点. ∴ BF=

1 1 AC ? AB =BE.???????????????2 分 2 2

∵ BF//AC, ∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠CBF. ∴ △CEB ≌ △CFB . ??????????????3 分 ∴ CE = CF . ????????????????????4 分 ∴ CD = 2 CE.????????????????????5 分 17.已知:关于 x 的一元二次方程 (1)求证:方程有两个实数根; (2)设 m<0,且方程的两个实数根分别为 x1 , x2 4 x2 (其中 x1< x 2 ) ,若 y 是关于 m 的函数,且 y ? (2)证明: ? ? ? 2 ? m ? ? 4(1 ? m)
2

.

1 ? x1

,求这个函数的解析式;

? m2 ? 0 .
方程有两个实数根; ??????????????1 分 (2)解:由(1)可知,方程有两个实数根,

(2 ? m) ? m2 ∴ x? (x2 ? 0) . m) x ? 1 ? m ? 0 m ? (2 ? 2
∴ x?

2?m?m . 2

∵ x1 ? x2 , ∴ x1 ? 1 ? m, x2 ? 1 . ??????????????3 分

∴ y? ∴ y? 18.

4 . 1 ? (1 ? m)
?4 .(m<0) m
??????????????5 分

解:设原计划每天种 x 棵树, 依题意,得

????????????????1 分

480 ? x

480 ? 4 . ??????????????????2 分 1 (1 ? )x 3

解得 x = 30 .

??????????????????????????3 分

经检验:x = 30 是方程的解. ????????????????????4 分
75

















30



树. ????????????????????5 分 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 证明:过 A 作 AG⊥BE 于 G,连结 BD 交 AC 于点 O,?????? 1分 ∴ AGBO 是正方形.?????????????????????2 分 ∴ AG=AO=

P B

D

C

OI

A

1 1 AC = AE 2 2
?????????????????????3 分

∴ ∠AEG=30° . ∵ BE∥AC,

A

D

∴ ∠CAE =∠AEG = 30 ? . ∴ ∠BAE = 45? 30? 15? – = . ∴ ∠CAE = 2∠BAE .????????????????????5 分 20. (1)证明:联结 OB, ∵ OB = OC, ∴ ∠C = ∠OBC. ∵ PO∥BC, ∴ ∠C = ∠AOP,∠BOP = ∠OBC, ∴ ∠AOP =∠BOP ∵ OP = OP, ∴ △AOP≌△BOP.?????????????????1 分 ∴∠OBP = ∠OAP = 90? ∴ PB 是⊙O 的切线. ??????????????2 分

G

O

B E

C

(3)解:延长 AC 交 PB 的延长线于点 D, ∵ PO//BC, ∴ △PDO∽△BDC . ∴

DC BC 2 ? ? . DO PO 3
???????????????3 分 设 CO = r,则 DO = 3r ,连结 BO, 在 Rt△BDO 中,

∴ DC=2CO.

DB ? 9r 2 ? r 2 ? 2 2r .
又∵ △BDO∽△ADP,

76



BO BD 2 2r 2 . ? ? ? PA AD 4r 2
???????????????4 分

∴ PA ? 2r .

∴ tan ?BCA ? tan ?POA ? 2 .?????????5 分 21. 解: (1)样本中最喜欢 B 项目的人数百分比是 20%, 其所在扇形图中的圆心角的度数是 72° ????????2 分 . (2)B 组人数 44÷ 44%×20=20 人,画图如下:

