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湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考2015届高三数学上学期10月月考试卷 理(含解析)


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湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考 2015 届高 三上学期 10 月月考数 学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 z= A. 2+i 的共轭复数是() B. 2﹣i C. ﹣1+i D. ﹣1﹣i

2. (5 分)若 a=log23,b=log32, A. a<c<b B. c<a<b
2

,则下列结论正确的是() C. b<c<a D. c<b<a ,则 A∩B=() D. (2,e)

3. (5 分)已知两个集合 A={x|y=ln(﹣x +x+2)}, A. B. C. (﹣1,e)

4. (5 分)已知命题 p:? x∈R,2 <3 ;命题 q:? x∈R,x =1﹣x ,则下列命题中为真命题 的是() A. p∧q B. p∧¬q C. ¬p∧q D. ¬p∧¬q 5. (5 分)以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号 是()

x

x

3

2

A. ③④

B. ①②

C. ②③

D. ②④

6. (5 分)若 O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足( 一定是() A. 正三角形 C. 直角三角形



)?(

+

﹣2

)=0,则△ABC

B. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

7. (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,当 x∈[3,4]时,f(x)=x﹣2, 则()

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. f(sin )<f(cos ) C. f(sin1)<f(cos1) B. f(sin )>f(cos )

D. f(sin )>f(cos )

8. (5 分)关于函数 ①其表达式可写成 ②直线 ; 图象的一条对称轴;

,有下列命题:

③f(x)的图象可由 g(x)=sin2x 的图象向右平移

个单位得到;

④存在 α ∈(0,π ) ,使 f(x+α )=f(x+3α )恒成立 则其中真命题为() A. ②③ B. ①② C. ②④ 9. (5 分) 我们常用以下方法求形如 y=f (x)
g(x)

D. ③④

的函数的导数: 先两边同取自然对数得: lny=g ?f′(x) ,

(x)lnf(x) ,再两边同时求导得到: ?y′=g′(x)lnf(x)+g(x)? 于是得到 y′=f(x)
g(x)

[g′(x)]lnf(x)+g(x)?

?f′(x) ,运用此方法求得函

数 y=x

(x>0)的极值情况是()

A. 极小值点为 e B. 极大值点为 e C. 极值点不存在 D. 既有极大值点,又有极小值点 10. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 R,如果存在函数 g(x)=ax(a 为常数) ,使得 f(x) ≥g(x)对于一切实数 x 都成立,那么称 g(x)为函数 f(x)的一个承托函数.已知对于任 意 k∈(0,1) ,g(x)=ax 是函数 f(x)= 则有() ﹣1 A. e ?M,e?M B. e ?M,e∈M
﹣1

的一个承托函数,记实数 a 的取值范围为集合 M, C. e ∈M,e?M
﹣1

D. e ∈M,e∈M

﹣1

二、填空题: (本大题共 4 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答 题卡对应题号的位置上) (一)必做题(11~14 题) 11. (5 分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 log2a2+log2a8=1,则 a5=. 12. (5 分)计算定积分 (x +sinx)dx=.
2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 13. (5 分)已知函数 f(x)=sin x+2015x,对任意的 m∈[﹣2,2],f(mx﹣2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为.
3

14. (5 分)已知函数 f(x)=

.则

(ⅰ)f(f(x) )=; (ⅱ)给出下列四个命题: ①函数 f(x)是偶函数; ②存在 xi∈R(i=1,2,3) ,使得以点(xi,f(xi) ) (i=1,2,3)为顶点的三角形是等边三 角形; ③存在 xi∈R(i=1,2,3) ,使得以点(xi,f(xi) ) (i=1,2,3)为顶点的三角形是等腰直 角三角形; ④存在 xi∈R(i=1,2,3,4) ,使得以点(xi,f(xi) ) (i=1,2,3,4)为顶点的四边形是 菱形. 其中,所有真命题的序号是.

一、选修 4-4 坐标系与参数方程选讲 15. (5 分)已知两曲线参数方程分别为 们的交点坐标为. (0≤θ <π )和 (t∈R) ,它

一、选修 4-1 几何证明选讲 16.如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC,已知 的距离为 ,则圆 O 的半径为.

