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2016年秋高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性习题


第一章 集合与函数的概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性习题 新人教 A 版必修 1

一、选择题 1.下列函数在区间(0,1)上是增函数的是 导学号 22840320 ( A.y=1-2x C.y= x-1 [答案] D 1 [解析] 作出 y=1-2x,y= 的图象易知在(0,1)上为减函数,而 y= x-1的定义域 1 B.y= )

x
2

D.y=-x +2x

x

为[1,+∞)不合题意.故选 D. 2. 下图中是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x), 则下列关于函数 f(x)的说法错误的 是 导学号 22840321 ( )

A.函数在区间[-5,-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上没有单调性 [答案] C [解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.如 0<5, 但 f(0)>f(5),故选 C.
? ?x +1,x≥0, 3.函数 f(x)=? 2 ?-x ,x<0 ?
2

的单调性为 导学号 22840322 (

)

A.在(0,+∞)上为减函数 B.在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数 C.不能判断单调性 D.在(-∞,+∞)上是增函数 [答案] D
1

[解析] 画出函数的图象,易知函数在(-∞,+∞)上是增函数. 4.定义在 R 上的函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,且在[0,+∞)上是增函数,则下 列关系成立的是 导学号 22840323 ( A.f(3)<f(-4)<f(-π ) C.f(-4)<f(-π )<f(3) [答案] D [解析] ∵f(-π )=f(π ),f(-4)=f(4),且 f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴f(3)<f(π )<f(4),∴f(3)<f(-π )<f(-4). 5.函数 y=x +x+1(x∈R)的递减区间是 导学号 22840324 ( 1 A.[- ,+∞) 2 1 C.(-∞,- ] 2 [答案] C 1 2 3 1 2 [解析] y=x +x+1=(x+ ) + , 其对称轴为 x=- , 在对称轴左侧单调递减, ∴x≤ 2 4 2 1 - 时单调递减. 2 6.(2016·黄冈中学月考题)函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),则实 数 m 的取值范围是 导学号 22840325 ( A.(-∞,-3) C.(3,+∞) [答案] C [解析] 因为函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),所以 2m>-m+9, 即 m>3,故选 C. 二、填空题 7. 已知 f(x)是定义在 R 上的增函数, 下列结论中, ①y=[f(x)] 是增函数; ②y=
2 2

) B.f(-π )<f(-4)<f(3) D.f(3)<f(-π )<f(-4)

)

B.[-1,+∞) D.(-∞,+∞)

) B.(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)

1 f?x?

是 减 函 数 ; ③ y = - f(x) 是 减 函 数 ; ④ y = |f(x)| 是 增 函 数 , 其 中 错 误 的 结 论 是 ________. 导学号 22840326 [答案] ①②④ 8 . 若 函 数 f(x) = 4x - kx - 8 在 [5,8] 上 是 单 调 函 数 , 则 k 的 取 值 范 围 是 ________. 导学号 22840327
2

2

[答案] (-∞,40]∪[64,+∞) [解析] 对称轴为 x= ,则 ≤5 或 ≥8,得 k≤40 或 k≥64. 8 8 8 三、解答题 9.(2015·安徽师大附中高一期中)已知函数 f(x)= 调性并用定义证明. 导学号 22840328 [思路点拨] 作差 → 变形 → 定号 → 下结论

k

k

k

x-1 ,判断 f(x)在(0,+∞)上单 x+1

[解析] f(x)在(0,+∞)上单增. 证明:任取 x1>x2>0,f(x1)-f(x2)=

x1-1 x2-1 2?x1-x2? - = , x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1?

由 x1>x2>0 知 x1+1>0,x2+1>0,x1-x2>0,故 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x)在(0,+ ∞)上单增.
??2b-1?x+b-1,x>0 ? 10.若函数 f(x)=? 2 ?-x +?2-b?x,x≤0 ?

在 R 上为增函数,求实数 b 的取值范

围. 导学号 22840329 [分析] 分别考虑两个分段 再根据整体的单调 → 解析式的单调性 性求b的取值范围

2b-1>0 ? ? [解析] 由题意得?2-b≥0 ? ?b-1≥0

,解得 1≤b≤2.①

[注意] ①本题在列不等式组时很容易忽略 b-1≥f(0),即只考虑到了分段函数在各 自定义域上的单调性,忽略了 f(x)在整个定义域上的单调性. [方法探究] 解决此类问题, 一般要从两个方面思考: 一方面每个分段区间上函数具有 相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面要考虑端点处的衔接情况,由此列出另一部分 的式子.

