当前位置:首页 >> 数学 >>

11.23福建省师大附中2012届高三上学期期中考试word版(数学文)


福建省师大附中 2012 届高三期中考试数学试题(文)
一、选择题: 每小题 5 分,共 60 分;在给出的 A、B、C、D 四个选项中,只有一项符合题目要求 ) ( 1.曲线 y ? x 3 ? x ? 2 上点 P0 处的切线斜率为 4,则点 P0 的一个坐标是 ( ) A. (0,-2) B. (1, 1) C. (-1, -4) D. (1, 4) 2.直线 l: x sina+y cosa=1 与圆 x +y =1 的关系是( ) A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定 3.定义在 R 上的偶函数满足:对任意 x1 , x2 ?[0, ??) ,且 x1 ? x2 都有 ()A. f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3)
2 2 2 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

4.M(3.0)是圆 x +y -8x-2y+10=0 内一点,则过点 M 最长的弦所在的直线方程是( ) A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0 5.已知 x 的不等式 x ? b ? 0 的解集是( 1, ?? ) ,则关于 x 的不等式 ( x ? b)( x ? 2) ? 0 的 解集是( ) A. (??, ?1) ? (2, ??) B. (—1,2) C. (1,2) D. (??,1) ? (2, ??) 6.过点(1,2) ,且与原点距离最大的直线方程是( ) A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 3 y ? 7 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0 7. 设向量 a , b 满足 a ? 2 5 , b ? (2,1) , “ a ? (4, 2) ”是 “ a ∥ b ”成立的 则 ( A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.不充分也不必要条件 均是真命题,则实数 a 的取值范围是 A. [4, ??) B. [1, 4] 9.已知 cos ? ? ? A. ? ( ) C. [e, 4] (

? ?

?

?

?

?

?



2 x 8.已知命题 p : “ ?x ??0,1? , a ? e ” ,命题 q : “ ?x ? R, x ? 4 x ? a ? 0 ” ,若命题 p, q

D. (??,1] )

? ?

π? 2 7π ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? 的值是 ? ? sin ? ? 6? 5 6 ? ?

2 2 3 3 B. C. ? D. 5 5 5 ??? ??? ??? 5 ? ? ? 10.在 ?ABC 中, AB ? 1 , BC ? 2 , E 为 AC 的中点 ,则 BE ? ( BA ? BC) =( ) 3 3 A.3 B. C.-3 D. ? 2 2 11.设 l、m、n 为不同的直线, ?、? 为不同的平面,有如下四个命题: ①若 ? ∥ ? ,l ? ? ,则 l ∥ ? ②若 m ? ? , n ? ? , 且 ? ∥ ? 则 m ∥ n ③若 l ? m, m ? n ,则 l ∥ n ④若 ? ? ? ? l , n ∥ ? , n ∥ ? ,则 n ∥ l
12.设函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a, b, c ? R ? ,若 x ? ?1 为函数 g ( x) ? f ? x ? e 的一个极
2 x

其中正确的命题个数是 A. 1 B. 2

( ) C. 3

D. 4 (

值点,则下列图像不可能为 y ? f ? x ? 的图像是 .
-1-



Y -1

Y X X O -1

Y X O

Y

X -1 O C. D.

-1 A.

O B.

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.已知等差数列 {an } 中, a1 ? a99 ? 20 ,则

1 a50 ? a20 ? a80 ? 2



14.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为________. 2 2 15. 过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x +y -2x-2y+1=0 截得的弦长为 2,则直线 l 的 斜率为________.
x y 16.已知向量 a = ( x ? 2,1), b = (1, y ) ,若 a ? b ,则 3 ? 3 的最小值为

?

?

?

?



三、解答题: (本大题共 6 题,满分 74 分) 17.下图是某简谐运动的一段图像,它的函数模型是 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? 0 ) ,其 中 A ? 0 ,? ? 0 , ?

?
2

?? ?

?
2



(Ⅰ)根据图像求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 图像上各点的横坐标缩短到原来的

y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在 [

?
2

1 倍,纵坐标不变,得到函数 2

, ? ] 上的最大值和最小值.

-2-

18.过点 P(1,-1)的直线 L 与圆 M: (x-3)

2

+(y-4)

2

=4

(1)当直线和圆相切时,求切线方程和切线长; (2)若直线的斜率为 2,求直线被圆截得的弦 AB 的长; (3)若圆的方程加上条件 x≥3,直线与圆有且只有一个交点,求直线的斜率的取值范围.