,PC=4,圆心 O 到 BC

三.解答题: (本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知函数 ,x∈R.

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 a,b,c,且 c=3,f(C)=0,若 sin(A+C)=2sinA, 求 a,b 的值. 18. (12 分)已知等差数列{an}的前三项和为 12,且 a1,a2,a4 成公比不为 1 的等比数列. (Ⅰ)求 {an}的通项公式;

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(Ⅱ)记 bn=

,是否存在正整数,使得 b1+b2+…+bn>

,对? n>M(n∈N+)恒成立?

若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由. 19. (12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形,ADNM 是矩形,平面 ADNM⊥平面 ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证:AN∥平面 MEC; (Ⅱ)在线段 AM 上是否存在点 P,使二面角 P﹣EC﹣D 的大小为 若不存在,请说明理由. ?若存在,求出 AP 的长 h;

20. (12 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C (x) ,当年产量不足 80 千件时, (万元) ;当年产量不小于 80 千件时,

(万元) .现已知此商品每件售价为 500 元,且该厂年内生产此 商品能全部销售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 21. (13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 G 的中心为坐标原点,左焦点为 F1(﹣1,0) ,P 为椭圆 G 的上顶点,且∠PF1O=45°. (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1:y=kx+m1 与椭圆 G 交于 A,B 两点,直线 l2:y=kx+m2(m1≠m2)与椭圆 G 交 于 C,D 两点,且|AB|=|CD|,如图所示. (ⅰ)证明:m1+m2=0; (ⅱ)求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值.

22. (14 分)设函数 f(x)=e +ax+b(a,b∈R) ,g(x)=

x



(Ⅰ)当 a=b=0 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程 y=h(x) ;并证明 f(x) ≥h(x) (x≥0)恒成立; (Ⅱ)当 b=﹣1 时,若 f(x)≥g(x)对于任意的 x∈[0,+∞)恒成立,求 a 的取值范围;

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(Ⅲ)求证:

(e

+ln2

﹣2g( ) )>2n+2ln(n+1) (n∈N+) .

湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考 2015 届高三上学期 10 月月考数 学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 z= A. 2+i 的共轭复数是() B. 2﹣i C. ﹣1+i D. ﹣1﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,把复数化为 a+bi 的形式,然后求法共 轭复数即可. 解答: 解:复数 z= = = =﹣1+i.

所以复数的共轭复数为:﹣1﹣i. 故选 D. 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,考查计算能力.

2. (5 分)若 a=log23,b=log32, A. a<c<b B. c<a<b

,则下列结论正确的是() C. b<c<a D. c<b<a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的单调性将 a、b、c 与 0 和 1 进行比较,从而可得 a、b、c 的大小关系. 解答: 解:∵a=log23>log22=1,0=log31<b=log32<log33=1, <log41=0,

∴c<b<a 故选 D. 点评: 本题主要考查了对数函数的单调性,以及对数值的比较大小,同时考查运算求解的 能力,属于基础题. 3. (5 分)已知两个集合 A={x|y=ln(﹣x +x+2)}, A. B. C. (﹣1, e)
2

,则 A∩B=() D. (2,e)

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考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中函数的定义域确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交 集即可. 2 解答: 解:由 A 中的函数 y=ln(﹣x +x+2)}, 2 2 得到﹣x +x+2>0,即 x ﹣x﹣2<0, 整理得: (x﹣2) (x+1)<0,即﹣1<x<2, ∴A=(﹣1,2) , 由 B 中的不等式变形得: (2x+1) (e﹣x)≤0,且 e﹣x≠0, 即(2x+1) (x﹣e)≥0,且 x≠e, 解得:x≤﹣ 或 x>e, 即 B=(﹣∞,﹣ ]∪(e,+∞) , 则 A∩B=(﹣1,﹣ ]. 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 4. (5 分)已知命题 p:? x∈R,2 <3 ;命题 q:? x∈R,x =1﹣x ,则下列命题中为真命题 的是() A. p∧q B. p∧¬q C. ¬p∧q D. ¬p∧¬q 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据指数函数的单调性判断命题 p 的真假;利用函数的零点判定定理判断命题 q 的 真假,再由复合命题真值表依次判断可得答案. x x 解答: 解:∵当 x<0 时,2 >3 ,∴命题 p 为假命题; 3 2 ∵f(x)=x +x ﹣1,图象连续且 f(0)?f(1)<0, 3 2 ∴函数 f(x)存在零点,即方程 x =1﹣x 有解, ∴命题 q 为真命题, 由复合命题真值表得:p∧q 为假命题;p∧¬q 为假命题; (¬p)∧q 为真命题;¬p∧¬q 为 假命题. 选故 C. 点评: 本题考查了简单命题的真假判定,复合命题的真假判定规律,熟练掌握复合命题真 值表是解答本题的关键. 5. (5 分)以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号 是()
x x 3 2

