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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.1.1 合情推理(2)学案 新人教A版选修1-2


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.1.1 合情推理(2)学案 新 人教 A 版选修 1-2
【学习目标】 1. 结合已学过的数学实例, 了解类比推理的含义; 2. 能利用类比进行简单的推理,体会并认识合情 推理在数学发现中的作用. 【学习内容】 一、课 前预习(预习教材 71-74 页,找出疑惑之处) 1 1. 已知 ai ? 0 (i ? 1, 2,?, n) ,考察下列式子: (i ) a1 ? ? 1 ; a1 1 1 1 1 1 (ii ) (a1 ? a2 )( ? ) ? 4 ; (iii ) (a1 ? a2 ? a3 )( ? ? ) ? 9 . a1 a2 a1 a2 a3 我 们 可 以 归 纳 出 , 对 a1 , a2 ,?, an 也 成 立 的 类 似 不 等 式 为 . 1 1 1 1 2. 猜想数列 ,? , ,? ,?? 的通项公式是 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 . 二、课堂互动探究:典例精析 变式训练 鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照 鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇;地球上有生 命, 火星 与地球有许多相似点,如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星,有大气层,也有季节变 更,温度也适合生物生存,科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比 推理. 新知:类比 推理就 是由两类对象具有 和其中 ,推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之, 类比推理是由 到 的推理. 典型例题 例 1 类比实数的加法和乘法 ,列出它们相似的运算性质. 类比角度 实数的加法 实数的乘法 运算结果 运算律 逆运算 变式:找出圆与球的相似之处,并用圆的性质类比球的性质. 圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦(非直径) 中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的弦长相等,与圆心距离不 等的两弦不等,距圆心较近的弦较长 以点 ( x0 , y0 ) 为圆心, r 为半径的圆的方程为 4 例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.

1

变式:用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质. 三角形 四面体 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 1 三角形的面积为 S ? (a ? b ? c)r (r 为三角形内切圆的半径) 2 新知: 和 都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进 行 , 然后提出 的推理, 我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所 获得的结论, 仅仅是一种猜想,未必可靠. 练 1. 如 图 , 若 射 线 OM , ON 上 分 别 存 在 点 M1 , M 2 与 点 N1 , N2 , 则 三 角 形 面 积 之 比 S?OM1N1 OM1 ON1 .若不在同一平面内的射线 OP,OQ 上分别存在点 P ? ? 1, P 2 ,点 Q1 , Q2 和点 S?OM 2 N2 OM 2 ON 2
R1 , R2 ,则类似的结论是什么?

练 2. 在 ?ABC 中 , 不 等 式

1 1 1 9 ? ? ? 成 立 ; 在 四 边 形 ABCD 中 , 不 等 式 A B C ?

1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 25 成立;在五边形 ABCDE 中,不等式 ? ? ? ? ? 成立.猜想, ? ? ? ? A B C D 2? A B C D E 3?
在 n 边形 A1 A2 ? An 中,有怎样的不等式成立? 学习小结 1.类比推理是由特殊到特殊的推理. 2. 类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相 似性或一致性;②用一类事物的性质去 推测 另一类 事物的性质得出一个命题(猜想). 3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定真,但合情推理常常帮我们猜 测和发现新的规律,为我们提供 证明的思路和方法. 三.课堂练习及课后作业 1.下列说法中正确的是( ). A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一 般到特殊的推理 D.类 比推理是从特殊到特 殊的推理 2. 下 面 使 用 类 比 推 理 正 确 的 是 ( ) . A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ” a?b a b C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“ (c≠0)” ? ? c c c
2

(ab) ? a b ” 类推出“ (a ? b) ? a ? b D.“
n n n n n

n

3. 设 f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0 ( x) ,

'

f2 ( x) ? f1' ( x),?, fn?1 ( x) ? fn' ( x) ,n∈N,则 f2007 ( x) ? A. sin x B.- sin x C. cos x D.- cos x
4. 一同学在电脑中 打出如下若干个圆 若将此若干个圆按此规律继 续下去,得到一 系列的圆,那么在前 2006 个圆中有 个黑圆. 5. 在数列 1,1, 2,3,5,8,13,x,34,55? ?中的 x 的值是 . 6 .在等差数列 {an } 中,若 a10 ? 0 ,则有
a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a19?n (n ? 19, n ? N * ) 成立,类比上述性质,在等比数列 {bn } 中,

若 b9 ? 1 ,则存在怎样的等式?

3


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