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课时跟踪检测 (十八) 同角三角函数的基本关系与诱导公式


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(十八)

同角三角函数的基本关系与诱导公式

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π π? 3 1.若 α∈? ?-2,2 ?,sin α=-5,则 cos(-α)=( A.- C. 3 5 4 5 B. 4 5 D.- 3 5

)

π π? 3 4 4 解析:选 B 因为 α∈? ?-2,2?,sin α=-5,所以 cos α=5,即 cos(-α)=5. π 2.已知 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|< ,则 θ 等于( 2 A.- C. π 6 π 6 B.- D. π 3 π 3 )

解析:选 D ∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), π π ∴-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3.∵|θ|< ,∴θ= . 2 3 3. (2017· 赣中南五校联考)已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x+2y-3=0 垂直,则 2 017π ? cos? ? 2 -2α?的值为( A. 4 5 ) B.- 4 5 1 2

C.2 解析:选 A 由题意可得 tan α=2,

D.-

2 017π 2sin αcos α 2tan α 4 ? 所以 cos? ? 2 -2α?=sin 2α=sin2α+cos2α=tan2α+1=5.故选 A. π 4 ? 4.已知 α∈? ?2,π?,sin α=5,则 tan α=________. π 3 2 ? 解析:∵α∈? ?2,π?,∴cos α=- 1-sin α=-5, sin α 4 ∴tan α= =- . cos α 3 4 答案:- 3 3π 1 ? 5.如果 sin(π+A)= ,那么 cos? ? 2 -A?的值是________. 2

1 1 解析:∵sin(π+A)= ,∴-sin A= . 2 2 3π 1 ? ∴cos? ? 2 -A?=-sin A=2. 答案: ? 1 2

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π 3π? π 3 , ,则 sin?α+ ?=( 1.已知 tan(α-π)= ,且 α∈? ?2 2 ? ? 2? 4 A. C. 4 5 3 5 B.- 4 5 3 5

)

D.-

3 3 解析:选 B 因为 tan(α-π)= ,所以 tan α= . 4 4 π 3π? 又因为 α∈? ?2, 2 ?,所以 α 为第三象限的角, π? 4 sin? ?α+2?=cos α=-5. π? 1 ?π ? 2.已知 sin? ?α-4?=3,则 cos?4+α?=( A. C. 2 2 3 1 3 ) 2 2 3 1 3

B.-

D.-

π ?π ?π ?? ? 解析:选 D ∵cos? ?4+α?=sin?2 -?4+α?? π 1 ? ? π? =sin? ?4 -α?=-sin?α-4?=-3. 3.已知 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4,若 f(2 016)=5,则 f(2 017)的值是( A.2 C.4 解析:选 B ∵f(2 016)=5, ∴asin(2 016π+α)+bcos(2 016π+β)+4=5, 即 asin α+bcos β=1. ∴f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π+β)+4=-asin α-bcos β+4=-1+4=3. 1-sin θ θ π? 1 4.(2017· 广州模拟)当 θ 为第二象限角,且 sin? 的值是( ?2+2?=3时, θ θ cos -sin 2 2 ) B.3 D.5 )

A.1 C.± 1

B.-1 D.0

θ π? 1 θ 1 解析:选 B ∵sin? ?2+2?=3,∴cos2=3, θ θ θ ∴ 在第一象限,且 cos <sin , 2 2 2 θ θ? -? 1-sin θ ?cos 2-sin2? ∴ θ θ= θ θ =-1. cos -sin cos -sin 2 2 2 2 cos 350° -2sin 160° 5.计算: =( sin?-190° ? A.- 3 C. 3 2 ) B.- D. 3 3 2

cos?360° -10° ?-2sin?180° -20° ? 解析:选 D 原式= -sin?180° +10° ? = cos 10° -2sin?30° -10° ? -?-sin 10° ?

