当前位置:首页 >> 职高对口 >>

圆锥曲线知识点汇总.


圆锥曲线与方程知识点汇总

§2.1

椭圆

1、椭圆的定义:
F1

M

F2

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距。 椭圆形成演示 MF1 ? MF2 ? 2a 椭圆定义.gsp

F1 F2 ? 2c

2a ? 2c ? 0时, 为椭圆

满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆?

(1)平面上----这是大前提 ? (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和 是常数 2a ? (3)常数 2a 要大于焦距 2c
?

MF ? MF ? 2 a ? 2 c 1 2
4





平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
y P y F2 x
O

不 同 点




F1
O

P
x

F2

F1

标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a
F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

a2-c2=b2

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

典例分析 求椭圆的标准方程 (1)首先要判断类型, (2)用待定系数法求 a, b a2=b2+c2

例1.椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0) (4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10, 求椭圆的标准方程。 解: ∵椭圆的焦点在x轴上
.

∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2-c2=52-42=9

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
F1

2

2

y
M

o

F2

x

x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 25 ? 9 ? 1

例2. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为( - 2,0), 5 3 (2,0)并且经过点( , - ),求它的标准方程. 2 2
解 : 因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 x y + =1(a > b > 0). a b
2 2 2 2

由椭圆的定义知 2a = ?5 ? ? 3? + 2 + ? ? ?- ? + ?2 ? ? 2?
2 2 2

?5 ? ? 3? 2 + ? ? ? - ? = 2 10 ?2 ? ? 2?
2 2 2 2

所以a = 10. 又因为c = 2, 所以b = a - c =10 - 4 = 6.

因此,所求椭圆的标准方程为 x y + =1. 10 6
2 2 2 2

1 1 1 变式引申:求焦点在y轴上,且经过点A( , )、B(0,- )的 3 3 2 椭圆的标准方程.
y x 解:设所求椭圆的方程为 + = 1, a b 1 1 1 将A( , ), B(0, - ) 代入得: 3 3 2 2 ? ? 1 ?2 1? ? ?? ? ? ? ?? 3 ? + ? 3 ? =1 ? ? a2 b2 , ? 2 ?? 1 ? ?? - ? ?? 2 ? =1 ? ? a2 1 ? 2 a = , ? ? 4 解得: ? ? b2 = 1 . ? 5 ? y x 故所求椭圆的标准方程为 + = 1. 1 1 4 5
2 2 2 2 2 2

?思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉,怎么办?

~ 求曲线方程的方法:

定义法:如果所给几何条件正好符合某 一特定的曲线(圆,椭圆等)的定义,则可 直接利用定义写出动点的轨迹方程. 待定系数法:所求曲线方程的类型已知, 则可以设出所求曲线的方程,然后根据条件求 出系数.用待定系数法求椭圆方程时,要“先定 型,再定量”.

2、椭圆的简单几何性质:
标准方程 图象 范围 对称性
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 y P x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a y

F1 OF2

x

F2 P
F1
O

x

-a≤x≤a, -b≤y≤b
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)

-b≤x≤b, -a≤y≤a
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)

对称轴为x轴、y轴;对称中心为原点

顶点坐标
焦点坐标
半轴长

(c,0)、(-c,0)
e ? c a

(0 , c)、(0, -c)

长轴长为2a,短轴长为2b. 焦距为2c

离心率 a、b、c的关 系

(0<e<1)

c2=a2-b2

椭圆离心率的取值范围?离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响? e∈(0,1). e越接近于0,椭圆越圆; e越接近于1,椭圆越扁.

§2.2

双曲线

1、双曲线的定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考: (1)2a<2c ; (2)2a >0 ;
F
1

M

o

F

2

(1)若2a=2c,则轨迹是什么? (1)两条射线 (2)若2a>2c,则轨迹是什么? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线





平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

y
M

M x
2 2

y F
O 2

不 同 点




OF F 1 2
2 2

x

F
1

标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x y y x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b a b
F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

c2=a2+b2
看 x 2 , y 2 前的系数,哪一个为正,则在哪一个轴上

典例分析 (参考课本 P58 例 ) 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

2、双曲线的简单几何性质:
双 曲 线
2 2

性 质 图象
y

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x y ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

x?a
x

o

x ? ?a
y?a




y ? ?a

b c 关于 (? a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c2 ? a 2 ? b2 ) 称 (0,? a) y ? ? x b
17

例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐近线方程.

y x ? ?1 解:把方程化为标准方程 16 9
可得实半轴长a=4,虚半轴长b=3

2

2

焦点坐标为(0,-5)、(0,5)

4 渐近线方程为 y ? ? x 3
18

c 5 离心率e ? ? a 4

5 例2 已知双曲线顶点间的距离是16,离心率e ? , 4 焦点在x轴上,中心在原点,写出双曲线的方

程,并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解:
x2 y2 ? ?1 64 36

3 ? 渐近线方程为 y ? ? x 4

焦点F1 (?10,0), F2 (10,0)
3 思考:一个双曲线的渐近线的方程为: y ? ? x ,它的 4 5 5 离心率为 或 . 4 3
19

3.双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,c2=a2-b2

范围

|x|?a,|y|≤b
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴:2a 短轴:2b

|x| ≥ a,y?R
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点

对称性

顶点

(-a,0) (a,0) 实轴:2a 虚轴:2b

离心率
渐近线
准线

e=

c

a

( 0<e <1 )

e=

c (e?1) a
b a x


a2 x?? c

y= ±

21

§2.3

抛物线

1、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,
H

d

M

·

C

·
F

焦 点

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

d 为 M 到 l 的距离 MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d

y ? 2 px
2

p ? 0是焦准距

--抛物线标准方程

图 l y
O



标准方程

焦点坐标

准线方程

F
l
O

x

y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2 p ( ? ,0 ) 2 p (0, ) 2

x??

四种抛物 p 线的对比
2

y
F

x

p P的意义:抛物 x? 2 线的焦点到准
线的距离

y
F
O

l

x

p 方程的特点: y?? 2 (1)左边是二次 p y? 2

y
l
O F

x

p x2=-2py (0, ? ) (p>0) 2

式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.

典例分析
(1)已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ,求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线:x =-
2 3 2

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求 抛物线的标准方程 x 2 =-8 y 看图 (3)已知抛物线的准线方程为 x = 1 ,求抛物 y 2 =- 4 x 线的标准方程 看图 (4)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程 9 4 2 2 看图 y = 3 x或 x = 2 y

2、抛物线的简单几何性质:
方程 图 y2 = 2px y2 = -2px ( p> 0 ) y l F O x2 = 2py ( p> 0 ) y F x2 = -2py ( p> 0) y l O ( p> 0) y l O F x x≥0 y∈R


范围

x

O

x l

F

x

x≤0 y∈R

x∈R y≥0 x∈R y≤0

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称

顶点
离心率

(0,0)

e=1

(标准方程中2p的几何意义) 补充(1)通径: y 通过焦点且垂直对称轴的直线, P ( x0 , y0 ) 与抛物线相交于两点,连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。 通径的长度:2P O F x

P越大,开口越开阔

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 (2)焦半径: 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做 抛物线的焦半径。 焦半径公式:|PF|=x0+p/2

抛物线的基本元素 y2=2px Y

基本点:顶点,焦点
基本线:准线,对称轴

X
基本量:P(决定抛物线 开口大小)

特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2
y =4x y2=2x 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心 ; 2
4 3 2 1 -2 2 4 6 8 10

2 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 ;
-1 -2

y =x 1 2 y = x

4.抛物线的离心率是确定的,为1;
-3 -4 -5

5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.

P越大,开口越开阔

图 形
y
l O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴

e

y2 = 2px p p F ( , 0 ) x?? x (p>0) 2 2
l

y
F O

y2 = -2px p p F ( ? ,0) x ? 2 x(p>0) 2 x2 = 2py p p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0) x2

y∈R
(0,0) 1 y≥0 x∈R y轴 y≤0

y
O

F

l

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2

l

x∈R

典型例题: 例1.已知抛物线关于x轴对称,顶点在坐标 原点,并且过点M(2, ?2 2 ),求它的标准方程.
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 解:因为抛物线关于 x轴对称,它的顶点在原 点,并且经过

点M (2,?2 2 ),所以,可设它的标准方 程为y 2 ? 2 Px( P ? 0)

因为点M在抛物线上,所以 (?2 2 )2 ? 2P ? 2,即p ? 2
因此,所求抛物线的标 准方程是y ? 4x
2

变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点

M(2, ?2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.

例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.

解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);

法三 :设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长. 法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.

还有没有其他方法?

例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点 为F(1,0),所以直线AB的方程为 y=x-1
y

A’

A O F B
x

代入方程y 2 ? 4 x, 得( x ? 1)2 ? 4 x, 2 化简得x ? 6 x ? 1 ? 0. ? x1 ? x2 ? 6 ? ? B’ ? x1 ? x2 ? 1
? AB ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8

所以,线段 AB的长是8。

例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 解法二:由题意可知, p p ? 2, ? 1, 准线l : x ? ?1. 2
y

A’

A O F B
x

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为 d A , dB .
由抛物线的定义可知 AF ? d A ? x1 ? 1, BF ? d B ? x2 ? 1,

B’

所以 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? 2 ? 8


相关文章:
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结 - 圆锥曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a (大于 | F1F2 | )的点的...
高中数学圆锥曲线知识点总结_图文
高中数学圆锥曲线知识点总结 - 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一: 在平面内到两定点的距离之和等于定长...
高中数学圆锥曲线知识点总结_图文
高中数学圆锥曲线知识点总结 - 由学霸笔记总结而来,很多有用的结论... 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线: 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适...
圆锥曲线知识点汇总._图文
圆锥曲线知识点汇总. - 椭圆与双曲线 一、图像与性质 椭圆:把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫作椭圆. 标准方程 ...
圆锥曲线知识点总结 椭圆 双曲线 抛物线
圆锥曲线知识点总结 椭圆 双曲线 抛物线 - 圆锥曲线知识点总结 圆锥曲线知识点总结 1. 椭圆的性质 . 条件 {M|MF1 |+|MF2 |=2a , 2a &gt;|F1 F2|} |MF...
圆锥曲线知识点汇总超好详细
圆锥曲线知识点汇总超好详细 - 圆锥曲线知识点汇总 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a (大于 | F1 F2 | )的点的...
最全圆锥曲线知识点总结
最全圆锥曲线知识点总结 - 直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为___; 高中数学椭圆的知识总结 1.椭圆的定义: 平面内一个动点 P 到两个定点 F1 ...
圆锥曲线知识点总结与经典例题
圆锥曲线知识点总结与经典例题 - 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般...
圆锥曲线知识点梳理(文科)
圆锥曲线知识点梳理(文科) - 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、圆: 1、定义:点集{M||OM|=r} ,其中定点 O 为圆心,定长 r 为半径. 2、方程:(1)标准...
高考圆锥曲线知识点总结(简洁全面)_图文
高考圆锥曲线知识点总结(简洁全面) - 椭圆 图 双曲线 抛物线 l y y l y o F 标准方程 x F o x F l o x x2 y2 ? 2 ? 1...
更多相关标签: