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2015高考三角函数与解三角形解答题及答案


1.【2015 高考北京,文 15】 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin 2 (I)求 f ? x ? 的最小正周期; (II)求 f ? x ? 在区间 ? 0,

x . 2

? 2? ? 上的最小值. ? 3 ? ?

【答案】 (I) 2? ; (II) ? 3 .

2.【2015 高考安徽,文 16】已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? cos 2 x (Ⅰ)求 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

【答案】 (Ⅰ) ? ; (Ⅱ)最大值为 1 ? 2 ,最小值为 0

3.【2015 高考福建,文 21】已知函数 f ? x ? ? 10 3 sin (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

x x x cos ? 10 cos 2 . 2 2 2

?
6

个单位长度,再向下平移 a ( a ? 0 )个单位长度后得到函数 g ? x ?

的图象,且函数 g ? x ? 的最大值为 2. (ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; 【答案】 (Ⅰ) 2? ; (Ⅱ) (ⅰ) g ? x ? ? 10sin x ? 8 ;

4.【2015 高考广东,文 16】 (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? 2 . (1)求 tan ? ? ? (2)求

? ?

??

? 的值; 4?

sin 2? 的值. sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
2

【答案】 (1) ?3 ; (2) 1 .

5.【2015 高考湖南,文 17】 (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a ? b tan A .
-1-

(I)证明: sin B ? cos A ; (II) 若 sin C ? sin A cos B ?

3 ,且 B 为钝角,求 A, B, C . 4

【答案】 (I)略;(II) A ? 30? , B ? 120? , C ? 30?.

6.【2015 高考山东,文 17】 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知

cos B ?

3 6 ,sin ( A ? B) ? , ac ? 2 3 求 sin A 和 c 的值. 3 9 2 2 ,1. 3

【答案】

7. 【 2015 高 考 陕 西 , 文 17 】 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , 向 量 m ? ( a , 3b) 与

??

? n ? (cos A,sin B ) 平行.
(I)求 A ; (II)若 a ?

7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.

【答案】(I) A ?

?
3

;(II)

3 3 . 2

8.【2015 高考四川,文 19】已知 A、B、C 为△ABC 的内角,tanA、tanB 是关于方程 x2+ 3 px-p+1=0(p ∈R)两个实根. (Ⅰ)求 C 的大小 (Ⅱ)若 AB=1,AC= 6 ,求 p 的值

9.【2015 高考天津,文 16】 (本小题满分 13 分)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的 面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? (I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

1 , 4

? ?

π? ? 的值. 6?
-2-

【答案】 (I)a=8, sin C ?

15 15 ? 7 3 ;(II) . 8 16

10.【2015 高考新课标 1,文 17】 (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,

sin 2 B ? 2sin A sin C .
(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90? ,且 a ? 【答案】 (I)

2, 求 ?ABC 的面积.

1 (II)1 4

11.【2015 高考浙江,文 16】 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知

tan( ? A) ? 2 . 4 sin 2 A (1)求 的值; sin 2 A + cos 2 A
(2)若 B ? 【答案】(1)

?

?

4

, a ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

2 ;(2) 9 5 1 sin2x- 3 cos 2 x . 2

12.【2015 高考重庆,文 18】已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的最小周期和最小值,

(Ⅱ)将函数 f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)的图像.当 x? ?

?? ? , ? 时,求 g(x)的值域. ?2 ? ? 2+ 3 1- 3 2 - 3 , (Ⅱ) [ , ]. 2 2 2

【答案】 (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 p ,最小值为 -

13【2015 高考天津,文 16】 (本小题满分 13 分)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的 面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? (I)求 a 和 sinC 的值;
-3-

1 , 4

(II)求 cos ? 2 A ?

? ?

π? ? 的值. 6? 15 15 ? 7 3 ;(II) . 8 16

【答案】 (I)a=8, sin C ?

16.【2015 高考北京,文 15】 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin 2 (I)求 f ? x ? 的最小正周期; (II)求 f ? x ? 在区间 ? 0,

x . 2

? 2? ? 上的最小值. ? 3 ? ?

【答案】 (I) 2? ; (II) ? 3 .

