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2012高三数学一轮复习单元练习题:函数(Ⅴ)


高三数学单元练习题:函数( 高三数学单元练习题:函数(Ⅴ)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目 要求的. 1.已知函数 y = f ( x + 1) 的图象过点(3,2) ,则函数 f ( x ) 的图象关于 x 轴的对称图形一定过点 A. (2,-2) B. (2,2) C. (-4,2) D. (4,-2) 是 A.增函数且最小值为 m C.减函数且最小值为 m 3. 与函数 y = 0.1

2.如果奇函数 f ( x ) 在区间 [ a, b ] ( b > a > 0 ) 上是增函数,且最小值为 m ,那么 f ( x ) 在区间 [ ?b, ? a ] 上 B.增函数且最大值为 ? m D.减函数且最大值为 ? m

lg( 2 x?1)
1 ) 2

的图象相同的函数解析式是 B. y =

A. y = 2 x ? 1 ( x >

1 2x ?1

C. y =

1 1 (x > ) 2x ?1 2

D. y =

1 2x ?1

4.对一切实数 x ,不等式 x 2 + a | x | +1 ≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A. (?∞ ,-2] B. [-2,2] C. [-2, +∞) D. [0, +∞) 5.已知函数 y = f ( 2 x + 1) 是定义在 R 上的奇函数,函数 y = g (x ) 的图象与函数 y = f (x ) 的图象关于直 线 y = x 对称,则 g ( x ) + g ( ? x ) 的值为 A.2 B.0 图像,则 y = f (x) 的函数表达式为 A. y = 2 x + 2
1 b

C.1

D.不能确定

6.把函数 y = f ( x ) 的图像沿 x 轴向右平移 2 个单位,所得的图像为 C,C 关于 x 轴对称的图像为 y = 2 x 的 B. y = ?2 x + 2 C. y = ?2 x ? 2 B. (1 + a ) a > (1 + b)b D. (1 ? a ) a > (1 ? b)b D. y = ? log 2 ( x + 2)

7. 当 0 < a < b < 1 时,下列不等式中正确的是 A. (1 ? a ) > (1 ? a ) b
b

8.当 x ∈ [0,2] 时,函数 f ( x ) = ax 2 + 4( a ? 1) x ? 3 在 x = 2 时取得最大值,则 a 的取值范围是

C. (1 ? a ) b > (1 ? a ) 2

1 2 , +∞ ) B. [0,+∞) C. [1,+∞ ) D. [ , +∞ ) 2 3 ?(3a ? 1) x + 4a, x < 1 9.已知 f ( x) = ? 是 ( ?∞, +∞ ) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 x >1 ?log a x,
A. [ ? A. (0,1) B. (0, )

1 3

C. [ ,1)

10.如果函数 f ( x ) 的图象与函数 是 A. [ , +∞ )

1 g ( x) = ( ) x 的图象关于直线 y = x 对称,则 f (3 x ? x 2 ) 的单调递减区间 2 3 2 3 2

1 7

D. [ , )

1 1 7 3

3 2

B. ( ?∞, ]

3 2

C. [ , 3)

D. (0, ]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.答案填在题中横线上. 11.已知偶函数 f ( x ) 在 [ 0, 2] 内单调递减,若 a = f ( ?1) , b = f (log 0.5

1 ), c = f ( lg 0.5 ) ,则 a, b, c 之间 4

第1页

的大小关系为

。 。 。

12. 函数 y = log a x 在 [2, +∞) 上恒有 y > 1 ,则 a 的取值范围是 13. 若函数 y =

ax + 1 ? 4? ? a ≠ ? 的图象关于直线 y = x 对称,则 a = 4x + 5 ? 5?

14.设 f ( x ) 是定义在 R 上的以3为周期的奇函数,若 f (1) > 1, f (2) = 是 。 15.给出下列四个命题:

2a ? 3 ,则 a 的取值范围 a +1

x ①函数 y = a ( a > 0 且 a ≠ 1 )与函数 y = log a a ( a > 0 且 a ≠ 1 )的定义域相同;
x

②函数 y = x 3 与 y = 3x 的值域相同; ③函数 y =

与 y = 2 x ?1 在区间 [0, +∞ ) 上都是增函数,其中正确命题的序号是_____________。 (把你认为正确的命题序 号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) 在定义域 ( 0, +∞ ) 上为增函数,且满足 (1)求 f ( 9 ) , f ( 27 ) 的值

1 1 (1 + 2 x ) 2 + x 与y= 都是奇函数; ④函数 y = ( x ? 1) 2 x 2 2 ?1 x?2

f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ) , f ( 3) = 1

(2)解不等式 f ( x ) + f ( x ? 8 ) < 2

17.(本题满分 12 分) 已知 f ( x ) = 2 x ? 1 的反函数为 f (1)若 f
?1

?1

( x) , g ( x) = log 4 (3 x + 1) .

