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圆锥曲线复习


圆锥曲线复习
安丘市青云学府二数学组 谢大强

1.椭圆的定义 平面内到两定点F1 、F2 距离之和为 常数2a (① 2a>|F1F2| )的点的轨迹叫椭 圆.有|PF1|+|PF2|=2a. 在定义中,当② 2a=|F1F2| 时,表示 线段F1F2;当③ 2a<|F1F2| 时,不表示任何 图形.

2.椭圆的标准方程

=1 (a>b>0),其中a2=b2+c2,焦点 坐标为④ F1(-c,0),F2(c,0) . (1) =1 (a>b>0),其中a2=b2+c2,焦点 坐标为⑤ F1(0,-c),F2(0,c).
x2 y 2 (2) 2 ? 2 b a

x2 y 2 ? 2 2 a b

4.椭圆

x2 y 2 ? 2 2 a b

=1 (a>b>0)的几何性质

(1)范围:|x|≤a,|y|≤b,椭圆在一个矩形 区域内; (2)对称性:对称轴x=0,y=0,对称中 心O(0,0);
一般规律:椭圆有两条对称轴,它们分 别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂 线.

(3) 顶 点 :A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b), 2a ,短轴长|B1B2|=⑨ 2b 长轴长|A1A2|=⑧ ; 一般规律:椭圆都有四个顶点,顶点是 曲线与它本身的对称轴的交点. (4)离心率:e=⑩ (0<e<1),椭圆的离 心率在 11 (0,1)内,离心率确定了椭圆的形状(扁 圆状态).当离心率越接近于12 0 时,椭圆越圆; 当离心率越接近于13 1 时,椭圆越扁平.
c a

5 .双曲线的定义 平面内到两定点F1、F2的距离之差的 绝对值为常数2a(且① 0<2a<|F1F2| )的点 的轨迹叫双曲线,有||MF1|-|MF2||=2a. 在定义中,当② 2a=|F1F2|时表示两条 射线,当③ 2a>|F1F2| 时,不表示任何图形.

6.双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线:④ 中⑤ c2=a2+b2 ,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0); (2)焦点在y轴上的双曲线:⑥ 中c2=a2+b2,焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).
x2 y 2 ? 2 ? 1 ,其 2 a b x2 y 2 ? 2 ? 1 ,其 2 a b

7.双曲线 性质

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

(a>0,b>0)的几何

(1)范围:⑨ |x|≥a ,y∈R; (2)对称性:对称轴x=0,y=0,对称中 心(0,0);

一般规律:双曲线有两条对称轴,它 们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中 垂线.

(3) 顶 点 : A1(-a,0),A2(a,0) ; 实 轴 长 ⑩ |A1A2|=2a ,虚轴长11 |B1B2|=2b ; 一般规律:双曲线都有两个顶点,顶 点是曲线与它本身的对称轴的交点. ( 12 e>1 );双曲线的离 心率在(1,+∞)内,离心率确定了双曲线的 形状.
x2 y 2 (5)渐近线:双曲线 a 2 ? b2 ? 1 2的两条渐 b x y2 近线方程为 13 y=± a x ;双曲线 2 ? 2 ? 1 的 a b a

c (4)离心率e= a

两条渐近线方程为 14 y=± x
b

.

双曲线有两条渐近线,他们的交点就 是双曲线的中心;焦点到渐近线的距离等 于虚半轴长b;公用渐近线的两条双曲线可 能是:a.共轭双曲线;b.放大的双曲线;c.共 轭放大或放大后共轭的双曲线. 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐 近线方程时,只要令双曲线的标准方程中 的“1”为“0”就得到两条渐近线方程,即
x2 y 2 方程 ? 2 ? 0 a2 b
x2 y 2 就是双曲线 ? 2 ? 1 a2 b

的两条渐

近线方程.

