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二次函数与相似三角形问题(含答案)[1]


综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题
例题 如图 1,已知抛物线的顶点为 A(2,1) ,且经过原点 O,与 x 轴的另一个交点为 B。 ⑴求抛物线的解析式; (用顶点式 求得抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? x ) ... ⑵若点 C 在抛物线的对称轴上,点 D 在抛物线上,且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形, 求 D 点的坐标; ⑶连接 OA、AB,如图 2,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P,使得△OBP 与△OAB 相似?若存在, 求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由。

1 4

y A O B x
O

y A B x

图1

例 1 题图

图2

....... 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边 和角 的特点,进而得出已知三角形是否为特 . . 殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来 推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用 相似来列方程求解。

1

例题 2:如图,已知抛物线 y=ax2+4ax+t(a>0)交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,抛物线的对称轴 交 x 轴于点 E,点 B 的坐标为(-1,0) . (1)求抛物线的对称轴及点 A 的坐标; (2)过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点 P,你能判断四边形 ABCP 是什么四边形?并证明你 的结论; (3)连接 CA 与抛物线的对称轴交于点 D,当∠APD=∠ACP 时,求抛物线的解析式.

2 3) E ? 练习 1、已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过 P ( 3,,

?5 3 ? 0? 0) . ? 2 , ? 及原点 O(0, ? ?

(1)求抛物线的解析式. (由一般式 得抛物线的解析式为 y ? ? ...

2 2 5 3 x ? x) 3 3

(2)过 P 点作平行于 x 轴的直线 PC 交 y 轴于 C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC 下方的抛物线 上,任取一点 Q ,过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点,交直线 PC 于 B 点,直线 QA 与直线 PC 及两坐标轴围成矩形 OABC .是否存在点 Q ,使得 △OPC 与 △PQB 相似?若存在,求出 Q 点的坐标; 若不存在,说明理由. (3)如果符合(2)中的 Q 点在 x 轴的上方,连结 OQ ,矩形 OABC 内的四个三角形

△OPC, △PQB, △OQP, △OQA 之间存在怎样的关系?为什么?

y C O A P B Q E x

2

练习 2、如图,四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上, 将边 BC 折叠,使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠 CE ? 5 5 ,且 tan ?EDA ? (1)判断 △OCD 与 △ ADE 是否相似?请说明理由; (2)求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标; (3)是否存在过点 D 的直线 l,使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE 与 y 轴所围 成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由。 y C B E O D 练习 2 图

3 。 4

A x

练习 3、 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象与 x 轴交于 A, B 两点 (点

3) 和 (?3, ? 12) . ,与 y 轴交于点 C ,其顶点的横坐标为 1,且过点 (2, A 在点 B 的左边)
(1)求此二次函数的表达式; (由一般式 得抛物线的解析式为 y ? ? x ? 2 x ? 3 ) ...
2

(2)若直线 l : y ? kx(k ? 0) 与线段 BC 交于点 D (不与点 B,C 重合) ,则是否存在这样的直线 l ,使得 以 B,O,D 为顶点的三角形与 △BAC 相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点 D 的坐标;若不存

,, 0) B(3, 0), C (0, 3) 在,请说明理由; A(?1
( 3) 若点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点, 试比较锐角 ?PCO 与 ?ACO 的大小(不必证明) ,并写出此时点 P 的横坐标 x p 的取值范围.

y
P

x C

l

A A

B

y

o
C

B

x

O

x ?1
练习 3 图
3

练习 4 图

练习 4 、如图所示,已知抛物线 y ? x2 ?1 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C. (1)求 A、B、C 三点的坐标. (2)过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P,求四边形 ACBP 的面积. (3)在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M,过 M 作 MG ? x 轴于点 G,使以 A、M、G 三点为顶点的 三角形与 ? PCA 相似.若存在,请求出 M 点的坐标;否则,请说明理由.

练习 5、已知:如图,在平面直角坐标系中, △ ABC 是直角三角形, ?ACB ? 90 ,点 A,C 的坐标分别
?

