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高一数学:精品教案(全套打包)(新人教必修一)整理

人教版高中数学必修 1 精品教案(整套) 课题:集合的含义与表示(1) (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一 个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,我们把研究对象统称为元素(element) ,一些元素组成的总体叫集合(set) ,也简称集。 3. 思考 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 大于 3 小于 11 的偶数; (2) 我国的小河流; (3) 非负奇数; (4) 方程 x ? 1 ? 0 的解; (5) 某校 2007 级新生; (6) 血压很高的人; (7) 著名的数学家; (8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点 (9) 全班成绩好的学生。 4. 关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素, 两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此,同一集合中不 应重复出现同一元素。 (3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 (4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作:a∈A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作:a ? A 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A、4 ? A,等等。 6.集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母 A,B,C?表示,集合的元素用小写的拉丁字母 a,b,c,? 表示。 7.常用的数集及记法:非负整数集(或自然数集) ,记作 N;正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z;有理数集,记作 Q;实数集,记作 R; (二)例题讲解: 例 1.用“∈”或“ ? ”符号填空: (1)8 N; (2)0 N;
2

(3)-3 Z; (4) 2 Q; (5)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则中国 例 2.已知集合 P 的元素为 1, m, m
2

A,美国

A,印度

A,英国

A。

? 3m ? 3 , 若 3∈P 且-1 ? P,求实数 m 的值。

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课题:集合的含义与表示(2) 一、复习回顾: 1.集合和元素的定义;元素的三个特性;元素与集合的关系;常用的数集及表示。 2.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么?有何关系 (一) .集合的表示方法 (1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“ ?
2 3 2 2

? ”括起来表示集合的方法叫列举法。

如:{1,2,3,4,5},{x ,3x+2,5y -x,x +y },?; 说明:1.集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 2.各个元素之间要用逗号隔开; 3.元素不能重复; 4.集合中的元素可以数,点,代数式等; 5.对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号, 象自然数集N用列举法表示为 ?1, 2,3, 4,5,......? 例 1.用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合; (3)由 1 到 20 以内的所有质数组成的集合; (4)方程组 ?

? x ? 2 y ? 0; 的解组成的集合。 ?2 x ? y ? 0.

(2)描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号{ }内。 具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式: ? x ? A p ( x )
2

?

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x +1},{x︳直角三角形},?; 说明: 描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合,只要不引起 误解,集合的代表元素也可省略,例如:{x︳整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集},{R}也是错误的。 例 2.试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x2—2=0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合; (3)方程组 ?

? x ? y ? 3; 的解。 ? x ? y ? ?1.

(二) .课堂练习: 1.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 2.集合 A={x|

4 ∈Z,x∈N},则它的元素是 x?3
2



3.已知集合 A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x +1,x∈A},则集合 B 用列举法表示是

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课题:集合间的基本关系 (一). 子集、空集等概念的: 比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) A ? {1, 2,3} , B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2) E ? {x | x是两条边相等的三角形} , F ? {x x是等腰三角形} 1. 子集的定义: 对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ? B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:

B

A

如: (1)中 A ? B 2. 集合相等定义: 如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。 3. 真子集定义: 若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) 。记作: A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 4. 空集定义: 不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? 。 用适当的符号填空:

?

?0? ;

0

?; ?

??? ; ?0?

???

5. 几个重要的结论: 空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集;任何一个集合是它本身的子集; 对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 说明: (1)注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的关系; (2)在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 (二)例题讲解: 例 1.填空: ? {2} (1) . 2 N; N; A; (2) .已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C 例 2.若集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x mx ? 1 ? 0 , B
2

2

?

?

?

?

A,求 m 的值。{0 或者 1/2 或者 1/3

例 3.已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x ? m ? 1 ? x ? 2m ? 1 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。 (m ? 3 )

?

?

?

?

-3-

课题:集合的基本运算㈠ 一、回顾: 1.已知 A={1,2,3},S={1,2,3,4,5},则 A 2.用适当符号填空:
2

S;{x|x∈S 且 x ?A}=



0 {0}; 0 Φ; Φ {x|x +1=0,x∈R} {0} {x|x<3 且 x>5}; {x|x>6} {x|x<-2 或 x>5} ; {x|x>-3} 二、新课教学 (一). 交集、并集概念及性质的教学: (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6}, C ? ?1,2,3,4,5,6? ; (2) A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数},

{x>2}

C ? ?x x 是实数? ;

由学生通过观察得结论。 6. 并集的定义: 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集(union set) 。记作: A∪B(读作: “A 并 B” ) ,即

A ? B ? ? x x ? A, 或x ? B?

用 Venn 图表示:

这样,在问题(1) (2)中,集合 A,B 的并集是 C,即 A? B = C 说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B

B∪A

A∪B=A ? , A∪B=B ? . 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 。 7. 交集的定义: 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作集合 A、B 的交集(intersection set) ,记作 A ∩B(读“A 交 B” )即: A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

常见的五种交集的情况:

B A A∩B B∩A

A(B)

A

B

A

B

A

B

讨论: A∩B 与 A、 B、 B∩A 的关系? A∩ A= A∩Ф =

-4-

A∩B=A ? A∩B=B ? 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ; ②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 。 (二)例题讲解:

;

例 1. (课本例 5)设集合 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x 1 ? x ? 3 ,求 A∪B. 变式:A={x|-5≤x≤8}

?

?

?

?

例 2. (课本例 7)设平面内直线 l1 上点的集合为 L1,直线 l2 上点的集合为 L2,试用集合的运算表示 l1 , l2 的位置关 系。

例 3.已知集合 A ? x x ? mx ? m ? 19 ? 0 ,
2 2

C ? z z 2 ? 2 z ? 8 ? 0 是否存在实数 m,同时满足 A ? B ? ?, A ? C ? ? ?
(m=-2)

?

?

?

?

B ? y y2 ? 5 y ? 6 ? 0

?

?

(三)课堂练习: 课本 P11 练习 1,2,3 归纳小结: 本节课从实例入手,引出交集、并集的概念及符号;并用 Venn 图直观地把两个集合之间的关系表示出来,要 注意数轴在求交集和并集中的运用。 作业布置: 1. 习题 1.1,第 6,7; 2. 预习补集的概念。 课后记:

-5-

课题:集合的基本运算㈡ 课 型:新授课 教学目标: (1)掌握交集与并集的区别,了解全集、补集的意义, (2)正确理解补集的概念,正确理解符号“ CU A ”的涵义; (3)会求已知全集的补集,并能正确应用它们解决一些具体问题。 教学重点:补集的有关运算及数轴的应用。 教学难点:补集的概念。 教学过程: 一、复习回顾: 1. 提问:.什么叫子集、真子集、集合相等?符号分别是怎样的? 2. 提问:什么叫交集、并集?符号语言如何表示? 3. 交集和补集的有关运算结论有哪些? 4. 讨论:已知 A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则 A、B 与 R 有何关系? 二、新课教学 思考 1. U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系? 由学生通过讨论得出结论: 集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 (一). 全集、补集概念及性质的教学: 8. 全集的定义: 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universe set),记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 9. 补集的定义: 对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集合 A 相对于全集 U 的补集 (complementary set) ,记作: CU A , 读作: “A 在 U 中的补集” ,即

CU A ? ?x x ?U , 且x ? A?

用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

讨论:集合 A 与 CU A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析

A? C , U A? ? CUU ? ?,

A? U C A? , U CU ? ? U

U

C (

U

C) A ?

A

巩固练习(口答) : ①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 CU A =

, CU B =

; ; 。

②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = ③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A = (二)例题讲解:

2, 3?,B ? ?3, 4, 5, 6? ,求 CU A , CU B . 例 1. (课本例 8)设集 U ? x x是小于9的正整数 , A ? ?1,

?

?

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例 2.设全集 U ? x x ? 4 , 集合A ? x ?2 ? x ? 3 , B ? x ?3 ? x ? 3 ,求 CU A ,

?

?

?

?

?

?

A ? B , A ? B, CU ( A ? B),(CU A) ? (CU B),(CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) 。
(结论: CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) )

例 3.设全集 U 为 R, A ? x x ? px ? 12 ? 0 ,
2

?

?

B ? x x 2 ? 5 x ? q ? 0 ,若

?

?

(CU A) ? B ? ?2?, A ? (CU B) ? ?4? ,求 A ? B 。 (答案: ?2,3,4? )

(三)课堂练习: 课本 P11 练习 4 归纳小结:
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补集、全集的概念;补集、全集的符号;图示分析(数轴、Venn 图) 。 作业布置: 习题 1.1A 组,第 9,10;B 组第 4 题。 课后记:

课题:集合复习课 课 型:新授课 教学目标: (1)掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质; (2)掌握集合的有关术语和符号; (3)运用性质解决一些简单的问题。 教学重点:集合的相关运算。 教学难点:集合知识的综合运用。 教学过程: 一、复习回顾: 1. 提问:什么叫集合?元素?集合的表示方法有哪些? 2. 提问:什么叫交集?并集?补集?符号语言如何表示?图形语言如何表示? 3. 提问:什么叫子集?真子集?空集?相等集合?有何性质? 3. 交集、并集、补集的有关运算结论有哪些? 4. 集合问题的解决方法:Venn 图示法、数轴分析法。 二、讲授新课: (一) 集合的基本运算: 例 1:设 U=R,A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求 A∩B、A∪B、C U A 、C U B、 (C U A)∩(C U B)、(C U A)∪(C U B)、C U (A∪B)、C U (A∩B)。 (学生画图→在草稿上写出答案→订正)

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说明:不等式的交、并、补集的运算,用数轴进行分析,注意端点。 例 2:全集 U={x|x<10,x∈N ? },A ? U,B ? U,且(C U B)∩A={1,9},A∩B={3}, (C U A)∩(C U B)={4,6,7},求 A、B。

说明:列举法表示的数集问题用 Venn 图示法、观察法。 (二)集合性质的运用: 例 3:A={x|x 2 +4x=0},B={x|x 2 +2(a+1)x+a 2 -1=0}, 若 A∪B=A,求实数 a 的值。

说明:注意 B 为空集可能性;一元二次方程已知根时,用代入法、韦达定理,要注意判别式。 例 4:已知集合 A={x|x>6 或 x<-3},B={x|a<x<a+3},若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围。

(三)巩固练习: 1.已知 A={x|-2<x<-1 或 x>1},A∪B={x|x+2>0},A∩B={x|1<x≦3},求集合 B。 2.P={0,1},M={x|x ? P},则 P 与 M 的关系是 。

3.已知 50 名同学参加跳远和铅球两项测验,分别及格人数为 40、31 人,两项均不及格的为 4 人,那么两项都及
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格的为

人。 个。

4.满足关系{1,2} ? A ? {1,2,3,4,5}的集合 A 共有

5.已知集合 A∪B={x|x<8,x∈N},A={1,3,5,6},A∩B={1,5,6},则 B 的子集的集合一共有多少个元素? 6.已知 A={1,2,a},B={1,a },A∪B={1,2,a},求所有可能的 a 值。 7.设 A={x|x -ax+6=0},B={x|x -x+c=0},A∩B={2},求 A∪B。 8.集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q。 9. A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B。 10.已知 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|4x+m<0},当 A ? B 时,求实数 m 的取值范围。 归纳小结: 本节课是集合问题的复习课,系统地归纳了集合的有关概念,表示方法及其有关运算,并进一步巩固了 Venn 图法和数轴分析法。 作业布置: 3. 课本 P14 习题 1.1 B 组题; 4. 阅读 P14~15 材料。 课后记:
2 2 2

课题:函数的概念(一) 课 型:新授课 教学目标: (1)通过丰富实例,学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的三要素; (3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数。 教学难点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系? 2.回顾初中函数的定义: 在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y,对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之对应,此时 y 是 x 的函数,x 是自变量,y 是因变量。 表示方法有:解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课: (一)函数的概念: 思考 1: (课本 P15)给出三个实例: A.一枚炮弹发射,经 26 秒后落地击中目标,射高为 845 米,且炮弹距地面高度 h(米)与时间 t(秒)的变化 规律是 h ? 130t ? 5t 2 。 B.近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化 情况。 (见课本 P15 图) C.国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额)反映一个国家人民生活质量的高低。 “八五”计划以来
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我们城镇居民的恩格尔系数如下表。 (见课本 P16 表) 讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存在着怎样的对应关系? 三个 实例有什么共同点? 归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集 A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f,在数集 B 中都 与唯一确定的 y 和它对应,记作: f : A?B 函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都 有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么称 f: A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) ,记作:

y ? f ( x), x ? A 其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作定义域(domain) ,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域(range) 。显然,值域是集合 B 的子集。 (1)一次函数 y=ax+b (a≠0)的定义域是 R,值域也是 R;
(2)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a≠0)的定义域是 R,值域是 B;当 a>0 时,值域 B ? ? y y ?