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A. ③④

B. ①②

C. ②③

D. ②④

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 规律型. 分析: 利用导数大于 0 可得其单调递增区间,导数小于 0 可得其单调递减区间,①②③④ 的正确性. 解答: 解:①该三次函数的导函数的图象为开口方向向下的抛物线,该抛物线在 x 轴下方 的区间对应原函数的递减区间,该抛物线在 x 轴上方的区间对应原函数的递增区间,符合要 求,正确; ②同理可分析②正确; ③从其导函数图象来看,原函数在(﹣∞,0)单调递增,在(0,a)单调递减(a 为图中虚 线处的横坐标) ,图与题意不符,故③错误; ④同理可分析④错误; 故选 A. 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,着重考查函数图象与其导函数图象之间的对 应关系,考查分析问题的能力与数形结合的思想,属于中档题.

6. (5 分)若 O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足( 一定是() A. 正三角形 C. 直角三角形



)?(

+

﹣2

)=0,则△ABC

B. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

考点: 三角形的形状判断;向量在几何中的应用. 专题: 解三角形;平面向量及应用. 分析: 利用向量的运算法则将等式中的向量 得到边的关系,得出三角形的形状 解答: 解:∵( =( =( = =( ﹣ ﹣ ?( ﹣ + )?[( )?( ) )?( + )
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用三角形的各边对应的向量表示,

﹣ ﹣ +

)?( )+( )

+ ﹣

﹣2 )]



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=| ∴|

| ﹣| |=|

2

| =0 |,

2

∴△ABC 为等腰三角形. 故答案为:B 点评: 本题考查三角形的形状判断,着重考查平面向量的数量积及应用,考查转化思想与 运算求解能力,属于中档题. 7. (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,当 x∈[3,4]时,f(x)=x﹣2, 则() A. f(sin )<f(cos ) C. f(sin1)<f(cos1) B. f(sin )>f(cos )

D. f(sin )>f(cos )

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的周期性. 专题: 证明题;压轴题;探究型. 分析: 观察题设条件与选项.选项中的数都是(0,1)的数,故应找出函数在(0,1)上 的单调性,用单调性比较大小. 解答: 解:x∈[3,4]时,f(x)=x﹣2,故偶函数 f(x)在[3,4]上是增函数, 又定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,故函数的周期是 2 所以偶函数 f(x)在(﹣1,0)上是增函数, 所以 f(x)在(0,1)上是减函数, 观察四个选项 A 中 sin <cos ,故 A 不对; B 选项中 sin >cos ,故 B 不对;

C 选项中 sin1>cos1,故 C 对; D 亦不对. 综上,选项 C 是正确的. 故应选 C. 点评: 本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小,构思新颖,能开拓答题者的思维 深度.

8. (5 分)关于函数 ①其表达式可写成 ②直线 ; 图象的一条对称轴;

,有下列命题:

③f(x)的图象可由 g(x)=sin2x 的图象向右平移

个单位得到;

④存在 α ∈(0,π ) ,使 f(x+α )=f(x+3α )恒成立
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 则其中真命题为() A. ②③ B. ①②

C. ②④

D. ③④

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;诱导公式的作用;正弦函数的对称性. 专题: 压轴题;阅读型. 分析: ①将两函数解析式化简整理,若表示同一个函数,则①正确,否则错误. ②若 时,f(x)取得最值,则②正确.否则错误.

