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湖北省武汉二中2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试题_图文

湖北省武汉二中 2013-2014 学年高二上学期期中考试 数学

理试题

考试时间:2013 年 11 月 7 日 上午 09:00—11:00 试卷满分:150 分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.)

1. 三个数 208,351,429 的最大公约数是( )

A.65

B.91

C.26

D.13

2. 把 389 转化成四进制数时,其末位是( )

A.2

B.1

C.3

D.0

3. 用秦九韶算法计算多项式 f (x) ? 0.5x5 ? 4x4 ? 3x2 ? x ?1 当 x ? 3 的值时,先算的是( )

A. 3? 3 ? 9 C. 0.5? 3 ? 4 ? 5.5

B. 0.5? 35 ? 121.5 D. (0.5? 3 ? 4) ? 3 ? 16.5

4. 若实数 a, b 满足 a ? 2b ? 3 ,则直线 2ax ? by ?12 ? 0 必过定点( )

A.(-2 ,8)

B.(2 ,8) C.(-2 ,-8) D.(2 , -8)

5. 如图,矩形 ABCD 和矩形 ABEF 中,矩形 ABEF 可沿 AB 任意翻折, AF ? AD, M、N 分 别 在 AE、DB 上 运 动 , 当 F、A 、D 不 共 线 ,

M、N 不与 A、D 重合,且 AM ? DN 时,有( )

A. MN / / 平面 FAD

B. MN 与平面 FAD 相交

C. MN ? 平面 FAD

D. MN 与平面 FAD 可能平行,也可能相交 6. 设 a,b, m 为整数 (m ? 0) ,若 a 和 b 除以 m 所得到的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记

为 a ? b(mod m). 已知 a ? 1? C210 ? C220 ? 2 ? C230 ? 22 ?

?

C 20 20

?

219

,

b

?

a(mod10)

,则

b

的值可

以是( )

A.2015

B.2014

C.2013

D.2011

7. 设区间 [0,1] 是方程 f (x) ? 0 的有解区间,用二分法求出方程

f (x) ? 0 在 区 间 [0,1] 上的 一个近似解的流程图如 图,设

a,b ?[0,1] ,现要求精确度为 ? ,图中序号①,②处应填入的

内容为( )

A. a ? a ? b ;b ? a ? b

2

2

C. a ? b ;b ? a 22

B. b ? a ? b ;a ? a ? b

2

2

D. b ? a ;a ? b 22

8. 有以下四个命题: ①从 1002 个学生中选取一个容量为 20 的样本,用系统抽样的方法进行抽取时先随机剔 除 2 人,再将余下的 1000 名学生分成 20 段进行抽取,则在整个抽样过程中,余下的 1000

名学生中每个学生被抽到的概率为 1 ; 500

②线性回归直线方程 y? ? b?x ? a? 必过点( x, y );

③某厂 10 名工人在一小时内生产零件的个数分别是 15,17,14,10,15,17,17,16,

14,12,则该组数据的众数为 17,中位数为 15;

④某初中有 270 名学生,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,用分层抽样的方法从

中抽取 10 人参加某项调查时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,…270.则

分层抽样不可能抽得如下结果:30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 以

上命题正确的是( )

A.①②③

B.②③

C.②③④

D.①②③④

9. 某班班会准备从含甲、乙的 7 名学生中选取 4 人发言,要求甲、乙 2 人至少有一人参加,

且若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序种数为( )

A.720

B.520

C.600

D.360

10. 已知圆 C 的方程为 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 25 ,A(3, 4) 为定点,过 A 的两条弦 MN、PQ 互相垂

直,记四边形 MPNQ 面积的最大值与最小值分别为 S1, S2 ,则 S12 ? S22 是( )

A.200

B.100

C.64

D.36

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)

11. 已知 a ? (2, ?1, 2),b ? (?1,3, ?3) , c ? (13,6,?) ,若向量 a,b,c

共面,则 ? =

.

0 12. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员 8 9

在这五场比赛中得分的方差为_________.

10 3 5

13. 若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是

.

图2

14. 已知圆 C 的方程为 x2 ? y2 ?10x ? 21 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 3 上至少存在一点,使得以该点

为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是

.

15. 利用计算机随机模拟方法计算 y ? x2 与 y ? 9 所围成的区域 ? 的面积时,可以先运行以下

算法步骤: 第一步:利用计算机产生两个在 0~1 区间内的均匀随机数 a,b;

第二步:对随机数

a,

b

实施变换:

???ba11

? ?

