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平面向量复习+基础练习题


平面向量小结与复习 一、本章知识 1.本章知识网络结构

实际背景

向量及其基本概念
单 零 位 向 量 量 量 向 向 量 线 向 共 等 相

向量

向量的数量积 向量的加法 向量的减法

线性运算

基本定理 实数乘向量 共线与 直的坐标表示 向量在几何中的应用
2.本章重点及难点? 本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示. (1) 本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示. 本章的难点是向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题. (2) 本章的难点是向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题. 对于本章内容的学习, (3) 对于本章内容的学习,要注意体会数形结合的数学思想方法的应用 ?
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坐标表示

加、 减、 数乘的坐标表示 向量在物理中的应用

向量应用

3.向量的概念? (1)向量的基本要素: (1)向量的基本要素:大小和方向 ? 向量的基本要素
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(2)向量的表示: (2)向量的表示:几何表示法 向量的表示

r r AB , a ;坐标表示法 a = xi + yj = ( x, y )

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?

(3)向量的长度:即向量的大小,记作| (3)向量的长度:即向量的大小,记作| a | ? 向量的长度
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r

(4)特殊的向量: (4)特殊的向量:零向量 a = 0 特殊的向量

r

v

r r r ? | a |=0 ?单位向量 a 0 为单位向量 ? | a 0 |=1 |=0 |=1
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(5)相等的向量: 小相等,方向相同. (5)相等的向量:大小相等,方向相同. a 相等的向量

r

r ? x = x2 = b ? ( x1 , y1 ) = ( x 2 , y 2 ) ? ? 1 ? y1 = y 2
r



r
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(6)平行向量(共线向量) 方向相同或相反的向量, (6)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可以进行任意的平 平行向量
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移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 ? 即自由向量) 平行向量总可以平移到同一直线上,
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4.向量的运算:向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量积(内积)及其各运算的坐标表示和性质 向量的运算:向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量积(内积)及其各运算的坐标表示和性质 见下表: 见下表: ?

1

运算 几何方法 类型 向 1 平行四边形法则
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坐标方法

运算性质

量 (共起点构造平行四边形) 共起点构造平行四边形) 的 三角(多边) 2 三角(多边)形法则
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r r r r v r ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) (a + b ) + c = a + (b + c )

r r a +b =

r r v r a +b =b +a

加 (向量首尾相连) 向量首尾相连) 法

AB + BC = AC

向 量 三角形法则 的 (共起点向被减) 共起点向被减) 减 法

r r a ?b =
( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 )

r r r r a ? b = a + (?b )

AB = ? BA
OB ? OA = AB

数 乘 向 量

1 2

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λa 是一个向量,满足: 是一个向量, 满足: λ >0 时, λa 与 a 同向; 同向;
r r

r

λ ( ?a ) = (λ? )a λ a = (λ x, λ y )
r

r

r

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r r r (λ + ? )a = λa + ?a

r r λ <0 时, λa 与 a 异向; 异向; r λ =0 时, λa =0
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λ ( a + b ) = λa + λb

r

r

r

r

r r r r r r a ∥ b ? a = λb (b ≠ 0)

r r a ? b 是一个实数
向 量 的 数 2 量 积
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1

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r r r r r r a =0或b =0或 a ⊥b r r a ? b =0 r r a≠0


r r r r a ?b = b ? a r r a ?b =
r r r r r r (λ a ) ? b = a ? (λ b ) = λ ( a ? b ) r r r r r r r ( a + b )c = a ? c + b ? c

时,

r r b ≠0

时 ,

x1 x 2 + y1 y 2

r r r r r r a ? b =| a || b | cos < a , b >

r r r a 2 =| a | 2 | a |= x 2 + y 2
r r r r | a ? b |≤| a || b |

5.重要定理、公式: 重要定理、公式: 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量, (1)平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理? e1 , e 2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅

r r

2

有一对实数 λ1 , λ 2 ,使 a

v

r v = λ1e1 + λ2 e2 .
r

(2)两个向量平行的充要条件? a ∥ b ( b ≠ 0 ) ? 存在惟一的实数λ使得 a =λ b ; (3)两个向量垂直的充要条件?当 a , b ≠ 0 时, a ⊥ b

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r ? a · b =0 ? x1 x 2 + y1 y 2 = 0

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?