③根据左加右减原则,写出平移后图象对应的解析式,进行对照可以断定正误 ④考虑先取特殊值,比如取 α = 解答: 解: = ② 直线 等进行验证. = (sin2x﹣cos2x) .

(cos2x﹣sin2x) .与原函数不为同一个函数,①错误. )﹣ ]=sin(﹣ )=﹣1,函数取得最小值,所以

时,f(x)=sin[2×(

图象的一条对称轴.②正确 个单位得到, 得到图象对应的解析式是 y=sin2 (x﹣ )

③将 g (x) =sin2x 的图象向右平移 =sin(2x﹣ ④取 α = =f(x+3? (2x+

)=﹣cos2x,与 f(x)不为同一个函数.③错误. ,f(x+α )=f(x+ )= )= =sin(2x+3π ﹣ =sin(2x+ ) ,f(x+3α ) )=sin

)=sin(2x+2π +π ﹣

) , ∈(0,π ) ,使 f(x+α )=f(x+3α )恒成立. ④正确.

所以存在取 α =

故选 C. 点评: 本题考查三角函数图象性质,三角函数式的化简,三角函数图象变换.在图象平移 变换中,针对的是 x 的变化,③中,平移后相位应由 2x 变化为 2(x﹣ 不是 2x﹣ . )即为 2x﹣ ,而

9. (5 分) 我们常用以下方法求形如 y=f (x)

g(x)

的函数的导数: 先两边同取自然对数得: lny=g ?f′(x) ,

(x)lnf(x) ,再两边同时求导得到: ?y′=g′(x)lnf(x)+g(x)?

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 于是得到 y′=f(x)
g(x)

[g′(x)]lnf(x)+g(x)?

?f′(x) ,运用此方法求得函

数 y=x

(x>0)的极值情况是()

A. 极小值点为 e B. 极大值点为 e C. 极值点不存在 D. 既有极大值点,又有极小值点 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据定义,先求原函数的导数,令导数大于 0,解不等式即可 解答: 解:由题意知 y′= ?( ?lnx+ ? ?1)= ? , (x>0)

令 y'>0,得 1﹣lnx>0∴0<x<e,x>e,y′<0 所以极大值点为 e, 故选:B. 点评: 本题考查函数的导数的应用,极值的求法,基本知识的考查. 10. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 R,如果存在函数 g(x)=ax(a 为常数) ,使得 f(x) ≥g(x)对于一切实数 x 都成立,那么称 g(x)为函数 f(x)的一个承托函数.已知对于任 意 k∈(0,1) ,g(x)=ax 是函数 f(x)= 则有() ﹣1 A. e ?M,e?M B. e ?M,e∈M
﹣1

的一个承托函数,记实数 a 的取值范围为集合 M, C. e ∈M,e?M
﹣1

D. e ∈M,e∈M

﹣1

考点: 函数最值的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 g(x)=ax(a 为常数)是函数 f(x)的一个承托函数,即说明函数 f(x)的 图象恒在函数 g(x)的上方(至多有一个交点) ,根据函数,再分离参数,确定函数的单调性, 求最值,即可得到结论. 解答: 解:令 F(x)= ﹣ax,则 F(x)= ﹣ax≥0 对于任意 k∈(0,1)恒成立

由题意,x>0 时,a≤

,x<0 时,a≥



下面考虑 a≤

,令 h(x)=

,则 h′(x)=

由 h′(x)<0 得 x<k,由 h′(x)>0 得 x>k, 所以 h(x)在(0,k)上单调递减,在(k,+∞)上单调递增, 所以当 x=k 时 h(x)取得最小值 h(k)= ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ ∵k∈(0,1) , ∴a≤e x<0 时,h′(x)<0,h(x)在(﹣∞,0)上单调递减,∴a≥0, ∴0≤a≤e ﹣1 ∴e ∈M,e∈M 故选 D. 点评: 本题考查新定义,考查函数恒成立问题,考查分析问题解决问题的能力,对于恒成 立问题往往转化为函数最值问题处理. 二、填空题: (本大题共 4 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答 题卡对应题号的位置上) (一)必做题(11~14 题) 11. (5 分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 log2a2+log2a8=1,则 a5= . 考点: 等比数列的性质;对数的运算性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由对数的运算性质结合已知得到 log2(a2a8)=1,求出 a2a8=2,再由等比数列的性质 得答案. 解答: 解:由 log2a2+log2a8=1, 得 log2(a2a8)=1, ∴a2a8=2. 2 ∵数列{an}是等比数列,∴a5 =a2a8=2. 所以 a5= 故答案为: . 点评: 本题考查对数的运算性质和等比数列的性质,考查运算能力,属于基础题.
2

12. (5 分)计算定积分

(x +sinx)dx= .