( x) ≤ g ( x) ,求 x 的取值范围 D; 1 ?1 (2)设函数 H ( x ) = g ( x ) ? f ( x) ,当 x ∈ D 时,求函数 H (x ) 的值域. 2

18.(本小题满分 12 分)函数 f ( x ) = 2 x ?

a 的定义域为 ( 0 , 1 ] ( a 为实数). x (1)当 a = ?1 时,求函数 y = f ( x ) 的值域; (2)若函数 y = f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; (3)函数 y = f ( x ) 在 x ∈ ( 0 , 1 ] 上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.

19.(本题满分 12 分) 已知函数 f (x ) 的图象与函数 h( x ) = x +

1 + 2 的图象关于点 A(0,1)对称.(1) x

第2页

求函数 f (x ) 的解析式(2)若 g (x ) = f (x ) + 范围.

a ,且 g (x ) 在区间(0, 2] 上的值不小于 6 ,求实数 a 的取值 x

20.(本小题满分 13 分)

?12n(1 ≤ n ≤ 24, n ∈ N * ) ? * 某出版公司为一本畅销书定价如下: C ( n ) = ?11n(25 ≤ n ≤ 48, n ∈ N ) .这里 n 表示定购书的数量,C ?10n(n ≥ 49, n ∈ N * ) ?
(n)是定购 n 本书所付的钱数(单位:元) (1)有多少个 n,会出现买多于 n 本书比恰好买 n 本书所花钱少? (2)若一本书的成本价是 5 元,现有两人来买书,每人至少买 1 本,两人共买 60 本,问出版公司至少能 赚多少钱?最多能赚多少钱?

21. (本小题满分 14 分)设二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ( a, b, c ∈ R ) 满足下列条件: ①当 x ∈R 时, f ( x) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) 的值; (3)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ [1, m ] 时,就有 f ( x + t ) ≤ x 成立。 (2)求 f ( x) 的解析式;

参考答案 一、1.D 2. B

3.C

4.C

5.A

6.B

7. D

8.D

9.D

10.D

二.11. c > a > b 三.解答题

1 12. ( ,1) U (1, 2) 2

2 13.-5 14. (-1, ) 15. ①③ 3
……4 分

16.解: (1) f ( 9 ) = f ( 3) + f ( 3) = 2, f ( 27 ) = f ( 9 ) + f ( 3) = 3 (2)Q f ( x ) + f ( x ? 8 ) = f ? x ( x ? 8 ) ? < f ( 9 ) ? ? 而函数 f(x)是定义在 ( 0, +∞ ) 上为增函数

第3页

?x > 0 ? ∴?x ? 8 > 0 ?8< x<9 ? x( x ? 8) < 9 ?

即原不等式的解集为 (8,9)

……12 分

17. 解:(1)∵ f ( x) = 2 x ? 1 ,∴ f ?1 ( x) = log 2 ( x + 1) (x>-1) x + 1? 0 ?1 由 f ( x) ≤g(x) ∴ ? ,解得 0≤x≤1 ∴D=[0,1]…………… 6 分 ? ( x + 1) 2 ≤ 3 x + 1 ? 1 ?1 (2)H(x)=g(x)- f ( x) = 1 log 2 3 x + 1 = 1 log 2 (3 ? 2 ) 2 2 x +1 2 x +1 ∵0≤x≤1 ∴1≤3- ∴0≤H(x)≤

2 ≤2 x +1 1 ] 2
………………………12 分

1 2

∴H(x)的值域为[0,

18. 解: (1)显然函数 y = f ( x ) 的值域为 [ 2 2 , + ∞ ) ; ……………3 分 (2) 若函数

y = f ( x ) 在定义域上是减函数,则任取 x1 , x 2 ∈ ( 0.1] 且 x1 < x 2 都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 成
只要 a < ?2 x1 x 2 即可, …………………………5 分

a 立, 即 ( x1 ? x2 )(2 + x x ) > 0 1 2

由 x1 , x 2

∈ ( 0.1] ,故 ?2 x1 x 2 ∈ (?2,0) ,所以 a ≤ ?2 ,
…………………………7 分

故 a 的取值范围是 ( ?∞ ,?2] ; 当 x = 1 时取得最大值 2 ? a ;

(3)当 a ≥ 0 时,函数 y = f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调增,无最小值, 由(2)得当 a ≤ ?2 时,函数 y = f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调减,无最大值, 当

x = 1 时取得最小值 2 ? a ;
?2a 2

当 ?2 < a < 0 时,函数 y = f ( x ) 在 ( 0. 当x=
?2a 2

] 上单调减,在 [

?2a 2

, 1 ] 上单调增,无最大值,

时取得最小值 2 ? 2a .