课堂练习 1 判断题?(1)
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AB + BA =O(

)?(2)O

AB =O(

)?(3) AB - )?

AC = BC (
2 2

)

为两个单位向量,下列四个命题中正确的是( 2 选择题?已知 a,b 为两个单位向量,下列四个命题中正确的是(
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A.a 与 b 相等? B.如果 a 与 b 平行,那么 a 与 b 相等? C a·b=1 ? D.a =b ? → → → 3.在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足 =2DC,则AD=( . 满足BD = , = , 2 1 A. b+ c + 3 3 5 2 B. c- b 3 -3 2 1 C. b- c 3 -3 1 2 D. b+ c 3 +3 )

→ → 4.(2010·广东中山调研 已知 a、b 是两个不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+?b(λ,?∈R),那么 A、B、C 三点共 . 广东中山调研)已知 、 是两个不共线的向量, + , + , ∈ , 、 、 广东中山调研 线的充要条件是( ) 线的充要条件是 A.λ+?=2 B.λ-?=1 C.λ?=- . =-1 D.λ?=1 . = . + = . - = =- → → → 5.(2009·山东 设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则( 山东)设 所在平面内的一点, ) . 山东 → → → → → → → → → A.PA+PB=0 B.PC+PA=0 C.PB+PC=0 D.PA+PB+PC=0 . . . . → → → → 6.已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若PA+PB+PC=AB,则( . 及一个△ ) , A.点 P 在△ABC 外部 B.点 P 在线段 AB 上 C.点 P 在线段 BC 上 D.点 P 在线段 AC 上 . . . .

上的顺次三点, 7 已知 A、B、C 是直线 l 上的顺次三点,指出向量 AB 、 AC 、 BA 、 CB 中,哪些是方向相同的向量 ?
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的和向量, 8 已知 AC 为 AB 与 AD 的和向量,且 AC =a, BD =b,分别用 a、b 表示 AB , AD
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为正六边形, 9 已知 ABCDEF 为正六边形,且 AB =a, AE =b,用 a,b 表示向量 DE 、 AD 、 BC 、 EF 、 FA 、 CD 、 AC 、 CE ?
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→ → → 10.设两个非零向量 a 与 b 不共线,(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线;(2)试确定实数 k, . 不共线, 若 + , + , - ,求证: 、 、 三点共线; 试确定实数 使 ka+b 和 a+kb 共线. + + 共线.

11.(2010 安徽合肥调研 安徽合肥调研) 是两个不共线的非零向量, 起点相同, 为何值时, 11.(2010·安徽合肥调研)若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a, 1 三向量的终点在同一条直线上? tb, (a+b)三向量的终点在同一条直线上? 3

3

12 已知平面向量 OA = (1,7), OB = (5,1), OP = ( 2,1), M 是直线 OP 上的一个动点,求 MA ? MB 的最小

OM
值及此时 的坐标。

13 .已知 x = a + b, = 2 a + b,且 | a |= | b |= 1, ⊥ b, y a (1)求 | x | , y | ; | ( 2)若 x与 y的夹角为 θ ,求 cos θ 的值。

14、已知向量 m

= (1,1), 向量 n 与向量 m 的夹角为
(2)设向量 a

3π , 且 m ? n = ?1. 4

(1)求向量 n ; 的取值范围.

= (1,0),向量b = (cos x, sin x) ,其中 x ∈ R ,若 n ? a = 0 ,试求 | n + b |

























15、已知 a 、 b 是两个非零向量,且 a +3 b 与 7 a -5 b 垂直, a -4 b 与 7 a -2 b 垂直,求 a 与 b 的夹角.

16、已知向量 OA = (Ⅰ)试用

r r r p , OB = q , OC = r ,且 AB = 2 BC .
(Ⅱ)若点 A

r r r p、q 表示 r ;

(2, 2) 、 B (3, 1) ,O(0,0)求点 C 坐标.

r
17、 已知向量 a

r = (mx 2 ,?1) , b = (

r r 1 , x) ( m 为常数),若向量 a 、b mx ? 1

的夹角 θ

∈ [0, ) ,求实数 x 的取值范围. 2

π

4


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