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天津市红桥区重点中学2016届高三数学下学期八校联考试题 文


天津市红桥区重点中学 2016 届高三数学下学期八校联考试题 文

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第Ⅰ 卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 8 页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 . 答卷时, 考生务必将答案凃写在 答题纸上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷

注意事项 1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干 净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共 8 小题, 每小 题 5 分, 共 40 分. 参考公式: ·如果事件 A, B 互斥, 那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ·棱柱的体积公式 V = Sh,其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件 A, B 相互独立, 那么 P( AB) ? P( A) P( B)

4 ·球的体积公式 V ? ? R3 . 其 中 R 表示球的半径. 3
一、选择题(共 8 小题,每题 5 分) 1. i 是虚数单位,复数 z ? A.第一象限

1 ? 3i 在复平面上对应的点位于( 1? i
C.第三象限



B.第二象限

D.第四象限

2. 在 6 盒酸奶中,有 2 盒已经过了保质期,从中任取 2 盒,取到的酸奶中有已过保质期 的概率为( A. ) B.

1 15

1 3

C.

2 3

D.

3 5

3. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是(



1

A.4

B.5

C.6
2 2

D.7 )

4. “ k ? 1 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x ? y ? 1 相交”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.如图, PC 与圆 O 相切于点 C ,直线 PO 交圆 O 于 A, B 两点,弦 CD 垂直 AB 于 E . 则下面结论中正确的有( )个 ① ?BEC ∽ ?DEA ② ?ACE ? ?ACP ③ DE 2 ? OE ? EP ④ PC 2 ? PA ? AB A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知函数 f ( x ) ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ,把函数 f ( x) 的图象沿 x 轴向左平移
)

? 个单位, 6

得到函数 g ( x) 的图象,关于函数 g ( x) ,下列说法正确的是( A.在 [

? ?

, ] 上是增函数 4 2

B.其图象关于直线 x ? ? D.当 x ? [0,

?
4

对称

] 时,函数 g ( x) 的值域是 [?1, 2] 3 7.定义在 R 上的函数 f ( x) 其导函数是 f ' ( x) ,且 f ( x) ? f (2 ? x) ,当 x ? ( ?? ,1) 时, ( x ? 1) f ' ( x) ? 0 ,
C.函数 g ( x) 是奇函数 设 a ? f (0) , b ? f ( 2 ) , c ? f (log2 8) ,则( A. a ? b ? c B. a ? b ? c ) D. a ? c ? b

?

C. c ? a ? b

8. 对任意实数 a , b 定义运算“ ? ” :a ? b ? ? 恰有三个零点,则实数 k 的取值范围是( A. ?? 2, 1? B. ?? 1, 2?

, b ? ? , 1 ? ba 2 设 f ( x) ? ( x ?1) ? (4 ? x) ,若函数 y ? f ( x) ? k 1 . ? a, a ? b ?
) C. ?? 2,0? D. (?2, 1)

第Ⅱ卷

二、填空题(共 6 小题,每题 5 分) 9.设全集 U ? R ,集合 A ? ? x || x |? 2? , B ? ? x |

? ?

1 ? ? 0? ,则 ?CU A? ? B ? x ?1 ?

10. 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图, 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3, 第 2 小组的频数为 10,则抽取的学生人数为

2

第 10 题图
2 2

第 11 题图 .

11. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 12. 已知双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交于 A, B 两 2 a b 点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2 , ?AOB 的面积为 3 , 则
1 1 EB , 若 BD ? AC ? ? 则 2 2

抛物线的焦点坐标为 13. 如 图 , 在 ?A B C 中 , AB ? AC , BC ? 2 , AD ? DC , AE ?

CE ? AB =



14.已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , S n 为数列 {an } 的前 n 项和,则

2 S n ? 16 的最小值为 an ? 3

三、解答题 15.研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载若干件新产品 A、B,该所要根据该产品 的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排,有关数据如下表:

研制成本、搭载

费用之和(万元)

产品重量(千克)

预计收益(万元) 如何安排这两种产品的搭载件数,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?

3

16. 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 1 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,若 f ( ) = 2 ,边 AC ? 1, AB ? 2 ,求边 BC 的长及 sin( B ?

A 2

?
4

) 的值.