8.抛物线的定义 平面内与一定点F和一条定直线l(F ?l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线, ? 点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛 物线的① 准线 . 2.抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2=2px (p>0)

y2=-2px (p>0)

x2=2py (p>0)

x2=-2py (p>0)

图形 顶点 对称轴 焦点 (0,0) ② x轴 . F(
p 2

(0,0) x轴

(0,0) y轴
p

(0,0) ③ y轴 .
p 2

,0) ④F(- p ,0) ⑤ F(0, ) F(0,2 2 . .

)

离心率 准线

e=1 ⑥ x=.
p 2

e=1
p x= 2

e=1
p y=- 2

e=1 ⑦ y=
p 2

.

9.直线与圆的位置关系的判断 由圆心到直线的距离d与圆半径r比较 大小判断位置关系;(1)当d>r时,直线与圆 ① 相离 ;(2)当d=r时,直线与圆② 相切 ;(3) 当d<r时,直线与圆③ 相交 . 10.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时, 可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去 y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方 程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).

(1)当a≠0时,则有④ Δ>0 ,l与C相交; ⑤ Δ=0 ,l与C相切;⑥ Δ<0 ,l与C相离; (2)当a=0时,即得到一个一次方程, 则l与C相交,且只有一个交点,此时,若曲线C 为双曲线,则l⑦ 平行 于双曲线的渐近线;若 C为抛物线,则l⑧ 平行 于抛物线的对称轴.

11.弦长公式 连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆 锥曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系 数关系来计算弦长,常用的弦长公式|AB|=
1 ? k 2 | x1 ? x2 | =⑩ ⑨

1 1 ? 2 ? | y1 ? y2 | .当直 k

线与圆锥曲线相交时,涉及弦长问题,常

用“韦达定理”设而不求计算弦长.

12.曲线与方程的关系 一般的,在平面直角坐标系中,如果某 曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的 轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数 解建立了如下关系: (1) 曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个 ① 方程的解 ; (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 均 是 ② 曲线上的点 .那么,这个方程叫做曲线的 方程,这条曲线叫做方程的曲线.

13.求轨迹方程的基本思路
(1)建立适当的直角坐标系,设曲线上的任 意一点(动点)坐标为M(x,y). (2)写出动点M所满足的③ 几何条件的集合. (3)将动点M的坐标④ 代入几何条件 ,列出 关于动点坐标的方程f(x,y)=0. (4)化简方程f(x,y)=0为最简形式.

(5)证明(或检验)所求方程表示的曲线上 的所有点是否都满足已知条件.

注意:第(2)步可以省略,如果化 简过程都是等价交换,则第(5)可以省 略;否则方程变形时,可能扩大(或缩 小)x、y的取值范围,必须检查是否纯粹 或完备(即去伪与补漏). 14.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:如果动点满足的几何条件 本身就是一些几何量(如距离与角)的等量 关系,或这些几何条件简单明了且易于 表达,我们只需把这种关系转化为x,y的 等式就得到曲线的轨迹方程;

(2)定义法:某动点的轨迹符合某一基 本轨迹(如直线、圆锥曲线)的⑤ 定义 ,则可 根据定义采用设方程求方程系数得到动点 的轨迹方程; (3)代入法(相关点法):当所求动点M 是随着另一动点P(称之为相关点)而运动, 如果相关点P满足某一曲线方程,这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标,再把 相关点代入曲线方程,就把相关点所满足 的方程转化为动点的轨迹方程;

(4)参数法:有时求动点应满足的几何 条件不易得出,也无明显的相关点,但却 较易发现这个动点的运动常常受到另一个 变量(角度、斜率、比值、截距或时间等) 的制约,即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另 一变量的变化而变化,我们可称这个变量 为参数,建立轨迹的参数方程; (5)交轨法:在求两动曲线交点的轨迹 问题时,通过引入参变量求出两曲线的轨 迹方程,再联立方程,通过解方程组消去 参变量,直接得到x,y的关系式.