0) , tan ?BAC ? 0) , C (1, 为 A(?3,

3 . 4 3 9 x? 4 4

0) , B (1, 3) , y ? 0) , C (1, (1)求过点 A, B 的直线的函数表达式;点 A(?3,

(2)在 x 轴上找一点 D ,连接 DB ,使得 △ ADB 与 △ ABC 相似(不包括全等) ,并求点 D 的坐标; (3)在(2)的条件下,如 P,Q 分别是 AB 和 AD 上的动点,连接 PQ ,设 AP ? DQ ? m ,问是否存 在这样的 m 使得 △APQ 与 △ ADB 相似,如存在,请求出 m 的值;如不存在,请说明理由.

y B

A

x O C

4

练习 6、如图,已知抛物线与 x 交于 A(-1,0)、E(3,0)两点,与 y 轴交于点 B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为 D,求四边形 AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。

练习 7、如 图,已知抛 物线 y = 0) , 过点 C 的直线 y=

3 2 x + bx + c 与坐标轴交 于 A 、 B 、 C 三 点, A 点的坐标 为(-1, 4

3 x-3 与 x 轴交于点 Q, 点 P 是线段 BC 上的一个动点, 过 P 作 PH⊥OB 于点 H. 若 4t PB=5t,且 0<t<1. (1)填空:点 C 的坐标是_ _,b=_ _,c=_ _; (2)求线段 QH 的长(用含 t 的式子表示) ; (3)依点 P 的变化,是否存在 t 的值,使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似?若存在,求出所 有 t 的值;若不存在,说明理由.
y
Q

H
P

A

O

B x

C

5

练习 8、如图,抛物线经过 A(4,, 0) B(1,, 0) C (0, ? 2) 三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过 P 作 PM ? x 轴,垂足为 M,是否存在 P 点,使得以 A,P,M 为顶点的 三角形与 △OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D,使得 △DCA 的面积最大,求出点 D 的坐标.

练习 9、已知,如图 1,过点 E ? 0, ? 1? 作平行于 x 轴的直线 l ,抛物线 y ?

1 2 x 上的两点 A、 B 的横坐标分 4

别为 ? 1 和 4,直线 AB 交 y 轴于点 F ,过点 A、 B 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为点 C 、 D ,连接

CF、DF . (1)求点 A、B、F 的坐标; (2)求证: CF ? DF ;

(3)点 P 是抛物线 y ?

1 2 x 对称轴右侧图象上的一动点,过点 P 作 PQ ⊥ PO 交 x 轴于点 Q ,是否存在 4

点 P 使得 △OPQ 与 △CDF 相似?若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

6

练习 10、当 x=2 时,抛物线 y=ax2+bx+c 取得最小值-1,并且抛物线与 y 轴交于点 C(0,3) ,与 x 轴交于点 A、B. (1)求该抛物线的关系式; (2)若点 M(x,y1) ,N(x+1,y2)都在该抛物线上,试比较 y1 与 y2 的大小; (3)D 是线段 AC 的中点,E 为线段 AC 上一动点(A、C 两端点除外) ,过点 E 作 y 轴的平行线 EF 与抛 物线交于点 F.问:是否存在△DEF 与△AOC 相似?若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,则说明理由. y 3 C E D F O B A x

(第 26 题图)

练习 11、如图,一次函数 y=-2x 的图象与二次函数 y=-x2+3x 图象的对称轴交于点 B. (1)写出点 B 的坐标 ; 2 (2)已知点 P 是二次函数 y=-x +3x 图象在 y 轴右侧 部分上的一个动点,将直线 y=-2x 沿 y 轴向上平 .. 移, 分别交 x 轴、 y 轴于 C、 D 两点. 若以 CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似, 则点 P 的坐标为 .

