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2014汕头二模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


广东省汕头市 2014 届高三 4 月第二次模拟 数学(理数)
一、选择题: 1.已知函数 y ? lg x 的定义域为 A , A. ? 0, ?? ? B. ?0,1?

B ? ? x 0 ? x ? 1? ,则 A B ? (
C. ?0,1? D. ? 0,1?

)

2.如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图, 若 80 分以上为优秀,根据图形信息可知:这次考试的优秀率为( ) 3.已知向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?2) , c ? (0, 2) ,若 a ? ? b ? c ? , 则实数 x 的值为 ( A. ) B. A. 25% B. 30% C. 35% D. 40%

4 3

3 4

C. ?

4.将函数 y=2cos2x 的图象向右平移 标不变) ,得到的函数解析式为( A.y=cos2x B.y= ? 2cosx

? 1 个单位长度,再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐 2 2
) C.y= ? 2sin4x D.y= ? 2cos4x

3 4

D. ?

4 3

5.已知圆 C: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的圆心为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与圆 C 相切,则 ) 64 A. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25 该圆的方程为(

B. x 2 ? ( y ? 1) 2 ?

64 25

C. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

D. x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

6.如图,在由 x ? 0 , y ? 0 , x ?

?
2

及 y ? cos x 围成区域内任取一点,则该点 )

落在 x ? 0 , y ? sin x 及 y ? cos x 围成的区域内(阴影部分)的概率为(

A、1-

2 2

B、 2 -1

C、

2 ?1 2

D、3-2 2

7.把边长为 1的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A ? BCD 的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( ) A.

2 2

B.

1 2

C.

2 4

D.

1 4

* 8.已知在平面直角坐标系中有一个点列: P .若点 P n ( xn , yn ) n ? N n ( xn , yn ) 到点 1 ? 0,1? , P 2 ( x2 , y2 ) ,…… P

?

?

? xn?1 ? y n ? xn P , yn?? n ?1 ? xn?1 1 的变化关系为: ? ? y n?1 ? y n ? xn
A. 2
1004

? n ? N ? ,则 | P
*

2013 2014

P

| 等于(



B. 2

1005

C. 2

1006

D. 2

1007

二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 (一)必做题(9~13 题) 9.若 x ? C ,则关于 x 的一元二次方程 x ? x ? 1 ? 0 的根为
2

.

10.命题“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”的否定是

.

?x ? y ? 5 ? 0 ? y?a 11.若关于 x 、 y 的不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形, ? 0? x?2 ?
则 a 的取值范围是 . 12.执行如右图所示的程序框图,若输入 n 的值为常数 m(m ? N ? , m ? 3) , 则输出的 s 的值为 (用 m 表示) . 13.关于 x 的不等式 ax ? b ? 1(a, b ? R ? ) 的解集为 (1,??) , 那么

1 1 ? 的取值范围是 a b

. A E 。

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)

?x ? 1? t 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 L: ? (t ? R) 与圆 M: ? y ? 4 ? 2t

s? 2 ? x ? 2 c o? AB,则以 AB 为直径的圆的面积为 (? ? [ 0 ,?2 相交于 ] ? n ?y ? 2 s i ?
15. (几何证明选讲选做题)如图,在△ ABC 中,AB=AC,以 BC 为直径的半圆 O 与

AE ? _______________. 边 AB 相交于点 D,切线 DE⊥ AC,垂足为点 E.则 CE
16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), (? ? 0, A ? 0, ? ? (0, ) 求函数 f ( x) 的解析式;(Ⅱ ) 已知 ? ? (? , 点 P 是图象的一个最高点。(Ⅰ

B

O

C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

?
2

)) 的部分图象如图所示,其中

? 5? 24 ? 3? ) ,且 f ( ? )? ,求 f ( ) 2 2 2 12 13

17. (本小题满分 12 分)某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下:

(I)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (II)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过 15 分的频率作为概率,假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得 分多少互不影响,预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、乙两名队员得分均超过 15 分次数 X 的分布列和均值.

BC 是底面圆 O 的直径,D、E 分别是 AA1、CB1 18. (本小题满分 14 分) 如图, AA 1 的母线, 1、BB 1 为圆柱 OO
的中点, DE ? 面CBB1 . (I)证明: DE / / 面ABC ; (II)求四棱锥 C ? ABB1 A 1 的体积比; 1 与圆柱 OO (Ⅲ )若 BB1 ? BC ,求 CA1 与面 BB1C 所成角的正弦值.

19. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?
?

? n ? 1? an ,
2

(I)求数列{an}的通项公式; a1 ? 1 .

