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2015最新高考数学解题技巧大揭秘 专题15 直线、圆及其交汇问题


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专题十五 直线、圆及其交汇问题

1.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

).

答案: A [由 a=1 可得 l1∥l2,反之由 l1∥l2 可得 a=1 或 a=-2,故选 A.] 2.已知圆 C:x2+y2-4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 C.l 与 C 相离 答案:A B.l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能 ).

[把点(3,0)代入圆的方程的左侧得 32+0-4×3=-3<0,故点(3,0)在圆的内部,所以过点(3,0)的

直线 l 与圆 C 相交,选 A.] 3.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是( A.相离 C.相交但直线不过圆心 B.相切 D.相交且直线过圆心 ).

答案:C [易知直线过定点(0,1),且点(0,1)在圆内,但是直线不过圆心(0,0),故选 C.] 4.过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 2,则直线 l 的斜率为________. 解析 由题意知直线要与圆相交,必存在斜率,设为 k,则直线方程为 y+2=k(x+1),又圆的方程可化为(x -1)2+(y-1)2=1,圆心为(1,1),半径为 1, |k-1+k-2| ∴圆心到直线的距离 d= = 1 + k2 解得 k=1 或 答案 1 或 17 . 7 1 -? 2?2 ?2?,

17 7

本问题是整个解析几何的基础,在解析几何的知识体系中占有重要位置,但解析几何的主要内容是圆锥曲线 与方程,故在该部分高考考查的分值不多,在高考试卷中一般就是一个选择或填空题考查直线与方程、圆与方程 的基本问题,偏向于考查直线与圆的综合,试题难度不大,对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合 进行.
[来源 :21 世纪教育网]

高考对解析几何的考查,主要考查直线和圆的方程以及直线与圆的位置关系的有关问题.运算能力与平面几 何知识的灵活运用有可能成为制约考生解题的一个重要因素,因此在复习的过程中,要注意加强圆的几何性质的 复习,注意向量方法在解析几何中的应用,注意强化运算能力的训练,努力提高灵活解题的能力.

必备知识
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两直线平行、垂直的判定 (1)①l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(两直线斜率存在,且不重合),则有 l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1· k2=-1. ②若两直线的斜率都不存在,并且两直线不重合,则两直线平行; 若两直线中一条直线的斜率为 0,另一条直线斜率不存在,则两直线垂直. (2)l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 则有 l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且 B1C2-B2C1≠0, l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为 r. D E D2+E2-4F - ,- ?,半径为 r= (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+ Ey+F=0(D2+E2-4F>0) ,圆心为? ; 2? ? 2 2 B=0, ? ? 二元二次方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是?A=C≠0, ? ?D2+E2-4AF>0.
2 2

必备方法 1.由于直线方程有多种形式,各种形式适用的条件、范围不同,在具体求直线方程时,由所给的条件和采 用的直线方程形式所限,可能会产生遗漏的情况,尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况. 2.处理有关圆的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如弦心距、半径、弦长的一半构成 直角三角形经常用到,利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化. 3.直线与圆中常见的最值问题 (1)圆外一点与圆上 任一点的距离的最值. (2)直线与圆相离,圆上任一点到直线的距离的最值. (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值. (4)直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线长的最小值问题. (5)两圆相离,两圆上点的距离的最值. 4.两圆相交,将两圆方程联立消去二次项,得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.

待定系数法求圆的方程 对于圆的方程,高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式利用待定系数法求出圆的方程,并结合圆的 几何性质解决与圆相关的问题.该部分在高考中常 以填空、选择的形式直接考查,或是在解答题中综合轨迹问题 进行考查. 【例 1】? 已知圆 C 与圆 x2+y2-2x=0 相外切,并且与直线 x+ 3y=0 相切于点 Q(3,- 3),求圆 C 的方 程.