19.已知各项为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 ?Sn ? ,首项为 a1 ,且 2, an , Sn 成等差数列, (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; Ⅱ) bn ? o ( 若 l g

2 n n

ac ,

?

bn , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

-3-

20.如图,在四棱锥 E-ABCD 中, ΔADE 是等边三角形,侧面 ADE ⊥底面 ABCD , 其中 AB//DC , BD ? 2 DC ? 4 , AD ? 3 , AB ? 5 (Ⅰ)若 F 是 EC 上任一点,求证:平面 BDF ⊥平面 ADE ; (Ⅱ)求三棱锥 C-BDE 的体积。

-4-

21.如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 BCP; (Ⅱ)求证:四边形 EFGD 为矩形; (Ⅲ)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

-5-

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x ? 1 ( a 是常数) , x

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调区间; ( Ⅱ ) 当 a ? 1 时 , 方 程 f ( x) ? m 在 x ? ? , e ? 上 有 两 解 , 求 m 的 取 值 范 围 ; ?e ?

?1 ?

?e ? 2.71828?
(Ⅲ)求证: ln

n 1 ? (n ? 1 ,且 n ? N * ) . n ?1 n

-6-

参考答案
DDCBA ACCAD BD

13.25 14.7 15. 6 16. 28; 640 17.本题考查三角函数的图像和性质、图像的平移伸缩等基础知识,考查推理论证能力、 运算求解能力,考查方程与函数、数形结合数学思想方法.满分 12 分 解: )由函数图象及函数模型 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 知 A ? 2 ; (Ⅰ

13? ? 1 ? ? 4? ,得 ? ? ? 3 3 2 4 1 4? ? ? ? ? 2) ? ? ? 2k? ? ,?? ? ? ? 2k? ,又 ? ? ? ? , 由最高点 ( ? , 得, ? 3 2 3 2 6 2 2


2?

?T ?

?? ? ?

?

6 1 2 ?

∴ 所求函数解析式为 y ? f ( x) ? 2sin( x ? (Ⅱ )解法一:将 y ? f ( x) ? 2 sin( x ? 坐标不变,得到 y ? g ( x) ? 2 sin( x ? ∵ ? x ? ? ,∴ ? x ?

?
6

) ? x ? 0? 1 倍,纵 2

1 2

?

6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

?

?

?
6

2

当x?

?
6

2 ? 5? 当x? ? ,即 x ? ? 时, g ( x) 有最小值 1 6 6 1 ?
解法二:将 y ? f ( x) ? 2 sin( x ?

?

?

3

?

,即 x ?

2? 时, g ( x) 有最大值 2; 3

5? , 6

6

)

2

不变,得到 y ? g ( x) ? 2 sin( x ? 令t ? x ? 由?

?

6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标 2

?
6

6

)

,∵ 函数 y ? 2sin t 的单调递增区间是 [?

?
2

? 2 k? ,

?
2

? 2 k? ] , k ? Z ,

?
2

? 2k? ? x ?

?
6

?

?
2

? 2k? ,得 ?

?
3

? 2k? ? x ?

设 A? [

?
2

, ? ] , B ? {x | ?

?
3

? 2k? ? x ?
-7-

2? ? 2k? , k ? Z } , 3

2? ? 2k? , k ? Z , 3


A? B ? [

?

2? ] 上单调递增 2 3 2? , ? ] 上单调递减 同理可得,函数 y ? g ( x) 在区间 [ 3 ? 2? g ) ? 2 , g (? ) ? 1 , 又∵ ( ) ? 3 , g ( 2 3
∴ 函数 y ? g ( x) 在区间 [

2? ], 2 3 ,

?

,

∴ 函数 y ? g ( x) 在 [

?

2

, ? ] 上的最大值为 2,最小值为 1

18. (Ⅰ)解:? 2an ? 2 ? Sn ---① ?2an?1 ? 2 ? Sn?1 (n ? 2) ----② ① ? ②得 an ? 2an?1 ,又? 2a1 ? 2 ? S1 ? a1 ? 2 ,? an ? 2n

n 1 2 3 n ,用错位相减法得: Tn ? ? 2 ? 3 ? ..... ? n -------① n 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ...... ? n ?1 -------② 2 2 2 2 2 2?n 由① ? ② 得 Tn ? 2 ? n 2
(Ⅱ)解: Cn ?



? 19.解: (1)依题意, ?BAC ? 120 , AB ? 12 , AC ? 10 ? 2 ? 20 , ?BCA ? ? . C

在△ ABC 中,由余弦定理,得 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC
2 2 2

? 122 ? 202 ? 2 ?12 ? 20 ? cos120? ? 784 .解得 BC ? 28 .
BC ? 14 海里/小时. 2 答:渔船甲的速度为 14 海里/小时.
所以渔船甲的速度为

西

?
B

60

?