…………………………12 分

19. 解: (1)设 f ( x ) 图象上任一点坐标为 ( x, y ) ,点 ( x, y ) 关于点 A(0,1) 的对称点 (? x,2 ? y ) 在 h( x ) 的图象上………… 3 分

∴ 2 ? y = ?x +
(2)由题意

a +1 a +1 ,且 g ( x ) = x + ≥6 x x 2 ∵ x ∈ (0, 2] ∴ a + 1 ≥ x (6 ? x) ,即 a ≥ ? x + 6 x ? 1 ,………… 9 分 g ( x) = x +
令 q ( x ) = ? x 2 + 6 x ? 1 , x ∈ (0, 2] , q ( x ) = ? x 2 + 6 x ? 1 =-( x ? 3) 2 + 8 , ∴ x ∈ (0, 2] 时, q ( x ) max = 7 …11′∴ a ≥ 7 ……………… 12 分

1 1 1 …… 6 分 + 2,∴ y = x + , 即 f ( x ) = x + ?x x x

x ∈ (0, 2] 时, q ′( x) > 0 即 q (x ) 在(0,2 ] 上递增,∴ x ∈ (0,2 ] 时, q ( x ) max = 7

方法二: q ′( x ) = ?2 x + 6 ,

∴ a≥7

20.解(1)由于 C(n)在各段上都是单调增函数,因此在每一段上不存在买多于 N 本书比恰好买 n 本书所 花钱少的问题, 一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于 n 本书比恰好买 n 本书所花钱少的现象.

第4页

C(25)=11 × 25=275,C(23)=12 × 23=276,∴C(25)<C(23)……..1 分 C(24)=12 × 24=288,∴ C(25)<C(24)…………………..…………..2 分 C(49)=49 × 10=490,C(48)=11 × 48=528,∴ C(49)<C(48) C(47)=11 × 47=517,∴ C(49)<C(47) C(46)=11 × 46=506,∴ C(49)<C(46) C(45)=11 × 45=495,∴ C(49)<C(45)……….. ……….………..……..5 分 ∴这样的 n 有 23,24,45,46,47,48 …….………..……….. ……………6 分 (2)设甲买 n 本书,则乙买 60-n 本,且 n ≤ 30,n ∈ N (不妨设甲买的书少于或等于乙买的书) ①当 1 ≤ n ≤ 11 时,49 ≤ 60-n ≤ 59 出版公司赚得钱数 f ( n) = 12n + 10(60 ? n) ? 5 × 60 = 2n + 300 …….. …7 分 ②当 12 ≤ n ≤ 24 时,36 ≤ 60- n ≤ 48, 出版公司赚得钱数 f ( n) = 12n + 11(60 ? n) ? 5 × 60 = n + 360 ③当 25 ≤ n ≤ 30 时,30 ≤ 60- n ≤ 35, 出版公司赚得钱数 f ( n) = 11× 60 ? 5 × 60 = 360 ……..……….. ………9 分
*

?2n + 300,1 ≤ n ≤ 11 ∴ f (n) = ?n + 360,12 ≤ n ≤ 24 ……..………………………………..10 分 ? ?360, 25 ≤ n ≤ 30 ?

∴当 1 ≤ n ≤ 11 时, 302 ≤ f ( n) ≤ 322 当 12 ≤ n ≤ 24 时, 372 ≤ f ( n) ≤ 384 当 25 ≤ n ≤ 30 时, f (n) ≤ 360 …….………. .………. .………. .………...……..12 分 故出版公司至少能赚 302 元,最多能赚 384 元…….. .………. .……….………..13 分 21. 解: (1)在②中令 x=1,有 1≤f(1)≤1,故 f(1)=1 (2)由①知二次函数的关于直线 x=-1 对称,且开口向上 故设此二次函数为 f(x)=a(x+1) ,(a>0),∵f(1)=1,∴a= ∴f(x)=
1 2 (x+1) 4 1 2 2 2 (x+t+1) ≤x ? x +(2t-2)x+t +2t+1≤0. 4
2 2

…………………………3 分
1 4

…………………………7 分

(3)假设存在 t∈R,只需 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x. f(x+t)≤x ?
2

令 g(x)=x +(2t-2)x+t +2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

? ?4 ≤ t ≤ 0 ? g (1) ≤ 0 ? ?? ? ? g (m) ≤ 0 ?1 ? t ? 2 ?t ≤ m ≤ 1 ? t + 2 ?t ?
∴m≤1-t+2 ? t ≤1-(-4)+2 ? (?4) =9 t=-4 时,对任意的 x∈[1,9] 恒有 g(x)≤0, ∴m 的最大值为 9. ………………………… 14 分

第5页


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