课堂练习
1.动点P到两定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离之 和等于6,则点P的轨迹是( C ) A.椭圆 C.线段F1F2 B.圆 D.直线F1F2

y2 x2 2.椭圆 + =1的焦点坐标是 (± 7 ,0) ,若 9 16

16 弦CD过左焦点F1,则△F2CD的周长是

.

由已知,半焦距c= 16 ? 9 = 7 ,故 焦点坐标为(± 7 ,0),△F2CD的周长为 4a=4×4=16.

3.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点( 3 ,0),
1 离心率为 的椭圆方程为 2

x2 y 2 ? 3 4

=1 .

b=3

依题设 e=

c a

1 =2

,解得

a=2 b=3.
x2 y 2 ? 3 4

a2=b2+c2

又椭圆焦点在y轴上,故其方程为

=1.

4.已知M为线段AB的中点,|AB|=6,动点P满 足|PA|+|PB|=8,则|PM|的最大值为 4 ,最 小值为 . 7 依题意可知,P点轨迹为以A、 B为焦点的椭圆,M为椭圆中心,且半 焦距为3,半长轴为4,则|PM|的最大 值为4,最小值为半短轴 7 .

5.椭圆

两条直线x=±

x2 y 2 ? 2 2 a b

=1(a>b>0)的焦点为F1、F2,
a2 c

(c2=a2-b2)与x轴的交点为

M、N,若|MN|≤2|F1F2|,则该椭圆的 离心率e的取值范围是[ 2 ,1) .
2

a2 由已知|MN|=2·c . 2 a≤4c, 又|MN|≤2|F1F2|,则2· c 2 c c ≥ 1 ,故 2 从而 2 ≤ <1,故e∈[ 2 2 a a

2 ,1). 2

方法提炼
1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点
的距离时,应利用定义求解.

2.求椭圆方程的方法,除了直接根据
定义法外,常用待定系数法.当椭圆的焦点
2 x2 y 位置不明确,可设方程为 + =1(m> m n

0,n>0),或设为Ax2+By2=1(A>0,B>0).

3.椭圆中有“两线”(两条对称轴), “六点”(两个焦点、四个顶点),注意 它们之间的位置关系(焦点在长轴上等) 及相互间的距离(如焦点到相应顶点的

距离为a-c等).

6.双曲线 =1的实轴长是 8 ,焦点坐 标是 (0,±5) .
x2 y2 7.方程 1 ? k ? 1 ? k =1表示双曲线,则实数k的取

y 2 x2 ? 16 9

值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞) . 由题设及双曲线标准方程的特征 可得(1+k)· (1-k)<0,求得k<-1或k>1.

x2 y 2 8.已知双曲线 ? 25 24

=1右支上一点P到左焦点

F1 的距离为12,则点P到右焦点F2 的距离 为 2 ;右支上满足上述条件的点P有 1 个. 由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a=10,

所以|PF2|=12-10=2.

又焦点坐标F1(-7,0),F2(7,0),顶点 坐标为(±5,0), 所以满足条件的点只有一个,即为右顶点.

9.若双曲线

=1的两条渐近线互相垂 直,则双曲线的离心率 e= 2 .

x2 y 2 ? 2 2 a b

b 由已知,两渐近线方程为y=±a x, b b 由两渐近线互相垂直得 · )=-1,即a=b. (a a 2 2 c 从而e= = a ? b = 2 . a a

x2 y 2 10.若双曲线C的焦点和椭圆25 ? 5 =1的焦 点相同,且过点(3 2 ,2),则双曲线C的 x2 y 2 方程是 ? =1 . 12 8

由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在
x轴上,设双曲线C的方程为 则
x2 y 2 ? 2 2 a b

=1,

a2+b2=20
(3 2) 2 ? 2 2 a b
2 2

,求得

a2=12
b2=8, =1.