????????3 分 (3)1200×44%=528 人, 答:全校最喜欢乒乓球的人数大约是 528 人.???????5 分 22. (1)答:FD1 = FD2 。???????????????1 分 分别将△ACH 与△BCH 绕着点 C 顺时针、逆时针旋转 90? , 使 AC、BC 分别与 CD1 、CD2 重合,得到△CD1H1 与 △CD2H2 ,H1、C、H2 三点共线,且 CH1 = CH2 . ∵ ∠H1 = ∠H1CH = ∠H2 = 90? , ∴ D1H1 ∥CF ∥D2H2 . ∴ FD1 = FD2 . ???????????????2 分 (2)答: D1 D2 = 2CF . ?????????????3 分 分别将△ACF 与△BCF 绕着点 C 顺时针、逆时针旋转 90? , 使 AC、BC 分别与 CD1 、CD2 重合,得到△CD1F1 与△CD2F2 , F1、C、F2 三点共线,且 CF1 = CF2 = CF . ∵ ∠AFC + ∠BFC = 180?, ∴∠D1F1C + ∠D2F2C = 180?. ∴ D1F1∥D2F2 . 又 D1F1 = AF = BF = D2F2 , ∴ D1F1 F2D2 是平行四边形 . ∴ D1 D2 = F1F2 = 2CF . ???????????????5 分
E1 D1 D2 C

D1 F E1 D2 C

H H1
A

H H2
E2 H B

图1

F1
A

F2
F 图2 B

E2

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)
77

23. 解: (1)由抛物线 y=﹣x2+bx+c 过点 A(﹣1,0)及 C(2,3)得, ,

解得 . ∴ 抛物线为 y=﹣x2+2x+3 . ???????????????1 分 又设直线为 y=kx+n 过点 A(﹣1,0)及 C(2,3)得, , 解得 . ∴ 直线 AC 为 y=x+1 . ???????????????2 分 (2)作 N 点关于直线 x=3 的对称点 N′,则 N′(6, 3) ,由(1)得 D(1,4) , ∴ 直线 DN′的函数关系式为 y=﹣ x+ 当 M(3,m)在直线 DN′上时,MN+MD 的值最小 则 m=﹣ × = ???????????????4 分

(3)由(1)(2)得 D(1,4) 、 ,B(1,2) ∵点 E 在直线 AC 上,设 E(x,x+1) ① 当点 E 在线段 AC 上时,点 F 在点 E 上方,则 F(x,x+3) ∵F 在抛物线上, ∴x+3=﹣x2+2x+3 解得,x=0 或 x=1(舍去) ,∴E(0,1) ② 当点 E 在线段 AC(或 CA)延长线上时, 点 F 在点 E 下方,则 F(x,x﹣1) 由 F 在抛物线上,∴x﹣1=﹣x2+2x+3 解得 x= 或 x= ∴ E( ,



3 ? 17 )或( 2






满足条件的点 E 为 E(0,1)( 、



3 ? 17 )或( 2

).

??????????????7 分

24. (1)证明: ∵ PE=BE ,

∴? EBP= ? EPB . 又∵? EPH= ? EBC=90° , ∴? EPH- ? EPB= ? EBC- ? EBP . 即 ? PBC= ? BPH . 又∵ ∥ , AD BC

78

∴? APB= ? PBC . ∴? APB= ? BPH . ???????????????2 分 (2)△PHD 的周长不变,为定值 8 ?????????3 分 A 证明:过 B 作 BQ⊥ PH,垂足为 Q 由(1)知 ? APB= ? BPH 又∵ ? A= ? BQP=90° ,BP=BP E ∴△ ABP≌ QBP △ ∴AP=QP, AB=BQ 又∵ AB=BC ∴BC = BQ B 又∵ ? C= ? BQH=90° ,BH=BH ∴△BCH≌ BQH △ ∴CH=QH ∴△PHD 的周长为: PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8??????5 分 (3) S ?