? ? ? ?

4ac ? b 2 ? ? ? ;当 a﹤ 4a ? ?

0 时,值域 B ? ? y y ?

? ? ? ?

4ac ? b 2 ? ? ?。 4a ? ?

(3)反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域是 ? x x ? 0? ,值域是 ? y y ? 0? 。 x

(二)区间及写法: 设 a、b 是两个实数,且 a<b,则: (1) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]; (2) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为(a,b) ;

(3) 满足不等式 a ? x ? b或a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,表示为 ? a, b ? , ? a, b? ; 这里的实数 a 和 b 都叫做相应区间的端点。 (数轴表示见课本 P17 表格) 符号“∞”读“无穷大” ; “-∞”读“负无穷大” ; “+∞”读“正无穷大” 。我们把满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b

的实数 x 的集合分别表示为 ?a, ??? , ? a, ??? ,

? ??, b?, ? ??, b? 。

巩固练习: 用区间表示 R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0} (学生做,教师订正) (三)例题讲解: 例 1.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,求 f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。

变式:求函数 y ? x2 ? 2x ? 3,

x ?{?1,0,1,2} 的值域

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例 2.已知函数 f ( x) ?

x?3 ?

1 , x?2

(1) 求 f (?3), f ( ), f

(2) 当 a>0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。

2 3

? f ? ?3? ? 的值;

(四)课堂练习: 1. 用区间表示下列集合:

? x x ? 4? , ? x x ? 4且x ? 0? , ?x x ? 4且x ? 0, x ? ?1? , ?x x ? 0或x ? 2?

2. 已知函数 f(x)=3x 2 +5x-2,求 f(3)、f(- 2 )、f(a)、f(a+1)的值; 3. 课本 P19 练习 2。 归纳小结: 函数模型应用思想;函数概念;二次函数的值域;区间表示 作业布置: 习题 1.2A 组,第 4,5,6; 课后记:

课题:函数的概念(二) 课 型:新授课 教学目标: (1)会求一些简单函数的定义域与值域,并能用“区间”的符号表示; (2)掌握复合函数定义域的求法; (3)掌握判别两个函数是否相同的方法。 教学重点:会求一些简单函数的定义域与值域。 教学难点:复合函数定义域的求法。 教学过程: 一、复习准备:

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3x 2 与 y=3x 是不是同一个函数?为什么? x k 2. 用区间表示函数 y=ax+b(a≠0) 、y=ax 2 +bx+c(a≠0) 、y= (k≠0)的定义域与值域。 x 二、讲授新课: (一)函数定义域的求法: 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,那么函数的 定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。 例 1:求下列函数的定义域(用区间表示) x x ?3 ⑴ f(x)= 2 ; ⑵ f(x)= 2 x ? 9 ; ⑶ f(x)= x ? 1 - ; 2? x x ?2 学生试求→订正→小结:定义域求法(分式、根式、组合式)

1. 提问:什么叫函数?其三要素是什么?函数 y=

说明:求定义域步骤:列不等式(组) → 解不等式(组) *复合函数的定义域求法: (1)已知 f(x)的定义域为(a,b) ,求 f(g(x))的定义域; 求法:由 a<x<b,知 a<g(x)<b,解得的 x 的取值范围即是 f(g(x))的定义域。 (2)已知 f(g(x))的定义域为(a,b) ,求 f(x)的定义域; 求法:由 a<x<b,得 g(x)的取值范围即是 f(x)的定义域。 例 2.已知 f(x)的定义域为[0,1],求 f(x+1)的定义域。

例 3.已知 f(x-1)的定义域为[-1,0],求 f(x+1)的定义域。

巩固练习: 1.求下列函数定义域:

1 1 ; (2) f ( x) ? 1 x?4 1? x 2 2. (1)已知函数 f(x)的定义域为[0,1],求 f ( x ? 1) 的定义域; (2)已知函数 f(2x-1)的定义域为[0,1],求 f(1-3x)的定义域。
(1) f ( x) ? 1 ? x ?
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(二)函数相同的判别方法: 函数是否相同,看定义域和对应法则。 例 5. (课本 P18 例 2)下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1) y ? ( x )2 ; (3) y ?

x2 ;

x3 ; x2 (4) y ? 。 x

(2) y ?

3

(三)课堂练习: 1.课本 P19 练习 1,3; 2.求函数 y=-x +4x-1 ,x∈[-1,3) 的值域。 归纳小结: 本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。 作业布置: 习题 1.2A 组,第 1,2; 课后记:
2

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课题:函数的表示法(一) 课 型:新授课 教学目标: (1)掌握函数的三种表示方法(解析法、列表法、图像法) ,了解三种表示方法各自的优点; (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数; (3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。 教学重点:会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。 教学难点:分段函数的表示及其图象。 教学过程: 一、复习准备: 1.提问:函数的概念?函数的三要素? 2.讨论:初中所学习的函数三种表示方法?试举出日常生活中的例子说明. 二、讲授新课: (一)函数的三种表示方法: 结合课本 P15 给出的三个实例,说明三种表示方法的适用范围及其优点: 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,如 1.2.1 的实例(1) ; 优点:简明扼要;给自变量求函数值。 图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系,如 1.2.1 的实例(2) ; 优点:直观形象,反映两个变量的变化趋势。 列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系,如 1.2.1 的实例(3) ; 优点:不需计算就可看出函数值,如股市走势图; 列车时刻表;银行利率表等。 例 1. (课本 P19 例 3)某种笔记本的单价是 2 元,买 x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用三种表示法表 示函数 y=f(x) .

例 2: (课本 P20 例 4)下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
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98 87 91 92 甲 90 76 88 75 乙 68 65 73 72 丙 班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

88 86 75 75.7

95 80 82 82.6

(二)分段函数的教学: 分段函数的定义: 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数,如 以下的例 3 的函数就是分段函数。 说明: (1 ) .分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先要确定自变量的数值属于哪个区间段, 从而选取相应的对应法则;画分段函数图象时,应根据不同定义域上的不同解析式分别作出; (2 ) .分段函数只是一个函数,只不过 x 的取值范围不同时,对应法则不相同。 例 3: (课本 P21 例 6)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里的俺公里计算) 。 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象。

?2 x ? 3, x ? ( ??,0) 例 4.已知 f(x)= ? 2 ,求 f(0)、f[f(-1)]的值 ?2 x ? 1, x ? [0,??)

(三)课堂练习: 1.课本 P23 练习 1,2;
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2.作业本每本 0.3 元,买 x 个作业本的钱数 y(元) 。试用三种方法表示此实例中的函数。 3.某水果批发店,100kg 内单价 1 元/kg,500kg 内、100kg 及以上 0.8 元/kg,500kg 及以上 0.6 元/kg。试用三 种方法表示批发 x 千克与应付的钱数 y(元)之间的函数 y=f(x)。 归纳小结: 本节课归纳了函数的三种表示方法及优点;讲述了分段函数概念;了解了函数的图象可以是一些离散的点、线 段、曲线或射线。 作业布置: 课本 P24 习题 1.2 A 组第 8,9 题; 课后记:

课题:函数的表示法(二) 课 型:新授课 教学目标: (1)了解映射的概念及表示方法; (2)掌握求函数解析式的方法:换元法,配凑法,待定系数法,消去法,分段函数的解析式。 教学重点:求函数的解析式。 教学难点:对函数解析式方法的掌握。 教学过程: 一、复习准备: 1.举例初中已经学习过的一些对应,或者日常生活中的一些对应实例: 对于任何一个实数 a,数轴上都有唯一的点 P 和它对应; 对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应; 对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应; 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应; 2.讨论:函数存在怎样的对应?其对应有何特点? 3.导入:函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合” , 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,即映射(mapping) 。 二、讲授新课: (一) 映射的概念教学: 定义: 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在 集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping) 。记 作:
f : A?B

讨论:映射有哪些对应情况?一对多是映射吗? 例 1. (课本 P22 例 7)以下给出的对应是不是从 A 到集合 B 的映射? (1) 集合 A={P | P 是数轴上的点},集合 B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对应; (2) 集合 A={P | P 是平面直角坐标系中的点},B=

?( x, y) x ? R, y ? R? ,对应关系 f: 平面直角坐标系中的点

与它的坐标对应; (3) 集合 A={x | x 是三角形},集合 B={x | x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4) 集合 A={x | x 是新华中学的班级},集合 B={x | x 是新华中学的学生},对应关系:每一个班级都对应班里的
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学生。

例 2.设集合 A={a,b,c},B={0,1} ,试问:从 A 到 B 的映射一共有几个?并将它们分别表示出来。

(二)求函数的解析式: 常见的求函数解析式的方法有待定系数法,换元法,配凑法,消去法。 例 3.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数 f(x)的解析式。 (待定系数法)

例 4.已知 f(2x+1)=3x-2,求函数 f(x)的解析式。 (配凑法或换元法)

例 5.已知函数 f(x)满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x ,求函数 f(x)的解析式。 (消去法)

1 x

例 6.已知 f ( x) ? x ? 1 ,求函数 f(x)的解析式。

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(三)课堂练习: 1.课本 P23 练习 4;

1 ? x 1 ? x2 )? ,求函数 f(x)的解析式。 1 ? x 1 ? x2 1 1 2 3.已知 f ( x ? ) ? x ? 2 ,求函数 f(x)的解析式。 x x 4.已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? x ?1 ,求函数 f(x)的解析式。
2.已知 f ( 归纳小结: 本节课系统地归纳了映射的概念,并进一步学习了求函数解析式的方法。 作业布置: 5. 课本 P24 习题 1.2B 组题 3,4; 6. 阅读 P26 材料。 课后记:

课题:函数的表示法(三) 课 型:新授课 教学目标: (1)进一步了解分段函数的求法; (2)掌握函数图象的画法。 教学重点:函数图象的画法。 教学难点:掌握函数图象的画法。 。 教学过程: 一、复习准备: 1.举例初中已经学习过的一些函数的图象,如一次函数,二次函数,反比例函数的图象,并在黑板上演示它们的 画法。 2. 讨论:函数图象有什么特点? 二、讲授新课: 例 1.画出下列各函数的图象: (?2 ? x ? 2) (1) f ( x) ? 2 x ? 2   (2) f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 3   (0 ? x ? 3) ;
2

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例 2. (课本 P21 例 5)画出函数 f ( x) ? x 的图象。

例 3.设 x ? ? ??, ??? ,求函数 f ( x) ? 2 x ?1 ? 3 x 的解析式,并画出它的图象。

变式 1:求函数 f ( x) ? 2 x ?1 ? 3 x 的最大值。

变式 2:解不等式 2 x ?1 ? 3 x ? ?1。

例 4.当 m 为何值时,方程 x ? 4 x ? 5 ? m 有 4 个互不相等的实数根。
2

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变式:不等式 x2 ? 4 x ? 5 ? m 对 x ? R 恒成立,求 m 的取值范围。

(三)课堂练习: 1.课本 P23 练习 3;

?1 (0 ? x ? 1) ? ,  2.画出函数 f ( x) ? ? x 的图象。 ? ( x ? 1) ? x, 
归纳小结: 函数图象的画法。 作业布置: 课本 P24 习题 1.2A 组题 7,B 组题 2; 课后记:

课题:函数及其表示复习课 课 型:复习课 教学目标: (1)会求一些简单函数的定义域和值域;
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(2)掌握分段函数、区间、函数的三种表示法; (3)会解决一些函数记号的问题. 教学重点:求定义域与值域,解决函数简单应用问题。 教学难点:对函数记号的理解。 教学过程: 一、基础习题练习: (口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法) 1.说出下列函数的定义域与值域: y ? 2.已知 f ( x) ?

