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广东高考文科数学历年试题分类汇编(导数)

广东高考文科数学历年试题分类汇编-导数
2007 5分 2008 17 分 2009 19 分 2010 14 分 2011 14 分 2012 14 分 2013 19 分 2014 19 分

(2007 年高考广东卷第 12 小题)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 .

?1 ? , ?? ? ? ?e ?

(2008 年高考广东卷第 9 小题)设 a∈R,若函数 y ? e x ? ax ,x∈R 有大于零的极值点,则 ( )
x

【解析】 题意即 e ? a ? 0 有大于 0 的实根,数形结合令 y1 ? ex , y2 ? ?a ,则两曲线交点在第 一象限,结合图像易得 ? a ? 1 ? a ? ?1,选 A. A. a < -1 B. a > -1 C. a < -1/e D. a > -1/e (2008 年高考广东卷第 17 小题)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一 栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平 方米的平均建筑费用为 560 + 48x(单位:元) 。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少, 该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用,平均购地费 用 = 购地总费用/建筑总面积) 。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ? x ? ? ? 560 ? 48 x ? ? f ? ? x ? ? 48 ?

2160 ?10000 10800 x ? 10, x ? Z ? ? ? 560 ? 48 x ? ? 2000 x x

10800 x ? 15 , 令 f ? ? x? ? 0 得 x2 当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0
因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 (2009 年高考广东卷第 8 小题)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??)

【答案】 D 【解析】 f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) e x 故选 D (2009 年高考广东卷第 21 小题)

? ?? ? ( x ? 2)e

x

,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,

已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x =-1 处取得最 小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值

(2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 【解析】 (1)设 g ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ; 又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2


a ?1

?

b ? ?1 2

b?2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1,
f ? x? ?
2

c ? m;

g ? x? m ? x? ?2, x x
2 0 2 2 0

设 P xo , y o
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m 2 ? 2 x0 ? x0 ?

?2 2m2 ? 2 ? 4

m??

2 ; 2
m ? 2 ? 0, x


k x? (2)由 y ? f ? x ? ? k x??1 ? ?

?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0

?*?
m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? (2010 年高考广东卷第 21 小题)

k ? 1?

1 , m

1 k ?1

已知曲线 Cn:y ? nx ,点 P n ( xn , yn )( xn ? 0, yn ? 0) 是曲线 Cn 上的点(n=1,2,…).
2

(1)试写出曲线 Cn 在点 P n 处的切线 l n 的方程,并求出 l n 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; (2)若原点 O (0, 0) 到 ln 的距离与线段 P nQn 的长度之比取得最大值,试求试点 P n 的坐标

(3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 P ( xn , yn ); n的 坐标, 证明:

?
n ?1

s

(m ? 1) xn ? (k ? 1) yn ? 2

ms ? ks (s ? 1, 2,…)

21.解: (1) y ? ? 2nx ,设切线 l n 的斜率为 k ,则 k ? y ? | x ? xn ? 2nxn ∴曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? yn ? 2nxn ( x ? xn ) 又∵点 Pn 在曲线 C n 上, ∴ yn ? nxn
2

∴ 曲 线 C n 在 点 Pn 处 的 切 线 l n 的 方 程 为 : y ? nxn ? 2nxn ( x ? xn ) 即

2

2nxn x ? y ? nxn ? 0
令 x ? 0 得 y ? ?nxn ,∴曲线 C n 在 y 轴上的交点 Qn 的坐标为 (0,?nxn ) (2)原点 O(0,0) 到直线 l n 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比为:
2 2

2

| ?nxn | 4n 2 x n ? 1 x n ? (nxn ? nxn )
2 2 2 2 2

2

?

nxn 1 ? 4n x n
2 2

?

1 1 ? 4nxn nxn

?

1 4

当且仅当

1 1 1 2 时,取等号。此时, y n ? nx n ? ? 4nxn 即 x n ? 2n 4n nxn

故点 Pn 的坐

标为 (

1 1 , ) 2n 4n

(3)证法一:要证

?|
n ?1

s

(m ? 1)x n ? (k ? 1) y n | ?| ms ? ks | (s ? 1,2,?) 2
s

只要证

m ?1 ? k ?1 ?
n ?1

1 2 n

? s | m ? k | (s ? 1,2,?)

