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2.2.3线面面面平行的性质定理


2.2.3 直线与平面平行的性质定理
2.2.4 平面与平面平行的性质定理

1

复习:线面平行及面面平行的判定定理
复习1:直线与平面的位置关系
复习2:线面平行的判定方法 复习3:两个平面的位置关系 复习4:面面平行的判定方法

2

复习:线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线 平行,那么这条直线和这个平面平行。 a a ?? b?? a∥? b a∥ b

注明:

?

1、定理三个条件缺一不可。 2、简记:线线平行,则线面平行。 3、定理告诉我们: 要证线面平行,得在面内找 一条线,使线线平行。

3

复习:面面平行的判定定理 平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.

? ? b?? ? ? a ? b ? P ? ? ? / /? ? a / /? ? b / /? ? ?

a??

P

定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行
4

新授课

直线与平面平行的性质定理

(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条



直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
a
a b α


b α

(2)已知直线 a∥平面α,如何在平面α 内找出和直线 a 平行的一条直线?
5

已知:直线a??? , a ? ? , ? ? ? ? b

? 证明: a // ?

求证:a // b

? a与?没有公共点
又因为b在?内

?
a

? a与b没有公共点
又 ? a与b都在平面?内 且没有公共点

b

?

? a // b

6

1.线面平行的性质定理

一条直线和一个平面平行,则过这条 直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行。
β α∩β= m

l??

l ∥α

l

l ∥m
m

α

线面平行

线线平行
7

例题分析
例题1 有一块木料,棱BC平行于面A1C1 要经过面A1C1内一点P和棱BC锯开木料, 应该怎样画线? 这线与平面AC有怎样的 关系?
D1 P A1 D B F B1 C E C1

A

8

例2.已知平面外的两条平行直线中的 一条平行这个平面,求证:另一条也 平行这个平面。
已知: 求证:
?

b
c

a
?
9

例3.求证:如果一条直线和两条相交平面平行,那么 这条直线和它们的交线平行.

已知:? ? ? ? l,a / /?,a / / ? .求证:a / /l
证明:过a作平面? 交平面? 于b, ? a//? ,a ? ? , ? ? ? ? b ? a / /b 同理,过a作平面?交平面? 于c, ? a//?,a ? ? , ? ? ? ? c ? a//c ? b//c 又 ? b ? ? ,c ? ? ? b / / ? 又 ? b ? ? ,? ? ? ? l ? b / /l 又 ? a / /b ? a / /l
10

?

l
b ? a ? ? c

课堂练习: ①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?,b??,则a∥b
其中正确命题的个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

(1)以下命题(其中a,b表示直线,?表示平面)

11

填空:
(1)若两直线a、b异面,且 a ∥ α,则b与α
的位置关系可能是
或b与 α相交

b ∥ α,或b ? α,

(2)若两直线a、b相交,且a ∥ α,则b与 α的位置关系可能是 b ∥ α,b与 α相交

12

2.判断下列命题的对错。
(1)过直线外一点只能引一条直线与 这条直线平行.

(对)

(2)过平面外一点只能引一条直线与 这个平面平行. (错) (3)若两条直线都和第三条直线垂直, 则这两条直线平行. (错) (4)若两条直线都和第三条直线平行, 对 则这两条直线平行. ( )
13

练习:
如果一条直线和一个平面平行,则这条直线( D )

A 只和这个平面内一条直线平行;
B 只和这个平面内两条相交直线不相交; C 和这个平面内的任意直线都平行; D 和这个平面内的任意直线都不相交。

14

思考

平面与平面平行的性质定理

如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个 平面的直线具有什么位置关系? 平行或异面

问题:平面ABCD内哪些 直线会与直线B D 平行?
'
D1 A1 D A B B1 C C1

'

怎么样找到这些直线?
平面ABCD内的直线 只要与B D 共面即可
15

' '

2.平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们 的交线平行. γ ? (1)该定理中有三个条件: ? // ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b α a ? ? ? ? b? ?
(2)该定理作用:“面面平行?线线平行” 面面平行性质定理也是找平行线的重要依据. (3)应用该定理,关键是构造第三个平面,并找出面与面的交线. 以平面为媒介来证线线平行.
β

b

(4)平面与平面平行的其他性质:

1) ? // ? , a ? ? ? a // ? ; 2)? // ? , ? // ? ? ? // ?
3)经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行.
16

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们 的交线平行.

已知平面?,?,? ,若? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b. 求证 : a // b.
证明 : ? ? // ? ? 面? 与面? 没有公共点. ?a ? ?,b ? ? ? 直线a与直线b没有公共点. 又? a ? ? , b ? ? ? a // b.
17

back

例 求证:夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.
已知:? // ? , AB // CD, 且A ?? , C ?? , B ? ? , D ? ? . 求证:AB ? CD
D

?

A

B

C

?