(II)令 bn ? ln an ,是否存在 k ( k ? 2, k ? N ) ,使得 bk 、 bk ?1 、 bk ? 2 成等比数列.若存在,求出所有符合条 件的 k 值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分)设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,点 P 在椭圆上且在 x 轴 a 2 b2
1 . (1)求椭圆 C 的方程; 5

上方, | PF1 |? 7,| PF2 |? 5, cos ?F1 F2 P ?

(2)抛物线 D : y 2 ? 4mx(m ? 0) 过点 P ,连结 PF2 并延长与抛物线 D 交于点 Q ,M 是抛物线 D 上一动点(且 ,求 ?MPQ 面积的最大值. M 在 P 与 Q 之间运动)

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? x . (I)求函数 y ? f ( x) 的零点的个数; (Ⅱ )令 g ( x) ?

1 ax2 ? ax ? ln x ,若函数 y ? g ( x) 在(0, )内有极值,求实数 a 的取值范围; e f ( x) ? x

(Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,对任意 t ? (1, ??), s ? (0,1) ,求证: g (t ) ? g ( s ) ? e ? 2 ? .

1 e

广东省汕头市 2014 届高三 4 月第二次模拟 数学(理数)参考答案
一、选择题:DBAC 二、填空题: 9. x ? 13. CBDC

1 3 ? i 2 2
14.

2 10. ?x ? R ,使得 x ? 1 ? 1

11.

?a 5 ? a ? 7?

12. 211

?4, ???

16? 5

15.

1 3

三、解答题: 16. 解: (1) A ? 2 , T ? ?

1 4

2? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ,? ? 2 ……3 分,将点 ? , 2 ? 代入, ? ? ? ?? ? ……2 分,?T ? ? ? 12 ? ?12 ? 6 ?? 4

得 2 ? 2sin ? 2 ?

? ?

? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ,即 sin ? ? ? ? ?1 ……4 分,? ? ? ? 2k? ? ,?? ? ? 2k? , ? ? ? 0, ? , 6 2 3 12 ? ?6 ? ? 2?

?

?? ?

?
3

……5 分,? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ……6 分. 3?

(2) f ?

12 ? ? ? 5? ? ? ? ?? 24 ? ? 5? ? ? ……7 分,? cos ? ? ? , ? ? ? 2sin ?2 ? ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? ?2cos ? ? 13 2? 13 ? 2 12 ? ? ? ? 2 12 ? 3 ?

? 3? ? ? ?? , 2 ?

5 ? 12 ? ? 2 ? ,? sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? 13 ? ? ? 13 ……8 分, ? ? ?

2

? 5 1 12 ?? ? ?? 3? 5 ? 12 3 ?? ? ? ? ? f ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ……12 分. ? ? 13 2 13 2 ? 3? 3 3? 13 ?2? ? ? ? ?
17. 解: (1) x甲 ? ……2 分, S甲 ?
2

1 1 ? 7 ? 9 ? 11 ? 13 ? 13 ? 16 ? 23 ? 28 ? ? 15 , x乙 ? ? 7 ? 8 ? 10 ? 15 ? 17 ? 19 ? 21 ? 23? ? 15 8 8

1? 2 2 2 2 2 ? 44.75 , ? ?8? ? ? ?6 ? ? ? ?4 ? ? ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? 12 ? 82 ? 132 ? ? ? 8

1 2 2 2 2 2 2 S乙 ? ?? ?8 ? ? ? ?7 ? ? ? ?5 ? ? 02 ? 22 ? 42 ? 62 ? 82 ? ? 32.25 ……4 分,? x甲 ? x乙 , S甲 ……5 分. ? S乙 ? ? 8 3 1 3 (2)甲和乙得分超过 15 分的概率分别为 p1 ? , p2 ? ,两人均超过 15 分的概率为 p1 p2 ? ……6 分,依题 8 2 16
意, X

? 3? k ? 3 ? ? 13 ? B ? 2, ? ,即 P ? X ? k ? ? C2 ? ? ? ? ? 16 ? ? 16 ? ? 16 ?
0 2 0 2

k

2? k

, k ? 0,1, 2 ……7 分,
1 1
2

78 ? 3 ? ? 13 ? 169 1 ? 3 ? ? 13 ? 2? 3 ? , , P ? X ? 0? ? C ? ? ? ? ? P ? X ? 1? ? C2 P ? X ? 0? ? C2 ? ?? ? ? ? ? ? 16 ? ? 16 ? 256 ? 16 ? ? 16 ? 256 ? 16 ?
……10 分, X 的分布列为:

9 ? 13 ? ? ? ? ? 16 ? 256

0

X
P

0

1

2

169 256

78 256

9 256

……11 分, EX ? 2 ?