只要证

?2
n ?1

s

1 n
1

? s?

m ?1 ? k ?1 m? k
1 n ? n ?1

(s ? 1,2,?) m ?1 ? k ?1 m? k

?


1 2 n

?

n? n

?

? n ? n ? 1 ,又?


?1


?2
n ?1

s

1 n

? 1 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( s ? s ? 1) ? s (s ? 1,2,?) ? s ? m ? 1 ? k ? 1 (s ? 1,2,?)
m? k

(2011 年高考广东卷第 19 小题) 设 a ? 0, 讨论函数 f ( x) ? Inx ? a(1 ? a) x2 ? 2(1 ? a) x的单调性。 解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??).

f ?( x) ?

2a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 , x

当a ?1 时,方程2a(1-a)x2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? 0 的判别式 ①当 0 ? a ?

1? ? ? ? 12(a ? 1) ? a ? ? . 3? ?

1 时, ? ? 0, f ?( x) 有两个零点, 3

x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? ? 0, x2 ? ? 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)

且当 0 ? x ? x1或x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 )与( x2 , ??) 内为增函数; 当 x1 ? x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在( x1 , x2 ) 内为减函数;

1 ? a ? 1时, ? ? 0, f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(0, ??) 内为增函数; 3 1 ③当 a ? 1时, f ?( x) ? ? 0( x ? 0), f ( x)在(0, ??) 内为增函数; x
②当 ④当 a ? 1 时, ? ? 0, x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 2a 2a(1 ? a)

x2 ?

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 所以f ?( x) 在定义域内有唯一零点 x1 , 2a 2a(1 ? a)

且 当 0 ? x ? x1时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 ) 内 为 增 函 数 ; 当 x ? x1 时 ,

f ?( x) ?
0?a? 1 3

内为减函数。 0 ,f 在 x ( 1) ? x( ? , )

f ( x) 的单调区间如下表:
1 ? a ?1 3
a ?1

(0, x1 )

( x1 , x2 )

( x2 , ??)

(0, ??)

(0, x1 )

( x1 , ??)

(其中 x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ) ? , x2 ? ? 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)

(2012 年高考广东卷第 21 小题)(本小题满分 14 分)

2 设 0 ? a ? 1, 集合 A ? x ? R x ? 0 , A ? x ? R 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6a ? 0 ,D ? A

?

?

?

?

B.

(1) 求集合 D (用区间表示) ; (2) 求函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(1 ? a) x2 ? 6ax 在 D 内的极值点. 解: (1)集合 B 解集:令 2x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 (1):当

? ? [?3(1 ? a)]2 ? 4 ? 2 ? 6a ? 3(3a ? 1)(a ? 3)

1 ? ? 0 时,即: ? a ? 1时 ,B 的解集为: {x | x ? R} 3

此时 D ? A ? B ? A ? {x ? R | x ? 0) ( 2 ) 当 ? ? 0时,解得 a ?

1 , (a ? 3舍去) 3

此时,集合 B 的二次不等式为:

2x2 ? 4x ? 2 ? 0 ,

( x ? 1)2 ? 0 ,此时,B 的解集为: {x ? R, 且x ? 1}
(3)当 ? ? 0时, 即0 ? a ? 此时方程的两个根分别为:

故: D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??)

1 ( a ? 3舍去) 3

x1 ?

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 4
1 3

x2 ?

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 4

很明显, 0 ? a ? 时, x2 ? x1 ? 0 故此时的

D ? A? B ? (0, x1 ) ? ( x2 ,??) ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) )?( ,??) 4 4 1 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 综上所述:当 0 ? a ? 时, D ? (0, ( )?( ,??) 3 4 4 1 1 当 a ? 时, D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) 当 ? a ? 1时 , D ? {x ? R | x ? 0) 3 3 ? (0,
(2) 极值点,即导函数的值为 0 的点。 f ?( x) ? 0

f ?( x) ? 6x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 0 即 x2 ? (1 ? a) x ? a ? 0
此时方程的两个根为:

( x ? a)(x ? 1) ? 0

x1 ? a x2 ? 1

(ⅰ)当 0 ? a ?

1 时, D ? (0, x1 ) ? ( x2 ,??) 3

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 即:D ? (0, ) ?( ,??) 4 4

3 ? a ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 4 将分子做差比较: (3 ? a)2 ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ? 8a(3 ? a) 1 Q 0 ? a ? ?8a(3 ? a) ? 0 ? x1 ? a 3 x1 ? a ?
故当 x ? a,是一个极值点

x1 ? 1 ?