P Q

D

H G F C

1 2 x ? 2x ? 8 2 1 2 配方得, S ? ( x ? 2) ? 6 , 2

∴ x=2 时,S 有最小值 6 ?????????????7 分 当 25. 解: (1)设线段 AB 与 y 轴的交点为 C ,由抛物线的对称性可得 C 为 AB 中点,

? OA ? OB ? 2 2 , ?AOB ? 90? , ? AC ? OC ? BC ? 2 . ? B ( 2 , ?2 ). 2 将 B ( 2 , ?2 )代入抛物线 y ? ax (a ? 0) 1 求得, a ? ? . ??????????????1 分 2 (2) 过点 A 作 AE ? x 轴于点 E , ? 点 B 的横坐标为 1, 1 ∴ B (1, ? ), ??????????????2 分 2 OF 1 ∴ tan ?OBF ? ? ?2 BF 1 2 ? ?AOB ? 90? ,易知 ?AOE ? ?OBF , AE ? tan ?AOE ? tan ?OBF ? 2 , ∴ OE ∴ AE ? 2OE 1 2 设点 A (- m , ? m ) m ? 0 ) ( , 2

y E O F B x

A

79

则 OE ? m , AE ? ∴

1 2 m , 2

1 2 m ? 2m 2 ∴ m ? 4 ,即点 A 的横坐标为 ?4 . ???????????4 分 1 2 1 2 (3)设 A ( ?m , ? m ) m ? 0 ) B ( n , ? n ) n ? 0 ) ( , ( 2 2 设直线 AB 的解析式为: y ? kx ? b ,

1 2 ? ?? mk ? b ? ? 2 m ? 则? ?nk ? b ? ? 1 n 2 ? ? 2

(1) (2)

1 1 ( 1 ) n ? ( 2 ) 得, (m ? n)b ? ? (m 2 n ? mn 2 ) ? ? mn(m ? n) , ? ?m 2 2 1 ∴ b ? ? mn 2 又易知△ AEO ∽△ OFB , AE OE ? ∴ . OF BF 0.5m2 m ? ∴ . ∴ mn ? 4 . n 0.5n2 1 ∴ b ? ? ? 4 ? ?2 .由此可知不论 k 为何值,直线 AB 恒过点( 0 , ?2 ) 2
??????????????8 分 说明:以上各题其他解法,只要正确,请参照本评分标准给分!

80

2013 北京市石景山区初三第一次统一练习(一摸)

数 学 试 卷

第Ⅰ卷(共 32 分)
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是正确的,请将所选答案前的字母按规 定要求填涂在答题纸第 1-8 题的相应位 置上. 1.-1.5 的倒数是 A. ?

2 3

B. ?

3 2

C. 1.5

D. - 3

2.今年财政部公布的最新数据显示,1 至 2 月累计,全国公共财政收入 22426 亿元,比去 年同期增加 1508 亿元,数字 1508 用科学记数法表示为 A. 1.508? 10
4

B. 0.1508? 10

4

C. 15.08? 10 C.3 和 4

2

D. 1.508? 10 D. 4 与 5

3

3.无 理数 6 在哪两个整数之间 A.1 和 2 B.2 和 3

81

4.函数 y ?

x x ?1

中自变量 x 的取值范围是

A. x ≥1 B. x ? 1 且 x ? 0 C. x ? 1 D. x ≥1 且 x ? 0 5.某班有 10 名学生参加篮球的“定点投篮”比赛,每人投 10 次,他们的进球数分别为:6, 1,4,2,6,4,8,6, 4,6.这组数据的极差和中位数分别是 A.7、5 B.5、5 C.5、4 D. 7、4 6.如图,AM 为⊙O 的切线,A 为切点,BD⊥AM 于点 D,BD 交⊙O 于点 C,OC 平分∠ B AOB.则∠OCD 的度数为 A. 110 ? B. 115 ? O C. 120 ? D. 125 ?
C
第 6 题图

A

D

M

7.把同一副扑克牌中的红桃 6、红桃 7、红桃 9 三张牌背面朝上放在桌子上,从 中随机抽取两张,牌面的数字之和为奇数的概率为

2 1 1 B. C. D. 3 2 6 8. 已知: 如图, 正方形 ABCD 的边长为 2,E 、F 分别为 AB 、AD CG ? x , S ?GDF ? y , 的中点, G 为线段 CE 上的一个动点,设 CE 则 y 与 x 的函数关系图象大致是