D C O

B

7

练习12、如图,抛物线 y ? ax2 ? bx ? 1 与 x 轴交于两点A(-1,0) ,B(1,0) ,与 y 轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积; (3)在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点M,过M作MN⊥ x 轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△ BCD相似?若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

练习 13、已知:函数 y=ax2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点. (1)求这个函数关系式; (2)如图所示,设二次 函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为 B,与 y 轴的交点为 A,P 为图象上的一点,若以线 .. 段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B,求 P 点的坐标; (3)在(2)中,若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M,试探索点 M 是否在抛物线 y=ax2+x+1 上, 若在抛物线上,求出 M 点的坐标;若不在,请说明理由. y

8

B

A O

x

练习 14、如图,设抛物线 C1: y ? a?x ? 1? ? 5 , C2: y ? ?a?x ? 1? ? 5 ,C1 与 C2 的交点为 A, B,点 A 的坐 标是 ( 2,4) ,点 B 的横坐标是-2. (1)求 a 的值及点 B 的坐标; (2)点 D 在线段 AB 上,过 D 作 x 轴的垂线,垂足为点 H,在 DH 的右侧作正三角形 DHG. 记过 C2 顶点M 的直线为 l ,且 l 与 x 轴交于点 N. ① 若 l 过△DHG 的顶点 G,点 D 的坐标为(1, 2),求点 N 的横坐标; ② 若 l 与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.
2 2

练习 15、如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB 上运动,设 AP= x ,现将纸片折叠,使点 D 与 点 P 重合,得折痕 EF(点 E、F 为折痕与矩形边的交点) ,再将纸片还原。 (1)当 x=0 时,折痕 EF 的长为 ;当点 E 与点 A 重合时,折痕 EF 的长为 ; (2)请写出使四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围,并求出当 x=2 时菱形的边长; (3) 令 EF ? y , 当点 E 在 AD、 点 F 在 BC 上时, 写出 y 与 x 的函数关系式。 当 y 取最大值时, 判断 ? EAP
2

与 ? PBF 是否相似?若相似,求出 x 的值;若不相似,请说明理由。

9

练习 16、如图,已知 A(?4, 0) , B(0, 4) ,现以 A 点为位似中心,相似比为 9:4,将 OB 向右侧放大,B 点的对应点为 C. (1) 求 C 点坐标及直线 BC 的解析式; (2) 一抛物线经过 B、C 两点,且顶点落在 x 轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象; (3) 现将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P,请找出抛物线上所有满足到直线 AB 距离为 3 2 的点 P.

10

参考答案
例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为 y ? a(x ? 2) 2 ? 1 ∵抛物线过原点, ∴ 0 ? a(0 ? 2) 2 ? 1 ∴a ? ?

1 . 4

抛物线的解析式为 y ? ? (x ? 2) 2 ? 1 ,即 y ? ? x 2 ? x
y A O B x

1 4

1 4

⑵如图 1,当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时,CD∥ =OB, 由 0 ? ? (x ? 2) 2 ? 1 得 x 1 ? 0, x 2 ? 4 , ∴B(4,0),OB=4. ∴D 点的横坐标为 6 将 x=6 代入 y ? ? (x ? 2) 2 ? 1 ,得 y=-3,

1 4

1 4

C

图1

D

∴D(6,-3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点 D,使得四边形 ODCB 是平行四边形,此时 D 点 的坐标为(-2,-3), 当 OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为(2,1) ⑶如图 2,由抛物线的对称性可知:AO=AB,∠AOB=∠ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB=∠BOA=∠BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于 A′点,显然 A′(2,-1)

1 ∴直线 OP 的解析式为 y ? ? x 2 1 1 由 ? x ? ? x2 ? x , 2 4
得 x 1 ? 0, x 2 ? 6 .∴P(6,-3) 过 P 作 PE⊥x 轴,在 Rt△BEP 中,BE=2,PE=3, ∴PB= 13 ≠4. ∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO 与△BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点. 所以在该抛物线上不存在点 P,使得△BOP 与△AOB 相似.

y

A O A' B E x

图2

P

11

练习 1、解: (1)由已知可得:

?3a ? 3b ? 3 ? 2 5 3 5 3 ? 75 ,c ? 0 . b ? 0 解之得, a ? ? ,b ? ? a? 3 3 2 ?4 ?c ? 0 ?
因而得,抛物线的解析式为: y ? ? (2)存在. 设 Q 点的坐标为 ( m,n) ,则 n ? ?

