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云南省昆明市2013届高三摸底调研测试理科数学


云南省昆明市 2013 届高三摸底调研测试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,将本试卷和答题卡 一交交回。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上 填写清楚,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号,在规定的位置贴好条 形码。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上的答案无效。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.若复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是纯虚数,其中 m 是实数,则 A. i 2.已知 sin ? x ? A. ? B. ?i C. 2i

1 ? z
D. ? 2i

? ?

??

3 ? ? ,则 sin 2x 的值为 4? 5
B.

7 25

7 25

C.

9 25

D.

16 25

3. 公比不为 1 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , ?3a1 ? 2 a3 成等差数列, 且 , a, 若 a1 ? 1 ,则 S4 ? A. ?20 B. 0 C. 7 D. 40 4.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形, 其直角边均为 1,则该几何体的表面积为 A. 1 ? 2 C. B. 2 ? 2 2 D. 2 ? 2 主视图 侧视图

俯视图

1 3

5.变量 U 与 V 相对应的一组样本数据为 (1,1.4) , (2, 2.2) , (3,3) , (4,3.8) ,由上述样本数据 得到 U 与 V 的线性回归分析, R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,则 R ?
2 2

A.

3 5

B.

4 5

C.1

D. 3

1

6.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? a cos ax 的图像可能是

A.

B.

C.

D.

7.某班有 24 名男生和 26 名女生,数据 a1 , a2 ,?, a50 是该 班 50 名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩, 下面的程序用来同时统计全班成绩的平均数: A ,男 生平均分: M ,女生平均分: W ;为了便于区别性 别,输入时,男生的成绩用正数,女生的成绩用其成 绩的相反数,那么在图里空白的判断框和处理框中, 应分别填入下列四个选项中的 输

开 始 入

a1 a , 0,W 50 k ? 1,,M2??, a? 0
T ? ak





k ? k ?1

M ?W 50 M ?W B. T ? 0 ? , A ? 50 M ?W C. T ? 0 ? , A ? 50 M ?W D. T ? 0 ? , A ? 50
A. T ? 0 ? , A ? 8. 若曲线 f ( x) ? a cos x 与曲线 g ( x) ? x ? bx ? 1 在交点
2

M ? M ?T

W ?W ?T

k ? 50?





(0, m) 处有公切线,则 a ? b ?
A. ?1 C. 1 B. 0 D. 2

M?

M 24 W 26

W?





M ,结 , A W
2



9.已知函数 f ( x) ? ?

? ? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? , 若 f (a ? 2) ? f (a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 2 ? x ? 4 x, x ? 0 ?
B. a ? 1 D. a ? 1

A. a ? ?1 ? 3 或 a ? ?1 ? 3 C. a ? 3 ? 3 或 a ? 3 ? 3

10.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? an?1 (n ? 2) , a1 ? 1 , a2 ? 3 ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 下列结论正确的是 A. a100 ? ?1, S100 ? 5 C. a100 ? ?3, S100 ? 2 B. a100 ? ?3, S100 ? 5 D. a100 ? ?1, S100 ? 2

11.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , M 是抛物线 C 上的 点,若 ?OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 9? ,则 p ? A. 2 B. 4 C. 6
x

D. 8

?1? 12.设函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? f ( x) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ? ,又函数 g ( x) ?| x sin ? x | , ?4?
则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 ? ? A. 3 B. 4

? 1 ? , 2 上的零点个数为 ? 2 ? ?
C. 5 D. 6

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分 ,第(13)题—第(21)题为必考题,每个试题考生都必 须做答。第(22)题—第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡上。

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.变量 x, y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则 2x ? y 的最大值为____________. ?x ? 0 ?
14.已知 F (c , 0) 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,若双曲线 C 的渐近线与圆 a 2 b2

E : ( x ? c)2 ? y2 ?

1 2 c 相切,则双曲线 C 的离心率为_________________. 2

15.已知向量 a , b 的夹角为 120? ,且 | a |? 1,| b| ?2 ,则向量 a ? b 在向量 a ? b 方向上的投影是 _______.

3

16.已 知 A, B, C , D 四点在半径为

29 的球面 上,且 AC ? BD ? 13 , AD ? BC ? 5 , 2

AB ? CD ,则三棱锥 D ? ABC 的体积是________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若

C A 3 ? c cos 2 ? b . 2 2 2 (Ⅰ)求证: a 、 b 、 c 成等差数列; a cos 2
(Ⅱ)若 ?B ? 60?, b ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)气象部门提供了某地区今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表如 下: t ? 22 ℃ 22 ℃ ? t ? 28 ℃ 28 ℃ ? t ? 32 ℃ t ? 32 ℃ 日最高气温 t(单位:℃) 6 12 天数 Y Z 由于工作疏忽,统计表被墨水污染, Y 和 Z 数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份 的日最高气温不高于 32 ℃的频率为 0.9 . 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温 t(单位:℃)对西瓜的销售影响如下表: t ? 22 ℃ 22 ℃ ? t ? 28 ℃ 28 ℃ ? t ? 32 ℃ t ? 32 ℃ 日最高气温 t(单位:℃) 2 5 6 8 日销售额 X (千元) (Ⅰ)求 Y , Z 的值; (Ⅱ)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差; (Ⅲ)在日最高气温不高于 32 ℃时,求日销售额不低于 5 千元的概率.

P

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为平行四边形,且 BC ? 平面 PAB , PA ? AB , M 为 PB 的中点, PA ? AD ? 2 . (Ⅰ)求证: PD ∥平面 AMC ; (Ⅱ)若 AB ? 1 ,求二面角 B ? AC ? M 的余弦值.

M D A

C
4

B

20. (本小题满分 12 分) 已知平面内与两定点 A(2, 0) ,B(?2, 0) 连线的斜率之积等于 ?

1 的点 P 4

的轨迹为曲线 C1 ,椭圆 C2 以坐标原点为中心,焦点在 y 轴上,离心率为 (Ⅰ)求 C1 的方程;

5 . 5

(Ⅱ)若曲线 C1 与 C2 交于 M 、 N 、 P 、 Q 四点,当四边形 MNPQ 面积最大时,求椭圆

C2 的方程及此四边形的最大面积.

21. (本小题满分 12 分)设 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax,(a ? R 且 a ? 0) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 a ? 1 ,证明: x ? (0,5) 时, f ( x ) ?

9x 成立. x ?1

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按 所做的第一题计分,做答时请写清题号,且在答题卡上填涂相应 题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 已知 PA 与圆 O 相切于点 A , 直径 BC ? OP , 连接 AB 交 PO 于点 D (Ⅰ)求证: PA ? PD ; (Ⅱ)求证: AC ? AP ? AD ? OC .

C

A

O

D

P

B

5

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? a cos? ? ( ? 为参数, a ? 0 ) ,直 线 l 的 参 数 方 程 是 ? y ? 3 sin? ?

?x ? 3 ? t ( t 为参数) ,曲线 C 与直线 l 有一个公共点在 x 轴上,以坐标原点为极点, x 轴的正 ? y ? ?1 ? t ?
半轴为极轴建立坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 普通方程; ( Ⅱ ) 若 点

A( ?1 , ? ), B( ? 2 , ? ?

2? 4? ), C ( ?3 , ? ? ) 在 曲 线 C 3 3

上 , 求

1 1 1 ? ? 的值. 2 2 | OA | | OB | | OC |2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? a | ( a ? 0 ) . (Ⅰ)当 a ? 4 时,已知 f ( x) ? 7 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x) ? 6 的解集为 {x | x ? ?4 或 x ? 2} ,求 a 的值.

6

7

8

9

10

11

12

13


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