1 A. 3

D F G A

C

B E 第 8 题图

A

第Ⅱ卷(共 88 分)

B

C

D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.将二次函数 y ? x 2 ? 6 x ? 7 配方为 y ? ( x ? h) 2 ? k 形式,则 h ? ___, k ? ________. 10.分解因式: x ? 4 x ? 4 x =_______________. 11. 如图,在正方形网格(图中每个小正方形的边长均为 1)中,一段圆弧经过网格的格点 A、 B、C.则弧 AC 所在圆的半径长为 ;弧 AC 的长为 . 12.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . 第 11 题图 按照以上排列的规律,第 5 行从左到右的第 3 个数为_______;第 n 行( n ≥3)从左到 右的第 3 个数为 . (用含 n 的代数式表示)
3 2

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13. 27 ? ? ? ? 4cos30? ? 3 ?8 .
82

?1? ?2?

?1

14.解不等式组并把解集在数轴上表示出来.

? x ? 3(x ? 2) ? 4 ? ?1 ? 2 x ? 4 ? 1? x ?

①, ②.

15.已知:如图,点 C 是 AB 的中点, CD ∥ BE ,且 CD = BE . 求证:△ ACD ≌△ CBE .
[来源:Zxxk.Com]

A C B E D

16 . 已 知 : 4 x ? 5x ? 1? 0, 求 代 数 式
2

? 2 x ? 1?

2

? x? x ? 1 ? x ? 2 x ? 2 的值. ? ? ?? ?

17.已知:一次函数 y ? x ? 3 与反比例函数 y ? ( a ,2) B 两点. 、 (1)求 m 的值和 B 点坐标;

m?3 ( x ? 0 ,m 为常数)的图象交于点 A x

(2)过 A 点作 y 轴的平行线,过 B 点作 x 轴的平行线,这两条直线交于点 E ,若反比例 函数 y ?

k 的图象与△ ABE 有公共点,请直接写出 k 的取值范围. x
y

O

x

83

18.如图,一架飞机由 A 向 B 沿水平直线方向飞行,在航线 AB 的正下方有两个山头 C、D. 飞机在 A 处时,测得山头 D 恰好在飞机的正下方,山头 C 在飞机前方,俯角为 30° .飞 机飞行了 6 千米到 B 处时,往后测得山头 C、D 的俯角分别为 60° 30° 和 .已知山头 D 的 海拔高度为 1 千米,求山头 C 的海拔高度. (精确到 0.01 千米,已知 3 ? 1.732 ) B A

C 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) D

19. 已知: 如图, 在四边形 ABCD 中,DC ? AD , D C 是等边三角形,?ABD ? 45? , △ B

AD ? 2 .求四边形 ABCD 的周长.

A

D

B C

20.如图,BD 为⊙O 的直径,AB=AC,AD 交 BC 于点 E,AE=1,ED=2. (1)求证:∠ABC=∠ADB; (2)求 AB 的长; (3)延长 DB 到 F,使得 BF=BO,连接 FA,试判断直线 FA 与⊙O 的位置关系,并说明理 由.
B E O D A C

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

21. 以下是根据北京市 2012 年国民经济和社会发展统计公报中的相关数据绘制成的统计表和 统计图的一部分.电话用户包括固定电话用户和移动电话用户两种. 2008-2012 年全国电话用户到达数和净增数统计表
年份

2008

2009

2010

2011

2012
84

全国电话用户 到达数(单位:万户) 净增数(单位:万户)

