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高中数学选修4-4第一讲2


二 极坐标系

在解决本节开头问题时, 我们用" 在信息中 心的西偏北 45 方向, 距离 680 10 m 处 " 描 述了巨响位置.实际上 , 这是以信息中心为 基点,以正西方向为参照, 用与信息中心的 距 离和 正 西方向所成的角来刻画巨响位 置 .这 是日常生活中常用的刻画位置的方 法 , 体现了极坐标思想 .
0

1 极坐标系的概念 思考 图1 ? 9 是某 校园的平
面示意图.假设某同学在 教学楼处, 请回答下列问题 :
办公楼 E

实验楼 D

图书馆 C

450 50m

60 0
60m

?1? 他向东偏北 60 方向走
0

A

B

教学楼

体育馆

120m后到达什么位置 ? 该 位置惟一确定吗 ?

图1 ? 9

? 2 ? 如果有人打听体育馆和办公楼的位置,
他应如何描述 ?

以A为基点, 射线 AB 为参照方向 , 利用与 A 的距离、与AB 所成的角 , 就可以刻画平面 上点的位置.有时比直角坐标更方便, 如在 台风预报、地震预报、 测量、航空、航海 中就主要采用这种方法 .

思考 类比建立直角坐标系的过程, 怎样 建立用距离与角度确定平面上点的位置 的坐标系 ?

如图1 ? 10 , 在平面内取 一定点 O,叫做 极点 自极 点 O 引一条射线 Ox,叫做 极轴
O

M?? ,? ?

?

?

?
图1 ? 10

x

再选定一个长度单位一个角度单位

? 通常取弧度? 及其方向(通常取逆时
针方向 ) , 这 样就建立了一个 极坐标系

设点M 是平面内一点, 极点O与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的 极径, 记为? ; 以极轴 Ox 为始边 , 射线
O

M?? ,? ?

?

?

?
图1 ? 10

x

OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 极角, 记为? .有序数对 ? ? , ? ? 叫做点M 的 极坐标, 记作M ? ? , ? ? .

一般地, 不作特殊说明时, 认为? ? 0,

? 可取任意实数.

5? 6 11? 12

2? 3? 3 4

7? 12

?
2

5? 12

?
3

?
4

B

?
6

?
12

图1 ? 11

11? 12

5? 6

2? 3? 3 4

7? 12

? 2

5? 12

? 3

? 4 ?
6

E D

? 12
23? 12 11? 7? 6 4

?
13? 12 7? 6

A

5 x
23? 12 11? 6

?
13? 12 7? 6

x

图1 ? 12

F
5? 4
4? 3 17? 12 19? 12 5? 3

5? 4

4? 3

C
17? 12 3? 2 19? 12
5? 3

7? 4

例1 如图 1 ? 11, 在极坐标系中 , 写出点A, B, C的极坐 5? ? ? ? ? ? 3? ? ? 标, 并标出点D? 2, ?, E ? 4, ?, F ? 3.5, ?所在位置 . 3 ? ? 6? ? 4 ? ?

3? 2

解 由图1 ? 11, 可得点 A, B, C ,的极坐标分别为 ?1,0 ?, ? ? ? ? 4? ? ? 4, ?, ? 5, ?.点D, E, F的位置如图 1 ? 12所示. ? 2? ? 3 ?

例 2 在图1 ? 9中, 用点A, B, C , D, E分别表示 教学楼, 体育馆,图书馆, 实验楼, 办公楼的位 置.建立适当的极坐标系 , 写出各点的极坐标.
解 以点A为极点, AB所在射 线为极轴 (单位长度为 1m), 建 立极坐标系 (图1 ? 13) .
点 A , B , C , D , E 的极坐标分
E
450 50m

D
120m

C

60 3m
60 0
60m

?? ? 别为 ?0,0 ? , ?60,0 ? , ? 120, ? , 3? ? ? ? ? 3? ? ? ? 60 3 , ? , ? 50, ?. 2? ? 4 ? ?

A?O?

B

x

图1 ? 13

建立极坐标系后 , 给定? 和? , 就可以在平面 内惟一确定点 M ; 反过 来, 给予定平面内任 意一点, 也可以找到它的极坐标?? ,? ?.
? ?? ? ? ? 思考 在极坐标系中, ? 4, ? , ? 4, ? 2? ? , ? 6? ? 6 ? ? ? ?? ? ? ? 4, ? 4? ?, ? 4, ? 2? ?表示的点有什么关 ? 6 ?? 6 ? 系? 你能从中体会极坐标与 直角坐标在刻 画点的位置时的区别吗 ?

由终边相同的角的定义 可知, 上述极坐标表示 ? ? ? 同一个点 .实际上, ? 4, ? 2k? ??k ? Z ?都表示这 ? 6 ? 个点. 一般地, 极坐标? ? , ? ?与? ? , ? ? 2k? ??k ? Z ?表示 ?0,? ??? ? R ?. 同一个点 .特别地, 极点O的坐标为 和直角坐标不同 , 平面内一个点的极坐标 有无 数种表示. 如果规定? ? 0,0 ? ? ? 2? , 那么除极点外 , 平面 内的点可用惟一的极坐 标 ?? ,? ?表示;同时, 极 坐标?? ,? ?表示的点也是惟一确定 的.

1 极坐标和直角坐标的互化
思考 平面内的一点既可以用 直 角坐 标 表示 , 也可以用极坐 标表示 .那么 , 这两种坐标之间 有什么关系呢 ?

把直角坐标系的原点作 为极点, x 轴的正半轴 作为极轴, 并在两种坐标系中取相 同的长度单 位 .设 M 是平面内任意一点, 它的直角坐标是 ? x, y ? , 极坐标是 ?? ,? ?.从图1 ? 14可以得出它 们之间的关系式: y x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ① M

由 ①又可得到下面关系式 : y 2 2 2 ? ? x ? y , tan ? ? ? x ? 0 ?. x 这就是极坐标与直角坐 标的 互化公式.

?

y
N

?
O

x

x

图1 ? 14

? 2? ? 例 3 将点M的极坐标? 5, ? 化成直角坐标. ? 3 ? 2? 5 2? 5 3 解 x ? 5 cos ? ? , y ? 5 sin ? . 3 2 3 2
? 5 5 3? ?. 所以 , 点M的直角坐标为 ? ? , ? 2 2 ? ? ?

例3 将点M的直角坐标 ? 3 ,?1 化成极坐标.
把直角坐标 转化为极坐 标时, 通常有 不同的表示 法(极角相差 3?的整数倍). 一般只要取 ? ? ?0,2? ?就 可以了 .

?

?

解 ??

?? 3 ? ? ?? 1?
2

2

? 3 ? 1 ? 2,

?1 1 3 tan? ? ? ? . 3 ? 3 3
7? 因为点 M在第三象限 , 故? ? . 6

? 7? ? 因此, 点M的极坐标为 ? 2, ? . ? 6 ?


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