一、选择题 1 . 已 知 f(x) 为 R 上 的 减 函 数 , 则 满 足 f(2x)>f(1) 的 实 数 x 的 取 值 范 围 是 导学号 22840330 ( A.(-∞,1) ) B.(1,+∞)

3

1 C.( ,+∞) 2 [答案] D

1 D.(-∞, ) 2

[解析] ∵f(x)在 R 上为减函数且 f(2x)>f(1). 1 ∴2x<1,∴x< . 2 2.设(a,b),(c,d)都是函数 f(x)的单调增区间,且 x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<

x2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是 导学号 22840331 (
A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) [答案] D

)

B.f(x1)>f(x2) D.不能确定

3.已知函数 y=ax 和 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则函数 f(x)=bx+a 在 R 上 是 导学号 22840332 ( A.减函数且 f(0)<0 C.减函数且 f(0)>0 [答案] A [解析] ∵y=ax 和 y=- 在(0,+∞)都是减函数,∴a<0,b<0,f(x)=bx+a 为 减函数且 f(0)=a<0,故选 A. 4.下列有关函数单调性的说法,不正确的是 导学号 22840333 ( A.若 f(x)为增函数,g(x)为增函数,则 f(x)+g(x)为增函数 B.若 f(x)为减函数,g(x)为减函数,则 f(x)+g(x)为减函数 C.若 f(x)为增函数,g(x)为减函数,则 f(x)+g(x)为增函数 D.若 f(x)为减函数,g(x)为增函数,则 f(x)-g(x)为减函数 [答案] C [解析] ∵若 f(x)为增函数,g(x)为减函数,则 f(x)+g(x)的增减性不确定. 1 例如 f(x)=x+2 为 R 上的增函数,当 g(x)=- x 时, 2 1 则 f(x)+g(x)= x+2 为增函数;当 g(x)=-3x,则 f(x)+g(x)=-2x+2 在 R 上为 2 减函数,∴不能确定. 二、填空题 5.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间为________. 导学号 22840334 ) ) B.增函数且 f(0)<0 D.增函数且 f(0)>0

b x

b x

4

3 [答案] [0, ] 2 [解析]
? ?-x +3x?x>0?, y=-(x-3)|x|=? 2 ?x -3x?x≤0?, ?
2

作出其图象如图,观察图象知递增

3 区间为[0, ]. 2

3 2 6.已知函数 f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,那么 f(a -a+1)与 f( )的大小关系为 4 ________. 导学号 22840335 3 2 [答案] f(a -a+1)≤f( ) 4 [解析] 3 +1)≤f( ). 4 三、解答题 7.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的 x,y∈(0,+∞),都有 f(x+ 1 2 3 3 2 2 ∵a -a+1=(a- ) + ≥ >0,又 f(x)在(0,+∞)上为减函数,∴f(a -a 2 4 4

y)=f(x)+f(y)-1,且 f(4)=5. 导学号 22840336
(1)求 f(2)的值; (2)解不等式 f(m-2)≥3. [解析] (1)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1, 又 f(4)=5,∴f(2)=3.

(2)f(m-2)≥f(2) ∴?
?m-2≤2 ? ?m-2>0 ?

,∴2<m≤4.

∴m 的范围为(2,4]. 8.(1)写出函数 y=x -2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两 侧的单调性有什么特点? 导学号 22840337
2

5

(2)写出函数 y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单 调性有什么特点? (3)定义在[-4,8]上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, y=f(x)的部分图象如 图所示,请补全函数 y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的 单调性有什么特点?

(4)由以上你发现了什么结论?(不需要证明) [解析] (1)函数 y=x -2x 的单调递减区间是(-∞,1],单调递增区间是[1,+∞); 其图象的对称轴是直线 x=1;区间(-∞,1]和区间[1,+∞)关于直线 x=1 对称,函数 y =x -2x 在对称轴两侧的单调性相反. (2)函数 y=|x|的单调减区间为(-∞,0],增区间为[0,+∞),图象关于直线 x=0 对称,在其两侧单调性相反. (3)函数 y=f(x),x∈[-4,8]的图象如图所示.
2 2

函数 y=f(x)的单调递增区间是[-4,-1],[2,5];单调递减区间是[5,8],[-1,2]; 区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线 x=2 对称.区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线 x=2 对称,函数 y=f(x)在对称轴两侧的对称区间内的单调性相反. (4)发现结论:如果函数 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称,那么函数 y=f(x)在直线

x=m 两侧对称区间内的单调性相反.

6


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