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排列组合与二项式定理


排列组合与二项式定理
计数的方法与原理: 一、 计数的方法与原理: (一) 知识点复习: 一 知识点复习: 问题 1:我们已掌握的计数的方法与原理有哪些? 1) 枚举法;2) 分类计数原理; 3) 分步计数原理; 4) 排列、组合的公式 问题 2:对分类计数原理、分步计数原理的理解: 问题 3:排列、组合的公式 An = n( n ? 1) L ( n ? m + 1) =
m

n! (n ? m)!

m Cn =

n(n ? 1) L (n ? m + 1) n! 是如何推导出来的? = m(m ? 1) L × 2 × 1 (n ? m)!m!

(二) 例题分析: 二 例题分析: 例 1.乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名参加比赛,3 名主力队员要安排在 第一、三、五位置,其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有 种(用数字作答)
3 2 A3 ? A7 = 252

例 2. (2006 年陕西卷)某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人), 其中甲和乙不同去, 甲和丙只能同去或同不去, 则不同的选派方案共有 种. 答案:600 (三) 习题分类: 三 习题分类: 第一部分: 大分步) (大分步 第一部分: 大分步) ( 1.圆周上有 2n 个等分点 ( n > 1) ,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ;

n ? ( 2 n ? 2) = 2 n 2 ? 2 n
2. 6 名同学排成一排,甲乙两人必在一起的不同排法有 ( ) (A)720 种 (B)360 种 (C)240 种 (D)120 种 答案:C 3.某电子表以六个数字显示时间,例 09:20:18 表示 9 点 20 分 18 秒,则在 0 点至 10 点之间,此电子表出现不重复数字有时刻有 次; 答案:4200 次 4.已知 {1,2} ? A ? {1,2,3,4,5,6} ,则满足条件的集合 A 的个数有 个; 答案:16 5.从 1 到 1000 的自然数中,不含数字 3 的有 个。 答案:729 个 6.在 8 个男同志和 5 个女同志中,要组织一个由数目为偶数的男同志(可以为 0)和数

目不少于 2 的女同志组成的小组,则有

种组成方式。

答案:3328

7.从六双不同的鞋中随意取出 5 只,正好有一双的取法总数。
1 3 1 1 1 C 6 × C 5 × C 2 × C 2 × C 2 = 480

8.某校高二年级共有六个班级,现从外地转来4名学生,要安排到年级的两个班级里, 每班安排2名,则不同的安排方案种数为: ( ) 答案: C6 C 4
2 2

9. (2006 年北京卷)在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各 位数字之和为偶数的共有( (A)36 个 第二部分: 大分类) (大分类 第二部分: 大分类) ( 1.电子表用 11 : 35 表示 11 点 35 分,用 06 : 05 表示 6 点 5 分,那么从 2 点到 10 点之间 电子表中出现无重复数字的时刻有 次。 答案:252 种 2.从1至9这9个自然数中取出3个数,使这3个数的和为偶数,问共有多少种不同的 取法? 答案: C 5 × C 4 + C 4 = 44
2 1 3

) (C)18 个 (D)6 个 答案:A

(B)24 个

3. (2006 年全国卷 2)将 5 名志愿者分到 3 所学校支教,每个学校至少去一名志愿者, 则不同的分派方法共有( ) (A)150 种 (B)180 种 (C)200 种 (D)280 种 答案:A. 4. (2006 年辽宁卷)在 5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员. 现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、 2 号中至少有 1 名新队员的排法有_______种 (以数作答) . 答案:48. 5. (2006 年天津卷)用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数,则其中数字 1, 2 相邻的偶数有 个(用数字作答) . 答案:24. 6. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里 的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( (A)10 (B)20 种 (C)36 种 ) (D)52 种

(答:A . 2006 年天津卷) 7.设集合 I={1,2,3,4,5} ,选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有( (A)50 种 (B)49 种 ) (C)48 种 (D)47 种

(答:B . 2006 年全国卷 1) 8.某天某班的课程表要排语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课程,如果第一节 不排体育,最后一节不排数学,一共有多少种不同的排法? 答案: A6 ? 2 A5 + A4 = 504
6 5 4

9.编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也是1,2,3,4,5的一个座位,最 多有两个人对号的坐法有多少种? 答案: A5 ? (C 5 × 1 + C 5 × 0 + C 5 ) = 109
5 3 4 5

第三部分: 枚举) (枚举 第三部分: 枚举) ( 1.从 1 至 100 的自然数中,每次取出两个不同的自然数相加,使其和大于 100,有 不同的取法. 答案:2500 种 2. 在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A,B 两种作物,每种作物种植 1 垄, 为有利于作物生长,要求 A,B 两种作物的间隔不小于 6 垄,则不同的选垄种植方法共有 种; 答案:12 种 3.在长度分别为 1,2,3,4,5 的五条线段中任意取出 3 条的不同取法共有 n 种,在这些 取法中,以取出的三条线段为边可以组成的钝角三角形的个数为 m, 求

m 值。 n
答案:

1 5

4.经理有 4 封信,按照第 1,2,3,4 封的顺序先后交给打字员,要求打字员总是先打最 近接到的信。比如:正打第 3 封信时第 4 封信到了,应立即停下第 3 封信,转打第 4 封信; 第 4 封信打完后,接着打第 3 封信,而不能先打第 1 或第 2 封信。问:打字员打完这 4 封信 的先后顺序有多少种可能? 5.从1,2,3,4,7,9这六个数中任取两个数,分别作为一个对数的底数和真数, 则不同的对数值的总个数为: ( ) 答案: 1 + A5 ? 4 = 17
5

