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2012年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学

绝密★启用前

试卷类型:A

2012 年深圳市高三年级第一次调研考试 数
2012.2.23
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是 否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、 姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码 区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的, 答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案 无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:











1 1.锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 3 2.独立性检验

n(ad ? bc)2 统计量 K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

概率表

P( K 2 ? k0 )
k0

0.15

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

2.072

一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,有且只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 U ? ?1,3,5,6,8? , A ? ?1,6? , B ? ?5,6,8? ,则 ? C U A ? ? B ? A. ?6? B. ?5, 8? C. ?6, 8? D. ?5,8? 6,

?x ? 2 ? 0 ? 2.已知点 P( x, y) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的最小 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
D. 1 x2 2 3.已知抛物线 y ? 8x 的准线 l 与双曲线 C : 2 ? y ? 1 相切, a 则双曲线 C 的离心率 e ?
2

值是 A. ?2

B. 2

C. ?1

A.

3 2

B.

5 2

C.

2 3 3

D.

2 5 5

4.执行如图的程序框图,则输出的 ? 是 A. ?4 B. ?2 C. 0

D. ?2 或 0

5.已知过点 (0,1) 的直线 l : x tan ? ? y ? 3tan ? ? 0 的斜率为 2 ,则 tan(? ? ? ) ? 7 7 5 A. ? B. C. D. 1 3 3 7 6.如图,三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , 1

A1 A ? AB ? 2, BC ? 1, AC ? 5 ,若规定主(正)视方向 垂直平面 ACC1 A ,则此三棱柱的侧(左)视图的面积为 1
A.

4 5 5

B. 2 5 D. 2

C. 4

7.给出四个函数: f ( x) ? x ?

1 , g ( x) ? 3 x ? 3? x , u( x) ? x 3 , v( x) ? sin x ,其中满足 x 条件:对任意实数 x 及任意正数 m ,有 f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的函数为
A. f ( x ) B. g ( x) C. u ( x) D. v( x)

8.已知 x, y, z ? R ,则“ lg y 为 lg x, lg z 的等差中项”是“ y 是 x , z 的等比中项”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?1, x ? 0 ? 9.已知符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0 ,则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln x 的零点个数为 ? ?1, x ? 0 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序” ,类似地,我们 在复数集 C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“ ? ” 。定义如下:对于任意两 个复数 z1 ? a1 ? b1i , z2 ? a2 ? b2i ( a1 , b1 , a2 , b2 ? R , i 为虚数单位)“ z1 ? z2 ”当且 , 仅当“ a1 ? a2 ”或“ a1 ? a2 且 b1 ? b2 ” .下面命题为假命题的是 ...

A. 1 ? i ? 0 B.若 z1 ? z2 , z2 ? z3 ,则 z1 ? z3 C.若 z1 ? z2 ,则对于任意 z ? C , z1 ? z ? z2 ? z D.对于复数 z ? 0 ,若 z1 ? z2 ,则 z ? z1 ? z ? z2

二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题 5 分,满分40 分.本大题分 为必做题和选做题两部分.
(一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 8 ,12 , 10 ,11 , 9 ,估计此人 每次上班途中平均花费的时间为 分钟. 12 . 奇 函 数 为

f ( x) ? 1 ? x 2 ?


1 ( 其 中 常 数 a?R ) 的 定 义 域 x?a


13.已知 a ? b ? R ,且 ab ? 50 ,则 | a ? 2b | 的最小值为

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的 得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 P (1 , 上的点的最短距离为 .

π π 3 ) 到曲线 l : ? cos(? ? ) ? 2 2 4 2 B
C D
图4

15. (几何证明选讲选做题)如图 4, A , B 是圆 O 上的两点,且 OA ? OB ,

OA ? 2 , C 为 OA 的中点,连接 BC 并延长 BC 交圆 O 于点 D ,
则 CD ? .

