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高中数学选修2-1北师大版 椭圆的简单几何性质教案


椭圆 椭圆的简单几何性质 ◆ 知识与技能目标 了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点 的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;通过例题了解椭圆的第二定义,准线及焦 半径的概念,利用信息技术初步了解椭圆的第二定义. ◆ 过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要注意通过对椭圆的 标准方程的讨论,研究椭圆的几何性质的理解和应用,而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标 准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围;②由方程的性质得到椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点 的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念;④通过 P48 的思考问题,探究椭圆的扁平程度 量椭圆的离心率. 〖板书〗§2.1.2 椭圆的简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范 围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)椭圆的简单几何性质 y2 x2 ?a ? x ? a , ?b ? y ? b , ①范围: 由椭圆的标准方程可得, 2 ? 1 ? 2 ? 0 , 进一步得: 同理可得: b a 即椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发 生变化没有,从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴; ④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e? c 叫 做 椭 圆 的 离 心 率 ( 0 ? e ? 1 ), a ?当e ? 1时,c ? a,,b ? 0 ?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ;? . ? 圆 图 形 越 扁 ?椭 ?椭圆越接近于圆 (iii)例题讲解与引申、扩展 例 4 求椭圆 16 x2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引导学生用 的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量. 扩展:已知椭圆 mx ? 5 y ? 5m ? m ? 0? 的离心率为 e ? 2 2 椭圆 10 , 5 求m 的值. 解法剖析:依题意, m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:①当焦点在 x 轴上, 即 0 ? m ? 5 时,有 a ? 5, b ? m, c ? 5 ? m ,∴ m?5 m 5?m 5 ? ? 2 5 ,得 m ? 3 ;②当焦点在 y 轴上,即 m ? 5 时,有 a ? m, b ? 5, c ? m ? 5 ,∴ 10 25 . ?m? 5 3 例 5 ,如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 BAC 是椭圆的一 部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F 1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F 1 发出的光线,经过 旋转椭圆面反射后集中到另一

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