2 2 5 3 x ? x. 3 3

2 2 5 3 m ? m, 3 3

BQ PB 3? n m ? 3 ? 要使 △OCP ∽△PBQ, ,则有 ,即 ? CP OC 3 3
解之得, m1 ? 2 3 ,m2 ? 2 . 当 m1 ? 2 3 时, n ? 2 ,即为 Q 点,所以得 Q(2 3 , 2)

2 5 3 3 ? m2 ? m m? 3 3 3 ? 3 3

2 5 3 3 ? m2 ? m BQ PB m? 3 3? n m ? 3 3 3 ? 要使 △OCP ∽△QBP, ,则有 ,即 ? ? OC CP 3 3 3 3
解之得, m1 ? 3 3 ,m2 ? 3 ,当 m ? 3 时,即为 P 点, 当 m1 ? 3 3 时, n ? ?3 ,所以得 Q(3 3 , ? 3) . 故存在两个 Q 点使得 △OCP 与 △PBQ 相似.

Q 点的坐标为 (2 3 ,, 2) (3 3, ? 3) .
(3)在 Rt△OCP 中,因为 tan ?COP ?

CP 3 ? ? .所以 ?COP ? 30 . OC 3
?

当 Q 点的坐标为 (2 3 , 2) 时, ?BPQ ? ?COP ? 30 . 所以 ?OPQ ? ?OCP ? ?B ? ?QAO ? 90 .
?

12

因此, △OPC, △PQB, △OPQ, △OAQ 都是直角三角形.

又在 Rt△OAQ 中,因为 tan ?QOA ?

QA 3 .所以 ?QOA ? 30? . ? AO 3

即有 ?POQ ? ?QOA ? ?QPB ? ?COP ? 30? . 所以 △OPC ∽△PQB ∽△OQP ∽△OQA , 又因为 QP ⊥ OP,QA ⊥ OA ?POQ ? ?AOQ ? 30? , 所以 △OQA ≌△OQP .

练习 2 解: (1) △OCD 与 △ ADE 相似。 理由如下: 由折叠知, ?CDE ? ?B ? 90° , C y B 3 E 又∵ ?COD ? ?DAE ? 90° , 1 O 图1 D 2 A x

∴ ?1 ? ?2 ? 90° ,? ?1 ? ?3 ? 90?, ??2 ? ?3.

∴△OCD ∽△ ADE 。

AE 3 ? ,∴设 AE=3t, (2)∵ tan ?EDA ? AD 4
则 AD=4t。 由勾股定理得 DE=5t。 y l C N M

∴OC ? AB ? AE ? EB ? AE ? DE ? 3t ? 5t ? 8t 。
由(1) △OCD ∽△ ADE ,得

B G E P

OC CD ? , AD DE



8t CD ? , 4t 5t

O

D

A

x

∴ CD ? 10t 。
在 △DCE 中,∵CD ? DE ? CE ,
2 2 2

∴(10t )2 ? (5t )2 ? (5 5)2 ,解得 t=1。
, ∴OC=8,AE=3,点 C 的坐标为(0,8) 点 E 的坐标为(10,3) ,
13

F 图2

设直线 CE 的解析式为 y=kx+b,

1 ? ?10k ? b ? 3, ?k ? ? , 解得 ? ∴? 2 ?b ? 8, ? ?b ? 8,
∴y ?? 1 x ? 8 ,则点 P 的坐标为(16,0) 。 2

(3)满足条件的直线 l 有 2 条:y=-2x+12, y=2x-12。 如图 2:准确画出两条直线。 练习 3

3) 和 (?3, ? 12) , 解: (1)? 二次函数图象顶点的横坐标为 1,且过点 (2,

? b ?? 2a ? 1, ? ? 由 ?4a ? 2b ? c ? 3, ?9a ? 3b ? 2 ? ?12. ? ?

?a ? ?1, ? 解得 ?b ? 2, ?c ? 3. ?
y ? ? x2 ? 2 x ? 3 .