18

练习
2.α、β、γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同直 ②③④⑤ 线,则有一下列命题,不正确的_______.


a // c ? ? ? a // b b // c ? c // ? ? ? ? ? // ? c // ? ?



a // ? ? ? ? a // b b // ? ? a // ? ? ? ? c // ? a // c ?







? // ? ? ? ? b // ? b // ? ?



? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?

19

back

练习
(1) 直线a ∥平面α,平面α内有n条互相平行的直线,那 么这n条直线和直线a( C ) A.全平行 B.全异面 C.全平行或全异面 D.不全平行或不全异面 (2)直线a ∥平面α,平面α内有n条交于一点的直线,那 么这n条直线和直线a 平行的 ( B ) A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.不可能有
20

back

小结
线面平行的判定定理: 线线平行 线面平行
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行.

线面平行的性质定理:

线面平行

线线平行

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个 平面相交,那么这条直线和交线平行.

面面平行判定定理:

线面平行

面面平行

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行.

面面平行性质定理:

面面平行

线线平行

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 21

小结

22

小结
线面平行的判定定理
线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

线面平行的性质定理
线面平行 线线平行

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
23

例3:

长方体ABCD -A1 B1C1 D1中,点P ? BB1 (异于B、B1) PA ? BA1 ? M , PC ? BC 1 ? N , 求证:MN // 平面ABCD
分析 证法1
D A1 D1 C1 B1 P M N C

证法2
A B

24

例3:证 明
连结AC、A1C1 长方体中A1 A//C1C ? A1C1 // AC AC ? 面A1C1 A1C1 ? 面A1C1
? AC // 面A1C1 B AC ? 面ACP
A A1

D1

C1

B1 P M D N C

B

A1 B ? PA ? M ? ? ? 面ACP ? 面A1C1 B ? MN PC ? BC 1 ? N ?

? AC // MN

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD
25

证法2

(略写)
A1

D1

C1

利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质
PM PB ?PBM∽ ?AA1 M ? ? MA AA1 PN PB ?PBN ∽?CC 1 N ? ? NC CC 1

B1 P M D N C

A

B

PM PN ? ? ? AC // MN MA NC

CC 1 ? AA1

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD
26

证法1

例 ? // ? // ? , 直线a与b分别交?,?,? 于点A,B,C和点D,E,F, AB DE (1)求证: ? . BC EF a b 证明 : 如图,连接AF交? 于点G,
再连接BG,CF和GE,AD. 则面ACF与? 和? 的交线分别为BG,CF 又 ? ? // ? ,? BG // CF AB AG ? ? BC GF 同理,面ADF与? 和?的交线分别为AD,GE ?由? // ? 可得AD//GE DE AG AB DE ? ? ,所以 ? . EF GF BC EF
A D

?
G
B E

?
F

?C

27

例 已知α∥β,AB交α、β于A、B,CD交α、β于C、D, AB∩CD=S,AS=8,BS=9,CD=34,求SC.
S

A

C

α

α

A
S

C

β

B

D

β

D

B

练习

28

例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1上一点. 已知BD1//平面AEC,求证:E是DD1的中点.
证明:如图,连接BD交AC于O,连接OE
因为直线BD1//平面AEC,BD1 ? 面DBD1 , 且平面AEC∩面DBD1 =OE 所以BD1//OE.
A1 D1 B1 C
O

C1

E

D A B

在? DBD1中,O为DB的中点,BD1 // OE. 所以点E为DD1的中点.

29

练习
三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上的点,A1B//平面ADC1 . 求证:点D为BC的中点.
A1 C1

证明:如图,连接A1C交AC1于E,连接DE 因为直线A1B//面ADC1 ,A1B 且平面ADC1∩面A1BC =DE 所以A1B//DE.

?面A1BC ,
A

B1
E

C D B

在? A1BC中,E为A1C的中点,A1B // DE. 所以点D为BC的中点.

30

例 如图,平面EFGH分别平行于CD,AB,而E,F,G, H分别是BD,BC,AC,AD上的点,且CD=a,AB=b, CD⊥AB. (1)求证:四边形EFGH为矩形. B (2)设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积. n E
b
F

m
H G C D

? ? A ? ? CD ? 面ACD ? CD//GH ? ? ? ? GH//EF ? 面EFGH ? 面ACD=GH ? ? 同理可证 CD//EF ? ? 同理可证GF//EH, CD // 面EFG
故四边形EFGH为平行四边形.

a

又? GH//CD,GF//AB,CD ? AB ??FGH=90?, 故四边形EGGH为矩形.
31

练习
1.已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC, CD,DA上的点,且EH//FG. 求证EH//BD. A E B H D G
F

C

32

练习
2.如图,棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH. A 求证:BD//面EFGH.

线线平行 ? 线面平行 ? 线线平行 ? 线面平行
B

E

H D G F C

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