6a 9b,

?

3,

得到点

A(a1,

b1

);

第三步:判断点 A(a1,b1) 的坐标是否满足 b1 ? a12;

第四步:累计所产生的点 A 的个数 m ,及满足 b1 ? a12 的点 A 的个数 n;
第五步:判断 m 是否小于 M (一个设定的数).若是,则回到第一步,否则,输出 n 并终 止算法.

(1)点落在 y ? x2 上方的概率计算公式是 P ?



(2)若设定的 M ? 1000 ,且输出的 n ? 340 ,则用随机模拟方法可以估计出区域 ? 的面

积为

(保留小数点后两位数字).

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16. (本小题满分 12 分)已知 (

x

?

2 x2

)n



n

?N*)展开式中二项式系数和为

256.

(1)此展开式中有没有常数项?有理项的个数是几个?并说明理由。

(2)求展开式中系数最小的项.

17. (本小题满分 12 分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合 条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中 年龄分组区间是:[20, 25)、[25,30)、[30,35)、[35, 40)、[40, 45].

(1)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[35, 40) 的人数; (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣 传活动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.求抽取的 3 名 志愿者中恰有 2 名年龄低于 35 岁的概率.
18. (本小题满分 12 分) 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个.若从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号 为 2 的小球的概率是 1 . 2 (1)求 n 的值 (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a ,第二次取出的
小球标号为 b. (i)记“ a ? b ? 2 ”为事件 A ,求事件 A 的概率;
(ii)在区间[0,2]内任取 2 个实数 x, y ,求事件“ x2 ? y2 ? (a ? b)2 恒成立”的概率.

19. (本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF ? 平面 ABCD , EF / / AB,?BAF=90? , AD ? 2, AB ? AF ? 2EF ? 1, 点 P 在棱 DF 上. (1)若 P 是 DF 的中点,求证: BF / / 平面 ACP;
(2)若二面角 D ? AP ? C 的余弦值为 6 ,求 PF 的长度. 3

20. (本小题满分 13 分) 已知点 A(?2,0), B(1,0) ,平面内的动点 P 满足| PA |? ? | PB | ( ? 为常数,
? >0). (1)求点 P 的轨迹 E 的方程,并指出其表示的曲线的形状. (2)当 ? ? 2 时,P 的轨迹 E 与 x 轴交于 C、D 两点,M 是轨迹上异于 C、D 的任意一点, 直线 l : x ? ?3 ,直线 CM 与直线 l 交于点 C ' ,直线 DM 与直线 l 交于点 D ' .求证:以 C ' D ' 为 直径的圆总过定点,并求出定点坐标.

21. (本小题满分 14 分)运行如图所示的程序框图,将输出的 a 依次记
作 a1, a2, , an; 输出的 b 依次记作 b1, b2 , bn ;输出的 S 依次记

作 S1, S2 , , Sn. ( n ? N * )

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)求 bn?1 ? 1? bn (n ? N *, n ? 2014) 的值 an?1 an

(3)求证:(1? b1)(1? b2 )

(1

?

bn

)

?

10 3

b1b2

bn (n ? N *, n ? 2014)

武汉二中 2013——2014 学年上学期高 二年级期中考试
数学(理科)试卷答案

一、选择题(共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6

答案 D B C D A D

二、填空题(共 25 分)

11. 3 12. 6.8 13. 72+16 2

14. 15 8

7 8 9 10 BCCB
15. 1? n , 35.64 M

三、解答题(共 75 分)

16.解:(1)由题意,二项式系数和为 2n ? 256, 解得 n ? 8

通项 Tr?1 ? C8r (

x )8?r

? (?

2 x2

)r

?

C8r (?2)r

8?5r
x2

.

若 Tr?1 为常数项,当且仅当

8 ? 5r 2

?

0 ,即 5r

?8

,且 r ? Z,这是不可能的,所以展开式中不

含常数项.



Tr ?1

为有理项,当且仅当

8

? 5r 2

? Z,且

0

?

r

?

8

,即

r

?

0,

2,

4, 6, 8

,故展开式中共有

5

个有

理项.

…………………………………………6 分

(2)设展开式中第

r

项,第

r

?

1

项,第

r

?

2

项的系数绝对值分别为

C r?1 8

?

2r?1, C8r

?

2r

,

C r?1 8

?

2r ?1



若第 r

?