3 3 ? ……12 分. 16 8

18. 解: (1)连结 EO, OA, QE , O 分别为 B1C, BC 的中点,? EO / / BB1 ……2 分, 又 DA / / BB1 ,且 DA ? EO ?

1 BB1 ,? 四边形 AOED 是平行四边形, 2

即 DE / /OA, DE ? 面ABC, AO ? 面ABC ……3 分,? DE / / 面ABC ……4 分. (2)

DE ? 面CBB1 ,且由(1)知 DE / /OA ,? AO ? 面CBB1 ,? AO ? BC ,

? AC ? AB ……5 分, BC 是圆 O 的直径,? CA ? AB ,且 AA1 ? CA ,

?CA ? 面AA1B1B ,即 CA 为四棱锥的高……6 分,设圆柱高为 h ,半径为 r ,
则 V柱 ? ? r 2 h ……7 分, V锥 ?

1 h 3

?

2r ?

??

2r ?

?

V 2 2 2 hr ……8 分,? 锥 ? ……9 分. 3 V柱 3?

(3)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系……10 分, 设 BB1 ? BC ? 2 ,则 A1 ? 0, 0, 2 ? , C 0, 2, 0 , O ?

?

?

? 2 2 ? ? 2 , 2 ,0? ?, ? ?

? 2 2 ? ? AO ? ? ? 2 , 2 ,0? ? , CA1 ? 0, ? 2, 2 ……11 分, ? ?

?

?

由(2)知 AO 是面 CB1 的法向量……12 分, 设所求角为 ? ,则 sin ? ? cos ? AO, CA1 ? ?

AO CA1 AO CA1

?

6 ……14 分. 6
? an ?1 ?a ? ……4 分,? ? n ? 是首项 n ?1 ?n?

19. 解: (1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 为

? n ? 1? an ? nan?1 ……2 分,即 an
2 2
n

a a1 ? 1 的常数数列……5 分,? n ? 1 ,? an ? n ? n ? N ? ? ……7 分. 1 n

? 2 (2) 设存在 k k ? 2, k ? N , 使得 bk , bk ?1 , bk ?2 成等比数列, 则 bk ?1 ? bk bk ? 2 ……8 分, bn ? ln an ? ln n ? n ? 2 ? ,

?

?

? bk bk ? 2

2 2 2 ? ln k ? ln ? k ? 2 ? ? ? ln ? k ? 2k ? ? ? ln ? k ? 1? ? 2 ? ?? ? ln k ? ln ? k ? 2 ? ? ? ln ? k ? 1? ? ? bk2?1 ……13 分, ? ?? ? ?? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2

2 k k ? 2, k ? N ? ,使得 bk , bk ?1 , bk ?2 成等比数列……14 分. 这与 bk ?1 ? bk bk ? 2 矛盾,故不存在

?

?

20.

解 :( 1 ) 2a ? PF1 ? PF2 ? 12 , a ? 6 ……1
2

分 , 在 ?PF 1F 2 中 , 由 余 弦 定 理 得
2

P F ?

P 2 F?

2

1

F 2 ? 2 F

2

2

P F1c o Fs ? F 2

F F ?P F1 F2 ? 2 F1 F2 ? 24 ? 0 , ……2 分, (舍 ? F1F2 ? 6 或 ?4 1 2

去) ,? c ? 3 ……3 分,?b ? a ? c ? 27 ,? 椭圆 C 的方程为:
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 ……4 分. 36 27

(2)设 P ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? OF2 ? PF 2 cos ?F 1F 2 P ? 2 ,?

2 4 y0 ? ? 1 ,又 P 在 x 轴上方,? y0 ? 2 6 , 36 27

? P 2, 2 6 ……5 分,代入 y2 ? 4mx ? m ? 0? ,得 m ? 3 ,? 抛物线 D 的方程为: y 2 ? 12 x ……6 分,? 直
线 PQ 的 斜 率 为 : kPQ ? kPF ? ?2 6 , ? 直 线 PQ 的 方 程 为 : 2 6x ? y ? 6 6 ? 0 ……7 分 , 联 立 2
2 ? 9 9 ? y ? 12 x 2 ,得 2 x ? 3x ? 18 ? 0 ,解得 x1 ? 2, x2 ? ……8 分,?Q 的横坐标为 xQ ? ,代入抛 ? 2 2 ? ?2 6 x ? y ? 6 6 ? 0

?

?

9? ? ?9 ? 物线方程 yQ ? ?3 6 ,? Q ? , ?3 6 ? ……9 分,? PQ ? ? 2 ? ? ? 2 6 ? 3 6 2? ? ?2 ?
2

2

?

?

