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函数y=Asin(wx+q)+b 的图象及三角函数模型的简单应用


函数 y ? sin(? x ? ? )的图象 及三角函数模型的简单应用

1. y ? A sin(? x ? ? )中A, ? , ?的作用

? A 从简谐运动的角度看,________ 影响振幅,______影响周期,

? ___________ 影响初相.

0 ? /2 ? 画图时确定五点的方法是 : 分别令? x ? ? 等于 ____, ______, _____, ? . 2? 3? ?? 3? / 2 ______, _____, 2? ? ? ? ??
3.图象的变换规律(其中? ? 0)

2.用五点法画y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)在一个周期内的简图

?? 2 ? , , , 2 ? , ? , ? ? 求出五点为(_____, 0), (______, A), (______, 0), (_____, ? A), (_____, 0), ? ?

(1)由y ? A sin x的的图象

向左(? ? 0)或向右(? ? 0)平移 | ? | 个单位

1 ? y ? A sin( x ? ? )的图象 各点的纵坐标不变横坐标变为原来的____倍

y ? A sin(? x ? ? )的图象

1 各点的纵坐标不变横坐标变为原来的____倍 ? (1)由y ? A sin x的的图象

|? |
y ? A sin ? x的图象

? 向左(? ? 0)或向右(? ? 0)平移____个单位

y ? A sin(? x ? ? )的图象

1.除了应用考点梳理中解方程的方法求五点横坐标外,能否求出 第一点后用函数性质求得另外四点的横坐标?

解:可以.
T 相邻两点间的距离为 , 4
T 由第一点横坐标依次加 , 便可得另四点的横坐标. 4

2在两种图象变换中,平移的距离为什么不一样?
解 : 在图象的左右平移变换中, 其平移的距离是x的变化量.

? y ? A sin x ? y ? A sin( x ? ? )中,

x从x变到x ? ?,其变化量为 | ? | 即平移的距离为 | ? | .
? y ? A sin x ? y ? A sin(? x ? ? ) ? A sin[? ( x ? )]中, ?

? x从x变到x ? , 其变化量为 | ? | 即平移的距离为 | ? | . ? ? ?

x 1.把y ? sin 的图象上的点的横坐标变为原来的2倍得到y ? sin ? x 2 的图象, 则?的值为( ) 1 A.1 B.4 C. D.2 4 2.为了得到y ? sin 2 x的图象可以将y ? cos 2 x的图象( A.向左平移 C.向左平移

)

? ?
2

个单位 个单位

B.向右平移

?
2

个单位. 个单位

y
5? 6

4 4 3.图中的曲线是函数y ? A sin(? x ? ? )的图象 ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

D.向右平移

?

?

o

2 4.若y ?| 2sin 2 x ? k | 的周期为? , 则k的范围是 ____________ .

)则? ? _____________ .

? 12

x

x 1.把y ? sin 的图象上的点的横坐标变为原来的2倍得到y ? sin ? x 2 的图象, 则?的值为( ) A.1 B.4 C. 1 4 D.2

1 1 1 x 横坐标变为原来的2倍 y ? sin ( x) ? sin x, 解(1) y ? sin 2 2 4 2
1 ?? ? 4

2.为了得到y ? sin 2 x的图象可以将y ? cos 2 x的图象( A.向左平移 C.向左平移

D)

? ?
2 4

个单位 个单位

B.向右平移

?
2

个单位. 个单位

D.向右平移

?
4

解? sin 2 x ? cos( ? 2 x) ? cos[2( x ? )] 2 4
?应向右平移 个单位 4

?

?

?

y

3.图中的曲线是函数y ? A sin(? x ? ? )的图象 ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

)则? ? _____________ .

o

? 12

5? 6

x

3 5? ? 3? 解设周期为T , 则 T ? ? ? 4 6 12 4

?T ? ? ,?? ? 2
5? ? A sin(2 ? ? ?) ? 0 ? 又? 6 ?A ? 0 ?

5? ?? ? k? ? (k ? Z ) 3

由 | ? |?

?
2

, 得k ? 2 ?? ?