=1

x2 y 2 故所求双曲线的方程为 ? 12 8

方法提炼
1.a,b,c 有 关 系 式 c2=a2+b2 成 立 , 且 a>0,b>0,c>0.其中a与b的大小关系,可以为 a=b,a<b,a>b. 2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲 线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两 个虚轴的端点),“四线”(两条对称轴、 两条渐近线),“两形”(中心、焦点以及 虚轴端点构成的三角形,双曲线上一点和两 焦点构成的三角形)研究他们之间的相互联 系.

3.椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开 放性的.又双曲线有两支,故在应用时要 注意在哪一支上. 4.根据方程判定焦点的位置时,注意 与椭圆的差异性. 5.求双曲线的标准方程时应首先考虑 焦点的位置,若不确定焦点的位置时,需 进行讨论,或可直接设双曲线的方程为 Ax2+By2=1(AB<0).

6.与双曲线
x2 y 2 方程为 2 ? 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线 2 a b

=λ(λ≠0).
x2 y 2 ? 2 ? 1 共焦点的圆锥曲线方 2 a b ? 1 (λ<a2,且λ≠-b2).
b a

与双曲线 程为
x2 y2 ? 2 2 a ?? b ??

7.双曲线的形状与e有关系:k= = =

c2 ? a2 a

c2 ? 1= e2 ? 1,e越大,即渐近线的斜率的 a2

绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁 狭逐渐变得开阔.由此可知,双曲线的离心 率越大,它的开口就越开阔.

11.平面内,动点M到定点F(0,-3)的 距离比它到直线y-2=0的距离多1,则动 x 点M的轨迹方程是2=-12y . 依题设,动点M到定点F(0,-3)的距 离等于它到定直线y=3的距离,由抛物线 的定义可知,其轨迹方程为x2=-12y.

1 12.抛物线y=-4

x2的焦点坐标是(0,-1) ,准线 方程是 y=1 . 抛物线的标准方程是x2=-4y,所以 焦点坐标为(0,-1),准线方程为y=1.

13.抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴, 且焦点到准线的距离为4,则该抛物线的标 y2=±8x 准方程为 . 依题设,设抛物线的方程为y2=ax, 且|a|=2×4=8,即a=±8,故抛物线方程 为y2=±8x.

14.抛物线y2=4x上一点到其焦点F的距离为5, 则点P的坐标是 (4,±4) .

由抛物线的定义,|PF|等于P点到 准 线 x=-1 的 距 离 , 则 xP-(-1)=5 , 得 xP=4.
又y2=4x,得yP=±4. 故点P的坐标为(4,±4).

15.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点, 则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准 线的距离之和的最小值为 17 .
2

由抛物线的定义,连接点(0,2)和
抛物线的焦点F( 为

则点P使所求的距离最小,且其最小值
1 2 (0 ? ) ? (2 ? 0)2 2

1 2

,0),交抛物线于点P, =
17 2

.

方法提炼
1.类比圆锥曲线统一定义. (1)抛物线定义的集合表示:P={M| | MF | =1}, 即P={M||MF|=d}.
d

(2)圆锥曲线的统一定义为P={M| | MF | =e}
d

(e>0).当0<e<1时,曲线为椭圆;当e>1时,曲 线为双曲线;当e=1时,曲线为抛物线.

2.定义及标准方程的理解. (1)求抛物线的标准方程,要先根据题 设判断抛物线的标准方程的类型,再由条 件确定参数p的值.同时,知道抛物线的标准 方程、焦点坐标、准线方程三者之间是相 依并存的,知道其中一个,就可以求出其 他两个. (2)焦点弦公式:对于过抛物线焦点的 弦长,可用焦半径公式推出弦长公式.设过 抛 物 线 y2=2px(p>0) 的 焦 点 F 的 弦 为 AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则有|AB|=x1+x2+p.