第四部分: 对应法计数) (对应法计数 第四部分: 对应法计数) (

1.从 A 到 B 共有多少条最短路线?
6 答案: C14

2.在给出的图中,用水平或垂直的线段连结相邻的字母,按这些线段行走时,正好拼出

“竞赛”即: “CONTEST”的路线有

条。

答案:127 C COC CONOC CONTNOC CONTETNOC CONTESETNOC CONTESTSETNOC

B

C A

D

3. 把 30 个糖果分给 8 个小朋友,每人至少一个有多少种分法? 答案: C 29 4.把 30 个糖果分给 8 个小朋友,每人至少两个有多少种分法?
7 答案: C 21

7

3’ x + y + z + u + v = 30 有多少组非负整数解? . 答案: C 34 4’ x + y + z + u + v = 30 有多少组大于等于 2 的整数解? . 答案: C 24 5.从红、黄、蓝三种颜色球中取出 7 个球,有多少种取法? 答案: C 9
2 4
4

6.有编号为1,2,3的3个盒子,把10个相同的小球全部装入3个盒子中,使得每 个盒子所装的球数不小于盒子的编号数,这样的装法共有多少种? 答案: C 6 = 15
2

第五部分: 递推法计数) (递推法计数 第五部分: 递推法计数) ( 1. 上楼梯时,每步可上一阶或两阶,共有 10 阶台阶,问共有多少种上法? 答案:89 2. 在一个平面上任意画出五条直线,最多可以将平面分成 部分; 答案:16 3. 用 5 种不同的颜色给六边不等的六边形染色,要求邻边不同色,问共有多少种染色方法 答案:4100 4. 有10枚相同的棋子,甲、乙两人轮流取子,每次可取 1 至 2 枚,取完为止。求首尾两 次都是甲取子的取法种数。

答案: a1 = 1, a 2 = 1, a 3 = 1, a 4 = 3, a 5 = 4, a 6 = 6, a 7 = 11, a8 = 17, a 9 = 27, a10 = 45 5.圆上有 8 个点,现以这 8 个点为端点作出 4 条弦,要求任意两条弦均无公共点,试问共 有多少种作法?
A B H

答案:14

C F D E

G

二、二项式定理: 二项式定理: (一) 二项式定理内容: 一 二项式定理内容:
0 1 2 n (a + b) n = C n a n + C n a n?1b1 + C n a n? 2 b 2 + L + C n b n

(展开式中的第 r + 1 项为: C n a
r n 0 1 2 2

n?r

br )

推论: 推论: (1 + x) = C n + C n x + C n x + L + C n x
0 1 2 n

n n

当 x = 1 时得: C n + C n + C n + L + C n = 2
0 1 2 3

n

当 x = ?1 时得: C n ? C n + C n ? C n L + ( ?1) C n = 0
n n

二项式系数的性质:
m n C n = C n ?m

( n > m)

m m m C n = C n?1 + C n??1 1
k k ?1 kC n = nC n ?1 (n > k)

( n > m)

(二) 二项式定理与杨辉三角形: 二 二项式定理与杨辉三角形:

1 1 1 1 3 2 3 1 1 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

(三) 例题分析: 三 例题分析:

1 ? ? 4 1.在 ? x ? ? 的展开式中,x 的系数为( 2x ? ?
(A)-120 (B)120

10

) (C)-15 (D)15

(答:C. 2006 年全国卷 1) 2.若 (ax ? 1) 5 的展开式中 x3 的系数是 80,则实数 a 的值是( (A)-2 (B) 2 2 (C)
3

) (D)2 (答:D . 2006 年湖南卷)

4

1 ? 3. ? x ? ? ? 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( ) 3x ? ?
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6 (答:B. 2006 年江苏卷) 4. ( 1999 年 全 国 高 考 试 题 ) 若 ( 2 x + 3 ) = a 0 + a1 x + a 2 x + a3 x + a 4 x , 则
4 2 3 4

10

(a 0 + a 2 + a 4 ) 2 ? (a1 + a3 ) 2 的值为(
(A)1 5.若 (1 ? 2 x ) (B)-1 (C)0

) (D)2 答案:A

2004

= a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L + a 2004 x 2004 ( x ∈ R ) ,则
; 答案:2004

(a 0 + a1 ) + (a 0 + a 2 ) + (a 0 + a 3 ) + L + (a 0 + a 2004 ) =

6.若多项式 x2+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10 (x+1)10,则 a9=( ) (A) 9 (B)10 (C)-9 (D) -10 (答:D. 2006 年浙江卷) 7.若 3 x -

(

1 x

) n 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为(
(B)-162 (C)162 (D)540



(A)-540

(答:A. 2006 年重庆卷) 8. 化简:A1 + 2 A2 + 3 A3 + L + nAn
1 2 3 n

答案:( n + 1)!?1

9. lim

2 2 2 2 C 2 + C3 + C 4 + L + C n 1 1 1 1 n(C 2 + C3 + C 4 + L + C n )

n →∞

=
答案:

1 3

10. 已知

m m C n ?1 C n C m+1 m = = n , C n ?1 求 6 14 21

答案: n ?1 = C8 = 56 C
m 3


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