3 ?1 ? cos 10° -2 cos 10° - sin 10° 2 2 ? ? = sin 10° = 3. π ? 6.已知 sin(3π-α)=-2sin? ?2+α?,则 sin αcos α=________. π ? 解析:∵sin(3π-α)=-2sin? ?2+α?, ∴sin α=-2cos α, ∴tan α=-2, sin αcos α ∴sin αcos α= 2 sin α+cos2α = -2 tan α = tan2α+1 ?-2?2+1

2 =- . 5 2 答案:- 5 π 0, ?,则 cos θ= 7.已知向量 a=(sin θ,-2)与 b=(1,cos θ)互相垂直,其中 θ∈? ? 2? ________.

解析:∵a⊥b,∴a· b=sin θ-2cos θ=0,即 sin θ=2cos θ. 1 又∵sin2θ+cos2θ=1,∴4cos2θ+cos2θ=1,即 cos2θ= , 5 π? 5 又∵θ∈? ?0,2?,∴cos θ= 5 . 答案: 5 5

4π? 4π 5π 8.sin · cos · tan? ?- 3 ?的值是________. 3 6 π? π? π? 解析:原式=sin? cos? tan? ?π+3?· ?π-6?· ?-π-3? π? ? π? ? π? =? ?-sin 3?· ?-cos6 ?· ?-tan3? = -

? ?

3 3 3? ? 3? × - ×(- 3)=- . 4 2? ? 2?

3 3 答案:- 4 9.求值:sin(-1 200° )· cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )+tan 945° . 解:原式 =-sin 1 200° · cos 1 290° +cos 1 020° · (-sin 1 050° )+tan 945° =-sin 120° · cos 210° +cos 300° · (-sin 330° )+tan 225° =(-sin 60° )· (-cos 30° )+cos 60° · sin 30° +tan 45° = 3 3 1 1 × + × +1=2. 2 2 2 2

3π ? 10.已知 sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?,求下列各式的值: sin α-4cos α (1) ; 5sin α+2cos α (2)sin2α+sin 2α. 解:由已知得 sin α=2cos α. 2cos α-4cos α 1 (1)原式= =- . 6 5×2cos α+2cos α (2)原式= sin2α+2sin αcos α sin2α+cos2α

sin2α+sin2α 8 = = . 1 5 sin2α+ sin2α 4 ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.sin21° +sin22° +…+sin290° =________. 解析: sin21° + sin22° + …+ sin290° = sin21° + sin22° + … + sin244° + sin245° + cos244° + cos243° + … + cos21° + sin290° = (sin21° + cos21° ) + (sin22° + cos22° ) + … + (sin244° + cos244° ) 1 91 +sin245° +sin290° =44+ +1= . 2 2 答案: 91 2 cos2?nπ+x?· sin2?nπ-x? (n∈Z). cos2[?2n+1?π-x]

2.已知 f(x)=

(1)化简 f(x)的表达式; π ? ? 504π ? (2)求 f? ?2 018?+f?1 009?的值. 解:(1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时, f(x)= = cos2?2kπ+x?· sin2?2kπ-x? cos2[?2×2k+1?π-x]

cos2x· sin2?-x? cos2x· ?-sin x?2 = =sin2x; 2 cos ?π-x? ?-cos x?2

当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时, f(x)= = cos2[?2k+1?π+x]· sin2[?2k+1?π-x] 2 cos {[2×?2k+1?+1]π-x}

cos2[2kπ+?π+x?]· sin2[2kπ+?π-x?] 2 cos [2×?2k+1?π+?π-x?]

cos2?π+x?· sin2?π-x? = cos2?π-x? = ?-cos x?2sin2x ?-cos x?2

=sin2x, 综上得 f(x)=sin2x. π ? ? 504π ? (2)由(1)得 f? ?2 018?+f?1 009? π 1 008π =sin2 +sin2 2 018 2 018 π π ? π =sin2 +sin2? ?2-2 018? 2 018 π π =sin2 +cos2 =1. 2 018 2 018


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