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第1节 任意角的三角函数


第三篇 三角函数、解三角形(必修 4、必修 5) 第1节 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 象限角、终边相同的角 弧度制、扇形弧长、面积公式 三角函数定义 三角函数综合问题 一、选择题 1.已知 P(- , )是角α 终边上的一点,则 sin α 等于( (A)- (B) 解析:|OP|= 故选 D. 2.已知 cos θ ?tan θ <0,那么角θ 是( C ) (C)- (D) = ,则 sin α = = . D ) 题号 2、5、11 3、6、14 1、4、8、9、10、15 7、12、13、16 任意角的三角函数 练题感 提知能

(A)第一或第二象限角 (B)第二或第三象限角 (C)第三或第四象限角 (D)第一或第四象限角 解析:易知 sin θ <0,且 cos θ ≠0, ∴θ 是第三或第四象限角.

故选 C. 3.已知扇形的面积为 2,扇形圆心角的弧度数是 4,则扇形的周长为 ( C )

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解析:设扇形所在圆的半径为 R, 则 2= ?4?R2, ∴R2=1,∴R=1, 扇形的弧长为 4?1=4, 扇形周长为 2+4=6.故选 C. 4.(2014 蚌埠模拟)若 cos α =- ,且角α 的终边经过点 P(x,2),则 P 点的横坐标 x 是( (A)2 (B)±2 解析:r= 由题意得 , =- , D ) (D)-2

(C)-2

∴x=-2 .故选 D. 5.给出下列四个命题: ①-75°是第四象限角,②225°是第三象限角,③475°是第二象限角, ④-315°是第一象限角,其中正确的命题有( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 D )

解析:由象限角易知①,②正确; 因 475°=360°+115°,所以③正确;

因-315°=-360°+45°,所以④正确.故选 D. 6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度 数为( (A) C (B) ) (C) (D)

解析:设圆的半径为 R,则其内接正三角形的边长为 R,即该圆弧的弧 长为 R,于是其圆心角的弧度数为 .故选 C. 7.(2013 河南三市三模)已知角θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴 的非负半轴重合,终边落在直线 y=3x 上,则 cos 2θ 等于( D (A) (B) (C)- (D))

解析:①当终边落在第一象限时, 在直线 y=3x 上取一点 P(1,3), 则 cos θ = , cos 2θ =2cos2θ -1=- . ②当终边落在第三象限时, 在直线 y=3x 上取一点 P(-1,-3), 则 cos θ =- , 此时 cos 2θ =- .故选 D. 8.若角α 的终边上有一点 P(-4,a),且 sin α ?cos α = ,则 a 的值 为( C )

(A)4 (C)-4 或-

(B)±4 (D)

解析:依题意可知角α 的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终边上且 sin α ?cos α = ,得 故选 C. 二、填空题 9.已知角α 的顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,点 P(-4m,3m)(m>0)是α 终边上一点,则 2sin α +cos α = 解析:∵|OP|= =5|m|=5m(m>0), . = ,即 a2+16a+16 =0,解得 a=-4 或,

∴sin α = = ,cos α = =- . ∴2sin α +cos α =2? - = . 答案: 10.若β 的终边所在直线经过点 P(cos = ,tan β = . ,sin ),则 sin β

解析:由题意知 P(- , ), 因此 sin β = , tan β =-1.

答案:

-1

11.已知点 P(tan α ,cos α )在第三象限,则角α 的终边在第 象限. 解析:由题意知 ∴α 是第二象限角. 答案:二 12.一扇形的圆心角为 120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之 比为 .

解析:设扇形半径为 R,内切圆半径为 r. 则(R-r)sin 60°=r, 即 R=(1+ )r. 又 S 扇= |α |R2= ? ?R2= R2= ∴ = . π r2,

答案:(7+4 )∶9 13.有下列命题: ①若 sin α >0,则角α 是第一、 二象限角;②若角α 是第二象限角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cos α = ;③若 sin α =sin β ,则α

与β 的终边相同;④第二象限角不一定大于第一象限角;⑤若 P(a,a)(a≠0)是角α 终边上的一点,则 tan α =1.

其中正确命题的序号是

.

解析:①角α 的终边可能落在 y 轴的非负半轴上,故①错,由三角函数 的定义知②不正确,⑤正确,若 sin α =sin β ,则角α 、β 的终边相 同或终边关于 y 轴对称,故③错,显然④正确. 答案:④⑤ 三、解答题 14.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求扇形的圆心角 的弧度数和弦长 AB. 解:设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm,圆心角为α , 则 解得

∴圆心角α = =2. 弦长 AB=2sin ?1=2sin 1(cm). 15.已知角α 终边经过点 P(x,- )(x≠0),且 cos α = x.求 sin α + 的值.

解:∵P(x,- )(x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= 又 cos α = x, ∴cos α = ∵x≠0, = x. ,

∴x=± ∴r=2 . 当 x=

,

时,P 点坐标为(

,- ),

由三角函数的定义,有 sin α =- , =- , ∴sin α + 当 x=时, = . =- - =;

同理可求得 sin α +

16. (2013 安徽省六校联考)如图所示,已知 A,B 是单位圆 O 上的动点, 且 A,B 分别在第一、二象限,C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,△AOB 为 正三角形.记∠AOC=α .

(1)若点 A 的坐标为( , ),求

的值;

(2)用含α 的函数关系式表示|BC|2,并求|BC|2 的取值范围. 解:(1)因为 tan α = , 所以原式= =20.

(2)由题意,得点 B(cos(α + ),sin(α + )),C(1,0), 故|BC|2=[cos(α + )-1]2+sin2(α + ) =2-2cos(α + ). 而 A,B 分别在第一、二象限, 所以α + ∈( , ), 所以 cos(α + )∈(- ,0), 故|BC|2 的取值范围是(2,2+ ).


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