考点: 专题: 分析: 解答:

定积分. 计算题. 求出被积函数的原函数,再计算定积分的值. 解:由题意,定积分 = = = .

故答案为: . 点评: 本题考查定积分的计算,确定被积函数的原函数是关键. 13. (5 分)已知函数 f(x)=sin x+2015x,对任意的 m∈[﹣2,2],f(mx﹣2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为(﹣2, ) .
3

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 运用导数,先求出单调性和奇函数,再根据单调性得到不等式,运用一次函数的单 调性,求出 x 的范围. 3 2 解答: 解:由 f(x)=sin x+2015x,f′(x)=3sin x?cosx+2015>0, 则 f(x)为增函数且为奇函数, f(mx﹣2)+f(x)<0 即为 f(mx﹣2)<﹣f(x)=f(﹣x) , 由题意得到 mx﹣2<﹣x 在 m∈[﹣2,2]恒成立, 即有﹣2x﹣2<﹣x 且 2x﹣2<﹣x,解得,﹣2<x< . 故答案为: (﹣2, ) . 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用:解不等式,注意运用主元法思想,考查运 算能力,属于中档题.

14. (5 分)已知函数 f(x)=

.则

(ⅰ)f(f(x) )=1; (ⅱ)给出下列四个命题: ①函数 f(x)是偶函数; ②存在 xi∈R(i=1,2,3) ,使得以点(xi,f(xi) ) (i=1,2,3)为顶点的三角形是等边三 角形; ③存在 xi∈R(i=1,2,3) ,使得以点(xi,f(xi) ) (i=1,2,3)为顶点的三角形是等腰直 角三角形; ④存在 xi∈R(i=1,2,3,4) ,使得以点(xi,f(xi) ) (i=1,2,3,4)为顶点的四边形是 菱形. 其中,所有真命题的序号是①②④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: (ⅰ)对 x 分类:x∈Q 和 x∈CRQ,再由解析式求出 f(f(x) )的值; (ⅱ)①对 x 分类:x∈Q 和 x∈CRQ,分别判断出 f(﹣x)=f(x) ,再由偶函数的定义判断出 ①正确;②不正确; 由③解析式做出大致图象:根据图象和等腰直角三角形的性质,进行判断即可; ④取两个自变量是有理数, 使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等, 即可得出此四边形 为平行四边形. 解答: 解: (ⅰ)由题意知,f(x)= ,

当 x∈Q 时,f(x)=1∈Q,则 f(f(x) )=1; 当 x∈CRQ 时,f(x)=0∈Q,则 f(f(x) )=1,综上得,f(f(x) )=1; (ⅱ)对于①与②,当 x∈Q 时,则﹣x∈Q,故 f(﹣x)=1=f(x) ,当 x∈CRQ 时,则﹣x∈CRQ, 故 f(﹣x)=0=f(x) ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴函数 f(x)是偶函数,①正确;②不正确; 对于③,根据 f(x)= ,做出函数的大致图象:

假设存在等腰直角三角形 ABC,则斜边 AB 只能在 x 轴上或在直线 y=1 上,且斜边上的高始终 是 1,不妨假设 A,B 在 x 轴上,如图 故斜边 AB=2,故点 A、B 的坐标不可能是无理数,否则 O 点不再是中点,故不存在, 另外,当 AB 在 y=1 上,C 在 x 轴时,由于 AB=2,则 C 的坐标应是有理数, 故假设不成立,即不存在符合题意的等腰直角三角形,③错误; 对于④,根据③做出的图形知,取两个自变量是有理数,使得另外两个无理数差与两个有理 数的差相等,即可画出平行四边形,且是对角线相互垂直,可以做出以点(xi,f(xi) ) (i=1, 2,3,4)为顶点的四边形为菱形,④正确. 故答案为:①②④

点评: 本题考查命题的真假判断与应用,考查对函数定义的理解与综合应用,考查抽象思 维与逻辑思维能力,属于难题. 一、选修 4-4 坐标系与参数方程选讲 15. (5 分)已知两曲线参数方程分别为 (0≤θ <π )和 (t∈R) ,它

们的交点坐标为(1,

) .