98160 6866

106095 7935

115335 9240

127135

139031 11896

a

2008-2012 年全国移动电话用户统计图

2008-2012 年全国移动电话用户占电话用户的百分比

请根据以上信息,解答下列问题(注意:所求数据均保留整数) : (1)统计表中的数据 a 的值为_________; (2)通过计算补全条形统计图并注明相应数据; (3)2012 年,全国移动电话用户净增约 12591 万户,求该年固定电话用户减少了多少 万户. 22.问题解决: 已知:如图, D 为 AB 上一动点,分别过点 A 、 B 作 CA ? AB 于点 A , EB ? AB 于 点 B ,联结 CD 、 DE . (1)请问:点 D 满足什么条件时, CD ? DE 的值最小? (2)若 AB ? 8 , AC ? 4 , BE ? 2 ,设 AD ? x .用含 x 的代数式表示 CD ? DE 的长 (直接写出结果). 拓展应用: 参考上述问题解决的方法,请构造图形, 并求出代数式 x ? 1 ?
2

C

?4 ? x ?

2

? 4 的最小值.
A D B E

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)
85

23. 如图, 直线 y ? ?3x ? 3 交 x 轴于 A 点, y 轴于 B 点, A、 两点的抛物线 C1 交 x 轴 交 过 B 于另一点 M(-3,0). (1)求抛物线 C1 的解析式; (2)直接写出抛物线 C1 关于 y 轴的对称图形 C2 的解析式; (3)如果点 A ' 是点 A 关于原点的对称点,点 D 是图形 C2 的顶点,那么在 x 轴上是否存 在点 P,使得△ PAD 与△ A ' BO 是相似三角形?若存在,求出符合条件的 P 点坐标; 若不存在,请说明理由.

86

24.如图,△ ABC 中,∠ ACB ? 90? , AC ? 2 ,以 AC 为边向右侧作等边三角形 ACD . (1)如图 24-1,将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 60 ? ,得到线段 AB1 ,联结 DB1 , 则与 DB1 长度相等的线段为 (直接写出结论) ; (2)如图 24-2,若 P 是线段 BC 上任意一点(不与点 C 重合) ,点 P 绕点 A 逆时针旋转

60 ? 得 到点 Q ,求 ?ADQ 的度数;
(3)画图并探究:若 P 是直线 BC 上任意一点(不与点 C 重合) ,点 P 绕点 A 逆时针旋 转 60 ? 得到点 Q ,是否存在点 P ,使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形, 若存在,请指出点 P 的位置,并求出 PC 的长;若不存在,请说明理由.

A D B C
B P

A D C

B1
图 24-1 图 24-2

A D B C B

A D C

备用图

备用图

87

25.如图,把两个全等的 Rt△AOB 和 Rt△ECD 分别置于平面直角坐标系 xOy 中,使点 E 与点 B 重合,直角边 OB、BC 在 y 轴上.已知点 D (4,2),过 A、D 两点的直线交 y 轴于点 F.若△ECD 沿 DA 方向以每秒 2 个单位长度的速度匀速平移,设平移的时间为 t (秒) , 记△ECD 在平移过程中某时刻为△ E ' C ' D ' , E ' D ' 与 AB 交于点 M,与 y 轴交于点 N,

C ' D ' 与 AB 交于点 Q,与 y 轴交于点 P(注:平移过程中,点 D ' 始终在线段 DA 上,且不
与点 A 重合). (1)求直线 AD 的函数解析式; (2)试探究在△ECD 平移过程中,四边形 MNPQ 的面积是否存在最大值?若存在,求 出这个最大值及 t 的取值;若不存在,请说明理由; (3)以 MN 为边,在 E ' D ' 的下方作正方形 MNRH,求正方形 MNRH 与坐标轴有两个 公共点时 t 的取值范围. y B(E) J

C

D

O F

A

x

88

2013 年北京市石景山区初三第一次统一练习(一摸)