1

项的系数绝对值最大,则

?????CC88rr??11

? ?

2r ?1 2r ?1

? C8r ? C8r

? 2r ? 2r

,解得 5 ?

r

?

6 ,故 r

?5



6.

∵ r ? 5 时,第 6 项的系数为负, r ? 6 时,第 7 项的系数为正,

∴系数最小的项为 T6

?

C85

(?2)5

-17
x2

?

-17
?1792 ? x 2

.

…………………………12 分

17.解:(1)∵小矩形的面积等于频率,∴除[35, 40) 外的频率和为 0.70.

∴ x ? 1? 0.70 ? 0.06. 5
故在 500 名志愿者中,年龄在[35, 40) 岁的人数为 0.06? 5? 500 ? 150.

…………6 分

(2)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,则其中“年龄低于 35 岁”的人有 12 名,“年龄不

低于 35 岁”的人有 8 名.

∴抽取的

3

名志愿者中恰有

2

名年龄低于

35

岁的概率为

C122 C81 C230

?

44 95

…………12 分

18.解:(1)依题意 n ? 1 ,得 n ? 2 . n?2 2

………………………………………………4 分

(2)(i)记标号为 0 的小球为 s ,标号为 1 的小球为 t ,标号为 2 的小球为 k, h ,则取出 2 个

小球的可能情况有:(s,t),(s, k),(s, h),(t, s),(t, k),(t, h),(k, s),(k,t),(k, h),(h, s), (h,t),(h,k ) ,共 12

种,其中满足“ a ? b ? 2 ”的有 4 种; (s, k),(s, h),(k, s),(h, s) ,所以所求概率为 P( A) ? 4 ? 1 . 12 3
……………………………………8 分 (ii)记“ x2 ? y2 ? (a ? b)2 恒成立”为事件 B,则事件 B 等价于“ x2 ? y2 ? 4 恒成立”,( x, y )可 以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为 ? =
? ? ?(x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, x, y ? R? ,而事件 B 构成的区域为 B ? (x, y) | x2 ? y2 ? 4,(x, y) ? ? ,

所以所求的概率为 P(B) ? 1? ? . 4

……………………………………12 分

19.解:(1)连接 BD,交 AC 于点 O ,连接 OP.

因为 P 是 DF 的中点, O 为矩形 ABCD 对角线的交点.

所以 OP 为 ?BDF 的中位线,所以 BF / /OP. 因为 BF ? 平面 ACP,OP ? 平面ACP.所以 BF / /平面ACP. ………………………………6 分 (2)因为 ?BAF ? 90? ,所以 AF ? AB ,因为平面 ABEF ? 平面 ABCD ,且平面 ABEF 平面 ABCD ? AB, 所以 AF ? 平面 ABCD, 以 A 为坐标原点, AB, AD, AF 分别为 x, y, z 轴,建立如图

所示的空间直角坐标系 A ? xyz. 则 B(1,0,0), E(1 ,0,1), D(0, 2,0),C(1, 2,0) . 2
易知 AB ? 平面 APD ,所以平面 APD 的一个法向量为 n1=(1,0,0),设 AP ? AD ? t DF ? (0, 2 ? 2t,t)(0 ? t ? 1) , 易知 AC ? (1, 2,0) .

设平面

APC

的法向量为

n2=(

x,

y,

z

),则有

? y(2 ? 2t) ? ??x ? 2 y ? 0

zt

?

0

,得

n2=(-2,1,

2t

? t

2

).

所以| cos〈n1

,n2〉|=

|

| n1 n1 |

n|2 | n2 |

=

2

? 6,

(?2)2 ?1? ( 2t ? 2)2 3

t

即 4(t ?1)2 ? t2, 解得 t ? 2 ,或 t ? 2 (舍去). 3

此时 PF ? (1? 2)DF ? 5 .

3

3

……………………………………………………12 分

20.解:(1)设点 P(x, y) ,由 | PA |? ? | PB | 得: (x ? 2)2 ? y2 ? ? (x ?1)2 ? y2

变形整理得: (1? ? 2 )x2 ? (1? ? 2 ) y2 ? (4 ? 2? 2 )x ? 4 ? ? 2 ? 0

当 ? ? 1 时,化为 x ? ? 1 ,此时轨迹 E 所表示的曲线为直线. 2



?

?

1 时,化为

(x

?

? 1

2
?

? ?

2
2

)2

?

y2

?