考点: 参数方程化成普通方程;直线的参数方程;椭圆的参数方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 利用同角三角函数的基本关系及代入的方法,把参数方程化为普通方程,再利用消 去参数 t 化曲线的参数方程为普通方程,最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可. 解答: 解:曲线参数方程 ; (0≤θ <π )的直角坐标方程为:

曲线

(t∈R)的普通方程为:



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解方程组:

得:

∴它们的交点坐标为(1, 故答案为: (1, ) .

) .

点评: 本题考查同角三角函数的基本关系,参把数方程化为普通方程的方法,以及求两曲 线的交点坐标的方法,考查运算求解能力.属于基础题. 一、选修 4-1 几何证明选讲 16.如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC,已知 的距离为 ,则圆 O 的半径为 2.

,PC=4,圆心 O 到 BC

考点: 圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题. 分析: 根据已知中从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC,已知 ,PC=4,我 们由切割线定理及求出 PB 的长,进而求出弦 BC 的长,然后根据半径弦长,弦心距,圆半径构 成直角三角形,即可求出答案. 解答: 解:∵PA 为圆的切线,PBC 为圆的割线, 2 由线割线定理得:PA =PB?PC 又∵ ,PC=4, ∴PB=2,BC=2 又∵圆心 O 到 BC 的距离为 , ∴R=2 故答案为:2 点评: 本题考查圆的切割线定理与垂径定理,属于中等题.其中根据切割线定理求出弦 BC 的长是解答本题的关键. 三.解答题: (本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知函数 ,x∈R.

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 a,b,c,且 c=3,f(C)=0,若 sin(A+C)=2sinA, 求 a,b 的值.

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考点: 解三角形;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 综合题. 分析: (1)利用二倍角公式、辅助角公式化简三角函数,即可求函数 f(x)的最大值和最 小正周期; (2)先求出 C,再利用 sin(A+C)=2sinA,结合正弦、余弦定理,可求 a,b 的值. 解答: 解: (1) ∵ 最小正周期是 (2)由 ∵0<C<π ,∴0<2C<2π ,∴ ∴ ,∴ ①…(9 分) ,∴ …(6 分) ,可得 …. (3 分) ,∴f(x)的最大值为 0,

∵sin(A+C)=2sinA,∴由正弦定理得 由余弦定理得

∵c=3 2 2 ∴9=a +b ﹣ab② 由①②解得 , …(12 分) 点评: 本题考查三角函数的化简,考查三角函数的性质,考查正弦、余弦定理的运用,属 于中档题. 18. (12 分)已知等差数列{an}的前三项和为 12,且 a1,a2,a4 成公比不为 1 的等比数列. (Ⅰ)求 {an}的通项公式; (Ⅱ)记 bn= ,是否存在正整数,使得 b1+b2+…+bn> ,对? n>M(n∈N+)恒成立?

若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由. 考点: 数列的求和;等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)由题意可得 ,由此能求出 an=2n.

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(Ⅱ)bn=

=

,从而 b1+b2+…+bn=2﹣( )

n﹣1

,进而得到

>2



,由此能求出 M 的最小值为 8.