8 ; y ? x2 ? 4x ? 3 ; 3x ? 5

y?

1 ; x ? 4x ? 3
2

1 ,求 f ( 2) , f ( f (3)) , f ( f ( x)) ; x ?1 ? 0 ( x ? 0) ? 3.已知 f ( x) ? ? ? ( x ? 0) , ? x ? 1( x ? 0) ?
(1)作出 f ( x) 的图象; (2)求 f (1),  f (?1),  f (0),  f { f [ f (?1)]} 的值 二、讲授典型例题: 例1.已知函数 f ( x) =4x+3,g(x)=x ,
2

求 f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)].

例 2.求下列函数的定义域: (1) y ?

( x ? 1) 0 x ?x



x2 ? 4 (2) y ? 2 ; x ? 2x ? 3

例3.若函数 y ? (a ? 1) x ? (a ? 1) x ?
2 2

2 的定义域为R,求实数 a 的取值范围. a ?1

( a ??1,9? )

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例4. 中山移动公司开展了两种通讯业务: “全球通” ,月租 50 元,每通话 1 分钟,付费 0.4 元; “神州行”不缴月 租,每通话 1 分钟,付费 0.6 元. 若一个月内通话 x 分钟,两种通讯方式的费用分别为 y1 , y2 (元) . (1) .写出 y1 , y2 与 x 之间的函数关系式? (2) .一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同? (3) .若某人预计一个月内使用话费 200 元,应选择哪种通讯方式?

三.巩固练习:

1 )的值; x 2.若 f ( x ?1 的解析式; ) ? x ? 2 x ,求函数 f ( x) 3.设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10,图象过点(0,3),求 f ( x) 的解析式.
1.已知 f ( x) =x ?x+3 ,求:f(x+1), f(
2

4.已知函数 f ( x) ?

3x ? 1 的定义域为R,求实数 a 的取值范围. ax ? ax ? 3
3 2

归纳小结: 本节课是函数及其表示的复习课,系统地归纳了函数的有关概念,表示方法. 作业布置: 7. 课本 P24习题 1.2 B 组题1,3; 8. 预习函数的基本性质。 课后记:

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课题:单调性与最大(小)值 (一) 课 型:新授课 教学目标: 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念,掌握增(减)函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和 研究函数的性质。 教学重点:掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点:理解概念。 教学过程: 一、复习准备: 1.引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变的特征呢? 2. 观察下列各个函数的图象, 并探讨下列变 化规律: ①随 x 的增大,y 的值有什么变化? ②能否看出函数的最大、最小值? ③函数图象是否具有某种对称性? 3. 画出函数 f(x)= x+2、 f(x)= x 2 的图像。 (小 结描点法的步骤:列表→描 点→连线) 二、讲授新课: 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念: ①根据 f(x)=3x+2、 f(x)=x 2 (x>0)的图象进行讨论: 随 x 的增大,函数值怎样变化? 当 x 1 >x 2 时,f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样? ②.一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质? ③定义增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) ④探讨:仿照增函数的定义说出减函数的定义;→ 区间局部性、取值任意性 ⑤定义:如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫 f(x)的单调区间。 ⑥讨论:图像如何表示单调增、单调减? 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系? ⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性 2.教学增函数、减函数的证明: 例 1.将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商品每个涨价 1 元,其销售量减少 10 个, 为了赚到最大利润,售价应定为多少?

1、 例题讲解 例 1(P29 例 1) 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间 上,它是增函数还是减函数?

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例 2: (P29 例 2)物理学中的玻意耳定律 p ? 压强 p 如何变化?试用单调性定义证明.

k (k 为正常数) ,告诉我们对于一定量的气体,当其体积 V 增大时, V

例 3.判断函数 y ?

2 在区间[2,6] 上的单调性 x ?1

三、巩固练习: 1.求证 f(x)=x+
1 的(0,1)上是减函数,在[1,+∞]上是增函数。 x

2.判断 f(x)=|x|、y=x 3 的单调性并证明。

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3.讨论 f(x)=x 2 -2x 的单调性。

推广:二次函数的单调性

4.课堂作业:书 P32、 2、3、4、5 题。

四、小结: 比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号。 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; →计算 f(x 1 )-f(x 2 )至最简→判断差的符号→下结论。 五、作业:P39、1—3 题 课后记:

课题: 单调性与最大(小)值 (二) 课 型:新授课 教学目标: 更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法,理解函数的最大(小)值及其几何意义. 教学重点:熟练求函数的最大(小)值。 教学难点:理解函数的最大(小)值,能利用单调性求函数的最大(小)值。 教学过程: 一、复习准备: 1.指出函数 f(x)=ax +bx+c (a>0)的单调区间及单调性,并进行证明。 2. f(x)=ax +bx+c 的最小值的情况是怎样的? 3.知识回顾:增函数、减函数的定义。 二、讲授新课: 1.教学函数最大(小)值的概念: ① 指出下列函数图象的最高点或最低点,→ 能体现函数值有什么特征? f ( x) ? ?2 x ? 3 , f ( x) ? ?2 x ? 3 x ? [ ?1, 2] ; f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 , f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 x ?[?2, 2] ② 定义最大值:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;存在 x0∈I, 使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) ③ 探讨:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义. → 一些什么方法可以求最大(小)值?(配方法、图象法、单调法) → 试举例说明方法. 2、 例题讲解:
- 26 2 2

例 1(学生自学 P30 页例 3)

例 2. (P31 例 4)求函数 y ?

2 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. x ?1

例 3.求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值

3 3 的图象与 y ? 的关系? x?2 x (解法一:单调法; 解法二:换元法)
探究: y ? 三、巩固练习: 1. 求下列函数的最大值和最小值: 5 3 (1) y ? 3 ? 2 x ? x2 , x ?[? , ] ; 2 2 y ? | x ? 1| ? | x ? 2 | (2)

2.一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的数据如右:欲使每天的的营 业额最高,应如何定价?(分析变化规律→建立 函数模型→求解最大值) 房价(元) 住房率(%) 160 55 140 65 120 75 100 85

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3、 求函数 y ? 2 x ? x ? 1 的最小值.

四、小结: 求函数最值的常用方法有: (1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的最值. (2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值. (3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值. 五、作业:P39 页 A 组 5、B 组 1、2 后记:

课题:奇偶性 课 型:新授课 教学要求:理解奇函数、偶函数的概念及几何意义,能熟练判别函数的奇偶性。 教学重点:熟练判别函数的奇偶性。 教学难点:理解奇偶性。 教学过程: 一、复习准备: 1.提问:什么叫增函数、减函数? 2.指出 f(x)=2x -1 的单调区间及单调性。 →变题:|2x -1|的单调区间 3.对于 f(x)=x、f(x)=x 、f(x)=x 、f(x)=x ,分别比较 f(x)与 f(-x)。 二、讲授新课:
- 28 2 3 4 2 2

1.教学奇函数、偶函数的概念: ①给出两组图象: f ( x) ? x 、 f ( x) ?

1 、 f ( x) ? x3 ; f ( x) ? x 2 、 f ( x) ?| x | . x

发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征 ② 定义偶函数: 一般地, 对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x, 都有 f (? x) ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 叫偶函数 (even function). ③ 探究:仿照偶函数的定义给出奇函数(odd function)的定义. (如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ) ,那么函数 f ( x) 叫奇函数。 ④ 讨论:定义域特点?与单调性定义的区别?图象特点?(定义域关于原点对称;整体性) ⑤ 练习:已知 f(x)是偶函数,它在 y 轴左边的图像如图所示,画出它右边的图像。 (假如 f(x)是奇函数呢?) 1. 教学奇偶性判别: 例 1.判断下列函数是否是偶函数. (1) f ( x) ? x2 (2) f ( x) ?

x ?[?1, 2]

x3 ? x 2 x ?1

例 2.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x
4

(2) f ( x) ? x

5

(3) f ( x) ? x ?

1 x

(4) f ( x ) ?

1 . x2

?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 (5) g ( x ) ? ? ? ? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2

(6) y ? 1 ? x 2 ?

x2 ?1

4、教学奇偶性与单调性综合的问题: ①出示例:已知 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,问 f(x)的(-∞,0)上的单调性。 ②找一例子说明判别结果(特例法) → 按定义求单调性,注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。 (小结: 设→转化→单调应用→奇偶应用→结论) ③变题:已知 f(x)是偶函数,且在[a,b]上是减函数,试判断 f(x)在[-b,-a]上的单调性,并给出证明。 三、巩固练习: 1、判别下列函数的奇偶性: 1 3 x f(x)=|x+1|+|x-1| 、f(x)= 2 、f(x)=x+ 、 f(x)= 、f(x)=x 2 ,x∈[-2,3] x 1 ? x2 x

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2.设 f(x)=ax +bx+5,已知 f(-7)=-17,求 f(7)的值。

7

3.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)-g(x)=

1 ,求 f(x)、g(x)。 x ?1

4.已知函数 f(x),对任意实数 x、y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),试判别 f(x)的奇偶性。(特值代入) 5.已知 f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为 4,那么 f(x)在[-7,-3]上是( )函数,且最 值是 。

四、小结 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的 奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称,单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,需 要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质. 五、作业 P39 页 A 组 6、B 组 3 后记:

课题:函数的基本性质运用 课 型:练习课
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教学目标: 掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性) ,能应用函数的基本性质解决一些问题。 教学重点:掌握函数的基本性质。 教学难点:应用性质解决问题。 教学过程: 一、复习准备: 1.讨论:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值? 2.提问:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义? 二、教学典型习例: 1.函数性质综合题型: ①出示例 1:作出函数 y=x -2|x|-3 的图像,指出单调区间和单调性。 分析作法:利用偶函数性质,先作 y 轴右边的,再对称作。→学生作 →口答 → 思考:y=|x -2x-3|的图像的图像如何作?→ ②讨论推广:如何由 f ( x) 的图象,得到 f (| x |) 、 | f ( x) | 的图象? ③出示例 2:已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也是增函数 分析证法 → 教师板演 → 变式训练 ④讨论推广:奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系? (偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致) 2. 教学函数性质的应用: ①出示例 :求函数 f(x)=x+
2 2

1 (x>0)的值域。 x

分析:单调性怎样?值域呢?→小结:应用单调性求值域。 → 探究:计算机作图与结论推广 ②出示例:某产品单价是 120 元,可销售 80 万件。市场调查后发现规律为降价 x 元后可多销售 2x 万件,写出销售 金额 y(万元)与 x 的函数关系式,并求当降价多少个元时,销售金额最大?最大是多少? 分析:此题的数量关系是怎样的?函数呢?如何求函数的最大值? 小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关最大值和最大值问题。

2.基本练习题: 1、判别下列函数的奇偶性:y= 1 ? x + 1 ? x 、
2 ? ?? x ? x( x ? 0) y= ? 2 ? ? x ? x( x ? 0) (变式训练:f(x)偶函数,当 x>0 时,f(x)=….,则 x<0 时,f(x)=? )

2、求函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域。

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x?2 单调区间并证明。 x ?1 cx ? d (定义法、图象法; 推广: 的单调性) ax ? b

3、判断函数 y=

4、讨论 y= 1 ? x 2 在[-1,1]上的单调性。

(思路:先计算差,再讨论符号情况。 )

三、巩固练习: 1.求函数 y=
ax2 ? b 为奇函数的时,a、b、c 所满足的条件。 (c=0) x?c

2.已知函数 f(x)=ax 2 +bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求函数值域。

3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,如何 f(2-a)-f(a-3)<0。求 a 的范围。

4. 求二次函数 f(x)=x 2 -2ax+2 在[2,4]上的最大值与最小值。

四、小结:
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本节课通过讲练结合全面提高对函数单调性和奇偶性的认识,综合运用函数性质解题 五、作业 P44 页 A 组 9、10 题 B 组 6 题 后记:

课题:指数与指数幂的运算(一) 课 型:新授课 教学目标: 了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念 教学重点:掌握 n 次方根的求解. 教学难点:理解根式的概念,了解指数函数模型的应用背景 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:正方形面积公式?正方体的体积公式?( a 2 、 a3 ) 2、回顾初中根式的概念:如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根;如果一个数的立方等于 a,那么 这个数叫做 a 的立方根. → 记法: a , 3 a 二. 讲授新课: 1. 教学指数函数模型应用背景: ① 探究下面实例,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性. 实例 1.某市人口平均年增长率为 1.25℅,1990 年人口数为 a 万,则 x 年后人口数为多少万? 实例 2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次(8 次) 计算:若报纸长 50cm,宽 34cm,厚 0.01mm,进行对折 x 次后,问对折后的面积与厚度? ② 书 P52 问题 1. 国务院发展研究中心在 2000 年分析, 我国未来 20 年 GDP (国内生产总值) 年平均增长率达 7.3℅, 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍? 书 P52 问题 2. 生物死亡后,体内碳 14 每过 5730 年衰减一半(半衰期) ,则死亡 t 年后体内碳 14 的含量 P 与死 t 1 亡时碳 14 的关系为 P ? ( ) 5730 . 探究该式意义? 2 ③小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算: ① 复习实例蕴含的概念: (?2)2 ? 4 , ?2 就叫 4 的平方根; 33 ? 27 ,3 就叫 27 的立方根. 探究: (?3)4 ? 81 , ?3 就叫做 81 的?次方根, 依此类推,若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. ② 定义 n 次方根:一般地,若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.( 简记: n a . 记: x ? n a 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根情况? 例如: (?3)4 ? 81 , 81 的 4 次方根就是 ?3 , 记: ? n a 强调:负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0, 即. n 0 ? 0 ④ 练习: b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 ; b3 ? a , 则 a 的 3 次方根为
n

n th root ),其中 n ? 1 , n ? ??