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[审题视点]

[听课记录]

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[审题视点] 先确定采用标准方程还是一般方程,然后求出相应的参数,即采用待定系数法. b+ 3 ? ? a- 3 = 3 , 设圆 C 的圆心为(a,b),则? |a+ 3b| ? ? ?a-1? +b =1+ 2 ,
2 2



? ? ?a=0, ?a=4, 解得? 或? 所以 r=2 或 r=6. ?b=0 ? ? ?b=-4 3,

所以圆 C 的方程为(x-4)2+y2=4 或 x2+(y+4 3)2=36. 求圆的方程一般有两类方法:(1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进 而求得圆的基本量和方程;(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数. 【突破训练 1】 已知圆过点 A(1,2),B(3,4),且在 x 轴上截得的弦长为 6,求圆的方程. 解 法一 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.

令 y=0,得 x2+Dx+F=0. 设弦的两端点的横坐标分别为 x1、x2. 因圆在 x 轴上截得的弦长为 6,所以|x1-x2|=6, 即 D2-4F=36,① 又圆过点 A(1,2),B(3,4), 所以 D+2E+F+5=0,② 3D+4E+F+25=0,③ D=12, D=-8, ? ? ? ? 由①②③解得?E=-22, 或?E=-2, ? ? ?F=27 ?F=7. 故所求圆的方程为 x2+y2+12x-22y+27=0 或 x2+y2-8x-2y+7=0. 法二 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, r =b +3 , a=-6, a=4, ? ? ? ? ? ? 2 2 2 由已知得??1-a? +?2-b? =r , 解得?b=11, 或?b=1, 2 2 2 2 ? ? ? ??3-a? +?4-b? =r , ?r =130 ?r2=10. 故所求圆的方程为(x+6)2+(y-11)2=130,或(x-4)2+(y-1)2=10. 直线与圆位置关系的考查 直线与圆的位置关系是高考考查的热点,主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用,以及弦长、 面积的求法等,并常与圆的几何性质交汇,要求学生有较强的运算求解能力. 【例 2】? 如图所示,已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相切.过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P.
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2 2 2

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(1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程;
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(3)B Q · B P 是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由. [审题视点]

→ →

[听课记录] [审题视点] 第(1)问由圆 A 与直线 l1 相切易求出圆的半径,进而求出圆 A 的方程;第(2)问注意直线 l 的斜率 不存在时也符合题意,以防漏解,另外应注意用好几何法,以减小计算量;第(3)问分两种情况分别计算平面向量 的数量积为定值后方可下结论. 解 (1)设圆 A 的半径为 R,

∵圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切, ∴R= |-1+4+7| =2 5. 5

∴圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2),即 kx-y+2k=0. 连接 AQ,则 AQ⊥MN. ∵|MN|=2 19,∴|AQ|= 20-19=1, 由|AQ|= |k-2|
2

3 =1,得 k= . 4 k +1

∴直线 l 的方程为 3x-4y+6=0, ∴所求直线 l 的方程为:x=-2 或 3x-4y+6=0. (3)∵AQ⊥BP,∴A Q · B P =0, ∴B Q · B P =(B A +A Q )· BP =B A · B P +A Q · BP =B A · BP. 5? 当直线 l 与 x 轴垂直时,得 P? ?-2,-2?, 5? → → 则 B P =? ?0,-2?,又 B A =(1,2). ∴B Q · B P =B A · B P =-5.
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→ → →

→ → → → → →





→ →

→ →

→ →

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当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2).
? -4k-7 -5k ? ?y=k?x+2?, , 由? 解得 P? . 1+2k 1+2k? ? x + 2 y + 7 = 0 , ? ?

∴B P =?



-5 -5 k ? , . ?1+2k 1+2k?

∴B Q · B P =B A · BP=

→ →

→ →

-5 10k - =-5, 1+2k 1+2k

综上所述, B Q · B P 是定值,且 B Q · B P =-5. l (1)直线和圆的位置关系常用几何法,即利用圆的半径 r,圆心到直线的距离 d 及半弦长 构成直 2 角三角形关系来处理. (2)要注意分类讨论,即对直线 l 分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究,以防漏解或推理不严谨. 【突破训练 2】在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 解 (1)曲 线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点为(0,1),(3± 2 2,0).