解答: 解: (I)由题意可得: 设{an}的公差为 d, 则 ,



解得 a1=2,d=2 或 a1=4,d=0. ∵a1,a2,a4 成公比不为 1 的等比数列, ∴d=2,故 an=2n. (Ⅱ)∵bn= ∴b1+b2+…+bn = ,

=

=2﹣( )

n﹣1

, , >2﹣ ,

∵b1+b2+…+bn ∴ ∴( ) ∴
n﹣1

< <

, ,解得 n≥9,

∴M≥8,故 M 的最小值为 8. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查实数值的最小值的求法,解题时要认真审题, 注意等差数列和等比数列的性质的合理运用. 19. (12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形,ADNM 是矩形,平面 ADNM⊥平面 ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证:AN∥平面 MEC; (Ⅱ)在线段 AM 上是否存在点 P,使二面角 P﹣EC﹣D 的大小为 若不存在,请说明理由. ?若存在,求出 AP 的长 h;

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考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)利用 CM 与 BN 交于 F,连接 EF.证明 AN∥EF,通过直线与平面平行的判定定理 证明 AN∥平面 MEC; (II)对于存在性问题,可先假设存在,即假设 x 在线段 AM 上是否存在点 P,使二面角 P﹣EC ﹣D 的大小为 .再通过建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,结合向量的数量积求出

二面角 P﹣EC﹣D 的大小,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在. 解答: 解: (I)CM 与 BN 交于 F,连接 EF. 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, 所以 F 是 BN 的中点. 因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN∥EF.…(7 分) 又 EF? 平面 MEC,AN?平面 MEC, 所以 AN∥平面 MEC.…(9 分) (II)由于四边形 ABCD 是菱形,E 是 AB 的中点,可得 DE⊥AB. 又四边形 ADNM 是矩形,面 ADNM⊥面 ABCD,∴DN⊥面 ABCD, 如图建立空间直角坐标系 D﹣xyz,则 D(0,0,0) ,E( ,0,0) ,C(0,2,0) ,P( ﹣1,h) , =( ,﹣2,0) , =(0,﹣1,h) ,设平面 PEC 的法向量为 =(x,y,z) .



则 令 y= h,∴

,∴ =(2h, h,

, ) ,又平面 ADE 的法向量 =(0,0,1) ,

∴cos<



>=

=

=

,解得 h=



∴在线段 AM 上是否存在点 P,当 h=

时使二面角 P﹣EC﹣D 的大小为



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点评: 本题考查存在性问题,直线与平面平行的判断,二面角的求法,考查空间想象能力 与计算能力. 20. (12 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C (x) ,当年产量不足 80 千件时, (万元) ;当年产量不小于 80 千件时,

(万元) .现已知此商品每件售价为 500 元,且该厂年内生产此 商品能全部销售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 考点: 根据实际问题选择函数类型;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分 0<x<80 和当 x≥80 两种情 况得到 L 与 x 的分段函数关系式; (2)当 0<x<80 时根据二次函数求最大值的方法来求 L 的最大值,当 x≥80 时,利用基本不 等式来求 L 的最大值. * 解答: 解: (1)当 0<x<80,x∈N 时,

当 x≥80,x∈N*时,L(x)=

﹣51x﹣

+1450﹣250=1200﹣(x+







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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)当 0<x<80,x∈N*时, 当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950 当 x≥80,x∈N, ∵ ∴当 ,即 x=100 时,L(x)取得最大值 L(100)=1000>950. , ,

综上所述,当 x=100 时 L(x)取得最大值 1000,即年产量为 100 千件时, 该厂在这一商品的生产中所获利润最大. 点评: 考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力,以及运用基本不等式求最值的 能力. 21. (13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 G 的中心为坐标原点,左焦点为 F1(﹣1,0) ,P 为椭圆 G 的上顶点,且∠PF1O=45°. (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1:y=kx+m1 与椭圆 G 交于 A,B 两点,直线 l2:y=kx+m2(m1≠m2)与椭圆 G 交 于 C,D 两点,且|AB|=|CD|,如图所示. (ⅰ)证明:m1+m2=0; (ⅱ)求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题. 2 2 2 分析: (Ⅰ)根据 F1(﹣1,0) ,∠PF1O=45°,可得 b=c=1,从而 a =b +c =2,故可得椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) . (ⅰ)直线 l1:y=kx+m1 与椭圆 G 联立,利用韦达定理,可求 AB,CD 的长,利用|AB|=|CD|, 可得结论; (ⅱ)求出两平行线 AB,CD 间的距离为 d,则 ,表示出四边形 ABCD 的面积 S,

利用基本不等式,即可求得四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值. 解答: (Ⅰ)解:设椭圆 G 的标准方程为 因为 F1(﹣1,0) ,∠PF1O=45°,所以 b=c=1. 2 2 2 所以,a =b +c =2.…(2 分) 所以,椭圆 G 的标准方程为 .…(3 分) .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) .