? 17.如图:在三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 面ABC, ?ABC 是直角三角形, ?B ? 90 ,AB ? BC ? 2 ,

?PAB ? 45? ,点 D 、 E、F 分别为 AC 、 AB、BC 的中点.
(1)求证: EF ? PD ; (2)求直线 PF 与平面 PBD 所成的角的正弦值; (3)求二面角 E ? PF ? B 的正切值.

4

18. 定义:称

n 为 n 个正数 p1 , p2 ,?, pn 的“均倒数” .已知数列 ?an ? 的 p1 ? p2 ? ? ? pn

前 n 项的“均倒数”为

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 cn ?

1 , n?2

an ,试判断并说明数列 ?c n ?的单调性; 3n

(3)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

5

19.已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 (0 , 2 ) ,离心率为 a 2 b2

,点 O 为坐标原点.

(1 )求椭圆 E 的标准方程; (2)过左焦点 F 任作一直线 l ,交椭圆 E 于 P, Q 两点.求 OP ? OQ 的取值范围;

6

20.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ,且 f ?(?1) ? 0 3

(1)试用含 a 的代数式表示 b ; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)当 a ? ?1 时,设 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) 证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点.

7

高三年级八校联考 文科数学 二、填空题 9. 12. 三、解答题 第 15 题 10. 13. 11. 14.

答题纸(2016.4)

第 16 题

第 17 题

8

第 18 题

9

第 19 题

第 20 题

10

11

高三年级八校联考 文科数学 二、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 A 5 C 6 D

答案(2016.4)

7 C

8 A

三、填空题 9.

+? ? ? 2,
(1, 0)

10.

40

11.

80

12. 四、解答题

13.



14.

4

15.解析:设搭载 A 产品 x 件,B 产品 y 件, 则总预计收益 z ? 80 x ? 60 y

?20 x ? 30 y ? 300 ? 10 x ? 5 y ? 110 ? 由题意知 ? ,且 x ? N , y ? N , x ? 0 ? ? y?0 ? 由此作出可行 域 如图所示,作出直线 la : 4 x ? 3 y ? 0 并平移,由图象知,
当直线经过 M 点时, z 能取到最大值,

?x ? 9 ?2 x ? 3 y ? 30 解得 ? 且满足 x ? N , y ? N , ?y ? 4 ? 2 x ? y ? 22 即 M (9, 4) 是最优解,
由? 所以 zmax ? 80 ? 9 ? 60 ? 4 ? 960 (万元) , 答:搭载 A 产品 9 件,B 产品 4 件,能使总预计收益达到最大值,最大预计收益为 960 万元. 16.(1) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

2? ? ? 所以最小正周期为 ? 2 A ? (2) f ( ) ? 2 sin( A ? ) ? 2 , A ? (0, ? ) 2 6 ? ? 2? ? A ? ? ,? A ? 6 2 3 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ?ABC 中,由余弦定理得, cos A ? 2 AC ? AB 2 1 4 ? 1 ? BC ? BC ? 7 即? ? 2 2 ? 2 ?1 BC AC 21 ? 由正弦定理 可得 sin B ? sin A sin B 14 ?T ?
12

?A?

? 5 7 ? B ? (0, ) cos B ? 2 14 ? 2 2 5 14 ? 42 ? sin(B ? ) ? sin B ? cos B ? 4 2 2 28 ? 17.(1) 连结 BD.在 ?ABC 中, ?B ? 90 .
∵ AB ? BC ,点 D 为 AC 的中点,∴ BD ? AC . 又∵ PB ? 面ABC, 即 BD 为 PD 在平面 ABC 内的射影, ∴

2? 3

PD ? AC .
∵ E、F 分别为 AB、 BC 的中点 , ∴ EF // AC , ∴

EF ? PD .

( 3 分)

(2)∵ PB ? 平面ABC , ∴ PB ? EF . 连结 BD 交 EF 于点 O ,∵ EF ? PB , EF ? PD , ∴

EF ? 平面PBD ,
∴ ?FPO 为 直 线 PF 与 平 面 PBD 所 成 的 角 ,

EF ? PO .
? .∵ PB ? 面ABC, ∴ PB ? AB , PB ? BC ,又∵ ?PAB ? 45 ,

∴ PB ? AB ? 2 .∵ OF ?

