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数学经典易错题会诊与高考试题预测15


精品 经典易错题会诊与高考试题预测(十 五) 考点 15 导数及其应用 ? 导数的概念与运算 ? 导数几何意义的运用 ? 导数的应用 ? 利用导数的几何意义 ? 利用导数探讨函数的单调性 ? 利用导数求函数的极值勤最值 经典易错题会诊 命题角度 1 导数的概念与运算 1. (典型例题)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),?,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,则 f2005(x) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx ( ) [考场错解] 选 A [ 专 家 把 脉 ] 由 f’1(x)=f’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx,?,f2005(x)=f’2 004(x)=?=f0(x0=sinx 前面解答思路是正确的, 但在归纳时发生了错误。 因 f4(x)=f0(x)=f8(x0=? =f2004(x),所以 f2005(x)=f1(x)=cosx. [对症下药] 选 C 2. (典型例题)已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3,f(x)的解析式可能为 ( ) A. ( f x) =(x-1)3+32(x-1) B. f(x)=2x+1 C. f()=2(x-1)2 D. f(x)-x+3 [考场错解] 选 B ∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3. [专家把脉] 上面解答错误原因是导数公式不熟悉, 认为 (2x+1) ’=2x+1.正确的是 (2x+1) ’=2, 所以 x=1 时的导数是 2,不是 3。 [对症下药] 选 A ∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f’(x)=3(x-1)2+3,当 x=1 时,f’(1)=3 3.(典型例题) 已知 f(3)=2f’(3)=-2,则 lim A.-4 B.0 C.8 x ?3 x ?3 2 x ? 3 f ( x) 的值为 x?3 ( ) D.不存在 2 x ? 3 f ( x) 不存在。 x?3 0 0 [考场错解] 选 D ∵x→3,x-3→0 ∴ lim [专家把脉] 限不存在是错误的,事实上,求 型的极限要通过将式子变形的可求的。 [对诊下药] 选 C x ?3 lim 2 x ? 3 f ( x) ?3[ f ( x) ? f (3)] ? 6 ? 2 x = lim x ?3 x?3 x?3 精品 = lim [2 ? 3 x ?3 f ( x) ? f (3) ] ? 2?3 x?3 x ?3 lim [ f ( x) ? f (3) ] ? 2 ? 3 f ' (3) ? 2 ? 3 ? (?2) ? 8. x?3 -x 4. (05,全国卷)已知函数 f(x)=e (cosx+sinx),将满足 f’(x)=0 的所有正数 x 从小到大排 成数列; (2)记 Sn 是数列{xnf(xn)}的前项和。 求 lim n ?? S1 ? S2 ? ? ? Sn n [考场错解] ∵f’(x)=e-x(cosx+sinx)’+(e-x)’(cosx+sinx) -x =e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e cosx 令 f’(x)=0,x=nπ + (n=1, 2, 3, ?) 从而 xn=nπ + -π ? 2 ? ?? ? f ( xn ?1) ( nπ + ) n 。 f(

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