例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2
3

③ 讨论:当 n 为奇数时, n 次方根情况如何?, 例如:

27 ? 3 , 3 ?27 ? ?3 ,

.

⑤ 定义根式: 像 a 的式子就叫做根式 (radical) , 这里 n 叫做根指数 (radical exponent) , a 叫做被开方数 (radicand) . ⑥ 计算 ( 2 3) 2 、 3 43 、 n (?2) n → 探究: ( n a ) n 、 n a n 的意义及结果? (特殊到一般) 结论: ( n a )n ? a . 当 n 是奇数时, n a n ? a ;当 n 是偶数时, 3、例题讲解 (P5O 例题 1) :求下列各式的值
n

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)
a(? b 2 )

(1)

3

( ?8)3

(2)

? ( 120 )

(3)

4

(3 ? ? ) 4
- 33 -

(4)

三、巩固练习: 1. 计算或化简: 5 ?32 ; 3 a6 (推广:
np

amp ? n am , a ? 0).

2、 化简: 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2

; 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

3、求值化简:

3

( ? a )3 ;

4

(? 7 4) ;

6

( 3? ? 6) ;

2

( a ? b) 2 ( a ? b )

四、小结: 1.根式的概念:若 n>1 且 n ? N ,则 x是a的n次方根,n为奇数时,x= n a ,
*

n 为偶数时, x ? ? n a ;
2.掌握两个公式: n为奇数时,( n a ) , n为偶数时, a ?| a |? ?
n n n

?a (a ? 0) ??a (a ? 0)

五、 作业:书 P59 、 1 题.

六,后记

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课题:指数与指数幂的运算(二) 课 型:新授课 教学目标: 使学生正确理解分数指数幂的概念,掌握根式与分数指数幂的互化,掌握有理数指数幂的运算. 教学重点:有理数指数幂的运算. 教学难点:有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:什么叫根式? →根式运算性质: ( n a ) n =?、 n a n =?、 2. 计算下列各式的值: ( 2 ?b )2 ; ( 3 ?5)3 ; 2 34 , 5 a10 , 3 79 二、讲授新课: 1. 教学分数指数幂概念及运算性质: ① 引例:a>0 时, 5 a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 ② 定义分数指数幂: 规定 a n ? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1) ; a
n m * m
? m n
10

np

a mp =?



3

a12 ? ? ;
1
n

3

a 2 ? (a 3 ) 3 ? a 3 →

3

2

2

a ??.

?

1 a
m n

?

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

③ 练习:A.将下列根式写成分数指数幂形式: n am (a ? 0, m, n ? N ?n ? 1) ; 2 35 ; 3 54
2 2

27 3 ; 5 5 ; 6 3 ; a 2 . B. 求值 ④ 讨论:0 的正分数指数幂? 0 的负分数指数幂?⑤ 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指 数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 指数幂的运算性质: a ? 0, b ? 0, r , s ? Q

?

4

?

5

a r · a r ? a r ?s ;
2. 教学例题: (1) 、 (P51,例 2) 解:① 8 3 ? (2 ) 3 ? 2
3 2 2 3?

(a r ) s ? a rs ; (ab) r ? a r a s .

2 3

? 22 ? 4
1 2?( ? ) 2

② 25

?

1 2

? (5 )
2

?

1 2

?5

? 5?1 ?

1 5

1 ?5 ? (2?1 ) ?5 ? 2?1?( ?5) ? 32 2 ) 16 ? 3 2 4?( ? 3 2 ?3 27 4 ④( ) ? ( ) 4 ? ( ) ? 81 3 3 8
③ ( ) (2) 、 (P51,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式( a >0) 解: a . a ? a ? a 2 ? a
3 3 1 3? 1 2

? a2
2 3

7

a ?
2

3

a ?a ?a ? a
2 2

2 3

2?

? a

8 3

- 35 -

a3

32 a ? a ? a 3 ? a 3 ? (a ) ?a

1

4

41

2 3

3、无理指数幂的教学

3 2 的结果?→定义:无理指数幂.(结合教材 P58 利用逼近的思想理解无理指数幂意义) 无理数指数幂 a? (a ? 0, ?是无理数 ) 是一个确定的实数.实数指数幂的运算性质? 三、巩固练习:
1、练习:书 P54 1、2、3 题.

2

2、求值: 27 3 ;

16 3 ;

?

4

3 ( )?3 ; 5

25 ? ( ) 3 49

2

2

1

1

1

1

5

1

3

3、化简: (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ; (m 4 n 8 )16

1 (2n?1 )2 ? ( )2 n?1 2 4. 计算: 的结果 4n8?2

5. 若 a3 ? 3,

a10 ? 384, 求a3 ? [(

a10 1 ) 7 ]n?3的值 a3

四. 小结: 1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的.

五、作业:书 P59 2、4 题. 后记:

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课题 指数与指数幂的运算(三) 课 型:练习课 教学目标: n 次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算. 教学重点:掌握根式与指数幂的运算. 教学难点:准确运用性质进行计算. 教学过程: 一、复习提问: (学生回答,老师板演) 1. 提问:什么叫做根式? 运算性质? 2. 提问:分数指数幂如何定义?运算性质? 3. 基础习题练习: (口答下列基础题) ( x ? 0) ? n ① n为 时, x n ?| x |? ?........... . ( x ? 0) ? ② 求下列各式的值:
3

26 ;

4

16 ;

6

81 ;

6

( ?2) 2 ;

15

? 32 ;

4

x8 ;

6

a 2b 4

二、教学典型例题: 例 1. (P52,例 4)计算下列各式(式中字母都是正数) (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) (2) (m n )
1 4 ? 3 8 8 2 1 1 1 1 5

例 2. (P52 例 5)计算下列各式 (1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 (2)

a2 a. 3 a2

(a >0)



1 3..已知 a 2

?a

?

1 2 =3,求下列各式的值:

- 37 -

(1) a ? a

?1

; (2) a ? a
2

?2

; (3)

3 a2 1 a2

?a ?a

? ?

3 2 1 2



三、巩固练习: 1. 化简: ( x ? y ) ? ( x ? y ) .
1 2 1 2 1 4 1 4

2. 已知 f ( x) ? ? x , x1 ? x2 ? 0 ,试求

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值

3.

2 1 ? 4 用根式表示 (m n 3 ) ,

其中 m, n ? 0 .

1

4. 已知 x+x-1=3,求下列各式的值: (1) x 2 ? x

?

1 2

, (2) x ? x .

3 2

?

3 2

3

2

5. 求值: 25 2 ; 27 3 ;

(

36 2 ) ; 49

3

(

25 ? 2 ) ; 4

3

4

3

81 ? 9 2 ; 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

6. 已知 x ? a ?3 ? b?2 , 求 4 x2 ? 2a?3 x ? a?6 的值.

7.从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 下的纯酒精的升数为多少?

1 1 升,然后用水填满,再倒出 升,又用水填满,这样进行 5 次,则容器中剩 3 3

四、小结: 1. 熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础. 2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.
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五,作业 化简: (1) ( 9) 3 ( 102 ) 2 ? 1002
3 ? 2 9
5

(2) 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 (3) 后记:
a a

a a

课题: 指数函数及其性质(一) 课 型:新授课 教学目标: 使学生了解指数函数模型的实际背景, 认识数学与现实生活及其他学科的联系; 理解指数函数的的概念和意义, 能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的性质. 教学重点:掌握指数函数的的性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的? 2. 提问:有理指数幂的运算法则可归纳为几条? 二、讲授新课: 1.教学指数函数模型思想及指数函数概念: ① 探究两个实例: A.细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个,第 2 次由 2 个分裂成 4 个,第 3 次由 4 个分裂成 8 个,如此下去, 如果第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细胞个数 y 与次数 x 的函数关系式是什么? B.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以时间 x 年为自变量,残留 量 y 的函数关系式是什么? ② 讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什么?指数是什么? ③ 定义:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自变量,函数的定义 域为 R. ④讨论:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会出现什么情况呢?→ 举例:生活中其它指数模型? 2. 教学指数函数的图象和性质: ① 讨论:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和方法吗? ② 回顾:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.

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③ 作图:在同一坐标系中画出下列函数图象: y ? ( ) x , y ? 2x (师生共作→小结作法) ④ 探讨:函数 y ? 2x 与 y ? ( ) x 的图象有什么关系?如何由 y ? 2x 的图象画出 y ? ( ) x 的图象?根据两个函数的图 象的特征,归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为 3 或 1/3 等后? ⑤ 根据图象归纳:指数函数的性质 (书 P56) 3、例题讲解 例 1: (P56 例 6)已知指数函数 f ( x) ? a x ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π ) ,求 f (0), f (1), f (?3)的值.

1 2

1 2

1 2

例 2: (P56 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.73 ( 2 ) 0.8 与 0.8 0.3 ( 3 ) 1.7 与 0.93.1
?0.1
?0.2

例 3:求下列函数的定义域: (1) y ? 2 x ? 4
4

(2) y ? ( )

2 3

| x|

三、巩固练习: 4、 P58 1、2 题

5、 函数 y ? (a2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,则 a 的值为

.

3、 比较大小: a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 ;

?2 . 5 ?0 . 2 2 10 , 0 . 4 , , 2.51.6 .

- 40 -

4、探究:在[m,n]上, f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域?

四、小结 1、理解指数函数 y ? a x (a ? 0), 注意a ? 1与0 ? a ? 1两种情况。 2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数学思想 . 五、作业 P59 习题 2.1 A 组第 5、7、8 题 后记:

课题:指数函数及其性质(二) 课 型:新授课 教学目标: 熟练掌握指数函数概念、图象、性质;掌握指数形式的函数定义域、值域,判断其单调性;培养学生数学应用 意识 教学重点:掌握指数函数的性质及应用. 教学难点:理解指数函数的简单应用模型. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:指数函数的定义?底数 a 可否为负值?为什么?为什么不取 a=1?指数函数的图象是 2. 在同一坐标系中,
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作出函数图象的草图: y ? 2x , y ? ( ) x , y ? 5x , y ? ( ) x , y ? 10 x , y ? ( 3. 提问:指数函数具有哪些性质? 二、讲授新课: 1.教学指数函数的应用模型:
- 41 -

1 2

1 5

1 x ) 10

① 出示例 1:我国人口问题非常突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人口.因此,中国 的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控 制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本国策. (Ⅰ)按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? (Ⅱ)从 2000 年起到 2020 年我国的人口将达到多少? (师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结:从特殊到一般的归纳法) ② 练习: 2005 年某镇工业总产值为 100 亿,计划今后每年平均增长率为 8%, 经过 x 年后的总产值为原来的多少 倍? → 变式:多少年后产值能达到 120 亿? ③ 小结指数函数增长模型:原有量 N,平均最长率 p,则经过时间 x 后的总量 y=? →一般形式: 2. 教学指数形式的函数定义域、值域: ① 讨论:在[m,n]上, f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域? ② 出示例 1. 求下列函数的定义域、值域: y ? 2 x ? 1 ; y ? 3 5 x ?1 ; y ? 0.4 x ?1 . 讨论方法 → 师生共练 → 小结:方法(单调法、基本函数法、图象法、观察法) ② 出示例 2. 求函数 y ? 2? x ?
1

1 的定义域和值域. 2 讨论:求定义域如何列式? 求值域先从那里开始研究?

3、例题讲解 例 1 求函数 y ?

2x ? 1 的定义域和值域,并讨论函数的单调性、奇偶性. 2x ? 1

例 2(P57 例 8)截止到 1999 年底,我们人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年平均均增长率控制在 1%,那么 经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?

例 3、已知函数 y ? 9 ? 2 ? 3 ? 2, x ? ? 1,2? ,求这个函数的值域
x x

三、巩固练习: 1、P58、3 2、 一片树林中现有木材 30000m3,如果每年增长 5%,经过 x 年树林中有木材 ym3,写出 x,y 间的函数关系式, 并利用图象求约经过多少年,木材可以增加到 40000m3
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y ? bx
Y=
3 ? 2 ?1 3 0.76 ?0.75 与( 3) 3. 比较下列各组数的大小: ( ) 2 与(0.4)2 ; ( ) . 5 3

四、小结 本节课研究了指数函数性质的应用, 关键是要记住 a >1 或 0< a <时 y ? a x 的图象, 在此基础上研究其性质 . 本节课还涉及到指数型函数的应用,形如 y ? ka x (a>0 且 a ≠1). 五、作业 6、 P59、9 7、 设 y1 ? a3x?1 , y2 ? a?2 x , 其中 a >0, a ≠1,确定 x 为何值时,有: ① y1 ? y2 后记: ② y1 > y2

课题:对数与对数运算 (一) 课 型:新授课 教学目标: 理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互化. 教学重点:掌握对数式与指数式的相互转化. 教学难点:对数概念的理解.
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教学过程: 一、复习准备: 1.问题 1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭

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(1)取 4 次,还有多长?(2)取多少次,还有 0.125 尺? (得到: ( )4 =?, ( ) x =0.125 ? x=?) 2.问题 2:假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产 是 2002 年 的 2 倍? ( 得到: (1 ? 8%) x =2 ? x=? ) 问题共性:已知底数和幂的值,求指数 怎样求呢?例如:课本实例由 1.01x ? m 求 x 二、讲授新课: 1. 教学对数的概念: ① 定义:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm).
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1 2

1 2

记作 x ? log a N ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数

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→ 探究问题 1、2 的指化对
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② 定义:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数(common logarithm) ,并把常用对数 log10 N 简记为 lgN
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科学技术中常使用以无理数 e=2.71828??为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数 log e N 简记作 lnN → 认识:lg5 ; lg3.5; ln10; ln3 ③ 讨论:指数与对数间的关系 ( a ? 0, a ? 1 时, a x ? N ? x ? log a N ) 负数与零是否有对数? (原因:在指数式中 N > 0 ) log a 1 ? ? , log a a ? ? ④:对数公式 a
loga N

n ? N, log a a ?n

2. 教学指数式与对数式的互化: ① 出示例 1. 将下列指数式写成对数式: 53 ? 125 ; 2?7 ?

1 ; 3a ? 27 ; 10?2 ? 0.01 128

(学生试练 → 订正→ 注意:对数符号的书写,与真数才能构成整体) ② 出示例 2. 将下列对数式写成指数式: log 1 32 ? ?5 ; lg0.001=-3; ln100=4.606
2

(学生试练 → 订正 → 变式: log 1 32 ? ? lg0.001=? )
2

3、例题讲解 例 1(P63 例 1)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)54=645 (4) log 1 16 ? ?4
2

(2) 2

1 1 m (3) ( ) ? 5.73 64 3 (5) log10 0.01 ? ?2 (6) loge 10 ? 2.303
?6

?

例 2: (P63 例 2)求下列各式中 x 的值 (1) log 64 x ? ?

2 3

(2) log x 8 ? 6

(3) lg100 ? x

(4) ? ln e ? x
2

- 44 -

三、巩固练习: 1. 课本 64 页练习 1、2、3、4 题

2.计算: log9 27 ; log3 243 ; log 4 3 81 ; log(2?

3)

(2 ? 3) ; log 3 54 625 .

3.求 a

log a b?log b c?log c N

的值(a,b,c ? R+ , 且不等于 1,N>0).
1 5

4.计算 3

log3 5

? 3

log3

的值.

四. 小结: 对数的定义: ab ? N ? b ? loga N (a >0 且 a ≠1) 对数的性质 : 1 的对数是零,负数和零没有对数 log 1 a >0 且 a ≠1 a a ?

a loga N ? N
五.作业:P74、1、2 后记:

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课题:对数与对数运算(二) 课 型:新授课 教学目标: 掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程;能较熟练地运用法则解决问题. 教学重点:运用对数运算性质解决问题 教学难点:对数运算性质的证明方法 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:对数是如何定义的? → 指数式与对数式的互化: a x ? N ? x ? log a N 2. 提问:指数幂的运算性质? 二、讲授新课: 1. 教学对数运算性质及推导:
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① 引例: 由 a p a q ? a p ? q ,如何探讨 log a MN 和 log a M 、 log a N 之间的关系?
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设 log a M ? p , log a N ? q ,由对数的定义可得:M= a ,N= a ∴MN= a a = a ∴ loga MN=p+q,即得 loga MN= loga M + loga N
p q p?q

p

q
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② 探讨:根据上面的证明,能否得出以下式子? 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则

loga (MN)= loga M +loga N ; loga

M = loga M - loga N ; loga M n = nloga M (n ? R) N

③ 讨论:自然语言如何叙述三条性质? 性质的证明思路?(运用转化思想,先通过假设,将对数式化成指数式, 并利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式 ) 1 n ④ 运用换底公式推导下列结论: logam bn ? loga b ; log a b ? log b a m
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2. 教学例题: 例 1. 判断下列式子是否正确, ( a >0 且 a ≠1, x >0 且 a ≠1, x >0, x > y ) , (1) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (3) log a (2) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (4) loga xy ? loga x ? loga y (6) log a x ? ? log a

x ? log a x ? log a y y

(5) (loga x)n ? n loga x (7) n log a x ?

1 x

1 log a x n

例 2( P65 例 3 例 4):用 log a x , log a y , log a z 表示出(1) (2)小题,并求出(3) 、 (4)小题的值. (1) log a

xy z

(2) log a

x2 y
3

8

(3) log z (4 ? 2 )
7 5

(4) lg 5 100

- 46 -

三、巩固练习: 1、P681、2、3 3. 设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log5 12 . 变式:已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 lg6、lg12、lg 3 的值.

3、计算: lg14 ? 2lg ? lg7 ? lg18 ; 4. 试求 lg 2 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 的值

7 3

lg 243 lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 ; . lg 9 lg1.2

5. 设 a 、 b 、 c 为正数,且 3a ? 4b ? 6c ,求证: ?

1 c

1 1 ? a 2b

四 、小结: 对数运算性质及推导;运用对数运算性质;换底公式. 五、作业:P743、4、5 后记:

- 47 -

课题:对数与对数运算(三) 课 型:新授课 教学目标: 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题,加强数学应用意识的训练,提高解决应用问题的能力. 教学重点:用对数运算解决实践问题. 教学难点:如何转化为数学问题 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:对数的运算性质及换底公式? 2. 已知 log2 3 = a, log3 7 = b, 用 a, b 表示 log42 56 3. 问题:1995 年我国人口总数是 12 亿,如果人口的年自然增长率控制在 1.25℅,问哪一年我国人口总数将超过 14 lg 7 ? lg 6 7 亿? (答案: 12 ? (1 ? 0.0125) x ? 14 → 1.0125x ? → x ? ? 12.4 ) lg1.0125 6 二、讲授新课: 1.教学对数运算的实践应用:让学生自己阅读思考 P67~P68 的例 5,例 6 的题目,教师点拨思考: ① 出示例 1 20 世纪 30 年代,查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量 的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级 M,其计算公式为: M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是被测地震的最大振幅, A0 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震 仪距实际震中距离造成的偏差). (Ⅰ) 假设在一次地震中, 一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20,此时标准地震的振幅是 0.001, 计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (Ⅱ)5 级地震给人的振感已比较明显,计算 7.6 级地震最大振幅是 5 级地震最大振幅的多少倍?(精确到 1) ② 分析解答:读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识? ③ 出示例 2 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半, 这个时间称为“半衰期” .根据些规律,人们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系.回答下列问 题: (Ⅰ)求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我们所 学过的何种函数? (Ⅱ) 已知一生物体内碳 14 的残留量为 P, 试求该生物死亡的年数 t, 并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系, 指出是我们所学过的何种函数? (Ⅲ)长沙马王墓女尸出土时碳 14 的余含量约占原始量的 76.7%,试推算古墓的年代? ④分析解答:读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想 ⑤探究训练:讨论展示并分析自己的结果,试分析归纳,能总结概括得出什么结论? 结论:P 和 t 之间的对应关系是一一对应;P 关于 t 的指数函数 P ? (5730 8、 例题选讲 例 1、已知: log18 8 ? a,18 ? 5, 求 log36 45(用含 a,b 的式子表示)
b

1 x ) ; 2

- 48 -

例 2、计算 log 2

1 1 1 ? log 3 ? log 5 25 8 9

例 3,已 lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y) 求 log

2

x 的值 y

三、巩固练习: 1. 计算: 51? log0.2 3 ; log 4 3 ? log9 2 ? log 1 4 32
2

王新敞
奎屯

新疆

2. 我国的 GDP 年平均增长率保持为 7.3%,约多少年后我国的 GDP 在 1999 年的基础上翻两翻?

3 . P68、4 四、小结: 初步建模思想(审题→设未知数→建立 x 与 y 之间的关系→) ; 用数学结果解释现象 五、作业 P749、11、12 后记:

- 49 -

课题:对数函数及其性质(一) 课 型:新授课 教学目标: 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重 要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结 合的意识.用联系的观点分析问题. 教学重点:对数函数的图象和性质 教学难点:对数函数的图象和性质及应用 教学过程: 一、复习准备: 1. 画出 y ? 2x 、 y ? ( ) x 的图像,并以这两个函数为例,说说指数函数的性质. 2. 根据教材 P73 例,用计算器可以完成下表: 碳 14 的含量 P 生物死亡年数 t 讨论:t 与 P 的关系?(对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关系 t 的值与之对应,从而 t 是 P 的函数) 二、讲授新课: 1.教学对数函数的图象和性质: ① 定义:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 y=loga x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是 x; 函数的定义域是(0,+∞) ② 辨析: 对数函数定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别,如: y ? 2log 2 x , y ? log5 (5 x) 都不是对数 函数,而只能称其为对数型函数;对数函数对底数的限制 (a ? 0 ,且 a ? 1) . 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001

1 2

? log
5730

1 2

P ,生物死亡年数 t 都有唯一

③ 探究:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法吗?
- 50 -

研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. ④ 练习:同一坐标系中画出下列对数函数的图象 y ? log2 x ; y ? log 0.5 x ⑤ 讨论:根据图象,你能归纳出对数函数的哪些性质? 列表归纳:分类 → 图象 → 由图象观察(定义域、值域、单调性、定点) 引申:图象的分布规律?

2、总结出的表格 图象的特征 (1)图象都在 y 轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当 a >1 时,图 象逐渐上升,当 0< a <1 时,图象 逐渐下降 . 函数的性质 (1)定义域是(0,+∞) (2)1 的对数是 0
x (3)当 a >1 时, y ? loga 是增函数,

当 0< a <1 时, y ? loga x 是减函数. (4)当 a >1 时

x >1,则 loga x >0 (4)当 a >1 时,函数图象在(1, 0)点右边的纵坐标都大于 0,在 (1, 0< x <1, loga x <0 0)点左边的纵坐标都小于 0. 当 0< 当 0< a <1 时 a <1 时,图象正好相反,在(1,0) x >1,则 loga x <0 点右边的纵坐标都小于 0, 在(1,0) 点左边的纵坐标都大于 0 . 0< x <1, loga x <0
2. 教学例题 例 1: (P71 例 7)求下列函数的定义域 (1) y ? log a x2 (2) y ? loga (4 ? x) ( a >0 且 a ≠1)

例 2. (P72 例 8)比较下列各组数中的两个值大小 (1) log2 3.4 ,

log2 8.5 (2) log0.3 1.8 , log0.3 2.7 (3) loga 5.1, loga 5.9 ( a >0,且 a ≠1)
三.巩固练习: 1、P73 页 3、4 题

2.求下列函数的定义域: y ? log0.2 (? x ? 6) ; y ? 3 log2 x .