2? ? ? ,∴ ? x ? ? ? . 3 3 3 ? 2? 当 x ? ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值. 3 3 2? 2? ∴ f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值为 f ( ) ? ? 3 . 3 3
(Ⅱ)∵ 0 ? x ? 17.【2015 高考安徽,文 16】已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? cos 2 x
2

(Ⅰ)求 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

【答案】 (Ⅰ) ? ; (Ⅱ)最大值为 1 ? 2 ,最小值为 0 【解析】
-4-

(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T=

2 sin( 2 x ?

?
4

) ?1

2? =? . 2
2 sin( 2 x ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得计算结果, f ( x) ? 当 x ? [0,

?
4

) ?1

? 5? ?[ , ] 2 4 4 4 ? 5? 由正弦函数 y ? sin x 在 [ , ] 上的图象知, 4 4

?

] 时, 2 x ?

?

时, f ( x) 取最大值 2 ? 1 ; 2 8 ? 5? ? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取最小值 0 . 4 4 4 当 2x ?

?

4

?

?

,即 x ?

?

综上, f ( x) 在 [0,

?

2

] 上的最大值为 2 ? 1 ,最小值为 0 . x x x cos ? 10 cos 2 . 2 2 2

18.【2015 高考福建,文 21】已知函数 f ? x ? ? 10 3 sin (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

?
6

个单位长度,再向下平移 a ( a ? 0 )个单位长度后得到函数 g ? x ?

的图象,且函数 g ? x ? 的最大值为 2. (ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; 【答案】 (Ⅰ) 2? ; (Ⅱ) (ⅰ) g ? x ? ? 10sin x ? 8 ; (ⅱ)详见解析. 【解析】 (I)因为 f ? x ? ? 10 3 sin

x x x cos ? 10 cos 2 2 2 2

? 5 3 sin x ? 5cos x ? 5

?? ? ? 10sin ? x ? ? ? 5 . 6? ?
所以函数 f ? x ? 的最小正周期 ? ? 2? . (II) (i)将 f ? x ? 的图象向右平移

?
6

个单位长度后得到 y ? 10sin x ? 5 的图象,再向下平移 a ( a ? 0 )

个单位长度后得到 g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a 的图象. 又已知函数 g ? x ? 的最大值为 2 ,所以 10 ? 5 ? a ? 2 ,解得 a ? 13 . 所以 g ? x ? ? 10sin x ? 8 .
-5-

19.【2015 高考广东,文 16】 (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? 2 . (1)求 tan ? ? ? (2)求

? ?

??

? 的值; 4?

sin 2? 的值. sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
2

【答案】 (1) ?3 ; (2) 1 . 【解析】 试题分析: (1)由两角和的正切公式展开,代入数值,即可得 tan ? ? ? 余弦公式可得

? ?

??

(2)先利用二倍角的正、 ? 的值; 4?

sin 2? 2sin ? cos ? ,再分子、分母都除以 ? 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos2 ? sin 2? 2 tan ? , 代 入 数 值 , 即 可 得 cos 2 ? 可 得 ? 2 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 tan ? ? tan ? ? 2 sin 2? 的值. 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
2

试题解析: (1) tan ? ? ?

? ?

??

4 ? tan ? ? 1 ? 2 ? 1 ? ?3 ?? 4 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 2 4

tan ? ? tan

?

(2)

sin 2? sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
2

?
?

2sin ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? ? 2 cos 2 ? ? 1? ? 1
2
2

2sin ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 2 tan ? ? 2 tan ? ? tan ? ? 2 2? 2 ? 2 2 ?2?2
?1
21. 【2015 高考湖南, 文 17】 (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a ? b tan A . (I)证明: sin B ? cos A ; (II) 若 sin C ? sin A cos B ?

3 ,且 B 为钝角,求 A, B, C . 4
? ? ?

【答案】 (I)略;(II) A ? 30 , B ? 120 , C ? 30 . 【解析】 试题分析: (I)由题根据正弦定理结合所给已知条件可得
-6-

sin A sin A ,所以 sin B ? cos A ;(II)根据两 ? cos A sin B

角和公式化简所给条件可得 sin C ? sin A cos B ? cos A sin B ? 围可得角 B,进而可得角 A,由三角形内角和可得角 C.

3 3 ,可得 sin 2 B ? ,结合所给角 B 的范 4 4

22.【2015 高考山东,文 17】 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知

cos B ?

