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江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学(理)试题

江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考理科数学试卷
主命题:新余四中 黄良友 辅命题:鹰潭一中 熊冬辉 临川二中 王晶

第 I 卷(选择题:共 60 分)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分.每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意) 1.已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {x | A. {2,3} 2.已知复数 z ?

x ?1 ? 0, x ? Z } ,则 A I B ? ( ) 4? x B. {1, 2,3, 4} C. {1, 2,3} D. {1, 2,3,5}
)

1 ? 3i ,则 z ? ( 3?i
B.2

A.

2 2

C.1

D.

1 2

3 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x? 满 足 : 当 x ? 0 时 , f

? x? ? l o g 2?

1 ? x ? ,则

f ? f ? 7?? ? (
A. ?1

) B. ?2 C. 1 D. 2 )

4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a3 ? 6 , S10 ? 100 ,则 a5 ? ( A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

5.已知条件 p : a ? ?1 ,条件 q : 直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 x ? a2 y ?1 ? 0 平行,则 p 是 q 的 ( ) A.充要条件 条件 6.程序框图如下图所示,若上述程序运行的结果 S ? 1320 ,则判断框中应填入( ) B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要

否 开始

k ? 12, S ? 1
是 输出 S

S ? S ?k

k ? k ?1

结束

1

A. k ? 12

B. k ? 11

C. k ? 10

D. k ? 9 )

7.已知 a ? 1, b ? 2 ,且 a ? a ? b ,则向量 a 在 b 方向上的投影为(

?

?

A.

1 2

B. 2

C.1

D.

2 2

8.把函数 f ( x) ?

? 2 sin(2 x ? ) 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍,再向左平移 6

? ) 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,则函数 g ( x) 的一个单调递减区间为( 3 ? 4? ? ? ? 5? ] A. [? , 2? ] B. [ , C. [ , ] D. [ , ] 3 3 12 3 4 4

9.已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的棱的长度中,最大的是( A. 2 3 10.以双曲线 C : B. 2 2
2 2

) D. 3 1 1

2

C. 5

3
左视图

正视图

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 M 为圆心 2 a b

作圆, 该圆与 x 轴相切于 C 的一个焦点 F , 与 y 轴交于 P, Q 两点,若 PQ ? A. 3

2 3 c ,则双曲线 C 的离心率是( 3
B. 5 C. 2

俯视图 )

D. 2

11. 今有 6 个人组成的旅游团,包括 4 个大人, 2 个小孩, 去庐山旅游, 准备同时乘缆车观光, 现有三辆不同的缆车可供选择,每辆缆车最多可乘 3 人,为了安全起见,小孩乘缆车必须 要大人陪同,则不同的乘车方式有( A. 204 B. 288
x

)种 C. 348
3 2

D. 396

12.若曲线 f ? x ? ? ae ? ax(0 ? x ? 2) 和 g ? x ? ? ? x ? x ( x ? 0) 上分别存在点 A, B ,使得

r u u u r1 C ?C B ?AOB 是以原点 O 为直角顶点的直角三角形, AB 交 y 轴于点 C , 且A 2
的取值范围是( A . ? ) B . ?

, 则实数 a

?

1 1 ? , ? 2 ? 10(e ? 1) 6(e ? 1) ?

?

1 1? , ? ? 6(e ? 1) 2 ?

C . ?

? 1 ? ,1? ? e ?1 ?

2

D. ?

?

1 1? , ? 2 ? 10(e ? 1) 2 ?
第 II 卷(非选择题:共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共计 20 分。请将正确答案直接填在答题卡的相 应位置) 13.若 a ? ? sin xdx ,则 ( ? x )9 的展开式中常数项为
0

?

a x



b ? 2c , cos A ? 14. 在 ?ABC 中, 若a ? 2, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,
的面积 等于 .