→ →

→ →

故可设圆的圆心坐标为(3,t), 则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2. 解得 t=1,则圆的半径为 32+?t-1?2=3. 所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组
?x-y+a=0, ? ? 2 2 ??x-3? +?y-1? =9, ?

消去 y 得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0, 由已知可得判别式 Δ=56-16a-4a2>0, 由韦达定理可得 x1+x2=4-a,x1x2= a2-2a+1 ,① 2

由 OA⊥OB 可得 x1x2+y1y2=0.又 y1=x1+a,y2=x 2+a. 所以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0. 由①②可得 a=-1,满足 Δ>0,故 a=-1.

直线、圆与圆锥曲线的交汇问题 常以直线、圆、圆锥曲线为载体结合平面向量来命题,考查解决解析几何问题的基本方法与技能,正成为高 考命题新的生长点. 【例 3】已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的 对称点为 D. (1)证明:点 F 在直线 BD 上;
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→ → 8 (2)设 F A · F B = ,求△BDK 的内切圆 M 的方程. 9
[审题视点]

[听课记录] → → 8 [审题视点] (1)设出 A、B、D 的坐标及 l 的方程,进而表示出直线 BD 的方程.再验证;(2)由FA· FB= 可求 9 直线 l,BD 的方程,再由 A、D 关于 x 轴对称可设圆心 M(t,0),则 M 到直线 l,BD 的距离相等. 解 设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l 的方程 为 x=my-1(m≠0).

(1)证明:将 x=my-1 代入 y2=4x 并整理得 y2-4my+4=0,从而 y1+y2=4m,y1y2=4.① 直线 BD 的方程为 y-y2= 即 y-y2=
2 4 ? y2? x- . · 4? y2-y1 ?

y2+y1 · (x-x2), x2-x1

令 y=0,得 x=

y1y2 =1. 4
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所以点 F(1,0)在直线 BD 上.

(2)由(1)知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2, x1x2=(my1-1)(my2-1)=1. 因为 F A =(x1-1,y1),F B =(x2-1,y2), FA· F B =(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+ 4 =8-4m2, 8 4 故 8-4m2= ,解得 m= ± . 9 3 所以 l 的方程为 3x+4y+3=0,3x-4y+3=0. 4 又由①知 y2-y1=± ?4m?2-4×4=± 7, 3 故直线 BD 的斜率 4 3 =± , y2-y1 7
[来源:21 世纪教育网]





→ →

因而直线 BD 的方程为 3x+ 7y-3=0,3x- 7y-3=0. 因为 K F 为∠BKD 的平分线,故可设圆心 M(t,0)(-1<t<1),M(t,0)到 l 及 BD 的距离分别为 由 3|t+1| 3|t-1| 1 = 得 t= 或 t=9(舍去), 5 4 9 3|t+1| 2 = . 5 3 3|t+1| 3|t-1| , . 5 4

故圆 M 的半径 r=

1?2 2 4 所以圆 M 的方程为? ?x-9? +y =9. 对直线与圆的综合性问题,要认真审题,学会将问题拆分成基本问题,然后综合利用数形结合思 想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题,这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力.
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x2 y2 【突破训练 3】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 + =1 的顶点,过坐标原点的直线交 4 2 椭圆于 P、A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C.连接 AC,并延长交椭圆于点 B.设直线 PA 的斜率为 k.

(1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d. 解 (1)由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),所以线段 MN 中点的坐标为?-1,-

?

2? .由于 2?

2 2 2 直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标原点,所以 k= = . 2 -1 -

2 4? 4? x2 4 x2 2 ? 2 (2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 + =1,解得 x=± ,因此 P? ?3,3?,A?-3,-3?. 4 2 3 4 ?2-4-2? 3 2 ? ?3 3 3? 2 2 2 ,0 ,直线 AC 的斜率为 于是 C? = 1 ,故直线 AB 的方程为 x - y - = 0. 因此, d = = . ?3 ? 2 2 3 3 12+12 + 3 3 0+

直线问题“误”汇 易错点 1:忽视截距为零或认为截距是距离的情况 【示例 1】? 经过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________________. 解析 1 (1)直线在两坐标轴的截距为 0 时,直线方程为 y= x. 2