O

A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ? 像如图 5 所示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知横坐标分别为 ? 1 、 1 、 5 的三点 M 、 N 、 P 都在函数 f ( x ) 的图像上,求

π π ?? ? ) ,其部分图 2 2

sin ?MNP 的值.

y

1
?2 ?1 0 ?1

1
图5

2

3

4

5

6 x

17. (本小题满分 13 分) 通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表: (1)从这 50 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样,抽取一个容量为 5 的样本,问 样本中看与不看营养说明的女生各有多少名? (2) 从(1)中的 5 名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明 的女生各一名的概率; (3)根据以上列联表,问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关?
性别与看营养说明列联表 单位: 名

男 看营养说明 不看营养说明 总计 50 10 60

女 30 20 50

总计 80 30 110

18. (本小题满分 13 分) 如图,直角梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ? AB , CD ? 2 AB ? 4 , AD ? 2 ,

E 为 CD 的中点,将 ?BCE 沿 BE 折起,使得 CO ? DE ,其中点 O 在线段 DE 内. (1)求证: CO ? 平面 ABED ; (2)问 ?CEO (记为 ? )多大时, 三棱锥 C ? AOE 的体积最大? 最大值为多少?
D E C
C

A

B

D O A B

θ

E

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c (实数 a, b, c 为常数)的图像过原点, 且在 x ? 1 处的 切线为直线 y ? ?

1 . 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若常数 m ? 0 ,求函数 f ( x ) 在区间 ??m, m? 上的最大值.

20. (本小题满分 14 分) 已知各项为实数的数列 ?an ? 是等比数列, 且 a1 ? 2, a5 ? a7 ? 8(a2 ? a4 ). 数列 ?bn ? 满 足:对任意正整数 n ,有 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 . (1) 求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (2) 在数列 ?an ? 的任意相邻两项 ak 与 ak ?1 之间插入 k 个 (?1)k bk (k ? N? ) 后,得到一 个新的数列 {cn } . 求数列 {cn } 的前 2012 项之和.

21. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 3 如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为 a b 2
圆心作圆 T : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点

???? ??? ?

R, S , O 为坐标原点,求证: OR ? OS 为定值.
M R T N S

y P

O

x

2012 年深圳市高三年级第一次调研考试

数学(文科)参考答案及评分标准
说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算。共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

题号 答案

1 B

2 C

3 B

4 B

5 D

6 A

7 C

8 A

9 C

10 D

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性。共 5 小题,每小题 5 分,满 分 20 分.其中第 14、15 两小题是选作题,考生只能选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分. 11. 10 12.

?x ?1 ? x ? 1, 且x ? 0?

13. 20

14. 2 2

15.

3 5 5

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ,x ? R , 其中 ? ? 0, ? 像如下图所示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 已知横坐标分别为 ?1, 1, 5 的三点 M , N , P 在函数 f ( x ) 的图像上, sin ?MNP 求 的值.
y
1 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5 6

π π ? ? ? . 函数 f ( x) 的部分图 2 2

x

第 16 题图 解: (1)由图可知, 最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8, 所以 T ? 又 f (1) ? sin(



?

? 8,? ?

π . ???3 分 4

π π π ? ? ) ? 1 ,且 ? ? ? ? 4 2 2 π π 3π π π π 所以 ? ? ? ? ? , ? ? ? , ? ? . ????????????5 分 4 4 4 4 2 4 π 所以 f ( x) ? sin ( x ?1) . ???????????????????6 分 4 π (2) 解法一: 因为 f (?1) ? 0, f (1) ? 1, f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1, 4
所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) , ?????????????????7 分

MN ? 5, PN ? 20, MP ? 37 ,
从而 cos ?MNP ?

??????????????8 分

5 ? 20 ? 37 3 ? ? ??????????????10 分 5 2 5 ? 20
2

由 ?MNP ??0, π? 得 sin ?MNP ? 1 ? cos ?MNP ?

4 . ?????12 分 5

解法二: 因为 f (?1) ? sin

π π ( ?1 ?1) ? 0, f (1) ?1, f (5) ? sin (5 ?1) ? ?1 , 4 4
???????????????7 分

所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) ,

???? ??? ? ? ???? ? ??? ? NM ? (?2, ?1), NP ? (4, ?2), NM ? NP ? ?6 ??????????8 分
???? ? ??? ? NM ? 5, NP ? 20 ? 2 5 ,
??????????????9 分

???? ??? ? ? NM ? NP 则 cos ?MNP ? ???? ??? ? ? NM ? NP

?6 3 ? ? . ?????????10 分 5 5?2 5
2

由 ?MNP ??0, π? 得 sin ?MNP ? 1 ? cos ?MNP ?