数学参考答案
阅卷须知: 1.一律用红钢笔或红圆珠笔批阅. 2.为了阅卷方便,解答题中的推导步骤写得较为详细,考生只要写明主要过程即可.若考 生的解法与本解法不同,正确者可参照评分参考给分,解答右端所注分数,表示考生正确 做到这一步应得的累加分数. 一、选择题(本题共 8 道小题,每小题 4 分,共 32 分) 题 号 答 案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 B 8 D

二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分)

? 9. ? 3, 2 ;

10. x?x ? 2? ;
2

11. 2 5 , 5? ;

12.13,

n2 ? n ? 6 . 2

三、解答题(本题共 6 道小题,每小题 5 分,共 30 分)

?1? 13.解: 27 ? ? ? ? 4cos30? ? 3 ?8 ?2? 3 =3 3 ? 2 ? 4? ? 2 ???????????4 分 2 = 3 ???????????????????5 分 14.解:解不等式①, x ? 1 ????????????????2 分 3 解不等式②, x ? ?????????????????4 分 2 3 原不等式组的解集为 1 ? x ? ,在数轴上表示为: 2

-1

-1

O

1 1.5

x

??5 分

15.证明:∵ C 是 AB 的 中点 ∴ AC ? CB ??????????? 1 分 CD ∥ BE 又∵ ∴ ?ACD ? ?B ??????????? 2 分 在△ ACD 和△ CBE 中

A C B E D

? AC ? CB ? ??ACD ? ?B ??????????? 4 分 ? CD ? BE ?
∴△ ACD ≌△ CBE
2

???????????????????? 5 分
2 2

16.解:原式 ? 4 x ? 4 x ? 1 ? x ? x ? x ? 4

?????????????2 分 ?????????? 3 分 ??????????? 4 分
89

? 4 x ? 5x ? 3 2 2 当 4 x ? 5 x ? 1 ? 0 时, 4 x ? 5 x ? 1
2

原式 ? 1 ? 3 ? ?2 . 17.解:(1)∵一次函数 y ? x ? 3 与反比例函数 y ? 于点 A( a ,2) B 两点 、

????????????5 分

m-3 ( x ? 0 ) (m 为常数)的图象交 x

? a?3? 2 ?a ? ?1 解得 ? ?????????????2 分 ? ? 2a ? m ? 3 ? m ?1 2 m?3 ∴反比例函数 y ? ( x ? 0 )的解析式为 y ? ? x x 2 ? ? x1 ? ?1 ? x2 ? ?2 ? y?? 由题意解 ? ,? ????????????3 分 x 得? ? y1 ? 2 ? y2 ? 1 ?y ? x ?3 ?
∴ ∵A( ? 1 ,2) , ∴B( ? 2 ,1) (2) ? ????????????4 分 ????????????5 分

9 ? k ? ?1 4

18.解:在 Rt△ABD 中,∵∠ ABD = 30° , 3 ∴AD = AB· tan30°= 6 × = 2 3.?????1 分 3 ∵∠ABC = 60° ,∠BAC = 30° , ∴∠ACB = 90° ?????????????2 分 , ∴AC = AB· cos30°= 6 × 3 = 3 3.?????3 分 2

B

A

C

E D

过点 C 作 CE⊥AD 于点 E, 则∠CAE = 60° ,AE = AC· cos60°=

3 3 .?????4 分 2

∴DE = AD ? AE = 2 3 ?

3 3 3 = 2 2 3 1.87 千米. ????5 分 2 ?

∴山头 C 的海拔高度为 1+

19. 解:过点 A 作 AE ? BD 于点 E ??????? 1 ∵ DC ? AD ∴ ?ADC ? 90? ∵△ DBC 是等边三角形 ∴ ?BDC ? 60? ∴ ?ADB ? 30? ??????? 2 分 在 Rt△ AED 中, AD ? 2



A E

D

B

C
90

∴ AE ?

1 AD ? 1 2
????????????3 分

由勾股定理得: DE ? 3 在 Rt△ AEB 中, ?ABD ? 45? ∴ BE ? AE ? 1 ∴ AB ?

