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1.2.1任意角的三角函数第二课时三角函数线_图文

1.2.1 任意角的三角函数 三角函数线 复习引入 1.设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),角α 的三角函数是怎样定义的? sin? ? y c o s ? ? x y 三角函数 全为正 o 余弦为正 其余为负 2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何? 正弦为正 其余为负 正切为正 其余为负 y tan? ? (x ? 0) x x 3.公式 s , , c o s ( ? ? 2 k ? ) ? c o s ? i n ( ? ? 2 k ? ) ? s i n ? t a n (? 2 k) ? t a n( k ? Z ).其数学意义如何? ? ? ? 终边相同的角的同名三角函数值相等. 探究:角是一个几何概念,同时角的大小也具有数量 特征.我们从数的观点定义了三角函数,如果能从图形 上找出三角函数的几何意义,就能实现数与形的完美统 一. MP ? y ? sin ? OM ? x ? cos ? M y p(x , y) o M x P(x,y) p(x , y) p M o y M M x o y M x 正弦线 余弦线 x o o x p p 思考:设α 为锐角,你能根据正弦线和 余弦线说明sinα +cosα >1吗? y P O M x MP+OM>OP=1 问题1:如图,设角α 为第一象限角,其终边与单 y 位圆的交点为P(x,y),则 ta n ? ? 是正数,用 x 哪条有向线段表示角α 的正切值最合适? y MP AT tan ? ? ? ? ? AT x OM OA 正切线:AT y P O T M A x 正切线 问题2:若角α 为第四象限角,其终边与单位 y ta n ? ? 圆的交点为P(x,y),则 是负数, x 此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合 适? y y tan? ? ? AT x M O A x P T 思考:若角α 为第二象限角,其终边与单位圆的交 y 点为P(x,y),则 t a n ? ? x 是负数,此时用哪条 有向线段表示角α 的正切值最合适? y tan? ? ? AT x T y P A T x A M O 思考:若角α 为第三象限角,其终边与单位圆的交点 y 为P(x,y),则 ta n ? ? 是正数,此时用哪条有向 x 线段表示角α 的正切值最合适? y T y tan? ? ? AT x A M O T A x P 思考:根据上述分析,你能描述正切线的几何特征吗? y P O T P A x O y A T x 过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的终边或其反 向延长线相交于点T,则AT=tanα . 思考:当角α 的终边在坐标轴上时,角α 的正切线 的含义如何? y P P O x 当角α 的终边在x轴上时,角α 的正切线是一个点;当 角α 的终边在y轴上时,角α 的正切线不存在. 例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: (1 ) ? 4 5? (2 ) 6 2? (3 ) ? 3 23 ? (4 ) 6 例2 在0~ 2 ? 内,求使 sin a > 范围. 3 成立的α 的取值 2 y P P1 y = 3 2 P2 O M x ? ? 2? ? ? ?? , ? ?3 3 ? 例3 求函数 f( 的定义域. a )= 2 c o s a- 1 y P2 P O M x P1 ? ?? ? ? ? ? ? 2 k ? , ? 2 k ? , k ? Z ?3 ? 3 ? ? 1 x = 2 思考:观察下列不等式: sin ? ?tan 6 6 6 sin ? ?tan 4 4 4 sin ? ?tan 3 3 3 你有什么一般猜想? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i n a < a < t a n a 思考:对于不等式 s (其中α 为锐角),你能用数形结合思想证明吗? y P O M A x T

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