1 2 2 2 ,∴ PF ? PB ? BF ? 5 , AC ? 4 2

OF 10 . ? PF 10 (3)过点 B 作 BM ? PF 于点 F,连结 EM ,∵ AB ? PB, AB ? BC,
∴在 Rt△ FPO 中, sin ?FPO ? ∴ AB ? 平面PBC, 即 BM 为 EM 在平面 PBC 内的射影, ∴ EM ? PF, ∴ ?EMB 为二面角 E ? PF ? B 的平面角. ∵ Rt?PBF 中, BM ?

PB ? BF 2 EB 5 ? ,∴ tan ?EMB ? . ? PF BM 2 5

18. 试 题 解 析 : ( 1 ) 根 据 题 意 可 得 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 : Sn = n n + 2 , 当 n ? 2 时 ,

(

)

an = S n - S n 1 1, 且 a1 = S1 = 3 适 合 上 式 , 因 此 ; )( n + ) =2 n + ( n +2) -( n -1 -1 = n
an ? 2n ? 1, n ? N *
(2)由(1)可得 cn =
*

an 2n +1 cn?1 2n ? 3 3n 2n ? 3 * = n ? N , 由于 ? ? ? ? 1 ,当 n ? N * 时 n n n ?1 3 3 cn 3 2n ? 1 6n ? 3

恒成立,因此 n ? N 时, cn > cn+1 ,即 {cn } 是递减数列; (3) Sn ?

3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ? ? ? n ?1 ? n 31 32 33 3 3 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 3S n ? ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 1 3 3 3 3
13

2 1 (1 ? n?1 ) 2 2 2 2 2n ? 1 3 ? 2n ? 1 = 4 ? 2 n ? 4 . 2Sn ? 3 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n = 3 ? 3 1 3n 3 3 3 3 3 3n 1? 3 n?2 ? Sn ? 2 ? n 3
19.解: (Ⅰ)由题意可得 b= ,e= = ,又 a ﹣b =c ,解得 a=
2 2 2

,c=2,

即有椭圆方程为

+

=1;

(Ⅱ)F(﹣2,0) ,当直线的斜率不存在时,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 直线方程为 x=﹣2,可得 P(﹣2, ) ,Q(﹣2,﹣ ) ,

?

=4﹣ =



当直线的斜率存在,设 l:y=k(x+2) ,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 代入椭圆方程 x +3y =6,可得(1+3k )x +12k x+12k ﹣6=0, x1+x2=﹣ ? ,x1x2=
2 2 2 2 2 2 2



=x1x2+y1y2=x1x2+k (x1+2) (x2+2)
2 2 2 2

=(1+k )x1x2+2k (x1+x2)+4k =(1+k ) ?

+2k ? (﹣

2

)+4k

2

=

=



,由 k ≥0,3k +1≥1,可得﹣6≤

2

2

?





综上可得,

?

的取值范围是 ?? 6,

? ?

10 ? ?; 3?

' 2 ' 20. 解: (1)依题意得 f ( x) ? x ? 2ax ? b ,由 f (?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ? 1

(2)由(1)得 , f ( x) ?
2

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x 3

? ? 故 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a ?1 ? ( x ? 1)( x ? 2a ?1) ,令 f ( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a
①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 , 可得函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1,??) ,单调减区间为 (1 ? 2a,?1) ; ②当 a ? 1

? ' 1 ? 2 a ? ?1 , 时, 此时 f ( x) ? 0 恒成立, 且仅在 x ? ?1 处 f ( x) ? 0 , 故函数 f ( x)

的单调增区间为 R ;

14

③当 a ? 1

时, 1 ? 2a ? ?1 ,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,?1) 和 (1 ? 2a,??) ,单调减区

间为 (?1,1 ? 2a)
2 1 3 x ? ?1, x2 ? 3 。 ? 2 (3)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? x ? 3 x , f ( x) ? x ? 2x ? 3 ? 0 , 1

3

由(2)得 f ( x) 的单调增区间为 (??,?1) 和 (3,??) ,单调减 区间为 (?1,3) , 函数 f ( x) 在 x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值,故 M ( ?1, ) , N (3,?9) 直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 3 ? y ? x ? x 2 ? 3x ? ? 3 ? ? y ? ? 8 x ?1 3 2 ? 3 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0
令 F ( x) ? x ? 3x ? x ? 3 ,易得 F (0) ? 3 ? 0, F (2) ? ?3 ? 0,
3 2

F ( x) 的图像在 (0,2) 内是一条连续不断的曲线,
故 F ( x) 在 (0,2) 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f ( x) 有异于 M , N 的公共点

15


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