2

????????????4 分

∴ BD ? 1? 3 ∴ DC ? BC ? BD ? 1? 3 ∴ AB ? BC ? CD ? AD ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 ? 4 ? 2 ? 2 3 ????5 分 即四 边形 ABCD 的周长为 4 ? 2 ? 2 3 .
[来源:学#科#网]

20. (1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, 又∵∠C=∠D,∴∠ABC=∠ADB. ????1 分 (2) ∵∠ABC=∠ADB 又∵∠BAE=∠DAB, ∴△ABE∽△ADB, ??????????2 分

F B

A C E O D

AB AE ∴ , ? AD AB
∴AB2=AD· AE=(AE+ED)· AE=(1+2)× 1=3,∴AB= 3 .????3 分 (3) 直线 FA 与⊙O 相切,理由如下: 联结 OA,∵BD 为⊙O 的直径,∴∠BAD=90° , ∴ BD ? AB2 ? AD2 ? 3 ? (1 ? 2)2 ? 2 3 ,???????????????4 分

1 BF=BO= BD ? 3 , 2
∵AB= 3 ,∴BF=BO=AB,可证∠OAF=90° , ∴直线 FA 与⊙O 相切.???????????????5 分

21.解: (1)11800; ???????? 1 分 (2) 139031 ? 80% ? 111224 .8 ? 111225 ???????2 分 图略 ???????4 分 (3) 12591 - 11896 ? 695 ??????????5 分

22. 解: (1)当点 D 、 C 、 E 三点在一条直线上时, CD ? DE 的值最小???1 分 (2) CD ? DE ?

x 2 ? 16 ?

?8 ? x ?

2

?4

????????2 分

(3)如图,令 AB ? 4 , AC ? 1 , BE ? 2 ,设 AD ? x ,则 BD ? 4 ? x ,

CD ? DE ? AD2 ? AC2 ? BD2 ? BE 2

91

? x2 ? 1 ?

?4 ? x ?
2

2

?4

????????3 分

∵ D 、 C 、 E 三点在一条直线上时, CD ? DE 的值最小 ∴ CE 的长即为 x ? 1 ?

?4 ? x ?

2

? 4 的最小值.

C A D B

过点 E 作 AB 的平行线交 CA 的延长线于点 F ∵ CA ? AB 于 A , EB ? AB 于 B . ∴ AF ∥ BE ∴四边形 AFEB 是矩形 ????????4 分 AF ? BE ? 2 , EF ? AB ? 4 ∴ 在 Rt△ CFE 中, ?F ? 90? , CF ? 3 ?????5 分 ∴ x ?1 ?
2

F

E

?4 ? x ?

2

? 4 的最小值为 5.

[来源:学,科,网]

23.解: (1)设抛物线的解析式为: y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ∵直线 y ? ?3x ? 3 交 x 轴于 A 点,交 y 轴于 B 点, ∴A 点坐标为(1,0) 点坐 标为(0,3). ??????1 分 、B 又∵抛物线经过 A、B、M 三点,

? a ? b ? c ? 0, ? a ? ?1 ? ? ∴ ?9a ? 3b ? c ? 0, 解得: ?b ? ?2 . ? c ? 3. ?c ? 3 ? ?
∴抛物线 C1 的解析式为: y ? ? x ? 2 x ? 3 .??????2 分
2

(2)抛物线 C1 关于 y 轴的对称图形 C2 的解析式为: y ? ? x ? 2 x ? 3 . ??3 分
2

(3) A ' 点的坐标为(-1,0) ,∵ y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1)2 ? 4 , ∴该抛物线的顶点为 D (1, 4) .???????? ????4 分 若△ PAD 与△ A ' BO 相似,

DA BO 4 1 7 ? 3 时, AP ? , P 点坐标为 ( ? ,0) 或 ( ,0) ?????5 分 = AP OA ' 3 3 3 DA BO 1 ? 时, AP ? 12 , P 点坐标为 ( ?11,0) 或 (13,0) ????6 分 ②当 = AP OA ' 3
①当 ∴当△ PAD 与△ A ' BO 是相似三角形时,

P 点坐标为 ( ? ,0) 或 ( ,0) 或 (?11,0) 或 (13,0)
24.解:(1) BC ??????????? 1 分 (2 由作图知 AP ? AQ ,∠ PAQ ? 60?