2

?

25 ……10 分,设点 2

? t2 ? 6? 6? 75 M ? , t ? 到 直 线 PQ 的 距 离 为 d , 则 d ? ……11 分 , 又 M 在 P 与 Q 之 间 运 动 , t ? ? ? ? ? 30 ? 2 2 ? 12 ? ? ?

?t ? ? 3 6 , 2 6 ……12 分 , ? t ? ?

?

?

6 5 6 时, d 取得最大值 ……13 分 , ? S?M P Q的 最 大 值 为 2 4

1 25 5 6 125 6 ……14 分. ? ? ? 2 2 4 16
? x ? 0 为函数 y ? f ? x ? 的一个零点, 21. 解: (1) f ? 0? ? 0 , 定义域 ?0, ??? , 且 f ?x
分,设 h ? x ? ? x ? 1 ?
2

x ??

? x? ?

2

?1 ?

1 ? ? ……1 x?

1 1 ? 0 对任意 x ? 0 恒成立,则 h ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数, ,则 h? ? x ? ? 2 x ? x 2x x 1 ? 0 ……2 分,?h ?1? h ? 2? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? 0, ??? 上有唯一零点……3 分, 2

又 h ?1? ? ?1, h ? 2 ? ? 3 ?

综述,函数 h ? x ? 在 ?0, ??? 上有两个零点……4 分. (2) g ? x ? ?

ax 2 ? ax ax 2 ? ax a ,定义域为 ? 0,1? ? ln x ? 3 ? ln x ? ln x ? x ?x x ?1 f ? x? ? x

?1, ??? ……5 分,

g? ? x? ?

x2 ? ? 2 ? a ? x ? 1 1 a ? 1? 2 ? ? ,设 t ? x ? ? x ? ? 2 ? a ? x ? 1 ……6 分,要使函数 g ? x ? 在 ? 0, ? 内有 2 2 x ? x ? 1? x ? x ? 1? ? e?

极 值 , 则 t ? x ? ? 0 有 两 个 不 同 的 根 x1 , x2 , 且 一 根 在 ? 0, ? 内 , 不 妨 设 0 ? x1 ?

? ?

1? e?

1 , 又 由 x1 x2 ? 1 可 知 e

0 ? x1 ?

1 1 1 ?1? ? e ? x2 ……7 分,由于 t ? 0? ? 1 ? 0 ,只需要 t ? ? ? 0 ,即 2 ? ? 2 ? a ? ? 1 ? 0 ? ?? ……8 分,又 e e e ?e?

1 2 ? ? ? 2 ? a ? ? 4 ? 0 得 a ? 0 或 a ? ?4 ,解 ? ?? 得 a ? e ? ? 2 ……9 分. e
(3)当 x ? ?1, x2 ? 时,t ? ? x ? ? 0 ,则 t ? x ? 单调递减,当 x ? ? x2 , ??? 时,t ? ? x ? ? 0 ,则 t ? x ? 单调递增,?t ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 t ? x2 ? ……10 分,由当 x ? ? 0, x1 ? 时, t ? ? x ? ? 0 ,则 t ? x ? 单调递增,当 x ? ? x1,1? 时,

t ? ? x ? ? 0 , 则 t ? x ? 单 调 递 减 , ?t ? x ? 在 ? 0,1? 上 的 最 大 值 为 t ? x1 ? ……11 分 , 又 由 ( 2 ) 知
? x1 ? x2 ? 2 ? a , x x x 1 ? 2 1,? 1 ? ? 1? 0?, e? ? ,x e ? ?,,? 对任意 t ??1, ??? , s ??0,1? , 2 ??

g ? t ? ? g ? s ? ? g ? x2 ? ? g ? x1 ? ? ln x2 ?

a ? x1 ? 1? ? a ? x2 ? 1? x a a a a 2 ? ln x1 ? ? ln 1 ? ? ? ln x2 ? x2 ? 1 x1 ? 1 x2 x2 ? 1 x1 ? 1 ? x1 ?1?? x2 ?1?

2 ? ln x2 ?

a ? x1 ? x2 ? a ? x1 ? x2 ? 1 2 2 2 ? ln x2 ? x2 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? ? x2 ? e ? ( 说 明 : 将 ? ln x2 ? x2 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 1? ? 2 ? a ? ?1

x1 ?

1 1 2 1 1 2 代入消元) ……13 分, 设 k ? x ? ? ln x ? x ? ? 2 ln x ? x ? ? x ? e ? ,k ? ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 , ?k ? x? x x x x x2 1 e

在 ? e, ??? 上单调递增,? k ? x ? ? k ? e ? ? 2 ? e ? ……14 分.


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