4 . ?????12 分 5

【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质,以及余弦定 理,同角三角函数关系式,平面向量的数量积等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17. (本小题满分 13 分) 通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表: (1)从这 50 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样,抽取一个容量为 5 的样本,问 样本中看与不看营养说明的女生各有多少名? (2) 从(1)中的 5 名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明 的女生各一名的概率; (3)根据以上列联表,问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关?
性别与看营养说明列联表 单位: 名

男 看营养说明 不看营养说明 总计 50 10 60

女 30 20 50

总计 80 30 110

解: (1)根据分层抽样可得:样本中看营养说明的女生有

5 ? 30 ? 3 名,样本中不看营养 50

说明的女生有

5 ? 20 ? 2 名;??????????2 分 50

(2)记样本中看营养说明的 3 名女生为 a1 , a2 , a3 ,不看营养说明的 2 名女生为 b1 , b2 ,从 这 5 名女生中随机选取两名, 共有 10 个等可能的基本事件为:a1 , a2 ;a1 , a3 ;a1 , b1 ;

a1 , b2 ; a2 , a3 ; a2 , b1 ; a2 , b2 ; a3 , b1 ; a3 , b2 ; b1 , b2 .??????5 分
其中事件 A “选到看与不看营养说明的女生各一名” 包含了 6 个的基本事件: a1 , b1 ;

a1 , b2 ; a2 , b1 ; a2 , b2 ; a3 , b1 ; a3 , b2 .?????????7 分

所以所求的概率为 P ( A) ?

6 3 ? . ???????????????9 分 10 5
2

(3) 假设 H 0 :该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关,则 K 应该很小. 根据题中的列联表得 k ?

110 ? (50 ? 20 ? 30 ?10)2 539 ? ? 7.486 80 ? 30 ? 60 ? 50 72

???11 分

由 P( K 2 ? 6.635) ? 0.010 , P( K 2 ? 7.879) ? 0.005 可知 有 99 %的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关? ?????????????????????????????????13 分 【说明】本题主要考察读图表、抽样方法、随机事件的概率、独立性检验等基础知识, 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和应用意识.

18. (本小题满分 13 分) 如图,直角梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ? AB , CD ? 2 AB ? 4 , AD ? 2 ,

E 为 CD 的中点,将 ?BCE 沿 BE 折起,使得 CO ? DE ,其中点 O 在线段 DE 内. (1)求证: CO ? 平面 ABED ; (2)问 ?CEO (记为 ? )多大时, 三棱锥 C ? AOE 的体积最大? 最大值为多少? C E D C (1)证明: 在直角梯形 ABCD 中, CD ? 2 AB , E 为 CD 的中点, D 则 AB ? DE ,又 AB ∥ DE , A B O AD ? AB ,知 BE ? CD .?????1 分
A

θ

E

在四棱锥 C ? ABEO 中, BE ? DE , BE ? CE , CE ? DE ? E ,

B

CE, DE ? 平面 CDE ,则 BE ? 平面 CDE .????????????3 分
因为 CO ? 平面 CDE ,所以 BE ? CO. ?????????????4 分 又 CO ? DE , 且 BE, DE 是平面 ABED 内两条相交直线, ????6 分 故 CO ? 平面 ABED .?????????????????????7 分 (2)解:由(1)知 CO ? 平面 ABED , 知三棱锥 C ? AOE 的体积 V ?

1 1 1 S ?AOE ? OC ? ? ? OE ? AD ? OC ??9 分 3 3 2

由直角梯形 ABCD 中, CD ? 2 AB ? 4 , AD ? 2 , CE ? 2 , 得三棱锥 C ? AOE 中,

OE ? CE cos? ? 2cos? , OC ? CE sin ? ? 2sin ? , ????????10 分

V?

2 2 , ??????????????????????11 分 sin 2? ? 3 3 ? ?
π π? ? ,即 ? ? 4 时取等号,?????????12 分 2?

当且仅当 sin 2? ? 1,? ? ? 0,

(此时 OE ? 2 ? DE , O 落在线段 DE 内). 故当 ? ?

π 2 时, 三棱锥 C ? AOE 的体积最大,最大值为 . ??????13 分 4 3

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,棱锥的体积及三角函数等基础知识,考 查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c (实数 a, b, c 为常数)的图像过原点, 且在 x ? 1 处的 切线为直线 y ? ?

1 . 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若常数 m ? 0 ,求函数 f ( x ) 在区间 ??m, m? 上的最大值. 解: (1)由 f (0) ? 0 得 c ? 0 . ??????????????????????1 分 由 f ( x) ? x ? ax ? bx , 得 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b , ?????????3 分
3 2 2

从而 f ?(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 , f (1) ? 1 ? a ? b ? ?