- 51 -

3.比较下列各题中两个数值的大小: log 2 3和log 2 3.5 ; log0.3 4和log0.2 0.7 ; log0.7 1.6和log0.7 1.8 ; log 2 3和log3 2 .

4. 已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: log3 m< log3 n ; log0.3 m> log0.3 n ;

loga m> loga n (a>1)

5. 探究:求定义域 y ? log2 (3x ? 5) ; y ? log0.5 4x ? 3 .

四.小结: 对数函数的概念、图象和性质; 求定义域;利用单调性比大小. 五、作业 P74 页 7、8、10 后记:

课题: 对数函数及其性质(二) 课 型:新授课 教学目标: 了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对数函数的图象和性质;学习反函数的概念,理解对数函数 和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质. 教学重点与难点:理解反函数的概念 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:对数函数 y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 的图象和性质? 2. 比较两个对数的大小: log10 7 与 log10 12 ; log 0.5 0.7 与 log 0.5 0.8 3. 求函数的定义域 y ? ?1 ? log3 2 x?
?1

; y ? log a (2 x ? 8)

二、讲授新课: 1. 教学对数函数模型思想及应用: ① 出示例题(P72 例 9) :溶液酸碱度的测量问题:溶液酸碱度 pH 的计算公式 pH ? ? lg[ H ? ] ,其中 [ H ? ] 表示溶 液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升. (Ⅰ)分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系? (Ⅱ)纯净水 [ H ? ] ? 10?7 摩尔/升,计算纯净水的酸碱度.
- 52 -

②讨论:抽象出的函数模型? 如何应用函数模型解决问题? → 强调数学应用思想 2.反函数的教学: ① 引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新 的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function) ② 探究:如何由 y ? 2x 求出 x? ③ 分析:函数 x ? log2 y 由 y ? 2x 解出,是把指数函数 y ? 2x 中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们 通常用 x 表示自变量,y 表示函数,即写为 y ? log2 x . 那么我们就说指数函数 y ? 2x 与对数函数 y ? log2 x 互为反函数 ④ 在同一平面直角坐标系中,画出指数函数 y ? 2x 及其反函数 y ? log2 x 图象,发现什么性质? ⑤ 分析:取 y ? 2x 图象上的几个点,说出它们关于直线 y ? x 的对称点的坐标,并判断它们是否在 y ? log2 x 的 图象上,为什么?
x ⑥ 探究:如果 P 0 ( x0 , y0 ) 在函数 y ? 2 的图象上,那么 P0 关于直线 y ? x 的对称点在函数 y ? log2 x 的图象上吗, 为什么? 由上述过程可以得到什么结论?(互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对称)

3、例题讲解 例 1、求下列函数的反函数 (1) y ? 5x (2) y ? log0.5 x

例 2、求函数 log1 ( x ? 6 x ? 17) 的定义域、值域和单调区间
2 2

三、巩固练习:

y?l o g 1 练习:求下列函数的反函数: y ? 3x ; 6 x (师生共练 → 小结步骤:解 x ;习惯表示;定义域)

2.求下列函数的反函数: y= ( 2) x (x∈R);

y= loga

x (a>0,a≠1,x>0) 2
- 53 -

3. 己知函数 f ( x) ? a x ? k 的图象过点(1,3)其反函数 y ? f -1 ? x ? 的图象过(2,0)点,求 f ? x ? 的表达式.

4.教材 P75、B 组 1、2

四、小结: 函数模型应用思想;反函数概念;阅读 P73 材料 五、作业 P74 页、9、12 后记:

课题 :幂函数 课 型:新授课 教学目标: 通过具体实例了解幂函数的图象和性质,体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.
- 54 -

教学重点:从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 教学难点:画五个幂函数的图象并由图象概括其性质. 教学过程: 一、新课引入: (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a ,这里 S 是 a 的函数;
2

1

(2)面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 ,这里 a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a ,这里 V 是 a 的函数;
3

(4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均速度 v ? t km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数. 观察上述五个函数,有什么共同特征?(指数定,底变) 二、讲授新课: 1、教学幂函数的图象与性质 ① 给出定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数.

?1

1 ② 练:判断在函数 y ? , y ? 2 x2 , y ? x3 ? x, y ? 1 中,哪几个函数是幂函数? x
2 ?1 3 ③ 作出下列函数的图象: (1) y ? x ; (2) y ? x 2 ; (3 ) y ? x ; (4) y ? x ; (5) y ? x .
1

④ 引导学生观察图象,归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律: (Ⅰ)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (Ⅱ)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸; 当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (Ⅲ)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在 原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 地逼近 x 轴正半轴. 第一象限内,当 x 从右边趋向 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限

2、教学例题: 例 1(P78 例 1) .证明幂函数 f ( x) ?

x在[0, ??]上是增函数

证:任取 x1 , x2 ?[0, ??), 且x 1 < x2 则

f( x ? 1 )? f ( x 2 )
= =

1

x?

2

x

( x 1 ? x2 )( x 1 ? x2 ) x 1 ? x2

x 1 ? x2 x 1 ? x2

因 x1 ? x2 <0, x 1 ?

x2 >0
x在[0, ? ?] 上是增函数.
? 2
? 2 3

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x) ? 例 2. 比较大小: (a ? 1) 与 a
1.5
1 .5

; (2 ? a 2 ) 3 与 2

; 1 .1 2 与 0 . 9

?

1

?

1 2

.

- 55 -



三、巩固练习:
2

1、论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.

3

3

6

6

2. 比较下列各题中幂值的大小: 2.3 4 与 2.4 4 ; 0.315 与 0.355 ; ( 2 )

?

3 2

与 ( 3)

?

3 2

.

四、小结: 提问方式 : (1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的? (2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗? 五、作业 P79 页 1、2、3 题 六、课后记:

- 56 -

课题:基本初等函数习题课 课 型:复习课 教学要求: 掌握指数函数、对数函数的概念,会作指数函数、对数函数的图象,并能根据图象说出指数函数、对数函数的 性质,了解五个幂函数的图象及性质. 教学重点:指数函数的图象和性质. 教学难点:指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.
1

2. 求下列函数的定义域: y ? 8 2 x ?1 ; y ? 1 ? ? ? ; y ? loga (1 ? x)2 (a ? 0, 且a ? 1)

?1? ? 2?

x

1.01 3. 比较下列各组中两个值的大小: log6 7与log7 6 ; log3 ?与log2 0.8 ; 1.01 与
2.7

3.5

二、典型例题: 例 1:已知 log54 27 = a ,54b=3,用 a, b表示 log108 81 的值 解法 1:由 54 =3 得 log54 3 =b
b

log54 81 log54 27 ? log54 3 a?b a ?b = ? ? log54 108 log54 2 ? 1 2 ? log54 27 2 ? a 解法 2:由 log54 27 ? a 得 54 ? 27
∴ log108 81 = 设 x ? log108 81, 则 108x ? 81 所以 (542 ? 27?1 ) x ? 3 ? 27 即: (542 ? 54? a ) x ? 54b ? 54a 所以 542 x?ax ? 54a?b ,即2 x ? ax ? a ? b 因此得: x ?

a?b 2?a
.

例 2、函数 y ? log 1 x ? 2 的定义域为
2

例 3、函数 y ? ( ) x

1 2

2

?3 x ? 2

的单调区间为

.

例 4、已知函数 f ( x) ? log a

1? x (a ? 0且a ? 1) .判断 f ( x) 1? x
- 57 -

的奇偶性并予以证明.

例 5、按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r ,设本利和为 y 元,存期为 x ,写出本利和 y 随存 期 x 变化的函数解析式. 如果存入本金 1000 元, 每期利率为 2.25%, 试计算 5 期后的本利和是多少 (精确到 1 元) ? (复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息. ) (小结:掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,会用函数性质解决一些简单的应用问题. )

三、 巩固练习: 1.函数 y ? log3 (?4 x ? 5) 的定义域为

.,值域为

.

2. 函数 y ? 2 ? x

2

?3 x ? 2

的单调区间为

.

3. 若点 (2, ) 既在函数 y ? 2 ax ?b 的图象上,又在它的反函数的图象上,则 a =______, b =_______

1 4

4. 函数 y ? a x?2 ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点

.

5. 计算 0.064

?

1 3

? 4? 3 ? ? ? ? ? ?? 2? ? 5?

0

?

?

?

4 3

1

? 16?0.75 ? 0.012 ?

.

6. 求下列函数的值域:

y?5

1 2? x

?1? ; y?? ? ? 3?

1? x

;

?1? y ? ? ? ?1 ?2?

x

; y ? 1? 2x

四、小结 本节主要是通过讲炼结合复习本章的知识提高解题能力 五、课后作业: 教材 P82 复习参考题 A 组 1——8 题 课后记:

- 58 -

课题:方程的根与函数的零点 课 型:新授课 教学目标 1.理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点存在的判定条件. 2.通过观察二次函数图象,并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点,找到连续函数在某个区间上存在零点 的判断方法. 教学重点、难点 重点: 零点的概念及存在性的判定. 难点: 零点的确定. 学法与教学用具 1. 学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而完成本节课的教 学目标。 2. 教学用具:投影仪。 教学过程 (一)创设情景,揭示课题 2 1、提出问题:一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数 2 y=ax +bx+c(a≠0)的图象有什么关系? 2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象: (用投影仪给出)
2 ①方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2x ? 3
2

2 ②方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 1
2

2 ③方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

1.师:引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标的关系,引出零点的概念.
- 59 -

生:独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流. 师:上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样? (二) 互动交流 研讨新知 函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点. 函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性 质找出零点. 1.师:引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法. 生:认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法: ①代数法; ②几何法. 2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概括形成结论. 二次函数的零点: 二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . 2 (1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零
点. (2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数 有一个二重零点或二阶零点.
2

(3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 3.零点存在性的探索:
2

(Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图象:
2

① 在区间 [?2,1] 上有零点______;

f (?2) ? _______, f (1) ? _______, f (?2) · f (1) _____0(<或>=) . ② 在区间 [2,4] 上有零点______; f (2) · f (4) ____0(<或>=) . (Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

① 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点;

f (a ) · f (b) _____0(<或>=) . ② 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; f (b) · f (c) _____0(<或>=) . ③ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; f (c) · f ( d ) _____0(<或>=) .
由以上两步探索,你可以得出什么样的结论?
- 60 -

怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上是否存在零点? 4.生:分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考. 师:引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在之间的关系. 生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析. 师:引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用. (三) 、巩固深化,发展思维 1.学生在教师指导下完成下列例题 例1. 求函数 f(x)= ? x ? 2 x ? 3 的零点个数。 问题: (1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? (2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性?
2