9? 2 (1? ? 2 )2

此时轨迹

E

所表示的曲线是以

(?

?2 ? 2 1? ?2

, 0)

为圆心,半径为 |

3? 1? ?2

|

的圆.

(注:没有 ? ? 1 的情形扣 2 分)

…………6 分

(2) ? ? 2 时, P 的轨迹方程为 x2 ? 4x ? y2 ? 0 ,此时 C(0,0)、D(4,0) ,设 M (x0, y0 ) ,则直

线 CM 的方程为: y ? y0 x . x0

?x ? ?3

联立方程

? ? ??

y

?

y0 x0

x

,得 C '(?3, ?3y0 ) x0

同理 D '(?3, ?7 y0 ) x0 ? 4

∴以

C

'D'

为直径的圆的方程为

(x

?

3)2

?

(y

?

3 y0 x0

)( y

?

7 y0 ) x0 ? 4

?

0

,又

y02

?

4x0

?

x02 ,

整理

得: (x ? 3)2 ? y2 ? 21? 10x0 ?12 y ? 0 .令 y ? 0 则有 (x ? 3)2 ? 21 ? 0 ,解得 x ? ?3 ? 21 y0

∴以 C ' D ' 为直径的圆总过定点,且定点坐标为( ?3 ? 21,0 )……………………13 分

21.解:(1)由题意知: an ? 2an?1 ?1, a1 ? 1

? an ?1 ? 2(an?1 ?1) ?an ?1 ? (a1 ?1) ? 2n?1 ? 2n

? an ? 2n ?1 (n ? N *, n ? 2014) (2)由题意, a1 ? 1, b1 ? 1, S1 ? 0

……………………4 分

当2

?

n

?

2014 时,

Sn

?

Sn?1

?

1 an?1

,

bn

?

an

? Sn

此时,

Sn

?

S1

?

1 a1

?

1 a2

?

? 1 ?1?1? an?1 a1 a2

?1 an?1

? bn

?

an

(

1 a1

?

1 a2

?

? 1) an?1

? bn ? 1 ? 1 ? ? 1 ? bn?1 ? 1 ? 1 ? ? 1

an a1 a2

an?1

an?1 a1 a2

an

? bn?1 ? bn ? 1 ? bn?1 ? 1? bn ? 0 an?1 an an an?1 an

当 n ? 1 时, b2 ? 1? b1 ? 3 ? 1?1 ? ?1 a2 a1 3 1

综上,

bn?1 an?1

? 1? bn an

?

??1, ?? 0,

n ?1 2 ? n ? 2014

…………………………9 分

(3)当 n

? 1 时, 左

?1?

b1

?

2,



?

10 3

b1

?

10 3

此时,1

?

b1

?

10 3

b1

当2?

n

? 2014 时,由(2)知 1? bn bn?1

?

an an?1

又 b1

?

a1

? 1,

b2

? 3, a2

?3

(1? b1)(1? b2 ) (1? bn ) ? 1? b1 ?1? b2 ?1? b3

b1 ? b2 bn

b1b2 b3

b4

1 ? bn?1 bn

? (1?

bn

)

? 2 ? a2 ? a3 3 a3 a4

an?1 an

? (1?

bn )

?

2 3

?

a2 an

? (1?

bn )

?

2 ? 1? bn an

? 2 ? ( 1 ? bn ) ? 2( 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 )

an an

an a1 a2

an?1

即要证明的不等式转化为证明:

1?1? a1 a2

? 1 ? 5 即证明1? 1 ? 1 ?

an 3

37

?

1 2n ?1

?

5 3

(注:忽略 n ? 1 的情形将之转化为1? 1 ? 1 ? 37
又 an ? 2n ?1 ? 4 ? 2n?2 ?1 ? 3? 2n?2 (n ? 3)

?

1 2n ?1

?

10 3

的本小问

0

分)

? 1? 1 ? 1 ? 37

?

1 2n ?1

?1?

1 3

?

1 3?2

?

1 3 ? 22

?

?

3?

1 2n?2

?1?

1 3

(1

?

1 2n?1

1? 1

)

?1?

2 3

? (1?

1 2n?1

)

?1?

2 3

?

5 3

2

10 ? (1? b1)(1? b2 ) (1? bn ) ? 3 b1b2 bn

综上, (1? b1)(1? b2 )

(1

?

bn

)

?

10 3

b1b2

bn (n ? N *, n ? 2014) 成立. ……………………14 分