(2)直线在两坐标轴的截距不为 0 时,设直线方程为 x+y=a.因为点(2,1)在直线上,所以 2+1=a,即 a=3. 1 直线方程为 x+y=3.故所求直线方程为 y= x 或 x+y=3. 2 1 答案 y= x 或 x+y=3 2 老师叮咛:考生可能产生 2 种错误,第 1 种错误:忽视截距为零的情况,只答出第?2?种情况;第 2 种错误:

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1 认为截距是距离, 把直线在两坐标轴上的截距互为相反数的也带进来, 导致有错误答案为 “所求直线方程为 y= 2 x 或 x+y=3 或 x-y=1”. 【试一试 1】 已知直线 l 过点(2,-6),它在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍,求直线 l 的方程. 解 当直线 l 过原点时,它在 两坐标轴上的截距都是 0,适合题意,此时直线方程为 y= -6 x=-3x,可化 2

为 3x+y=0; x y 当直线 l 不过原点时,设它在 x 轴上的截距为 a(a≠0),则它在 y 轴上的截距为 2a,则直线的截距式为 + a 2a 2 6 y =1,把点(2,-6)的坐标代入得 - =1,解得 a=-1,故此时直线的方程为-x- =1,可化为 2x+y+2=0. a 2a 2 综上,直线的方程为 3x+y=0 或 2x+y+2=0. 易错点 2:忽视直线的斜率不存在的情况 【示例 2】? 已知直线 l 过点(-2,0),直线 x+2y-5=0 和 3x-y-1=0 的交点到直线 l 的距离为 3,求直线 l 的方程. [满分解答] 分) (1)当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x=-2,点(1,2)到该直线的距离为 3,适合题意.(6 分) (2)当直线 l 的斜率存在时,设为 k,则直线 l 的点斜式方程为 y=k(x+2),可化为 kx-y+2k=0. 依题意得 |k-2+2k| = 3, k2+1
? ? ?x+2y-5=0, ?x=1, 由? 得,? 即直线 x+2y-5=0 和 3x-y-1=0 的交点坐标为(1,2).(2 ?3x-y-1=0 ?y=2, ? ?

5 解得 k=- . 12 所以,此时直线 l 的方程为 5x+12y+10=0.(10 分) 综上,直线的方程为 x+2=0 或 5x+12y+10=0. (12 分) 老师叮咛:忽视直线的斜率不存在的情形,也是一类常见错误 .在相关问题中,需设直线的斜率时,一定要 注意分析直线的斜率是否一定存在,不一定存在,就需分类讨论.

【试一试 2】 已知直线 l1:ax-y+2a=0 与直线 l2:(2a-1)x+ay+a=0 互相垂直,则 a 等于( A.1 B.0 C.1 或 0 D.1 或-1

).

答案: C

[法一 依题意有 a· (2a-1)+(-1)· a=0;解得 a=0 或 a=1.

法二 ①a=0 时直线 l2 斜率不存在,直线 l1 的斜率为 0,两直线垂直. ②a≠0 时,直线 l1 的斜率为 a,直线 l2 的斜率为- 1,解得 a=1.故所求 a 值为 0 或 1,选 C.] 【试一试 3】 C [将圆 C 方程配方得:(x+1)2+(y+2)2=8,圆 C 的圆心坐标和半径分别是:C(-1,-2), 2a-1 ?-2a-1?=- ,因为直线 l1 与直线 l2 垂直,所以 a· a a ? ?

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R=2 2.设与直线 l:x+y+1=0 平行且距离为 2的直线方程为 x+y+m=0,由

|m-1| = 2知,m=-1 或 m=3. 2

|-1-2-1| 当 m=-1 时,圆心到直线的距离 d1= =2 2=R,直线与 圆相切,满足要求的点只有一个;当 m=3 2 时, 圆心到直线的距离 d2= C.] |-1-2+3| =0<R, 直线与圆相交, 满足要求的点有两个. 故满足要求的点共有 3 个. 选 2

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