(3)与椭圆、双曲线相比,抛物线没有对 称中心,只有一个焦点,一条准线,一个顶 点,一条对称轴,且离心率为常数1. (4)抛物线标准方程中参数p的几何意义 是焦点到准线的距离,焦点的非零坐标是一 1 次项系数的 .
4

(5)抛物线的对称轴是哪个轴,方程中的 该项即为一次项;一次项前面是正号,则抛 物线的开口方向向x轴或y轴的正方向;一次 项前面是负号,则抛物线的开口方向为x轴 或y轴的负方向.

16.若a≠b且ab≠0,则直线ax-y+b=0和二次曲 线bx2+ay2=ab的位置关系可能是( C )

由已知,直线方程可化为
y=ax+b,其中a为斜率,b为纵截距,

二次曲线方程可化为 故选C.

用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾.

x2 y 2 ? a a

=1,应

17.直线x+y=2与椭圆x2+ky2=1有公共点, 1 则k的取值范围是 (0, ] .
x y 18.过原点的直线l:y=kx与双曲线C: ? =1 4 3
3
2 2

有两个交点,则直线l的斜率k的取值范围

是 (? 3 , 3 ) .
2 2
3 由于双曲线的渐近线的方程为y=± 2

x,

数形结合可知l与C有两个交点,则直线l夹在 两渐近线之间,从而- 3 <k< 3 .
2 2

19.设抛物线C:y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过 点Q的直线l与抛物线C有两个公共点,则直线l ? )∪( 3? ,π) 的倾斜角α的取值范围是 (0, .
4 4

由题意可得Q(-2,0), 则l的方程可设为y=k(x+2),代入y2=8x, 得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.由于l与C有两个公共点, k2≠0 因此 Δ=16(k2-2)2-16k4>0, 解得-1<k<0或0<k<1,即-1<tanα<0或0<tanα<1, ? 3? 故 4 <α<π或0<α< . 4

20.直线y=kx-2与椭圆x2+4y2=80相交于不 同的两点P、Q,若PQ的中点的横坐标为 2,则弦长|PQ|等于6 5 . 由于 y=kx-2 ,消去整理得

x2+4y2=80

(1+4k2)x2-16kx-64=0.
16k 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2= 1 ? 4k 2 1 64 得k= ,从而x1+x2=4,x1x2= 2 1 ? 4k 2

=2×2,
=-32,

因此|PQ|= 1? k 2 |x1-x2|= 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 =6 5 .

方法提炼
1.直线与圆锥曲线位置关系探究方法. 直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角 度来看有三种:相离、相交和相切.从代数角 度一般通过他们的方程来研究: 设 直 线 l:Ax+By+C=0 , 二 次 曲 线 C:f(x,y)=0.联立方程组 Ax+By+C=0 f(x,y)=0, 消 去 y( 或 x) 得 到 一 个 关 于 x( 或 y) 的 方 程 ax2+bx+c=0( 或 ay2+by+c=0),然后利用方程根的个数判定, 同时应注意如下四种情况:

(1)对于椭圆来说,a不可能为0,即直 线与椭圆有一个公共点,直线与椭圆必相 切;反之,直线与椭圆相切,则直线与椭 圆必有一个公共点. (2)对于双曲线来说,当直线与双曲线 有一个公共点时,除了直线与双曲线相切 外,还有直线与双曲线相交,此时直线与 双曲线的渐近线平行. (3)对于抛物线来说,当直线与抛物线 有一个公共点时,除了直线与抛物线相切 外,还有直线与抛物线相交,此时直线与 抛物线的对称轴平行或重合.

(4)Δ>0?直线与双曲线相交,但直线与 双曲线相交不一定有Δ>0,当直线与双曲线 的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只 有一个交点,故Δ>0是直线与双曲线相交的 充分条件,但不是必要条件. (5)Δ>0?直线与抛物线相交,但直线与 抛物线相交不一定有Δ>0,当直线与抛物线 的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只 有一个交点,故Δ>0也仅是直线与抛物线相 交的充分条件,但不是必要条件.