例 2.求函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,并画出它的大致图象. 师:引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象,结合图象对函 数有一个零点形成直观的认识. 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用函数单调性判断零 点的个数. 2.P88 页练习第二题的(1) 、 (2)小题 (四) 、归纳整理,整体认识 1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些,所涉及到的主要数学思想又有哪些; 2. 在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师提出。 (五) 、布置作业 P88 页练习第二题的(3) 、 (4)小题。 课后记: 课题:用二分法求方程的近似解(1) 课 型:新授课 教学目标 理解二分法求解方程的近似解的思想方法,会用二分法求解具体方程的近似解;体会程序化解决问题的思想, 为算法的学习作准备。 教学重点、难点 重点:用二分法求解函数 f(x)的零点近似值的步骤。 难点:为何由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)? 教学设想 (一) 、创设情景,揭示课题 提出问题: (1)一元二次方程可以用公式求根,但是没有公式可以用来求解放程 ㏑ x+2x-6=0 的根;联系函数的零点 与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来求她的根呢? (2)通过前面一节课的学习,函数 f(x)=㏑ x+2x-6 在区间内有零点;进一步的问题是,如何找到这个零点 呢? (二) 、研讨新知 一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量的缩小,那么在一定的精确度的要求下,我们可以得到 零点的近似值;为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。 取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得 f(2.5)≈-0.084,因为 f(2.5)*f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3) 内; 再取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得 f(2.75)≈0.512,因为 f(2.75)*f(2.5)<0,所以零点在(2.5, 2.75)内; 由于(2,3) , (2.5,3) , (2.5,2.75)越来越小,所以零点所在范围确实越来越小了;重复上述步骤,那么 零点所在范围会越来越小,这样在有限次重复相同的步骤后,在一定的精确度下,将所得到的零点所在区间上任意 的一点作为零点的近似值, 特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。 例如, 当精确度为 0.01 时, 由于∣2.5390625 -2.53125∣=0.0078125<0.01,所以我们可以将 x=2.54 作为函数 f(x)=㏑ x+2x-6 零点的近似值,即方程㏑ x+ 2x-6=0 近似值。 这种求零点近似值的方法叫做二分法。
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1.师:引导学生仔细体会上边的这段文字,结合课本上的相关部分,感悟其中的思想方法. 生:认真理解二分法的函数思想,根据课本上二分法的一般步骤,探索求法。 2.为什么由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)? 先由学生思考几分钟,然后作如下说明: 设函数零点为 x0,则 a<x0<b,则: 0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0; 由于︱a - b ︳< ? ,所以 ︱x0 - a ︳<b-a< ? ,︱x0 - b ︳<∣ a-b∣< ? , 即 a 或 b 作为零点 x0 的近似值都达到了给定的精确度 ? 。 ㈢、巩固深化,发展思维 1. 学生在老师引导启发下完成下面的例题 x 例 2.借助计算器用二分法求方程 2 +3x=7 的近似解(精确到 0.01) 问题:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的? 引导学生在方程右边的常数移到左边,把左边的式子令为 f(x),则原方程的解就是 f(x)的零点。借助计算机 或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用二分法求解. (四) 、归纳整理,整体认识 在师生的互动中,让学生了解或体会下列问题: (1) 本节我们学过哪些知识内容? (2) 你认为学习“二分法”有什么意义? (3) 在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方? (五) 、布置作业 P92 习题 3.1A 组第 4 题,第 5 题。 课后记:

课题:用二分法求方程的近似解(2) 课 型:新授课 教学目标 继续了解函数的零点与对应方程根的联系,理解在函数的零点两侧函数值乘积小于 0 这一结论的实质;通过探 究、思考,培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力。 教学重点 “在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”的理解. 教学难点 “在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”的理解. 教具准备 多媒体课件、投影仪. 教学过程 一、创设情景,引入新课 师:观察二次函数 f(x)=x2-2x-3 的图象(如下图) ,我们发现函数 f(x)=x2-2x-3 在区间[-2,1]上 有零点.计算 f(-2)与 f(1)的乘积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢?

引导学生探究,可以发现,在区间[- 2, 1]的端点上, f(- 2)> 0, f( 1)< 0,即 f(- 2) ·f( 1)< 0,函数 f( x) =x2- 2x- 3 在区间(- 2, 1)内有零点 x=- 1,它是方程 x2- 2x- 3=0 的一个根 .同样,在区间[ 2, 4]的端点上, f( 2)< 0, f( 4)> 0,即 f(2) ·f(4)<0,函数 f(x) 2 2 =x -2x-3 在(2,4)内有零点 x=3,它是方程 x -2x-3=0 的另一个根.
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我们能从二次函数的图象看到零点的性质: 1.二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点) ,函数值变号. 2 例如,函数 y=x -x-6 的图象在零点-2 的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-2 时,函数值由正 变负,再通过第二个零点 3 时,函数值又由负变正. 2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 师:对任意函数,结论也成立吗?同学们可以任意画几个函数图象,观察图象,看看是否得出同样的结论. 二、讲解新课 1.零点的性质 如果函数 y=f( x)在区间[ a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f( a) · f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b) ,使得 f(c)= 0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 求方程 f(x)=0 的实数根,就是确定函数 y=f(x)的零点.一般地,对于不能用公式法求根的方程 f(x)=0 来 说,我们可以将它与函数 y=f(x)联系起来,利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根. 2.应用举例 【例 1】 教科书 P88 例 1. 本例是考查函数零点的个数.通过它要让学生认识到函数的图象及其基本性质 (特别是单调性) 在确定函数零点 中的重要作用. (1)函数 f(x)=lnx+2x-6 的图象可以让学生利用计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图 3.1-3,发现 函数的图象与 x 轴有一个交点,从而对函数有一个零点形成直观的认识 . (2)教科书上的表 3-1,可以让学生用计算器或计算机得出,使学生通过动手实践获得对表 3-1 的认同感. 通过观察表 3-1,结合图象 3.1-3,不难得出函数的一个零点在区间(2,3)内. (3)要说明函数仅有一个零点,除上述理由外,还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增(减)函数 的定义证明函数在(0,+∞)上是增函数,也可以由 g(x)=lnx、 h(x)=2x-6 在(0,+∞)上是增函数,说明函数 f(x)=g(x)+h(x)在(0,+∞)上是增函数. 【例 2】 已知函数 f(x)=ax2+bx+1 具有以下性质: ①对任意实数 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2)时,满足 x1+x2=2; x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ②对任意 x1、x2∈(1,+∞) ,总有 f( 1 )> . 2 2 则方程 ax2+bx+1=0 根的情况是 ( ) A.无实数根 B.有两个不等正根 C.有两个异号实根 D.有两个相等正根 方法探究: (1)本题由条件①,知函数 f(x)的对称轴为 x=1;由条件②,知函数 f(x)是凸函数,即 a<0; 再由函数 f(x)的表达式,知 f(x)的图象过点(0,1).根据这三点,可画出函数 f(x)的草图,如下图,发现函 数 f(x)与 x 轴交点的位置,可知 f(x)=0 有两个异号实根,故应选 C.

( 2)由条件②,知函数 f( x)的图象开口向下,即 a< 0.又由 x1 x2=

1 < 0,可知 f(x)=0 有两个异号实根, a

故应选 C. 方法技巧:解析(2)的求解过程明显比解析(1)简捷,但却不如解析(1)直观,用数形结合思想解题可以 使问题变得直观清晰,便于理解.但不难发现,如果解析(1)中的三个函数语言之中有 1 个没有转化(或错误地转 化)为图形语言,那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题,要注意由数到形,由形到数转化过程的等价性. 【例 3】 研究方程|x2-2x-3|=a(a≥0)的不同实根的个数. 方法探究:纯粹从解方程角度来考虑,必须研究两个方程,讨论相当麻烦.从函数图象角度分析,只需研究函数 y=|x2-2x-3|与 y=a 的图象的交点的个数. 解:设 y=|x2-2x-3|和 y=a,利用 Excel、图形计算器或其他画图软件,分别作出这两个函数的图象,它们的交 点的个数,即为所给方程实根的个数.如下图,当 a=0 或 a>4 时,有两个实根;当 a=4 时,有三个实根;当 0<a <4 时,有四个实根.

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方法技巧:有关实根个数的题目,通常都采用数形结合思想.做这类题目,必须遵循两个步骤:一是构造两个熟 悉的函数,二是画出图象,关键点画图要准确. 三、课堂练习 教科书 P88 练习题 1.(1) (2) 四、课堂小结 1.本节学习的数学知识: 零点的性质:在函数的零点两侧函数值乘积小于 0;零点的确定. 2.本节学习的数学方法: 归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想. 五、布置作业 教科书 P92 习题 3.1 1、2、3. 补充题: 1.定义在区间[-c,c]上的奇函数 f(x)的图象如下图所示,令 g(x)=af(x)+b,则下列关于函数 g(x) 的叙述正确的是

A.若 a<0,则函数 g(x)的图象关于原点对称 B.若 a=-1,-2<b<0,则函数 g(x)有大于 2 的零点 C.若 a≠0,b=2,则函数 g(x)有两个零点 D.若 a≥1,b<2,则函数 g(x)有三个零点 2.方程 x2-2mx+m2-1=0 的两根都在(-2,4)内,则实数 m 的取值范围为________. 3.已知二次函数 f(x)=x2+2(p-2)x+3p,若在区间[0,1]内至少存在一个实数 c,使得 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是________. 课后记:

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课题:几类不同增长的函数模型 课 型:新授课 教学目标: 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性. 教学重点、难点: 1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异, 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题. 学法与教学用具: 1. 学法:学生通过阅读教材,动手画图,自主学习、思考,并相互讨论,进行探索. 2.教学用具:多媒体. 教学过程: (一)引入实例,创设情景. 教师引导学生阅读例 1,分析其中的数量关系,思考应当选择怎样的函数模型来描述;由学生自己根据数量关 系,归纳概括出相应的函数模型,写出每个方案的函数解析式,教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导. (二)互动交流,探求新知. 1. 观察数据,体会模型. 教师引导学生观察例 1 表格中三种方案的数量变化情况,体会三种函数的增长差异,说出自己的发现,并进行 交流. 2. 作出图象,描述特点. 教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象,分析三种方案的不同变化趋势,并进行描述,为方案选择 提供依据. (三)实例运用,巩固提高. 1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素,使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益,还要考虑一 段时间内的总收益. 学生通过自主活动,分析整理数据,并根据其中的信息做出推理判断,获得累计收益并给出本 例的完整解答,然后全班进行交流. 2. 教师引导学生分析例 2 中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响,使学生明确问题的实质就是比较 三个函数的增长情况,进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用,体会它们的增长差异. 3.教师引导学生分析得出:要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出 5 万元,以及奖励比例是否超过 25%进 行分析,才能做出正确选择,学会对数据的特点与作用进行分析、判断。 4.教师引导学生利用解析式,结合图象,对例 2 的三个模型的增长情况进行分析比较,写出完整的解答过程. 进一步认识三个函数模型的增长差异,并掌握解答的规范要求. 5.教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析,探究幂函数 y ? xn ( n >0) 、指数函数 y ? a n ( a >1) 、 对数函数 y ? log a x ( a >1)在区间(0,+∞)上的增长差异,并从函数的性质上进行研究、论证,同学之间进行 交流总结,形成结论性报告. 教师对学生的结论进行评析,借助信息技术手段进行验证演示. 6. 课堂练习 教材 P98 练习 1、2,并由学生演示,进行讲评。 (四)归纳总结,提升认识. 教师通过计算机作图进行总结,使学生认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的含义及其差异, 认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系,从而体会数学的实用价值和内在变化规律. (五)布置作业 教材 P107 练习第 2 题 收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例,对它们的增长速度进行比较, 了解函数模型的广泛应用,并思考。有时同一个实际问题可以建立多个函数模型,在具体应用函数模型时,应该怎 样选用合理的函数模型. 课后记:

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课题: 函数模型的应用实例(Ⅰ) 课 型:新授课 教学目标: 能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题. 教学重点与难点: 1.教学重点:运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题. 2. 教学难点:将实际问题转变为数学模型. 学法与教学用具 1. 学法:学生自主阅读教材,采用尝试、讨论方式进行探究. 2. 教学用具:多媒体 教学过程 (一)创设情景,揭示课题 引例:大约在一千五百年前,大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题: “今有雏兔同笼,上有三 十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?”这四句的意思就是:有若干只有几只鸡和兔?你知道孙子是如何解答这 个“鸡兔同笼”问题的吗?你有什么更好的方法?老师介绍孙子的大胆解法:他假设砍去每只鸡和兔一半的脚,则 每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样, “独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差,就是 兔子数,即:47-35=12;鸡数就是:35-12=23. 比例激发学生学习兴趣,增强其求知欲望. 可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题. (二)结合实例,探求新知 例 1. 某列火车众北京西站开往石家庄,全程 277km,火车出发 10min 开出 13km 后,以 120km/h 匀速行驶. 试 写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系式,并求火车离开北京 2h 内行驶的路程. 探索: 1)本例所涉及的变量有哪些?它们的取值范围怎样; 2)所涉及的变量的关系如何? 3)写出本例的解答过程. 老师提示:路程 S 和自变量 t 的取值范围(即函数的定义域) ,注意 t 的实际意义. 学生独立思考,完成解答,并相互讨论、交流、评析. 例 2.某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价 20 元,茶杯每只定价 5 元,该商店制定了两种优惠办法: 1)本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述? 2)本例涉及到几个函数模型? 3)如何理解“更省钱?” ; 4)写出具体的解答过程. 在学生自主思考,相互讨论完成本例题解答之后,老师小结:通过以上两例,数学模型是用数学语言模拟现实 的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来,并用数学语言来表达,这一过程称为建模,是 解应用题的关键。数学模型可采用各种形式,如方程(组) ,函数解析式,图形与网络等 . 课堂练习 1 某农家旅游公司有客房 300 间, 每间日房租为 20 元, 每天都客满. 公司欲提高档次, 并提高租金, 如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客 房的租金总收入最高? 引导学生探索过程如下: 1)本例涉及到哪些数量关系? 2)应如何选取变量,其取值范围又如何? 3)应当选取何种函数模型来描述变量的关系? 4) “总收入最高”的数学含义如何理解? 根据老师的引导启发,学生自主,建立恰当的函数模型,进行解答,然后交流、进行评析. [略解:] 设客房日租金每间提高 2 x 元,则每天客房出租数为 300-10 x ,由 x >0,且 300-10 x >0 得:0< x <30 设客房租金总上收入 y 元,则有: y =(20+2 x )(300-10 x ) =-20( x -10)2 + 8000(0< x <30) 由二次函数性质可知当 x =10 时, ymax =8000. 所以当每间客房日租金提高到 20+10×2=40 元时,客户租金总收入最高,为每天 8000 元.
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课堂练习 2 要建一个容积为 8m3,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,试求应当怎样设计,才能使水池总造价最低?并求此最低造价. (三)归纳整理,发展思维. 引导学生共同小结,归纳一般的应用题的求解方法步骤: 1) 合理迭取变量,建立实际问题中的变量之间的函数关系,从而将实际问题转化为 函数模型问题: 2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答; 3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解; 4)在将实际问题向数学问题的转化过程中,能画图的要画图,可借助于图形的直观 性,研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时,注意实际问题对变量范围的限制. (四)布置作业 作业:教材 P107 习题 3.2(A 组)第 3 、4 题: 课后记:

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课题: 函数模型的应用实例(Ⅱ) 课 型:新授课 教学目标 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题, 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和 方法,对给定的函数模型进行简单的分析评价. 二、 教学重点 重点:利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点:将实际问题转化为数学模型,并对给定的函数模型进行简单的分析评价. 三、 学法与教学用具 1. 学法:自主学习和尝试,互动式讨论. 2. 教学用具:多媒体 四、 教学设想 (一)创设情景,揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的, 但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立. 对 于已给定数学模型的问题, 我们要对所确定的数学模型进行分析评价, 验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. (二)实例尝试,探求新知 例 1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. 1)写出速度 v 关于时间 t 的函数解析式; 2)写出汽车行驶路程 y 关于时间 t 的函数关系式,并作图象; 3)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; 4)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读 数 s 与时间 t 的函数解析式,并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的,需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型,此例分段函数模型刻 画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题,把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力,让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式. 例 2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依 据. 早在 1798,英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:

y ? y0ert 其中 t 表示经过的时间, y0 表示 t ? 0 时的人口数, r 表示人口的年均增长率.
下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: (单位:万人) 1950 1951 1952 1953 1954 年份 55196 56300 57482 58796 60266 人数 1955 1956 1957 1958 1959 年份 61456 62828 64563 65994 67207 人数 1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) ,用马尔萨斯人口增长模 型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符; 2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口将达到 13 亿? 探索以下问题: 1)本例中所涉及的数量有哪些? 2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种模型需要几个因素? 3)根据表中数据如何确定函数模型? 4)对于所确定的函数模型怎样进行检验,根据检验结果对函数模型又应做出如何评价? 如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数,用的是何种计算方法? 本例的题型是利用给定的指数函数模型 y ? y0ert 解决实际问题的一类问题, 引导学生认识到确定具体函数模型 的关键是确定两个参数 y0 与 t . 完成数学模型的确定之后,因为计算较繁,可以借助计算器. 在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时,可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图 象,并由表中数据作出散点图,通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度,并使学生认识到表格也是描述函 数关系的一种形式. 引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测,实质上是通过求一个对数值来确定 t 的近似值.
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课堂练习:某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万件,为了估计以 后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量 t 与月份的 x 关系,模拟函数可以 选用二次函数或函数 y ? abx ? c(其中a, b, c为常数) .已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数 作为模拟函数较好,并说明理由. 探索以下问题: 1)本例给出两种函数模型,如何根据已知数据确定它们? 2)如何对所确定的函数模型进行评价? 本例是不同函数的比较问题,要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型. 引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是 4 月份产量的吻合程度,这也是对函数模评价的依据. 本例渗透了数学思想方法,要培养学生有意识地运用. 三. 归纳小结,发展思维. 利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法; 1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系; 2)利用待定系数法,确定具体函数模型; 3)对所确定的函数模型进行适当的评价; 4)根据实际问题对模型进行适当的修正. 通过以上三题的练习,师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法,指出函数是描述客观世界变 化规律的重要数学模型,是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下:
收 集 数 据 画 散 点 图 选 择 函 数 模 型 求 函 数 模 型 检 验

符合 实际

不符合实际 从以上各例体会到:根据收集到的数据,作出散点图,然后通过观察图象,判断问题适用的函数模型,借助计 算器或计算机数据处理功能,利用待定系数法得出具体的函数解析式,再利用得到的函数模型解决相应的问题,这 是函数应用的一个基本过程. 图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时,经常需要将函数对应关系的一种形式 向另一种转化. (四)布置作业:教材 P107 习题 3.2(A 组)第 6 题.

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课题:第三章单元复习 课 型:复习课 教学目标 了解方程的根与函数零点的关系,理解函数零点的性质,掌握二分法,会用二分法求方程的近似解,了解直线上 升、指数爆炸、对数增长,会进行指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较,能熟练进行数学建模,解决有关 函数实际应用问题。 教学重点 应用函数模型解决有关实际问题. 教学难点 二分法求方程的近似解,指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较. 教具准备 多媒体、课时讲义. 教学过程 一、知识回顾 (一)第三章知识点 1.函数的零点,方程的根与函数的零点,零点的性质. 2.二分法,用二分法求函数零点的步骤. 3.几类不同增长的函数模型(直线上升、指数爆炸、对数增长) ,指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较. 4.函数模型,解决实际问题的基本过程. (二)方法总结 1.函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根,因此,求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问 题. 2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛,求解此类问题常有三种途径: (1)利用求根公式; (2)利用二次函数的图象; (3)利用根与系数的关系. 无论利用哪种方法,根的判别式都不容忽视,只是由于二次函数图象的不间断性,有些问题中的判别式已隐含 在问题的处理之中. 3.用二分法求函数零点的一般步骤: 已知函数 y=f(x)定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个变号零点 x0 的近似值 x,使它与零点的误差不超过正数 ε ,即使得|x-x0|≤ε . (1)在 D 内取一个闭区间[a,b] ? D,使 f(a)与 f(b)异号,即 f(a) ·f(b)<0. 令 a0=a,b0=b. (2)取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的横坐标为 x0=a0+

1 1 (b0-a0)= (a0+b0). 2 2

计算 f(x0)和 f(a0). 判断:①如果 f(x0)=0,则 x0 就是 f(x)的零点,计算终止; ②如果 f(a0) ·f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0]内,令 a1=a0,b1=x0; ③如果 f(a0) ·f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]内,令 a1=x0,b1=b. (3)取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的横坐标为 x1=a1+

1 1 (b1-a1)= (a1+b1). 2 2

计算 f(x1)和 f(a1). 判断:①如果 f(x1)=0,则 x1 就是 f(x)的零点,计算终止; ②如果 f(a1) ·f(x1)<0,则零点位于区间[a1,x1]上,令 a2=a1,b2=x1. ③如果 f(a1) ·f(x1)>0,则零点位于区间[x1,b1]上,令 a2=x1,b2=b1. ?? 实施上述步骤,函数的零点总位于区间[an,bn]上,当|an-bn|<2ε 时,区间[an,bn]的中点 xn= (an+bn). 就是函数 y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数 y=f(x)的近似零点与真正零点的误差不超过ε . 4.对于直线 y=kx+b(k≥0) ,指数函数 y=m·ax(m>0,a>1) ,对数函数 y=logbx(b>1) ,
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1 2

(1)通过实例结合图象初步发现:当自变量变得很大时,指数函数比一次函数增长得快,一次函数比对数函 数增长得快. (2)通过计算器或计算机得出多组数据结合函数图象(图象可借助于现代信息技术手段画出)进一步体会: 直线上升,其增长量固定不变; 指数增长,其增长量成倍增加,增长速度是直线上升所无法企及的.随着自变量的不断增大,直线上升与指数增 长的差距越来越大,当自变量很大时,这种差距大得惊人,所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容. 对数增长,其增长速度平缓,当自变量不断增大时,其增长速度小于直线上升. 5.在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax(a>1) ,y=logax(a>1) ,y=xn(n>0)都是增函数,但是它们的增长 x 速度不同,而且不在同一个‘档次’上,随着 x 的增大,y=a (a>1)的增长速度越来越快,会远远超过 y=xn(n >0)的增长速度,而 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个 x0,当 x>x0 时,ax>xn>logax. 6.实际问题的建模方法. (1)认真审题,准确理解题意. (2)从问题出发,抓准数量关系,恰当引入变量或建立直角坐标系.运用已有的数学知识和方法,将数量关系 用数学符号表示出来,建立函数关系式. (3)研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义作出解答. 必须说明的是: (1)通过建立函数模型解决实际问题,目的是通过例题培养同学们应用数学的意识和分析问题的能力. (2)把实际问题用数学语言抽象概括,从数学角度来反映或近似地反映实际问题所得出的关于实际问题的数 学描述,即为数学模型. 7.建立函数模型,解决实际问题的基本过程:

二、例题讲解 【例 1】 作出函数 y=x3 与 y=3x-1 的图象,并写出方程 x3=3x-1 的近似解.(精确到 0.1) 解:函数 y=x3 与 y=3x-1 的图象如下图所示.在两个函数图象的交点处,函数值相等.

因此,这三个交点的横坐标就是方程 x3=3x-1 的解. 由图象可以知道,方程 x3=3x-1 的解分别在区间(-2,-1) 、 (0,1)和(1,2)内,那么,对于区间(-2, -1) 、 (0,1)和(1,2)分别利用二分法就可以求得它精确到 0.1 的近似解为 x1≈-1.8,x2≈0.4,x3≈1.5. 【例 2】 分别就 a=2,a=

5 1 和 a= 画出函数 y=ax,y=logax 的图象,并求方程 ax=logax 的解的个数. 4 2

思路分析:可通过多种途径展示画函数图象的方法. 解:利用 Excel、图形计算器或其他画图软件,可以画出函数的图象,如下图所示.

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根据图象,我们可以知道,当 a=2,a=

5 1 和 a= 时,方程 ax=logax 解的个数分别为 0,2,1. 4 2

【例 3】 根据上海市人大十一届三次会议上的政府工作报告,1999 年上海完成 GDP(国内生产总值)4035 亿 元,2000 年上海市 GDP 预期增长 9%,市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0.08%,若 GDP 与人口均按这样的速度增长,则要使本市人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍,至少需________年.(按:1999 年 本市常住人口总数约为 1300 万) 思路分析:抓住人均 GDP 这条线索,建立不等式. 4035? (1 ? 9%) n 2 ? 4035 解:设需 n 年,由题意得 ≥ , n 13000000 13000000? (1 ? 0.08%) ≥2,解得 n>8. (1 ? 0.08%) n 答:至少需 9 年. 三、课堂练习 教科书 P112 复习参考题 A 组 1~6 题. 四、课堂小结 1.函数与方程的紧密联系,体现在函数 y=f(x)的零点与相应方程 f(x)=0 的实数根的联系上. 2.二分法是求方程近似解的常用方法,应掌握用二分法求方程近似解的一般步骤. 3.不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律.指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的现实世界中不同 增长规律的函数模型. 五、作业布置 教科书 P112 复习参考题 A 组 7,8,9. B 组 1,2 课后记: 化简得
(1 ? 9%) n

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