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2018-2019学年最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义:1.2空间几何体的三视图和直视图 1.2.1~1.2.2

1.2.1 1.2.2 学习目标 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图 1.了解中心投影和平行投影 .2.能画出简单空间图形的三视图 .3.能识别三视图所 表示的立体模型. 知识点一 投影的概念 思考 由下图你能说出影子是怎样得到的吗? 答案 光照射到不透明物体(比如手)上,在后面的屏幕上留下影子. 梳理 (1)定义:由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种 现象叫做投影. (2)投影线:光线. (3)投影面:留下物体影子的屏幕. 知识点二 投影的分类 投影 中心投影 平行投影 定义 光由一点向外散射形成的投影 在一束平行光线照射下形成的投影 特征 投影线交于一点 投影线平行 正投影和斜投影 分类 知识点三 三视图 思考 如梦似幻! —— 这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印 象.假如你站在水立方入口处的正前方或在“水立方”的左侧看水立方,你看到的是什么? 若你在“水立方”的正上方观察水立方看到什么? 根据上述三个方向观察到的平面,能否画出“水立方”的形状? 答案 “水立方”的一个侧面. “水立方”的一个表面. 可以. 梳理 三视图的概念 (1)定义 (2)三视图的画法规则 ①正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”; ②正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”; ③俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”. (3)三视图的排列顺序:先画正视图,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边. 类型一 中心投影与平行投影 例 1 (1)①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中 心投影后,直线变成直线,但平行线可能变成了相交的直线;③几何体在平行投影与中心投 影下有不同的表现形式.其中正确说法的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 解析 由平行投影和中心投影的定义知,平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相 ) 交于一点,故①正确;空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线有可能变成相交 线,如照片中由近到远物体之间的距离越来越近,最后相交于一点,故②正确;几何体在平 行投影与中心投影下有不同的表现形式,故③正确.故选 D. (2)如图所示,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E,F 分别是 A′A,C′C 的中点,则 下列判断正确的是________.(只填序号) ①四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影是正方形; ②四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是菱形; ③四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影与在面 ABB′A′内的投影是全等的平行四边 形. 答案 ①③ 解析 ①四边形 BFD′E 的四个顶点在底面 ABCD 内的投影分别是 B,C,D,A,所以投影 是正方形,即①正确;②设正方体的棱长为 2,则 AE=1,取 D′D 的中点 G,连接 AG,则 四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是四边形 AGD′E, 由 AE∥D′G, 且 AE=D′G, 知四边形 AGD′E 是平行四边形,但 AE=1,D′E= 5,所以四边形 AGD′E 不是菱形, 即②不正确;对于③,由②可知两个投影四边形是对边分别相等的平行四边形,从而③正确. 反思与感悟 (1)判断一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投 影面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断. (2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等,方法 是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影. 跟踪训练 1 (1)已知△ABC,选定的投影面与△ABC 所在平面平行,则经过中心投影后所得 ) B.相似 的△A′B′C′与△ABC 的关系是( A.全等 C.不相似 答案 B 解析 根据题意画出图形如图. D.以上都不对 AB OB BC OC AC 由图易得 = = = = ,则△ABC∽△A′B′C′. A′B′ OB′ B′C′ OC′ A′C′ (2)如图,E,F 分别是正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方 体的面上的正投影可能是图中的________.(要求把所有可能的序号都填上) 答案 ②③ 解析 其中②可以是四边形 BFD1E 在正方体的面 ABCD 或面 D1DCC1 上的正投影.③可以 是四边形 BFD1E 在正方体的面 BCC1B1 上的正投影.四边形 BFD1E 在正方体任何一个面上 的正投影都不是①④. 类型二 三视图的画法与识别 命题角度1 三视图的识别 例 2 一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的三视图为( ) 答案 C 解析 从该几何体可以看出,正视图是一个矩形内有一斜向上的对角线;俯视图是一个矩形 内有一斜向下的对角线,没有斜向上的对角线,故排除 B、D 项;侧视图是一个矩形内有一 斜向下的对角线,且都是实线,因为没有看不到的轮廓线,所以排除 A 项. 跟踪训练 2 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与 俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( ) 答案 B 解析 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体如图所示,故其侧视图为 B 中的图象. 命题角度2 画几何体的三视图 例 3 画出如图所示的几何体的三视图. 解 如图所示. (1) (2) 引申探究 例 3(2)中的组合体改为如下图形,画出其三视图. 解 图中几何体实际为组合体,下部是三个正方体,上部是一个圆柱,按正方体和圆柱的三 视图画法画出该组合体的三视图,如图所示. 反思与感悟 画三视图的注意事项: (1)务必做到长对正,宽相等,高平齐. (2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置,且正视图在左,侧视图在右,俯视 图在正视图的正下方. (3)若相邻两物体的表面相交,表面的