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高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第1讲绝对值不等式课件理北师大版选修4-5_图文

选修4-5 不等式选讲 第1讲 绝对值不等式 1.绝对值三角不等式 |a|+|b| ,当且仅当 定理 1:如果 a, b 是实数,则 |a+ b|≤ ________ ab≥0 ________ 时,等号成立. |a-c|≤|a-b|+|b-c| 定理 2: 如果 a, b, c 是实数, 那么 _______________________, (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 当且仅当 ________________ 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 a=0 a<0 {x|-a<x<a} ____________ ? __________ ? ______ R ______ {____________ x|x>a或x<-a} {x __________ |x∈R且x≠0} (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 -c≤ax+b≤c ; ①|ax+b|≤c?________________ ②|ax+b|≥c?____________________________ ax+b≥c或ax+b≤-c . 考点一 含绝对值不等式的解法 (1)(2015· 高考江苏卷 )解不等式 x+ |2x+ 3|≥ 2. (2)(2015· 高考山东卷改编 )解不等式 |x- 1|- |x- 5|<2. 3 3 ? ? ?x<-2, ?x≥-2, [解] (1)原不等式可化为? 或? ? ?-x-3≥2 ? ?3x+3≥2. 1 解得 x≤-5 或 x≥- . 3 1? ? ? ? 综上,原不等式的解集是 x?x≤-5或x≥-3?. ? ? (2)①当 x≤ 1 时,原不等式可化为 1- x-(5- x)<2, 所以- 4<2,不等式恒成立,所以 x≤ 1. ②当 1<x<5 时,原不等式可化为 x- 1- (5- x)<2, 所以 x<4,所以 1<x<4. ③当 x≥5 时,原不等式可化为 x- 1-(x- 5)<2,该不等式 不成立. 综上,原不等式的解集为(-∞, 4). |x- a|+ |x- b|≥ c(或≤ c)型不等式的解法 (1)分段讨论法: 利用绝对值号内式子对应方程的根, 将数轴 分为 (-∞, a],(a, b], (b,+∞ )(此处设 a<b)三个部分, 在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解, 然 后取各个不等式解集的并集. (2)几何法:利用 |x- a|+ |x- b|>c(c>0)的几何意义:数轴上 到点 x1= a 和 x2= b 的距离之和大于 c 的全体,|x- a|+ |x- b|≥ |x- a- (x- b)|= |a- b|. (3)图象法:作出函数 y1= |x- a|+ |x- b|和 y2= c 的图象,结 合图象求解. x 1.解不等式 |x+ 3|- |2x- 1|< + 1. 2 x 解:(1)当 x<-3 时,原不等式化为- (x+ 3)- (1- 2x)< + 1, 2 解得 x<10,所以 x<- 3. x 1 (2)当- 3≤ x< 时,原不等式化为 (x+ 3)-(1- 2x)< + 1,解 2 2 2 2 得 x<- ,所以- 3≤ x<- . 5 5 x 1 (3)当 x≥ 时, 原不等式化为 (x+ 3)-(2x- 1)< + 1, 解得 x>2, 2 2 所以 x>2. ? 2 ? x|x<- 或 x>2?. 综上可知,原不等式的解集为? ? ? 5 考点二 绝对值不等式性质的应用 确定“ |x- a|<m 且|y- a|<m”是“ |x- y|<2m (x,y, a,m∈ R)”的什么条件. [ 解 ] 因为 |x- y|= |(x- a)- (y- a)|≤|x- a|+ |y- a|<m+ m= 2m, 所以“|x-a|<m 且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”的充分条件. 取 x=3,y=1,a=-2,m=2.5,则有|x-y|=2<5=2m,但 |x-a|=5,不满足|x-a|<m=2.5, 故“|x-a|<m 且|y-a|<m”不是“|x-y|<2m”的必要条件. 故为充分不必要条件. 两数和与差的绝对值不等式的性质 (1) 对绝对值三角不等式定理 |a| - |b|≤|a± b|≤|a| + |b| 中等号 成立的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时. (2)该定理可强化为 ||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b|,它经常用于证 明含绝对值的不等式. 2.若不等式 |x+ 1|+ |x- 2|≥ a 对任意 x∈ R 恒成 立,求 a 的取值范围. 解: 由于 |x+ 1|+ |x- 2|≥ |(x+ 1)-(x- 2)|= 3, 所以只需 a≤ 3 即可.故 a 的取值范围为(-∞, 3]. 考点三 绝对值不等式的综合应用 (2016· 南昌模拟)设函数 f(x)=|2x+1|-|x-3|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)已知关于 x 的不等式 a-3|x-3|<f(x)恒成立,求实数 a 的 取值范围. [解] (1)不等式 f(x)>0 等价于|2x+1|>|x-3|, 两边平方得 4x2+4x+1>x2-6x+9,即 3x2+10x-8>0, 2 解得 x<-4 或 x> , 3 所以原不等式的解集是 2? ? ? ?x x<-4或x> ?. 3? ? ? (2)不等式 a-3|x-3|<f(x)等价于 a<|2x+1|+2|x-3|, 因为|2x+1|+2|x-3|≥|(2x+1)-2(x-3)|=7, 所以 a 的取值 范围是(-∞,7). (1)研究含有绝对值的函数问题时, 根据绝对值的定义, 分类 讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决 是常用的思维方法. (2)对于求

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