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浙江省温州中学2013-2014学年高一下学期期中数学试题 Word版含答案


温州中学 2013 学年高一第二学期期中考试数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.在 ?ABC 中,下列式子一定成立的是( ) A. a sin A ? b sin B B. a cos A ? b cos B C. a sin B ? b sin A D. a cos B ? b cos A 2.已知 ?ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 , 则 AD ? ( A. a ? b )

1 3

1 3

B.

2 2 a? b 3 3

C.

3 3 a? b 5 5

D.

4 4 a? b 5 5


3.已知 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和, Sn ? an2 ? bn ? c( a, b, c ? R ) ,那么数列 {a n }( A.不管 a , b, c 取何值是等差数列 C.当 c ? 0 时是等差数列 B.当 a ? 0 时是等差数列 D.不管 a , b, c 取何值都不是等差数列 )

4.已知在 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 3, AB ? BC ? 1 ,则 BC ? ( A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23

5.设公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若 a 4 是 a3与a7 的等比中项 , S8 ? 32 , 则

S10 等于(
A. 18

) B. 24 C. 60 D. 90
.

6.在平面直角坐标系中,A(?2,0), B(1,3), O 为坐标原点, 且 OM ? ? OA ? ? OB(? ? ? ? 1) ,

N (1,0) ,则 MN 的最小值为(



A.

2 2

B.

3 2 2

C.

9 2

D.

3 2

7. 已 知 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 已 知 点 D 是 边 BC 的 中 点 , 且

2 AD ? BC ? a 2 ? ac ,则 B 的大小为(
A.45° B. 60°

) C.90°
?

D.120
? ? ? ?

8.定义:对平面内的凸 n 边形 A1 A2 A3 ? ? ? An ,若点 M 满足 MA1 ? MA2 ? MA3 ? ? ? ? MAn ? 0 , 则点 M 称为该凸 n 边形的 “平衡点” , 则对任意的凸 n 边形, 它的 “平衡点” 的个数为 ( )

A.有且仅有 1 个

B.有 n 个

C.无数个

D.不确定,但与 n 有关

9.已知锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,外接圆半径为 1, D 为边 BC 上一 点, AD ? BC ? 0 ,向量 m ? (sin A, a), n ? (sin B, c) ,且 m // n ,则 AD ? BC 的取值范围为 ( ) B. (2, 5 ? 1] C. (3, 5 ? 1] D. (2,3)

A. (0, 5 ? 1]

10.已知 a, b, c, d 为偶数,且 0 ? a ? b ? c ? d , d ? a ? 90 , a , b, c 成等差数列, b, c, d 成 等比数列,则 a ? b ? c ? d 的值为( A.384 B.324 ) D.194

C.284

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 b ? 1 , c ? 3 , ?c ? 1 。
?

2? ,则 a = 3

12.已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____ 3 2
* 13.已知数列 ?a n ?满足对任意的 m, n ? N 有 am? n ? am ? an ? 2mn成立,且 a1 ? 1 ,则 a 2014
2

的值为______________ 2014

14. 设 P 是半径为 1 的圆上一动点,若该圆的弦 AB ? 3 ,则 AP ? AB 的取值范围为 ___ [ - 3 ,

3 2

3 ? 3 ] _____ 2

15.设数列 ?a n ?,如果存在常数 a ,对于任意给定的正数 q (无论多小) ,总存在正整数 M , 使得当 n ? M 时,恒有 an ? a ? q 成立,就称数列 ?a n ?为收敛数列,且收敛于 a .则下列结 论中,正确的是_②③____________ ①等差数列 ?a n ?一定不是收敛数列;②等比数列的公比 q 满足 q ? 1 ,前 n 项和为 S n ,则 数列 ?S n ? 收敛;③等差数列 ?a n ?公差不为 0,数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和为 S n ,则数列 ?S n ? a a ? n n ?1 ?

(?1) n 收敛;④数列 ?a n ?的通项公式为 an ? 1 ? ,则 ?a n ?不收敛. n

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. ?ABC 中, AC ? 1, BC ? 3, AB ? 7 , M 为边 BC 上一点. (1)若向量 AM ?

1 2 AB ? AC ,求 BM 的长. 3 3

(2)若 sin ?AMC ?

3 ,求 AM 的长; 3
1 2 2 2 AB ? AC ? AB ? ( AC ? AB ) ? BC ,? BM ? 2 3 3 3 3

(1)解: BM ? AM ? AB ?