1 , 则 ?ABC 4

? x ? 2 y ? 19 ? 0 ? 15. 已知关于实数 x , y 的不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0 构成的平面区域为 ? , 若 ? ? x, y ? ?? , ? 2 x ? y ? 14 ? 0 ?
使得 ? x ? 1? ? ? y ? 4 ? ? m 恒成立,则实数 m 的最小值是
2 2



16. 已知四棱锥 S ? ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上,SD ? 平面 ABCD , 底面 ABCD 是 等 腰 梯 形 , AB / / CD 是 .
? 2, SC ? 2 , 则 球 O 的 表 面 积 且 满 足 A B ? 2 A D? 2 D C

三.解答题:(本大题共 6 小题.共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 为正项等比数列,满足 a3 ? 4 ,且 a5 ,3a4 , a6 构成等差数列,数列 {bn } 满 足 bn ? log2 an ? log2 an?1 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,数列 {cn } 满足 cn ?

1 4Sn ? 1

,求数列 {cn } 的前 n 项和

Tn .

3

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,且 AD ? PD ? 1,平面 PCD ? 平 面 ABCD , ?PDC ? 120 ,点 E 为线段 PC 的中点,点 F 是线段 AB 上的一 个动点. (Ⅰ)求证:平面 DEF ? 平面 PBC ; (Ⅱ)设二面角 C ? DE ? F 的平面角为 ? ,试判断在线段 AB 上是否存在 这样的点 F ,使得 tan ? ? 2 3 ,若存在,求出 明理由. D E C P

AF FB

的值;若不存在,请说

A

F

B

19. (本小题满分 12 分) 为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学.高一平行甲班采用“传统教学”的教学 方式授课, 高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课, 为了比较教学效果, 期中考试后, 分别从两个班中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计分析, 结果如下表: (记成绩不低于 120 分者为“成绩优秀”) 分数 甲班频数 乙班频数

?80,90?
1
0

?90,100?
1 1

?100,110?
4

?110,120?
5

?120,130?
4
6

?130,140?
3
6

?140,150?
2 4

1

2

(Ⅰ)由以上统计数据填写下面的 2 ? 2 列联表,并判断是否有 95% 以上的把握认为“成 绩优秀与教学方式有关”? 甲班 成绩优秀 成绩不优秀 乙班 总计

4

总计 (Ⅱ)现从上述样本“成绩不优秀”的学生中,抽取 3 人进行考核,记“成绩不优秀”的乙 班人数为 X ,求 X 的分布列和期望. 参考公式: K 2 ? 临界值表
P( K 2 ? k0 )
k0
0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20.(本小题满分12分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 , 焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 是椭圆 C ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

上的点, ?PF1F2 面积的最大值是 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,点 D 是椭圆 C 上的点, O 是坐标原点,若 求出定值; 如果不是, OM ? ON ? OD, 判定四边形 OMDN 的面积是否为定值?若为定值, 请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x (1 ? a ln x) , a ? R .

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 (0,1] 上存在极大值点,求实数 a 的取值范围;

(Ⅱ)求证:

? ln i ? 2(
i ?1

n

n ? 1)2 ,其中 n ? N? , n ? 2 .

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
5

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 在平面直角坐标系中,以原点为极点,以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲 线 C 的极坐标方程为

?2 ? 2 ? c o s ?? 4 ? s i? ? n ,直 4 线 l1 的 极 坐 标 方 程 为

? (cos ? ? sin ? ) ? 3 .
(Ⅰ)写出曲线 C 和直线 l1 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l2 过点 P(?1, 0) 与曲线 C 交于不同两点 A, B , AB 的中点为 M , l1 与 l2 的交点为 N ,求 | PM | ? | PN | .

23. (本题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若关于 x 的不等式 2x ? 2 ? 2x ?1 ? t ? 0 在实数范围内有解. (Ⅰ)求实数 t 的取值范围; ( Ⅱ ) 若 实 数 t 的 最 大 值 为 a , 且 正 实 数 m, n, p 满 足 m ? 2n ? 3 p ? a , 求 证 :

1 2 ? ? 3. m? p n? p

6