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) (3a ? 1) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ?1 ? 4 4
分子做差比较:
2

(3a ?1) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ? 8(3a ?1) ? 0

所以 x1 ? 1

又 x2

?1 ?

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 3(1 ? 3a)(3 ? a) ? (1 ? 3a) ?1 ? 4 4

分子做差比较法:

3(1 ? 3a)(3 ? a) ? (1 ? 3a)2 ? 8(1 ? 3a) ? 0 ,
(ⅱ) 当a

故 x2

? 1 ,故此时 x ? 1 时的根取不到,

?

1 1 16 ) 时, D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) ,此时,极值点取不到 x=1 极值点为( , ? 3 27 3
和a

(ⅲ) 当

1 ? a ? 1时 , D ? {x ? R | x ? 0) ,极值点为: 1 3 1 ? a ? 时, f ( x) 有 1 个 极值点a, 3
和a
2

总上所述: 当0 当

1 ? a ? 1时 , f ( x) 有 2 个极值点分别为 1 3

(2013 年高考广东卷第 12 小题)若曲线 y ? ax ? ln x 在点 ?1, a ? 处的切线平行于 x 轴,则

a =___

1 2

__________;

(2013 年高考广东卷第 21 小题)设函数 f ? x ? ? x ? kx ? x ? k ? R ? .
3 2

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;

(2) 当 k ? 0 时,求函数在 [k , ?k ] 上的最小值 m 和最大值 M . 21. 解: f
'

? x? ? 3x2 ? 2kx ?1
'

(1)当 k ? 1 时 f

? x? ? 3x2 ? 2x ?1, ? ? 4 ?12 ? ?8 ? 0
k
k 3

? f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增.
' 2 (2) 当 k ? 0 时,f ? x ? ? 3x ? 2kx ? 1, 其开口向上, 对称轴 x ?

k , 3

-k

1? 且过 ? 0,
(i)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k? 3
2

x?

?

??k?

3 ? 0 ,即 ? 3 ? k ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在

?

k

?k , ?k ? 上单调递增,
从而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k , 当 x ? ? k 时, f ? x ? 取得最大值 M ? f ? ?k ? ? ?k ? k ? k ? ?2k ? k .
3 3 3

( ii ) 当

?

4 ?k 2

1 ? 2

?

? k4

?? ? k3 ?

?, 3 即? 0 k?? 3 时 , 令

f ' ? x ? ? 3x2 ? 2kx ?1 ? 0
解得: x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k 2 ? 3 ,注意到 k ? x ? x ? 0 , , x2 ? 2 1 3 3
1 2k ? k ,从而 k ? x2 ? x1 ? 0 ;或者由对称结 , x1 ? x2 ? 3 3

(注:可用韦达定理判断 x1 ? x2 ? 合图像判断)

?m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ??, M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ??
f ? x1 ? ? f ? k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x12 ? 1? ? 0

? f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,
3 2 f ? x2 ? ? f ? ?k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? ? ?k 3 ? k ? k 2 ? k ? = ? x2 ? k ? [? x2 ? k ? ? k 2 ? 1] ? 0 2

? f ? x ? 的最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k
综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k
3

解法 2(2)当 k ? 0 时,对 ?x ?? k , ?k ? ,都有

f ( x) ? f (k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x2 ? 1)( x ? k ) ? 0 ,故 f ? x ? ? f ? k ? f ( x) ? f (?k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k )2 ? k 2 ? 1] ? 0
故 f ? x ? ? f ? ?k ? ,而 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k 3 ? k ? 0 所以 f ( x)max ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k , f ( x)min ? f (k ) ? k (2014 年高考广东卷第 11 小题)曲线 y ? ?5e x ? 3 在点 ? 0, ?2 ? 处的切线方程为________. 【答案】 y ? ?5x ? 2 或 5 x ? y ? 2 ? 0 .

(2014 年高考广东卷第 21 小题)已知函数 f ? x ? ? (1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? ? 0, ? 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1 ? a ? R ? . 3

? ?

1? ?1 ? ?1? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? f ? ? . 2? ?2 ? ?2?