1 3

7 3

??????7 分

92

∵△ ACD 是等边三角形. ∴ AC ? AD , ?CAD ? 60? ? ?PAQ ∴ ?PAC ? ?QAD 在△ PAC 和△ QAD 中

? AP ? AQ ? ??PAC ? ?QAD ? AC ? AD ? ∴△ PAC ≌△ QAD
∴ ?ADQ ? ?ACP ? 90? ??????????? 3 分 (3)如图 3,同①可证△ PAC ≌△ QAD , ?ADQ ? ?ACP ? 90?

A
[来源:学科网]

Q

D B P C
图3

A D

Q

B

C
图4

P

当 AD ∥ CQ 时, ∵ ?ADC ? 60? ∴ ?QDC ? 30? ∵ CD ? AC ? 2

?CQD ? 180? ? ?ADQ ? 90?

∴ CQ ? 1 DQ ? 3 , ∴ PC ? DQ ? 3 且 CQ ? AD ??????????? 5 分 ∴此时四边形 ACQD 是梯形. 如图 4,同理可证△ PAC ≌△ QAD , ?ADQ ? ?ACP ? 90? 当 AQ ∥ CD 时,

?QAD ? ?ADC ? 60? , ?AQD ? 30?
∵ AD ? AC ? 2 ∴ AQ ? 4,DQ ? 2 3 ∴ PC ? DQ ? 2 3 此时 DQ 与 AC 不平行,四边形 ACDQ 是梯形. 综上所述,这样的点 P 有两个,分别在 C 点两侧,当 P 点在 C 点左侧时, PC ? 3 ; 当 P 点在 C 点右侧时, PC ? 2 3 .??????????? 7 分

25.解: (1)由题意 A(2.0) ?????????????????????????1 分 由 D(4,2),

93

可得直线 AD 解析式: y ? x ? 2 ???????????????????2 分 由 B(0,4), 可得直线 AB 解析式: y ? ?2 x ? 4 ,直线 BD 解析式: y ? ? (2)在△ECD 平移 t 秒时,由∠CDF=45°,

1 2 x ? 4 ,J( 1, ). 2

2 4 可得 D’( 4 ? t, ? t ) ,N( 0, ?
设直线 E’D’解析式为: y ? ?

3 t) 2

1 3 x?4? t 2 2

可得 M( t ,4 ? 2t ),???????????????????3 分 Q(

t?2 2 ,? t ) 2 ,P( 0, ? t ) 2

由△MQ D’∽△BJD,得 S△MQD’ ? 3(1 ? S 梯形 E’C’ PN ?

S ?MQD ' S ?BJD

? (

3?

3 t 2 ) 2 ,可得 3

1 2 t ) ???????????????????4 分 2

1 1 1 t ( 2 ? 2 ? t ) ? ? t 2 ? 2t ???????????????5 分 2 2 4

S 四边形 MNPQ= S△E’C’D’― S△MQD’― S 梯形 E’C’ PN

1 ? ? t2 ? t ? 1 2 1 3 ? ? (t ? 1) 2 ? 2 2 3 ∴当 t ? 1 时,S 最大= ???????????????????6 分 2 (3)当点 H 在 x 轴上时,有 M( t ,4 ? 2t )横纵坐标相等
即 t ? 4 ? 2t ∴t ?

4 3
4 .???????????????????8 分 3

∴0 ? t ?

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