(2)解:由余弦定理得 cosC ? 再由正弦定理得

AC 2 ? BC 2 ? AB2 1 3 ? ,? sin C ? , 2 ? AC ? BC 2 2

AC AM 3 ? ,? AM ? sin ?AMC sin C 2

17.已知等差数列 ?a n ? 的公差为 d (d ? 0) , a1 , a2 , a4 恰为等比数列 ?bn ?的前 3 项,且 b4 ? 8 (1)求数列 ?a n ? , ?bn ?的通项公式; (2)令 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 S n .

(1)解 : 由 已 知 得 a2 ? a1 ? a4 ,?a1 ? d , ? 数 列 ?bn ? 的 公 比 为 2 , 又 b4 ? 8 ,
2

?8d ? 8,? d ? 1,?an ? n, bn ? 2n?1
(2) cn ? an ? bn ? n ? 2n?1 ,

S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ? ? ? ? n ? 2 n ?1 2S n ? 1? 21 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2n ? ? S n ? 1 ? 21 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ? (1 ? n) ? 2 n ? 1 ? S n ? (n ? 1) ? 2n ? 1

18.已知 ?ABC中,角 A, B, C 对应的边分别为 a , b, c ,且满足 (1)判断 ?ABC的形状; (2)求

a?b ? cos A ? cos B . c

sin A ? sin B 的取值范围. sin A ? sin B
a?b sin A ? sin B ? cos A ? cos B 得 ? cos A ? cos B , c sin C

(1)解:由

? sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? sin C ? cos B, ? sin(B ? C ) ? sin( A ? C ) ? sin C ? cos A ? sin C ? cos B, ? sin B cosC ? sin A cosC ? 0, ? sin A ? sin B ? 0,? cosC ? 0,? C ? 90?
? ?ABC 为直角三角形.
(2)解:? C ? 90?,? sin B ? cos A,?

sin A ? sin B sin A ? cos A ? , sin A ? sin B sin A ? cos A
2

t 2 ?1 令 sin A ? cos A ? t ,则 1 ? 2 sin A cos A ? t ,? sin A cos A ? , 2
所以原式=

1 1 ? (t ? ) ,又 t ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) ? (1, 2 ] , 2 t 4

?

sin A ? sin B 2 ? (0, ] sin A ? sin B 4

19.已知函数 f ( x) ? m x ? n ,当 x ?[a1 , b1 ] 时,值域为 [a2 , b2 ] ,当 x ? [a2 , b2 ] 时,值域为

[a3 , b3 ] ,...,当 x ? [an?1 , bn?1 ] 时,值域为 [an , bn ] ,其中 m, n 为常数, a1 ? 0, b1 ? 1
(1)若 m ? ?1, n ? 0 ,求 a n ; (2)若 m ? 3 ,设数列 ?a n ? 与 ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,求 T2014 ? S 2014 ; (3)若 m ? 2, n ? 1 ,求证:

b n 1 b1 b2 n ? ? ? ? ??? ? n ? . 2 3 b2 b3 bn ?1 2

(1)解:当 m ? ?1, n ? 0 时,函数 f ( x) ? m x ? n 在定义域内为减函数,

?an ? ?bn?1 , bn ? ?an?1 ,? an?1 ? ?bn ? an?1 ,

? 0, n为奇数 ? an ? ? ?- 1, n为偶数
(2)解:当 m ? 3 ,函数 f ( x) ? m x ? n 在定义域内为增函数,

? an ? 3an?1 ? n, bn ? 3bn?1 ? n, ?bn ? an ? 3(bn?1 ? an?1 )
??bn ? an ?是公比为 3 的等比数列, bn ? an ? (b1 ? a1 ) ? 3n?1 ? 3n?1 ,
?T2014 ? S 2014 ? (b1 ? b2 ? ? ? ? ? b2014 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ? ? a2014 ) ? (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? ? ? (b2014 ? a2014 ) ? 30 ? 31 ? ? ? ? ? 32013 ? 1 ? 32014 1 2014 ? ? (3 ? 1) 1? 3 2

(3)解:当 m ? 2, n ? 1 时,bn ? 2bn?1 ? 1,?bn ? 1 ? 2(bn?1 ? 1),?bn ? 1 ? 2n ,?bn ? 2n ?1

1 n ?1 1 (2 ? 1) ? bn 2n ? 1 2 2 ? 1?1? 1 ? 1, ? ? n ?1 ? n ?1 bn ?1 2 ? 1 2 ?1 2 2 2 n ?1 ? 1 2

?

b b1 b2 n ? ? ??? ? n ? b2 b3 bn?1 2

1 1 1 2n ? 1 - ? n ?1 ? n ?1 , 2 6 2 2 ?1 又易证当 n ? 1 时, b b b n 1 1 n 1 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ? ? (1 ? n ) ? ? b2 b3 bn ?1 2 3 2 2 3
当 n ? 1 时,不等式成立,得证.