?
3

(??, ?2] ? [2, ?? 4.若y ?| 2sin 2 x ? k | 的周期为? , 则k的范围是 ____________ . )
解当把y=2sin 2 x的周期上, 下平移 | k | 个单位后,
图象能够都在x轴上方或在下方时;

y ?| 2sin 2 x ? k | 的周期才为? ? k |? 2 |

即k ? (??, ?2] ? [2, ??)

例1作出函数y ? 2sin(2 x ? )在一个周期内的图象 3 解列表
2x ?

?

?
3

0
?

?
2
? 12

?
? 3

x
2sin(2 x ? ) 3

?
6

3? 2 5? 6

2?
7? 12

?

0

2

0

?2

0

作出y ? sin( x ? )在一个周期内的图象 4

?

解列表
x?

?
4

0
? 4

?
2
3? 4

?
5? 4

x
y

3? 2 7? 4

2?
9? 4

0

1

0

?1

0

例2将函数y ? sin(2 x ? )的图象上的各点的纵坐标不变横坐标伸长 4 为原来的2倍再向右平移 A. y ? sin x

?

?

4

个单位, 所得的图象解析式是( A ) C. y ? sin 4 x D. y ? cos 4 x

B. y ? cos x

? 解横坐标伸长为原来的2倍, 解析式变为y ? sin( x ? )
再向右平移 个单位 4

?

4

所得的图象解析式是y ? sin x

1 ? 如何由y ? sin(2 x ? )的图象得到y ? sin x的图象 ? 3 3
1 ? 解y ? sin(2 x ? ) 3 3
横坐标不变

纵坐标变为原来的3倍

y ? sin(2 x ? ) 3

?

纵坐标不变
横坐标变为原来的2倍

y ? sin( x ? ) 3
y ? sin x

?

右移 个单位 3

?

例3已知函数f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 2 的图象的一部分如图所示 求f ( x )的解析式 ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

y
2
?1

?

, x ? R)

3

5

7

o 12
?2

x

解由图象可知A ? 2,

? ? ?? ? ? ? 2 ? ?3? ? ? ? ? ?

? ? ?? ? ? 4 ?? ?? ? ? ? ? 4

? f ( x)=2sin( x ? ) 4 4

?

?

2 的图象与y轴交与点(0,1)(1)求?的值; 设 (2)

如图函数y ? 2sin(? x ? ? ), x ? R(0 ? ? ?

?

)
1

y

P
N

P是图象上的最高点, M , N 是图象与x轴的 ???? ???? ? 交点,求 PM 与PN夹角的余弦值.
?
2

M o

x

解(1)由图象过点(0,1)得2sin ? ? 1, ? 0 ? ? ? ?? ?

?
6

由2sin(? x ?

?
6

) ? 0 得? x ?

?

1 ? k? ? x ? k ? (k ? Z ) 6 6

???? ? ???? 1 1 1 1 1 由图象知M (? , 0).N ( , 0), P( , 2); ? PM ? (? , ?2), PN ? ( , ?2) 2 2 6 6 3 1 ? ?4 ???? ???? ? 15 4 ? cos( PM , PN ) ? ? 17 1 1 ?4? ?4 4 4

例4估计某一天时间的小时数f (t )的表达式是 2? (t ? 79) ? 12 2 365 其中t 表示某一天的序号,t ? 0表示1月1日,依次类推,常数?与某地 f (t ) ? sin 的纬度有关,(? 取3.14, ) (1)在波士顿, ? ? 6, 试画出当t ? [0,365]时的函数f (t )的图象。 (2)在波士顿, 哪一天的白昼时间最长,哪一天的白昼时间最短 ? (3)估计在波士顿, 一年有多少天白昼时间超过10.5小时? 解(1)先用五点法作出g(t)=3sin 令 2? (t ? 79) ? 12的简图 365

?