(ⅰ)证明:由

消去 y 得:







…(5 分)

所以 = =

=



同理 因为|AB|=|CD|, 所以

.…(7 分)



因为 m1≠m2,所以 m1+m2=0.…(9 分) (ⅱ)解:由题意得四边形 ABCD 是平行四边形,设两平行线 AB,CD 间的距离为 d,则 .因为 m1+m2=0,所以 所以 = .…(10 分)



(或



所以 当

时,四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值为

.…(12 分)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查弦长的计算,考查三 角形的面积,同时考查利用基本不等式求最值,正确求弦长,表示出四边形的面积是解题的关 键.

22. (14 分)设函数 f(x)=e +ax+b(a,b∈R) ,g(x)=

x



(Ⅰ)当 a=b=0 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程 y=h(x) ;并证明 f(x) ≥h(x) (x≥0)恒成立; (Ⅱ)当 b=﹣1 时,若 f(x)≥g(x)对于任意的 x∈[0,+∞)恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求证: (e
+ln2

﹣2g( ) )>2n+2ln(n+1) (n∈N+) .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)把 a=b=0 代入函数解析式,求 y=f(x)在点(0,f(0) )处的导数,得到切 线方程 y=h(x)然后构造函数 F(x)=f(x)﹣h(x) ,利用导数求其最小值为 F(0) ,则结 论即可证明; (Ⅱ) 当 b=﹣1 时, f (x) ≥g (x) 等价于 , 构造函数 G (x) = ,

求其导函数, 分 a≥﹣1 和 a<﹣1 讨论, 讨论可知 a≥﹣1 时 f (x) ≥g (x) 对于任意的 x∈[0, +∞)恒成立,a<﹣1 时不合题意; (Ⅲ)把要证的结论转化为证 ,然后结合(Ⅱ)与(Ⅰ)

中的结论采用换元的办法证得

, 故

(e

+ln2

﹣2g ( ) )

>2n+2ln(n+1) (n∈N+) . x x 解答: 解: (Ⅰ)当 a=0,b=0 时,f(x)=e ,f′(x)=e , ∴f′(0)=1,f(0)=1, ∴曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程为 y﹣1=1(x﹣0) , 即:y=h(x)=x+1; x 证明:令 F(x)=f(x)﹣h(x)=e ﹣x﹣1, x ∴F′(x)=e ﹣1≥0, x ∴F(x)=e ﹣x﹣1 单调递增,又 F(0)=0, x ∴F(x)≥F(0) ,即 e ≥x+1(x≥0)恒成立; (Ⅱ)当 b=﹣1 时,f(x)≥g(x)等价于 令 G(x)=
x





∴G′(x)=e ﹣x+a, x x 当 a≥﹣1 时,由(1)知 G′(x)=e ﹣x+a≥e ﹣x﹣1≥0,

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∴G(x)= 又 G(0)=0, ∴
′′

单调递增,


x

当 a<﹣1 时,G (x)=e ﹣1>0, x ∴G′(x)=e ﹣x+a 单增, 又 G′(0)=1+a<0, ∴存在 x0∈[0,+∞) ,使 G′(x0)=0,即 ∴G(x)在(0,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增, 又∵G(0)=0, ∴x∈(0,x0)时,G(x)<0 不合题意,故 a≥﹣1; (Ⅲ)要证: (e
+ln2



﹣2g( ) )>2n+2ln(n+1) ,

即证



也就是



由(Ⅱ) ,令 a=﹣1 可知: 令 ,








x



又由(Ⅰ)可知:e >1+x(x>0) , ∴x>ln(1+x) , 令 ∴ , ,









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(e

+ln2

﹣2g( ) )>2n+2ln(n+1) (n∈N+) .

点评: 本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的最值, 考查了分类讨论、数学转化等数学思想方法,综合考查了学生的推理运算,逻辑思维等能力, 是难度较大的题目.

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