? 此二次函数的表达式为

(2)假设存在直线 l : y ? kx(k ? 0) 与线段 BC 交于点 D(不与点 B,C 重合) ,使得以 B,O,D 为顶点 的三角形与 △BAC 相似.
2 在 y ? ? x ? 2 x ? 3 中,令 y ? 0 ,则由 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? ?1 ,x2 ? 3
2

? A(?1,, 0) B(3, 0) . 3) . 令 x ? 0 ,得 y ? 3 .? C (0,
设过点 O 的直线 l 交 BC 于点 D ,过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E .

x

l

0) ,点 C 的坐标为 (0, 3) ,点 A 的坐标为 (?1, 0) . ? 点 B 的坐标为 (3,

C D

? AB ? 4, OB ? OC ? 3,?OBC ? 45?.
? BC ? 32 ? 32 ? 3 2 .
要使 △BOD ∽△BAC 或 △BDO ∽△BAC , 已有 ?B ? ?B ,则只需 A O

E

B

y

BD BO , ? BC BA



x ?1
14



BO BC

?

BD BA

.



成立. 若是①,则有 BD ?

BO ?BC BA

?

3? 3 2 9 2 . ? 4 4

而 ?OBC ? 45?, ? BE ? DE .

?9 2 ? ? 在 Rt△BDE 中,由勾股定理,得 BE ? DE ? 2 BE ? BD ? ? ? 4 ? ? . ? ? 9 BE ? DE ? (负值舍去) 解得 . 4 9 3 ? OE ? OB ? BE ? 3 ? ? . 4 4
2 2 2 2

2

?3 9? ? 点 D 的坐标为 ? , ? . ?4 4?
将点 D 的坐标代入 y ? kx(k ? 0) 中,求得 k ? 3 .

? 满足条件的直线 l 的函数表达式为 y ? 3x .
[或求出直线 AC 的函数表达式为 y ? 3x ? 3 ,则与直线 AC 平行的直线 l 的函数表达式为 y ? 3x .此时 易知 △BOD ∽△BAC , 再求出直线 BC 的函数表达式为 y ? ? x ? 3 . 联立 y ? 3x,y ? ? x ? 3 求得点 D 的坐标为 ? , ? . ]

?3 9? ?4 4?

若是②,则有 BD ?
?

BO ?BA BC

?

3? 4 ?2 2. 3 2

而 ?OBC ? 45 , ? BE ? DE .

? 在 Rt△BDE 中,由勾股定理,得 BE ? DE ? 2 BE ? BD ? (2 2) 2 .
解得 . BE ? DE ? 2 (负值舍去)

2

2

2

2

? OE ? OB ? BE ? 3 ? 2 ? 1.
2) . ? 点 D 的坐标为 (1,
将点 D 的坐标代入 y ? kx(k ? 0) 中,求得 k ? 2 .

15

∴满足条件的直线 l 的函数表达式为 y ? 2 x .
,使得以 B,O,D 为顶点的三 ? 存在直线 l : y ? 3x 或 y ? 2 x 与线段 BC 交于点 D (不与点 B,C 重合)

, 2) . 角形与 △BAC 相似,且点 D 的坐标分别为 ? , ? 或 (1

?3 9? ?4 4?

3) E (1, 0) 的直线 y ? kx ? 3(k ? 0) 与该二次函数的图象交于点 P . (3)设过点 C (0,,
, 0) 的坐标代入 y ? kx ? 3 中,求得 k ? ?3 . 将点 E (1

? 此直线的函数表达式为 y ? ?3x ? 3 .
? 3x ? 3) ,并代入 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 ,得 x ? 5 x ? 0 . 设点 P 的坐标为 ( x,
2

解得 x1 ? 5,x2 ? 0 (不合题意,舍去) .

? x ? 5,y ? ?12 . ? 12) . ? 点 P 的坐标为 (5,
此时,锐角 ?PCO ? ?ACO . 又? 二次函数的对称轴为 x ? 1 ,

x

C

·C?

3) . ? 点 C 关于对称轴对称的点 C ? 的坐标为 (2,

A

O

E

B

? 当 x p ? 5 时,锐角 ?PCO ? ?ACO ;
当 x p ? 5 时,锐角 ?PCO ? ?ACO ; 当 2 ? x p ? 5 时,锐角 ?PCO ? ?ACO .

x ?1

P

练习四 2 解:(1)令 y ? 0 ,得 x ? 1 ? 0 令 x ? 0 ,得 y ? ?1 ∴ A (?1, 0) B (1, 0) C (0, ?1)

解得 x ? ?1

y
P
?

