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2009-2010学年度新课标高二下学期数学单元测试3-文科

2009—2010 学年度下学期

高二数学文单元测试(3)
[新课标版] 命题范围

4-5 第一、二章
说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;答题时间 120 分钟。 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每 小题 5 分,共 60 分) 。 1.下列说法正确的是 ( ) 1 1 A.若 a>b,c>d,则 ac>bd B.若 ? ,则 a<b a b C.若 b>c,则|a|·b≥|a|·c D.若 a>b,c>d,则 a-c>b-d 2.下列各式中,最小值等于 2 的是 ( )

x y A. ? y x
3.设 x ? 0, y ? 0, A ? A. A ? B

B.

x2 ? 5 x ?4
2

C. tan ? ?

1 tan ?

D. 2 ? 2
x

?x

x? y x y , B? ,则 A, B 的大小关系是 ? 1? x ? y 1? x 1? y
B. A ? B C. A ? B D. A ? B





4.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为 A. 2 B. 2 C. 4 D. 6





5.设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是 A. P ? Q ? R B. P ? R ? Q
3 3 2





C. Q ? P ? R
2

D. Q ? R ? P ( )

6.设不等的两个正数 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a ? b 的取值范围是

4 D. (0,1) 3 1 1 1 ? 7.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有 a b c 1 1 A. 0 ? M ? B. ? M ? 1 C. 1 ? M ? 8 D. M ? 8 8 8
A. (1, ??) B. (1, ) C. [1, ] 8.若 log x y ? ?2 ,则 x ? y 的最小值是

4 3









A.

33 2 2

B.

23 3 3

C.

3 2

3

D.

2 3

2

1

9.设 b ? a ? 0 ,且 P ?

2 1 1 ? a 2 b2

,Q ?

2 1 1 ? a b

, M ? ab , N ?

a?b a 2 ? b2 ,R ? ,则它们的大小关系是 2 2


( A. P ? Q ? M ? N ? R C. P ? M ? N ? Q ? R 10.若 x ? 1 ,则函数 y ? x ? B. Q ? P ? M ? N ? R D. P ? Q ? M ? R ? N

1 16 x ? 的最小值为 x x2 ? 1





A.16 B.8 C.4 D.非上述情况 + 11.设 a, b, c∈R ,P=a+b-c, Q=b+c-a, R=c+a-b, 则“PQR>0”是“P, Q, R 同时大于零”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 12 .用数学归纳法证明“ 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ”时, 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

由 n ? k 的假设证明

n ? k ? 1 时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( ) 1 1 1 1 1 1 1 ??? ? ??? ? ? A. B. k ?1 2k 2k ? 1 k ?1 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 ??? ? ??? ? C. D. k?2 2k 2k ? 1 k?2 2k ? 1 2k ? 2
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 4 分,共 16 分) 。 13.若 a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 ,则 14.函数 f ( x) ? 3 x ?

a b b?m a?n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a?m b?n



12 ( x ? 0) 的最小值为_____________。 x2 1 1 1 1 ? 10 ? ? 11 15.设 A ? 10 ? 10 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________。 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?1
16.已知 x>0, y>0,且 x+y>2,则

1? y 1? x 与 至少有一个要小于 x y 1 。 3



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)。 17. (12 分)已知 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ?
2 2 2

2

18. (12 分)解不等式 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 3 ? 2 2 ? 0 。

19. (12 分)已知 a ? b ? c ? d ,求证:

1 1 1 9 ? ? ? 。 a ?b b ?c c ?a a ?d

20. (12 分)当 n ? N时,求证:1 ?

1 1 1 ? ??? ?2 n。 2 3 n

3

21. (12 分)设一圆锥的母线长为定值 a ,求此圆锥体积的最大值。

22. (14 分)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 . (1)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和 Sn ; (2)设 bn ?

Sn ( n ? N ? ) ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列。 n

4

参考答案
一、1.C;2.D;3.B;4.A;5.B;6.B;7.D;8.A;9.A;10.B;11.C;12.D; 二、13.

b b?m a?n a ? ? ? ;14. 9 15. A ? 1 ;16.2; a a?m b?n b

三、17.证:

a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? (2ab ? 2bc ? 2ac) ? (a ? b ? c)2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 )

?3(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1
? a 2 ? b2 ? c2 ?
另法一:

1 3

1 ( a ? b ? c) 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 3
1 ? (2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ) 3 1 ? [(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (a ? c) 2 ] ? 0 3

? a 2 ? b2 ? c2 ?
另法二:

1 3

(12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1
2 2 2

即 3(a2 ? b2 ? c2 ) ? 1,? a ? b ? c ?

1 3

18.解:原不等式化为 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 当x?

4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

得 x ? 5?

2 4 2 ,即 ? x ? 5 ? ; 2 3 2
4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

当 ?7 ? x ? 得x??

1 2 1 2 4 ? ,即 ? ? ?x? ; 2 4 2 4 3

当 x ? ?7 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 得 x ? 6?

2 ,与 x ? ?7 矛盾; 2 1 2 2 ? ? x ? 5? 。 2 4 2
5

所以,解为 ?

