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2012高中数学第3章311不等式与大小比较课件新人教A版必修5_图文

3.1 不等关系与不等式

3.1.1 不等式与大小比较

学习目标 1.掌握实数运算的性质与大小顺序之间的关系. 2.会用差值法比较两实数的大小.

3. 1.1 不 等 式 与 大 小 比 较

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基
1.在三角形中任意两边之和_____ 大于 第三边,任意 小于 第三边.锐角三角形的任一个内 两边之差_____ 角都小于______. 90° 2.数轴上(如下图)的点A,B,C所对应的数a,

b>a>c. b ,c的大小关系是_________ 3.若x-3>0,则x与3 的大小关系是x__ > 3.

知新盖能 1.比较实数a,b大小的依据 (1)文字叙述 正数 ,那么a>b; 如果a-b是______

零 ,那么a=b; 如果a-b等于____ 负数 ,那么a<b,反之也成立. 如果a-b是_____ (2)符号表示
a-b>0?a___b > ; a-b=0?a___b = ; < . a-b<0?a___b

思考感悟
数轴上的点与实数有何关系? 提示:在数轴上,不同的点A与B分别表示两个不 同的实数a与b,右边的点表示的数比左边的点表 示的数大.

课堂互动讲练

考点突破
考点一 用不等式(组)表示不等关系

在用不等式(组)表示不等关系时,应注意必须具

有相同性质,可以进行比较时,才可用;没有可
比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表

示.另外,在用不等式(组)表示实际问题时,一
定要注意单位的统一.

例1

2010年10月亚运会在广州举行,在亚运

会期间,某地篮球球迷一行56人从旅馆乘出租车 到现场为中国队加油,现有甲、乙两个出租车队, 甲队比乙队少3辆车,若全部安排乘甲队的车,每 辆车坐5人,车不够,每辆车坐6人,有一辆车未 坐满,若全部安排乘乙队的车,每辆车坐4人,车

不够,每辆车坐5人,有的车未坐满,设甲队有x
辆车,用不等式将题目中的不等关系表达出来.

【思路点拨】

【解】 因甲队有 x 辆车,所以乙队有 x+ 3 辆车,则
?x>0,x∈N*, ? ?5x<56, ? ?56<6x<62, ? ?4?x+3?<56, ? ?5?x+3?>56.

考点二

比较两数(式)的大小

比较两数(式)的大小一般利用作差法,作差法比较
两个数(式)的大小可归纳为作差→变形→判断符号

→下结论.
例2

(1)已知a∈R,试比较(a+3)(a-5)与(a+

2)· (a-4)的大小;
(2)已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小.

【思路点拨】

此题属于两代数式比较大小,实

际上是比较它们的值的大小.可以作差,然后展
开,合并同类项之后,判断差值正负,并根据实

数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
【解】 (1)(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)

=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0, ∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).

(2)x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1 =(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 12 3 2 =(x-1)(x -x+1)=(x-1)[(x- ) + ]. 2 4 12 3 ∵x<1,∴x-1<0,又∵(x- ) + >0, 2 4 12 3 ∴(x-1)[(x- ) + ]<0, 2 4 3 2 ∴x -1<2x -2x.

【名师点评】

在数(式)比较大小过程中,要遵循

这样的规律:异中求同,即先将这些数(式)的部分 因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分, 就会很轻易了.一般在数的比较大小中有如下几 种方法:(1)作差比较法和作商比较法,前者和零 比较,后者和1比较大小;(2)找中间量,往往是1, 在这些数中,有的比1大,有的比1小;(3)计算所 有数的值.

变式训练

1 设 x∈R, 试比较 与 1-x 的大小. 1+x

1-?1-x??1+x? 1 x2 解: -(1-x)= = . 1+ x 1+x 1+ x 当 x >-1 且 x≠0 时, x2 1 x2 >0,∴ > 1- x;当 x=0 时, = 0, 1+x 1+x 1+x 1 x2 ∴ =1-x;当 x<-1 时, <0, 1+x 1+ x 1 ∴ <1-x. 1+x

方法感悟
1.比较两个实数的大小,只要考察它们的差就 可以了. 2.作差法比较的一般步骤 第一步:作差; 第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变 形手段,将“差”化成“积”; 第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是 小于0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论. 概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“ 变形”是关键.


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