3 6 ,sin ( A ? B) ? , ac ? 2 3 求 sin A 和 c 的值. 3 9 2 2 ,1. 3 3 6 ,得 sin B ? . 3 3 6 , 9 5 3 , 9 6 5 3 3 6 2 2 . ? ? ? ? 3 9 3 9 3

【答案】

【解析】在 ?ABC 中,由 cos B ?

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? sin( A ? B) ?

因为 sin C ? sin B ,所以 C ? B , C 为锐角, cos C ?

因此 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 2 c c sin A a c ? 3 ? 2 3c ,又 ac ? 2 3 ,所以 c ? 1 . 由 ? , 可得 a ? sin C sin A sin C 6 9
-7-

23. 【 2015 高考陕西,文 17 】 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,向量 m ? ( a , 3b) 与

??

? n ? (cos A,sin B ) 平行.
(I)求 A ; (II)若 a ?

7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.

【答案】(I) A ?

?
3

;(II)

3 3 . 2

试题解析:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 由正弦定理,得 sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 , 又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? 由于 0 ? A ? ? 所以 A ?

??

?

3,

?
3

(II)解法一:由余弦定理,得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,而 a ? 7, b ? 2 , A ?
得 7 ? 4 ? c 2 ? 2c ,即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 , 故 ?ABC 面积为

?
3



1 3 3 . bc sin A ? 2 2

解法二:由正弦定理,得

7 sin

?
3

?

2 sin B

从而 sin B ?

21 7 2 7 7

又由 a ? b 知 A ? B ,所以 cos B ? 故 sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ?

?
3

)

? sin B cos

?
3

? cos B sin

?
3

?

3 21 , 14
-8-

所以 ?ABC 面积为

1 3 3 . ab sin C ? 2 2

24.【2015 高考四川,文 19】已知 A、B、C 为△ABC 的内角,tanA、tanB 是关于方程 x2+ 3 px-p+1= 0(p∈R)两个实根. (Ⅰ)求 C 的大小 (Ⅱ)若 AB=1,AC= 6 ,求 p 的值 【解析】(Ⅰ)由已知,方程 x2+ 3 px-p+1=0 的判别式 △=( 3 p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0 所以 p≤-2 或 p≥

2 3

由韦达定理,有 tanA+tanB=- 3 p,tanAtanB=1-p 于是 1-tanAtanB=1-(1-p)=p≠0 从而 tan(A+B)=

tan A ? tan B ? 3 p ? ?? 3 1 ? tan A tan B p

所以 tanC=-tan(A+B)= 3 所以 C=60° (Ⅱ)由正弦定理,得 sinB=

AC sin C 6 sin 600 2 ? ? AB 3 2

解得 B=45°或 B=135°(舍去) 于是 A=180°-B-C=75°

tan 450 ? tan 300 ? 则 tanA=tan75°=tan(45°+30°)= 1 ? tan 450 tan 300

1?

3 3 ? 2? 3 3 1? 3

所以 p=-

1 1 (tanA+tanB)=- (2+ 3 +1)=-1- 3 3 3

25.【2015 高考天津,文 16】 (本小题满分 13 分)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的 面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ?

1 , 4
-9-

(I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

? ?

π? ? 的值. 6? 15 15 ? 7 3 ;(II) . 8 16

【答案】 (I)a=8, sin C ? 【解析】

(I) 由面积公式可得 bc ? 24, 结合 b ? c ? 2, 可求得解得 b ? 6, c ? 4. 再由余弦定理求得 a=8.最后由正弦定 理求 sinC 的值;(II)直接展开求值. 试题解析( : I) △ABC 中,由 cos A ? ?

15 1 1 , 由 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24, 又由 b ? c ? 2, , 得 sin A ? 4 4 2 15 a c ,得 sin C ? . ? 8 sin A sin C

解得 b ? 6, c ? 4. 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,可得 a=8.由

(II) cos ? 2 A ?

? ?

π? π π 3 15 ? 7 3 2 cos 2 A ? 1? ? sin A cos A , ? ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 16 6? 6 6 2

26.【2015 高考新课标 1,文 17】 (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,

sin 2 B ? 2sin A sin C .
(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90? ,且 a ? 【答案】 (I)

2, 求 ?ABC 的面积.