1 , 2

解得 a ? ? , b ? 0 . ???????????????????????5 分 故 f ( x) ? x ?
3

3 2

3 2 x . 2
3

??????????????????????6 分

(2)由(1)知 f ( x) ? x ?

3 2 3 x ? x 2 ( x ? ), f ?( x) ? 3x 2 ? 3x ? 3x( x ? 1) . 2 2

x, f ?( x), f ( x) 的取值变化情况如下:

x
f ?( x )

(??, 0)

0
0

(0,1)

1

(1, ??)

?

?

0

?

f ( x)

单调 递增

极大值 f (0) ? 0

单调 递减

极小值 f (1) ? ?

1 2

单调 递增

?????????????????????????????????9 分 又 f ( ) ? 0 ,函数 f ( x ) 的大致图像如右图:

3 2

y

3 ①当 0 ? m ? 时, f ( x)max ? f (0) ? 0 ;?????11 分 2 3 m? ② 当 时 , 2 3 f ( x) max ? f (m) ? m3 ? m 2 . ?????????????13 分 2

O 1 2

1
3 2 x

综上可知 f ( x) max

3 ? 0?m? ? 0, ? 2 ?? . ?????????????14 分 ? m3 ? 3 m 2 , m ? 3 ? ? 2 2

【说明】本题主要考查函数导数的几何意义、导数在研究函数性质方面的运用、不等式 的求解等基础知识, 考查分类讨论思想和数形结合思想, 考查考生的计算推理能力及分析问 题、解决问题的能力. 20. (本小题满分 14 分) 已知各项为实数的数列 ?an ? 是等比数列, 且 a1 ? 2, a5 ? a7 ? 8(a2 ? a4 ). 数列 ?bn ? 满 足:对任意正整数 n ,有 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 . (1) 求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (2) 在数列 ?an ? 的任意相邻两项 ak 与 ak ?1 之间插入 k 个 (?1)k bk (k ? N? ) 后,得到一 个新的数列 {cn } . 求数列 {cn } 的前 2012 项之和. 解: (1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ? R, 由 a5 ? a7 ? 8(a2 ? a4 ), 得 a1q4 (1 ? q2 ) ? 8a1q(1 ? q 2 ), 又 a1 ? 2, q ? 0,1 ? q 2 ? 0, 则 q3 ? 8, q ? 2 , 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n (n ? N? ). ????????????3 分

由题意有 a1b1 ? (1 ? 1) ? 22 ? 2 ? 2 ,得 b1 ? 1. ?????????????4 分 当 n ? 2 时, anbn ? (a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ? ? an?1bn?1 )

? ?(n ? 1) ? 2n?1 ? 2? ? ?(n ? 2) ? 2n ? 2? ? n ? 2n ,????????????5 分 ? ? ? ?
得 bn ? n . 故数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n (n ? N? ). ??????????????6 分 (2)设数列 ?an ? 的第 k 项是数列 {cn } 的第 mk 项,即 ak ? cmk (k ? N? ) . 当 k ? 2 时, mk ? k ? ?1 ? 2 ? ?? (k ?1)? ?

m62 ?

62 ? 63 63 ? 64 ? 1953, m63 ? ? 2016. ????????????8 分 2 2

k ( k ? 1) . ????????7 分 2

设 Sn 表示数列 {cn } 的前 n 项之和 (n ? N? ) ,则

S 2016 ? (a1 ? a2 ? ? ? a63 ) ? ?(?1)1 ? b1 ? (?1) 2 ? 2b2 ? ? ? (?1) 62 ? 62b62 ? ?9 分 ? ?
其中 a1 ? a2 ? ? ? a63 ?

2(1 ? 263 ) ? 264 ? 2, ?????????????10 分 1? 2

(?1)n ? nbn ? (?1)n ? n2 , (2n)2 ? (2n ? 1)2 ? 4n ? 1(n ?N? ),
则 (?1)1 ? b1 ? (?1)2 ? 2b2 ? ?? (?1)62 ? 62b62

? (?1)1 ?12 ? (?1)2 ? 22 ? ? ? (?1)62 ? 622
? ? 22 ? 12 ? ? ? 42 ? 32 ? ? ? ? ?(2n) 2 ? (2n ? 1) 2 ? ? ? ? ? 62 2 ? 612 ? ? ?