2? ? 3? (t ? 79)分别等于0, , ? , , 2? 365 2 2 t 79 170 262 353 444 g (t ) 0 3 0 ?3 0 2? ( ?79) ? 3sin( ?1.36) ? ?2.9 365 因为函数g (t )周期为365, 所以g (365) ? -2.9 若t ? 0,g (0) ? 3sin

青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔拥有长580m宽40余米的沙滩是 亚洲较大的海水浴场这里三面环山绿树葱茏现代的高层建筑与 传统的别墅建筑巧妙地结合在一起,景色非常秀丽海湾内水清 浪小滩平坡缓沙质细软自然条件优越. 已知海湾内海浪的高度y (米)是时间t(0 ? t ? 24),单位:小时)的 函数记作y=f(t).下表是某日各时刻的浪高的数据 t y 0 3 6 9 12 15 18 0.5 21 24 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.99 1.5

经长期观察y ? f (t )的曲线可近似地看成函数y=Acos?t+b (1)根据以上数据求函数y=Acos?t+b的最小正周期T , 振幅A及解析式 (2)依据规定当海浪的高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放请依据 (1)的结论判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间可供冲浪者经行 活动?

已知函数f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0)的图象如图所示则? =______.
y

3 2

P
x

o ? 2?
3

3

7? 已知函数f ( x) ? 2sin(? x ? ? )的图象如图所示则f ( ) ? _____ . 12

3 5 ? 解 T ? ? ? ?? 2 4 4
?T ?
又x ?

y
2 1

2? 2? ? ?? ? 3 3 ?
时, f ( x) ? 0

x
? 4
5? 4

o

?
4

即2sin(3 ?
?f(

?
4

? ? ) ? 0 ? ? ? 2k? ?

3? (k ? Z ) 4

7? 7? 3? ) ? 2sin(3 ? ? 2k? ? ) 12 12 4

? 2sin(2k? ? ? ) ? 0

已知函数f ( x) ? 3 sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(0 ? ? ? ? , ? ? 0)为偶函数 且f ( x)的图象两相邻对称轴间的距离为 。 2

?

(1)求f ( )的值;(2)将函数y ? f ( x)的图象向右平移 个单位后得到函数 8 6 y ? g ( x)的图象求g ( x)的单调递减区间.

?

?

解 : (1) f ( x) ? 3 sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? ? 2sin[(? x ? ? ) ? ]
?

6 因为f ( x)为偶函数所以对x ? R, f (? x) ? f ( x)恒成立.

因此 sin(?? x ? ? ? ) ? sin(? x ? ? ? ) 6 6 ? ? 即sin(? x ? ? ? ) ? sin[? x ? (? ? )] ? 0 6 6
整理得: ? x cos(? ? ) ? 0 sin 6

?

?

已知函数f ( x) ? 3 sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(0 ? ? ? ? , ? ? 0)为偶函数 且f ( x)的图象两相邻对称轴间的距离为 。 2

?

(1)求f ( )的值;(2)将函数y ? f ( x)的图象向右平移 个单位后得到函数 8 6 y ? g ( x)的图象求g ( x)的单调递减区间.

?

?

?? ? 0且x ? R ? cos(? ? ) ? 0 6 ? ? 2? ? ? 0 ? ? ? ? ?? ? ? 6 2 由题意得 ? 2 ? ? ? ? 2
?
2

?

? f ( x) ? 2sin(? x ? ? ? ) ? 2sin(? x ? ) ? 2cos ? x 6 2
? f ( x) ? 2cos 2 x

?

?

6.若在x ? [0, ]内有两个不同的实数值满足等式 : 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? k ? 1则k的取值范围是( ) A. ? 2 ? k ? 1 B. ? 2 ? k ? 1 C.0 ? k ? 1 D.0 ? k ? 1

?

8.若函数f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? )(0 ? ? ? ?)的图象 关于y轴对称则?的值为_________.

12已知函数f ( x) ? 2sin x cos( ? x) ? 3(sin x ? cos x) ? sin( ? x) cos x 2 2 (1)求函数y ? f ( x)的最小正周期和最值. (2)指出y ? f ( x)的图象经过怎样的平移变换得到的图象关于坐标原点 对称

?

?

? 3 解(1) f ( x) ? sin(2 x ? ) ? , 最小正周期T ? ? 6 2 5 1 f ( x)的最大值 ? ;f ( x)的最小值 ? 2 2 ? 3 ? 3 (2)将函数f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 左移 个单位, 下移 个单位 6 2 12 2 得到y=sin2x关于坐标原点对称。


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