【解析】(1) f ? ? x ? ? x2 ? 2x ? a ,方程 x ? 2 x ? a ? 0 的判别式为 ? ? 4 ? 4a ,
2

①当 a ? 1 时, ? ? 0 ,则 f ? ? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 在 R 上是增函数; ②当 a ? 1 时,方程 x ? 2 x ? a ? 0 的两根分别为 x1 ? ?1 ? 1 ? a , x2 ? ?1 ? 1 ? a ,
2

解不等式 x ? 2 x ? a ? 0 ,解得 x ? ?1 ? 1 ? a 或 x ? ?1 ? 1 ? a ,
2

解不等式 x ? 2 x ? a ? 0 ,解得 ?1 ? 1 ? a ? x ? ?1 ? 1 ? a ,
2

此时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ??, ?1 ? 1 ? a 和 ?1 ? 1 ? a , ?? , 单调递减区间为 ?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a ; 综上所述,当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ??, ??? , 当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ??, ?1 ? 1 ? a 和 ?1 ? 1 ? a , ?? , 单调递减区间为 ?1 ? 1 ? a , ?1 ?

?

? ?

?

?

?

?

? 1? a ? ;

? ?

?

3 2 1 ?? 1 ? ? 1 ? 1 ? ?1? 1 3 2 (2) f ? x0 ? ? f ? ? ? x0 ? x0 ? ax0 ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? a ? ? 1? 3 ? 2 ? ?2? 3 ?? 2 ? ? 2 ? ?

3 2 1? 3 ?1? ? ? 2 ?1? ? 1? ? ? ? x0 ? ? ? ? ? ? x0 ? ? ? ? ? a ? x0 ? ? 3? 2? ?2? ? ?2? ? ? ? ? ? ? ?

1? 1 ? ? 2 x0 1 ? ? 1 ?? 1? 1? ? ? ? x0 ? ? ? x0 ? ? ? ? ? x0 ? ?? x0 ? ? ? a ? x0 ? ? 3? 2 ?? 2 4? ? 2 ?? 2? 2? ?

? 1 ? ? x2 x 1 1 ? ? ? x0 ? ? ? 0 ? 0 ? ? x0 ? ? a ? 2 ? ? 3 6 12 2 ? ?
?
若存在 x0 ? ? 0, ?

1? 1? 2 ? x0 ? ? ? 4 x0 ? 14 x0 ? 7 ? 12a ? , 12 ? 2?

? ?

1? ?1 ? ?1? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? f ? ? , 2? ?2 ? ?2? ? ? 1? ?1 ? ? ,1? 上有解, 2? ?2 ?

2 必须 4x0 ?14x0 ? 7 ?12a ? 0 在 ? 0, ?

a ? 0 ,?? ? 142 ?16 ? 7 ?12a ? ? 4 ? 42 ? 48a ? ? 0 ,

?? 方程的两根为 x1

?14 ? 2 21 ? 48a ?7 ? 21 ? 48a , ? 8 4 ?14 ? 2 21 ? 48a ?7 ? 21 ? 48a ?? , x2 ? 8 4 ?? x0 ? 0 ,? x0 ? x2 ?7 ? 21 ? 48a , 4

依题意, 0 ?

?7 ? 21 ? 48a ? 1 ,即 7 ? 21 ? 48a ? 11 , 4
25 7 ?a?? , 12 12

? 49 ? 21 ? 48a ? 121 ,即 ?

又由

5 ?7 ? 21 ? 48a 1 ? 得a ? ? , 4 4 2 5 , 4

故欲使满足题意的 x0 存在,则 a ? ? 所以,当 a ? ? ?

? 25 5 ? ? 5 7 ? ? 1? ?1 ? , ? ? ? ? , ? ? 时,存在唯一 x0 ? ? 0, ? ? ,1? 学科网满足 ? 12 4 ? ? 4 12 ? ? 2? ?2 ? ?1? f ? x0 ? ? f ? ? , ?2?

当 a ? ? ??, ?

25 ? ? 5 ? ? 7 ? ? 1? ?1 ? ?? ? ?? , 0 ? 时,不存在 x0 ? ? 0, ? ? ,1? 满足 ? 12 ? ? 4 ? ? 12 ? ? 2? ?2 ? ?1? f ? x0 ? ? f ? ? . ?2?

? ?

【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区间,从中渗透了利 用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题,并考查了利用作差法求解不等式的问 题,综合性强,属于难题.


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