温州中学 2013 学年高一第二学期期中考试数学试卷参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 C D C A C B B A B D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11. 13. 1 12. 14. 3 2

20142
②③

3 3 [ ? 3, ? 3 ] 2 2

15.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (1)解: BM ? AM ? AB ?

1 2 2 2 AB ? AC ? AB ? ( AC ? AB ) ? BC ,? BM ? 2 3 3 3 3

(2)解:由余弦定理得 cosC ? 再由正弦定理得

AC 2 ? BC 2 ? AB2 1 3 ? ,? sin C ? , 2 ? AC ? BC 2 2

AC AM 3 ? ,? AM ? sin ?AMC sin C 2

17. ( 1 ) 解 : 由 已 知 得 a2 ? a1 ? a4 ,?a1 ? d , ? 数 列 ?bn ? 的 公 比 为 2 , 又 b4 ? 8 ,
2

?8d ? 8,? d ? 1,?an ? n, bn ? 2n?1
(2)解: cn ? an ? bn ? n ? 2
n?1



S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ? ? ? ? n ? 2 n ?1 2S n ? 1? 21 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2n ? ? S n ? 1 ? 21 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ? (1 ? n) ? 2 n ? 1 ? S n ? (n ? 1) ? 2n ? 1

18. (1)解:由

a?b sin A ? sin B ? cos A ? cos B 得 ? cos A ? cos B , c sin C

? sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? sin C ? cos B, ? sin(B ? C ) ? sin( A ? C ) ? sin C ? cos A ? sin C ? cos B, ? sin B cosC ? sin A cosC ? 0, ? sin A ? sin B ? 0,? cosC ? 0,? C ? 90?
? ?ABC 为直角三角形.
(2)解:? C ? 90?,? sin B ? cos A,?

sin A ? sin B sin A ? cos A ? , sin A ? sin B sin A ? cos A

2 令 sin A ? cos A ? t ,则 1 ? 2 sin A cos A ? t ,? sin A cos A ?

t 2 ?1 , 2

所以原式=

1 1 ? (t ? ) ,又 t ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) ? (1, 2 ] , 2 t 4

?

sin A ? sin B 2 ? (0, ] sin A ? sin B 4

19. (1)解:当 m ? ?1, n ? 0 时,函数 f ( x) ? m x ? n 在定义域内为减函数,

?an ? ?bn?1 , bn ? ?an?1 ,? an?1 ? ?bn ? an?1 ,

? 0, n为奇数 ? an ? ? ?- 1, n为偶数
(2)解:当 m ? 3 ,函数 f ( x) ? m x ? n 在定义域内为增函数,

? an ? 3an?1 ? n, bn ? 3bn?1 ? n, ?bn ? an ? 3(bn?1 ? an?1 )
??bn ? an ?是公比为 3 的等比数列, bn ? an ? (b1 ? a1 ) ? 3n?1 ? 3n?1 ,

?T2014 ? S 2014 ? (b1 ? b2 ? ? ? ? ? b2014 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ? ? a2014 ) ? (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? ? ? (b2014 ? a2014 ) ? 30 ? 31 ? ? ? ? ? 32013 ? 1 ? 32014 1 2014 ? ? (3 ? 1) 1? 3 2

(3)解:当 m ? 2, n ? 1 时, bn ? 2bn?1 ? 1,?bn ? 1 ? 2(bn?1 ? 1),?bn ? 1 ? 2n ,?bn ? 2n ?1

1 n ?1 1 (2 ? 1) ? bn 2n ? 1 2 2 ? 1?1? 1 ? 1, ? ? n ?1 ? n ?1 bn ?1 2 ? 1 2 ?1 2 2 2 n ?1 ? 1 2

?

b b1 b2 n ? ? ??? ? n ? b2 b3 bn?1 2

1 1 1 2n ? 1 - ? ? , 2 6 2 n ?1 2 n ?1 ? 1 又易证当 n ? 1 时, b b b n 1 1 n 1 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ? ? (1 ? n ) ? ? b2 b3 bn ?1 2 3 2 2 3
当 n ? 1 时,不等式成立,得证.


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