2.数形结合思想的应用. 要注意数形结合思想的运用.在做题时, 最好先画出草图,注意观察、分析图形的 特征,将形与数结合起来.特别地:

(1)过双曲线 =1外一点P(x0,y0)的 直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: ①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的 区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分 别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;

x2 y 2 ? 2 2 a b

②P点在两渐近线之间且包含双曲线的 区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只 与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③ P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一 条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线; ④P为原点时,不存在这样的直线. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物 线有且只有一个公共点:两条切线和一条平 行于对称轴的直线.

3.特殊弦问题探究方法. (1)若弦过焦点时(焦点弦问题), 焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式 计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径 之和后,利用焦半径公式求解. (2)若问题涉及弦的中点及直线斜率 问题(即中点弦问题),可考虑“点差 法”(即把两点坐标代入圆锥曲线方程, 然后两式作差),同时常与根和系数的 关系综合应用.

21.方程|x|-1=
A.一个圆

1 ? ( y ? 1) 2 表示的曲线是(

D)

B.两个圆

C.半个圆

D.两个半圆

由于|x|-1= 1 ? ( y ? 1) 2 ?(|x|-1)2+(y-1)2=1 ? |x|-1≥0 ?x≥1 x≤-1 或 ? 2+(y-1)2=1 (x-1) (x+1)2+(y-1)2=1

?曲线是两个半圆,故选D.

x2 22.设P为双曲线 4

-y2=1上一动点,O为坐标

原点,M为线段OP的中点,则点M的轨 x2-4y2=1 . 迹方程为 (代入法)设M(x,y),P(x1,y1),

则 又

x12 4

-y12=1. ①
x1 2 y1 2

x= y=

,即

x1=2x y1=2y

,代入①得x2-4y2=1.

x2 y 2 23.已知椭圆25 ? 9

=1的左、右焦点分别

为F1、F2,P为椭圆上一动点,延长F1P到 Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹方程 (x+4)2+y2=100 . 是 (直推法)依题设, |PF1|+|PF2|=2×5=10 |PQ|=|PF2|, 则|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=10, 则动点Q的轨迹是以F1为圆心,10为半径的圆, 其方程为(x+4)2+y2=100.

24.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点 ??? ? ??? ? ??? ? A(3,1),B(-1,3),若点C满足 OC=α OA OB +β ,其中 α 、 β∈R, 且 α+β=1, 则 点 C 的 轨 迹 方 程 是 x+2y-5=0 .

(参数法)设C(x,y).
??? ? ??? ? ??? ? 由OC =α OA +β OB ,得(x,y)=α(3,1)+β(-1,3),



x=3α-β y=α+3β.

① ② ③ ,消去α得x+2y-5=0.

而α+β=1,



x=4α-1
y=3-2α

x2 y 2 25.设A1、A2是椭圆 =1长轴的两 ? 9 4

个端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的 端点,则直线A1P1与A2P2交点M的轨
x2 y 2 迹方程是 9 ? 4 ? 1 .

(交轨法)由已知,A1(-3,0),A2(3,0).
设P1(x1,y1),则P2(x1,-y1),交点M(x,y),
y1 则由A1、P1、M三点共线,得 x ? 3 1 ? y1 又A2、P2、M三点共线,得 x1 ? 3 2 2 ? y1 y ①×②得 x 2 ? 9 = x 2 ? 9 . 1 2 2 ? y12 4 x1 y1 =1,即 又 = , ? 2 x1 ? 9 9 9 4 4 y2 x2 y 2 从而 2 = ,即 ? ? 1 . 9 x ?9 9 4
y x?3 y x?3

=
=

.①
.②

方法提炼
1.曲线与方程关系的理解. (1)曲线方程的实质就是曲线上任意 一点的横、纵坐标之间的关系,这种关 系同时满足两个条件:①曲线上所有点 的坐标均满足方程;②适合方程的所有 点均在曲线上. (2)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么 点 P0(x0,y0) 在 曲 线 C 上 的 充 要 条 件 是 f(x0,y0)=0.