(2)∵OA=OB=OC= 1 ∵AP∥CB,

∴ ? BAC= ? ACO= ? BCO= 45
?

∴ ? PAB= 45

过点 P 作 PE ? x 轴于 E,则 ? APE 为等腰直角三角形 令 OE= a ,则 PE= a ? 1 ∴P (a, a ? 1)

A

o
C

B 图1

x

16

∵点 P 在抛物线 y ? x2 ?1 上 ∴ a ? 1 ? a ? 1
2

解得 a1 ? 2 , a2 ? ?1 (不合题意,舍去) ∴PE= 3 ∴四边形 ACBP 的面积 S = (3). 假设存在 ∵ ? PAB= ? BAC = 45 ∵MG ? x 轴于点 G,
?

1 1 1 1 AB?OC+ AB?PE= ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 2 2 2 2
∴PA ? AC

∴ ? MGA= ? PAC = 90 ∴AC= 2 ∴AP= 3 2

?

在 Rt△AOC 中,OA=OC= 1 在 Rt△PAE 中,AE=PE= 3

设 M 点的横坐标为 m ,则 M (m, m2 ?1) ①点 M 在 y 轴左侧时,则 m ? ?1 (ⅰ) 当 ? AMG ∽ ? PCA 时,有 ∵AG= ? m ? 1 ,MG= m ? 1 即
2

AG MG = PA CA
M

y
P

?m ? 1 m2 ? 1 ? 3 2 2

2 (舍去) 3 AG MG (ⅱ) 当 ? MAG ∽ ? PCA 时有 = CA PA
解得 m1 ? ?1(舍去) m2 ? 即

G

A

o
C 图2

B

x

?m ? 1 m ? 1 解得: m ? ?1 (舍去) ? 2 3 2
2

m2 ? ?2

∴M (?2,3) ② 点 M 在 y 轴右侧时,则 m ? 1 (ⅰ) 当 ? AMG ∽ ? PCA 时有 ∵AG= m ? 1 ,MG= m ? 1
2

y
P M

AG MG = PA CA

m ? 1 m2 ? 1 ∴ ? 3 2 2
4 7 ∴M ( , ) 3 9

解得 m1 ? ?1(舍去)

4 m2 ? 3

A

o
C 图3

G B

x

17

(ⅱ) 当 ? MAG ∽ ? PCA 时有

AG MG = CA PA



m ? 1 m2 ? 1 ? 2 3 2
m2 ? 4

解得: m1 ? ?1(舍去) ∴M (4,15)

∴存在点 M,使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 ? PCA 相似 M 点的坐标为 (?2,3) , ( , ) , (4,15)

4 7 3 9

练习 5、

0) 0) , C (1, 解: (1)? 点 A(?3,
? AC ? 4 , BC ? tan ∠BAC ? AC ?

3 ? 4 ? 3 , B 点坐标为 (1, 3) 4

设过点 A, B 的直线的函数表达式为 y ? kx ? b ,

由?

?0 ? k ? (?3) ? b 3 9 3 9 得 k ? , b ? ? 直线 AB 的函数表达式为 y ? x ? 4 4 4 y4 ?3 ? k ? b

(2)如图 1,过点 B 作 BD ? AB ,交 x 轴于点 D , 在 Rt△ ABC 和 Rt△ ADB 中, ?∠BAC ? ∠DAB ? Rt△ ABC ∽ Rt△ ADB ,

B

P A
O
图1

4 ?D 点为所求又 tan ∠ADB ? tan ∠ABC ? , 3 ? CD ? BC ? tan ∠ADB ? 3 ?
(3)这样的 m 存在

QC

D x

13 4 9 ? 13 ? ? ? OD ? OC ? CD ? ,? D ? , 0? 4 3 4 ?4 ?

在 Rt△ ABC 中,由勾股定理得 AB ? 5 如图 1,当 PQ ∥ BD 时, △ APQ ∽△ ABD

m 则 ? 5

3?

13 ?m 25 4 ,解得 m ? 13 9 3? 4

y P A

B

如图 2,当 PQ ? AD 时, △ APQ ∽△ ADB

Q O C
图2

D x

m ? 则 13 3? 4

3?

13 ?m 125 4 ,解得 m ? 36 5

18


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