1 (II)1 4

试题解析: (I)由题设及正弦定理可得 b 2 = 2ac . 又 a = b ,可得 b = 2c , a = 2c , 由余弦定理可得 cos B = (II)由(1)知 b 2 = 2ac . 因为 B = 90°,由勾股定理得 a 2 + c 2 = b 2 . 故 a 2 + c 2 = 2ac ,得 c = a = 2 . 所以 DABC 的面积为 1. 27.【2015 高考浙江,文 16】 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知
- 10 -

a 2 + c2 - b2 1 = . 2ac 4

tan( ? A) ? 2 . 4 sin 2 A (1)求 的值; sin 2 A + cos 2 A
(2)若 B ? 【答案】(1) 【解析】 (1)利用两角和与差的正切公式,得到 tan A ?

?

?

4

, a ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

2 ;(2) 9 5 1 ,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论;(2)利用正 3 1 , 3

弦定理得到边 b 的值,根据三角形,两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积. 试题解析:(1)由 tan(

?

4 sin 2 A 2sin A cos A 2 tan A 2 所以 ? ? ? . 2 2 sin 2 A ? cos A 2sin A cos A ? cos A 2 tan A ? 1 5
(2)由 tan A ?

? A) ? 2 ,得 tan A ?

10 3 10 1 可得, sin A ? . , cos A ? 10 10 3
,由正弦定理知: b ? 3 5 .

a ? 3, B ?

?
4

又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

2 5 , 5

所以 S ?ABC ?

1 1 2 5 ab sin C ? ? 3 ? 3 5 ? ?9. 2 2 5
1 sin2x- 3 cos 2 x . 2

28.【2015 高考重庆,文 18】已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的最小周期和最小值,

(Ⅱ)将函数 f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)的图像.当 x? ?

?? ? , ? 时,求 g(x)的值域. ?2 ? ? 2+ 3 1- 3 2 - 3 , (Ⅱ) [ , ]. 2 2 2

【答案】 (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 p ,最小值为 【解析】 试题分析: (Ⅰ)首先用降幂公式将函数 f ( x) =

1 sin 2 x 2

3 cos 2 x 的解析式化为

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B 的形式,从而就可求出 f ( x) 的最小周期和最小值,

- 11 -

(Ⅱ)由题目所给变换及(Ⅰ)的化简结果求出函数 g ( x) 的表达式,再由 x ? ? 图象即可求出其值域. 试题解析: (1) f ( x) =

?? ? , ? 并结合正弦函数的 ?2 ? ?

1 sin 2 x 2

1 3 3 cos 2 x = sin 2 x (1 + cos 2 x) 2 2

1 3 3 p 3 , = sin 2 x cos 2 x = sin(2 x - ) 2 2 2 3 2
因此 f ( x) 的最小正周期为 p ,最小值为 -

2+ 3 . 2

(2)由条件可知: g( x) = sin( x 当 x? [

p 3 . )3 2

p p p 2p , p ] 时,有 x - ? [ , ] , 2 3 6 3 p 1 从而 sin( x - ) 的值域为 [ ,1] , 3 2
那么 sin( x -

p 3 1- 3 2 - 3 的值域为 [ ), ]. 3 2 2 2 1- 3 2 - 3 p , ]. , p ] 上的值域是 [ 2 2 2

故 g( x) 在区间 [

28.【2015 高考天津,文 16】 (本小题满分 13 分)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的 面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? (I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

1 , 4

? ?

π? ? 的值. 6? 15 15 ? 7 3 ;(II) . 8 16

【答案】 (I)a=8, sin C ? 【解析】

(I) 由面积公式可得 bc ? 24, 结合 b ? c ? 2, 可求得解得 b ? 6, c ? 4. 再由余弦定理求得 a=8.最后由正弦定 理求 sinC 的值;(II)直接展开求值. 试题解析( : I) △ABC 中,由 cos A ? ?

15 1 1 , 由 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24, 又由 b ? c ? 2, , 得 sin A ? 4 4 2
- 12 -

解得 b ? 6, c ? 4. 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,可得 a=8.由

15 a c ,得 sin C ? . ? 8 sin A sin C

(II) cos ? 2 A ?

? ?

π? π π 3 15 ? 7 3 2 cos 2 A ? 1? ? sin A cos A , ? ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 16 6? 6 6 2

- 13 -


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