? ? 4 ?1 ? 1? ? ? 4 ? 2 ? 1? ? ? ? ? 4n ? 1? ? ? ? (4 ? 31 ? 1)

?

31(4 ?1 ? 1 ? 4 ? 31 ? 1) ? 1953 . 2

?????????????12 分

S2016 ? (264 ? 2) ? 1953 ? 264 ? 1951,
从而 S2012 ? S2016 ? (c2013 ? a2014 ? c2015 ? c2016 )

? 264 ?1951 ? 3(?1)62 ? b62 ? a63
? 264 ? 1951 ? 3 ? 62 ? 263 ??????????????????13 分 ? 263 ? 1765.
所以数列 {cn } 的前 2012 项之和为 2 ? 1765.
63

??????????????14 分

【说明】考查了等比数列的通项公式,数列的通项与前 n 项和之间的关系,数列分组求 和等知识,考查化归与转化的思想以及创新意识.

21. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 3 如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为 a b 2
圆心作圆 T : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点

???? ??? ?

R, S , O 为坐标原点,求证: OR ? OS 为定值.
M

y P

解: (1)依题意,得 a ? 2 , e ?

c 3 , ? R a 2

T N

S

O

x

? c ? 3, b ?

a ? c ? 1;
2 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .??????????????????????3 分 4

(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 ,? y1 ) , 不妨设 y1 ? 0 . 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 ? 1 ?
2

x1 . 4

2

(*)???????????4 分

由已知 T (?2, 0) ,则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ,

?TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) 2 ? y1
x 5 2 ? ( x1 ? 2) ? (1 ? 1 ) ? x1 ? 4 x1 ? 3 4 4
2 2

2

5 8 1 1 ( x1 ? ) 2 ? ? ? .?????????????????????6 分 4 5 5 5 ???? ??? ? 8 1 由于 ? 2 ? x1 ? 2 ,故当 x1 ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5 3 13 8 3 2 由(*)式, y1 ? ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 5 25 5 5 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? . ????????????????8 分 25 ?
方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) ,

由已知 T (?2, 0) ,则 ?1 ? cos ? ? 1 ,

TM ?TN ? (2 cos? ? 2, sin ? ) ? (2 cos? ? 2, ? sin ? )
? (2 cos? ? 2) 2 ? sin 2 ? ? 5 cos2 ? ? 8 cos? ? 3
4 1 1 ? 5(cos ? ? ) 2 ? ? ? . ????????????????????6 分 5 5 5 ???? ??? ? 1 4 8 3 故当 cos ? ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? ,此时 M ( ? , ) , 5 5 5 5 13 2 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 25 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? . ????????????????8 分 25
(3) 方法一:设 P( x0 , y0 ) ,由题意知: x0 ? x1 , y0 ? ? y1 . 则直线 MP 的方程为: y ? y 0 ?

y 0 ? y1 ( x ? x0 ) , x0 ? x1

令 y ? 0 ,得 x R ?
2 2

x1 y 0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 , 同理: x S ? 1 0 , ????????10 分 y 0 ? y1 y 0 ? y1
2 2

故 xR ? xS ?

x1 y0 ? x0 y1 y0 ? y1
2 2

(**)

???????????????11 分

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0 ? 4(1 ? y0 ) , x1 ? 4(1 ? y1 ) ,???????12 分
2 2
2 2

代入(**)式,得:

xR ? xS ?

4(1 ? y1 ) y 0 ? 4(1 ? y 0 ) y1
2 2 2

2

y 0 ? y1
2

2

?

4( y 0 ? y1 )
2 2

y 0 ? y1
2

2

?4.
????????14 分

所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值.

方法二:设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) , P(2 cos? , sin ? ) , 其中 cos ? ? cos ? , sin ? ? ? sin ? .

sin ? ? sin ? ( x ? 2 cos ? ) , 2 cos ? ? 2 cos ? 2(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) 令 y ? 0 ,得 x R ? , sin ? ? sin ? 2(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) 同理: x S ? , ???????????????12 分 sin ? ? sin ?
则直线 MP 的方程为: y ? sin ? ?

故 xR ? xS ?

4(sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ) 4(sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? ? 4. sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ?
?????????????14 分

所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值.

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直 线方程等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数 形结合思想、化归与转化思想.


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