19.证:

a ? b ? c ? d ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? d ? 0

?(

1 1 1 1 1 1 ? ? )(a ? d ) ? ( ? ? )[( a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d )] a ?b b?c c ?a a ?b b ?c c ?a

? 33
? 1 1 1 9 ? ? ? a ?b b?c c ?a a ?d

1 1 1 ? ? ? 33 a ( a ? b b? c c ? a

? b )b ( ? c )c ( ?d ) ? 9

20.证法(一) : (1) 当n ? 1时,左边 ? 1,右边 ? 2 1 ? 2

? 左边 ? 右边, 不等式成立. 假设n ? k ( k ? 1) 时,不等式成立。
1 1 1 ? ??? ?2 k 2 3 k 由归纳假设知,当n ? k ? 1时,有 1 1 1 1 1 1? ? ??? ? ?2 k ? 2 3 k k ?1 k ?1 即 1? ? 2 k ( k ? 1) ? 1 k ?1 2 k ( k ? 1) ? 1 k ?1 ? 2( k ? 1) ? 2 k ( k ? 1) ? 1 k ?1

?2 k ?1 ? ?

2 k ? 1 ( k ? 1 ? k ) ? 1 2 k ? 1( k ? 1 ? k ) ? ( k ? 1 ? k ) ? k ?1 k ? 1( k ? 1 ? k )
k ?1 ? k ? 0. k ? 1( k ? 1 ? k ) 2 k ( k ? 1) ? 1 k ?1

?

?2 k ?1 ? ?1 ?

1 1 1 ? ??? ? 2 k ?1 2 3 k ?1 即当n ? k ? 1时,不等式也成立。

由(1)和(2)知,原不等式对任何 n ? N 都成立。 小结:在本证明中,第二步的证明用的是算差比较法,这一步也可用下列方法证明。 (1) 当n ? k ? 1时,要证明

1?

1 1 ?…? ? 2 k ? 1成立 2 k ?1

由归纳假设,只要证明

6

1 ? 2 k ?1 k ?1 1 2( k ? 1) ? 1 只要证 2 k ? 2 k ? 1 ? ? k ?1 k ?1 2k ? 1 即证 2 k ? k ?1 2 k?
? k ?1 ? 0 ? 只要证 2 k ( k ? 1) ? 2 k ? 1 即证 即证 4( k 2 ? k ) ? 4 k 2 ? 4 k ? 1 0?1

上式显然成立 ? 当n ? k ? 1时,不等式也成立。
(2) 当n ? k ? 1时,由归纳假设,有

1?

1 1 1 1 1 ? ?…? ? ?2 k ? 2 3 k k ?1 k ?1
2

2 k ? k ?1 ? k ?1 k ?1 1 2( k ? ) ? 1 2( k ? 1) 2 ? ? ? 2 k ? 1. k ?1 k ?1 ? 当n ? k ? 1时,不等式也成立. ?
证法(二) :事实上,因为

2 k2 ? k ?

1 ?1 4

1 2 2 ? ? ? 2( n ? n ? 1) ,所以 n n? n n ?1 ? n ? ( n ? n ? 1)] ? 2 n 。

1?

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? 2[( 1 ? 0) ? ( 2 ? 1) ? n

21.解 1:设圆锥底面半径为 r,高为h.

? r 2 ? h2 ? a 2

? 体积V ? ?

1 1 ? 4 2 ? 1 sh ? ?r 2 h ? r h ? · r 2 ·r 2 · ·2h 2 3 3 3 3 2

2? 2 r ·r 2 · 2h 2 6 ? r 2 ? r 2 ? 2h 2 ? 2(r 2 ? h 2 ) ? 2a 2 ( 定值)
? 当r 2 ? r 2 ? 2h 2 ?
? 8 6 a 27
7

2 2 2 a2 a ,即r 2 ? a 2 , h 2 ? 时,(r 2 ·r 2 ·2h 2 ) max 3 3 3

? 当r ?

6 3 2 2 2 3 2 3 3 a, h ? a时,体积Vmax ? ?· a ? ?a . 3 3 6 27 3 3
0?? ?

解 2:设母线与底面所成的角为 ?,则底面半径r ? a cos?,高h ? a sin ?,其中

?
2

? 圆锥的体积V ?

?
3

a 3 cos2 ? sin ?

1 令y ? cos2 ? sin ?,则y 2 ? cos4 ? sin 2 ? ? · cos2 ? · cos2 ? · 2 sin 2 ? . 2 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 sin 2 ? ? 2(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 2 2 4 2 ?当cos2 ? ? cos2 ? ? 2 sin 2 ? ? 时,y max ? 3 27

6 3 2 3 ,sin ? ? 时,y max ? 3 3 9 6 3 2 3 3 ? 当 cos? ? ,sin ? ? 时,Vmax ? ?a . 3 3 27 ? 当 cos? ?
小结:求几何体的体积的最值,一般得用最值定理求解。 22.解: (1)由已知得 ?

? ?a1 ? 2 ? 1, ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2

,? d ? 2 ,

故 an ? 2n ?1 ? 2,Sn ? n(n ? 2) . (2)由(Ⅰ)得 bn ?

Sn ? n? 2 . n

2 假设数列 {bn } 中存在三项 bp,bq,br ( p, q, r 互不相等)成等比数列,则 bq ? bpbr .

即 (q ? 2)2 ? ( p ? 2)(r ? 2) .

?(q2 ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0
p,q,r ? N? ,

?q 2 ? pr ? 0, ? p?r ? ?? ?? ( p ? r )2 ? 0, ?p?r. ? ? pr, 2 ? ? ?2q ? p ? r ? 0,
2

与 p ? r 矛盾. 所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列。 点评:本题证明推出的结果是与题设矛盾。? 本问题推出的结果是与题设不矛盾,可能是数列 {an } 、数列 {bn } 混淆了。

8