(3)视曲线为点集,曲线上的点应满足 的条件转化为动点坐标所满足的方程,则 曲线上的点集(x,y)与方程的解集之间建立 了一一对应关系. 2.求轨迹方程方法实质剖析. (1)轨迹问题的实质就是用动点的两坐 标x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系.在 实际计算时,我们可以简单地认为,求曲 线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关 系.当两坐标之间的关系为直接关系f(x,y)=0, 就是曲线方程的普通形式;

当x,y的关系用一个变量(如t变量)表示时, 坐标之间的关系就是间接关系,这时的表示 式就是曲线的参数方程.所以解决问题时, 应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展 开探究. (2)定义法求轨迹是不同于其他求轨迹 的思维方法,它从动点运动的规律出发,整 体把握点在运动中不动的、不变的因素,从 而得到了动点运动规律满足某一关系,简单 地说,就是在思维的初期,先不用设点的坐 标,而直接找动点所满足的几何性质(往往 是距离的等量关系).

由于解析几何研究的几何对象的局限性, 直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距 离的关系来定义曲线的,所以利用定义法 求轨迹问题时,往往应该先考虑动点满足 的距离关系,判断它是否满足五种曲线的 定义,从而使问题快速解答.

1.已知λ∈R,则不论λ取何值,曲线C:λx2x-λy+1=0恒过定点( ) D A.(0,1) B.(-1,1)

C.(1,0) x2-y=0
x-1=0

D.(1,1)

由λx2-x-λy+1=0,得λ(x2-y)-(x-1)=0. 依题设

x=1 ,即
y=1,

可知不论λ取何值,曲线C过定点(1,1).

x2 y 2 2.已知k∈R,直线y=kx+1与椭圆 5 ? m

=1恒有公 [1,5)∪(5,+∞) . 共点,则实数m的取值范围是 由于直线y=kx+1过定点P(0,1), 则当P(0,1)在椭圆上或椭圆内时,直线 与椭圆恒有公共点,因此m≥1且m≠5,求 得m∈[1,5)∪(5,+∞).

3.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的 一条渐近线上的射影为Q,已知O为坐标 原点,则△POQ的面积为定值 1 . 如图,双曲线x2-y2=4的

两条渐近线为y=±x,
即x±y=0.
| x0 ? y0 | 又|PQ|= , 2 | x0 ? y0 | |PR|= , 2 2 2 | x0 ? y0 | 1 所以S△POQ= 2 |PQ||PR|= =1. 4

x2 y 2 4.已知定点A(2,3),F是椭圆 ? =1的右焦 16 12

点,M为椭圆上任意一点,则|AM|+2|MF| 的最小值为 6 .
由于点A在椭圆内,过M点作椭 圆右准线x=8的垂线,垂足为B.

由椭圆第二定义,得2|MF|=|MB|, 则|AM|+2|MF|=|AM|+|BM|, 当A、B、M三点共线且垂直于准线时, |AM|+2|MF|的最小值为6.

方法提炼
1.若探究直线或曲线过定点,则 直线或曲线的表示一定含有参变数, 即直线系或曲线系,可将其方程变式 为f(x,y)+λg(x,y)=0(其中λ为参变数), 由 f(x,y)=0 g(x,y)=0确定定点坐标.

2.在几何问题中,有些几何量与参变 数无关,即定值问题,这类问题求解策略 是通过应用赋值法找到定值,然后将问题 转化为代数式的推导、论证定值符合一般 情形. 3.解析几何中的最值问题,或数形结 合,利用几何性质求得最值,或依题设条 件列出所求最值关于某个变量的目标函数, 然后应用代数方法求得最值.

再见


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