A





? (2)在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , ?BAC ? 120 , BC ? 28 , ?BCA ? ? ,

AB sin120? AB BC ? ? 由正弦定理,得 ;即 sin ? ? BC sin ? sin120?
答: sin ? 的值为

12 ?

3 2 ?3 3. 28 14

3 3 . 14
-8-

20. (共 12 分) 证明: (Ⅰ)因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点, 所以 DE//PC。 又因为 DE ? 平面 BCP, 所以 DE//平面 BCP。 (Ⅱ)因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE//PC//FG,DG//AB//EF。 所以四边形 DEFG 为平行四边形, 又因为 PC⊥AB,所以 DE⊥DG, 所以四边形 DEFG 为矩形。 (Ⅲ)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点 由(Ⅱ)知,DF∩ EG=Q,且 QD=QE=QF=QG=

1 EG. 2

分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN。 与(Ⅱ)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线点为 EG 的中点 Q,

1 EG,所以 Q 为满足条件的点. 2 1 4 1 3 4 2 ? 21.解: (Ⅰ) f (1) ? ? a ? b ? 1 ? 0 ,? b ? a ? ,? f ( x) ? x ? ax ? (a ? ) x ? 1 3 3 3 3 4 ? f '( x) ? x 2 ? 2ax ? (a ? ) 3 4 4 1 1 4 1 13 ? ? 4a 2 ? 4(a ? ) ? 4[a 2 ? a ? ] ? 4[(a ? ) 2 ? ? ] ? 4[(a ? ) 2 ? ] ? 0 3 3 2 4 3 2 12
且 QM=QN=

4 4 ? f '( x) ? 0 必有两个不同的实根, x1 ? ?a ? a 2 ? a ? , x2 ? ?a ? a 2 ? a ? , 3 3
当 x ? (??, x1 ), f ( x) ? 0 ; x ? ( x1 , x2 ), f ( x) ? 0 ; x ? ( x2 , ??), f ( x) ? 0 .
' ' '

故 f ( x ) 存在两个极值点即 f ( x ) 不是单调函数. (Ⅱ)? 函数 f ( x ) 在区间 [?1, 2] 上是单调减函数

? 函数在 [?1, 2] 上有 f '( x) ? 0 恒成立

-9-

? f '(?1) ? 0 ?1 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?2a ? 1 ? ? ? ?? ?? ,故点 ( a, b) 构成可行域(图略) ? ? f '(2) ? 0 ? 4 ? 4a ? b ? 0 ? b ? 4a ? 4 ? ? ? ? b ? 4a ? 4 1 ? 1 ? ?a ? ? ?? 2 ,由图可知目标函数 z ? a ? b 经过点 (? , 2) 时取到最小 ? 2 ?b ? ?2a ? 1 ? b ? 2 ? ?
值.

1 3 ?a ? b ? ? ? 2 ? 2 2
22.解:(Ⅰ) f ?( x) ?

? a ? b 最小值为
x?a . x2

3 2

当 a ? 0 时,在定义域 (0, ??) 上, f ' ( x) ? 0 恒成立,即 f ( x ) 单调增区间为 (0, ??) ; 当 a ? 0 时,在区间 (0, a ) 上, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x ) 单调减区间为 (0, a ) ; 在 (a, ??) 上, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x ) 单调增区间为 (a, ??) . (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ?( x) ?

x ?1 ?1 ? ,其中 x ? ? , e? , 2 x ?e ?

而 x ? ? ,1? 时, f ?( x) ? 0 ; x ? ?1, e? 时, f ?( x) ? 0 ,

?1 ? ?e ?

∴ x ? 1 是 f (x) 在 ? , e? 上唯一的极小值点, e ∴

?1 ? ? ?

? f ( x)?min ? f (1) ? 0 .

又? f ( ) ? e ? 2, f (e) ?

1 e

1 , e

1 e(e ? 2) ? 1 ?1? f ? ? ? f (e) ? e ? 2 ? ? ? 0, e e ?e?
综 上 , 当 a ? 1 时 , 当 方 程 f ( x) ? m 在 x ? ? , e ? 上 有 两 解 , m 的 取 值 范 围 为 ?e ?

?1 ?

1 . e (Ⅲ)若 a ? 1 时,由(2)知 0?m?
- 10 -

1? x ? ln x 在 ?1,??? 上为增函数, x n 当 n ? 1 时,令 x ? ,则 x ? 1 ,故 f ( x) ? f (1) ? 0 , n ?1 n 1? ? n ? n ? 1 ? ln n ? ? 1 ? ln n ? 0 , 即 f? ?? n n ?1 n n ?1 ? n ?1? n ?1 n 1 ∴ ln ? . n ?1 n f ( x) ?

- 11 -

- 12 -

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 13 -


赞助商链接
相关文章:
更多相关标签: