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【】数列知识点大全及经典测试题[1]


数列知识点回顾 第一部分:数列的基本概念 1.理解数列定义的四个要点 ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序” ,而不强调有“规律” .因此, 如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列. ⑵在数列中同一个数可以重复出现. ⑶项 a n 与项数 n 是两个根本不同的概念. ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对 应的一列函数值,但函数不一定是数列. 2.数列的通项公式 一个数列{ a n }的第 n 项 a n 与项数 n 之间的函数关系,如果用一个公式 a n = f (n) 来表示,就把这 个公式叫做数列{ a n }的通项公式。若给出数列{ a n }的通项公式,则这个数列是已知的。若数列{ a n }
n ?1 ? S1 , 的前 n 项和记为 S n ,则 S n 与 a n 的关系是:a n = ? 。 ?S n ? S n ?1 . n ? 2

第二部分:等差数列 1.等差数列定义的几个特点: ⑴公差是从第一项起, 每一项减去它前一项的差(同一常数), 即 d = a n -a n ? 1 (n≥2)或 d = a n ? 1 - a n (n ? N ? ). ⑵要证明一个数列是等差数列, 必须对任意 n ? N ? , a n -a n ? 1 = d (n≥2)或 d = a n ? 1 -a n 都成立. 一 般采用的形式为: ① 当 n≥2 时,有 a n -a n ? 1 = d (d 为常数). ②当 n ? N ? 时,有 a n ? 1 -a n = d (d 为常数). ③当 n≥2 时,有 a n ? 1 -a n = a n -a n ? 1 成立. 若判断数列{ a n }不是等差数列,只需有 a 3 -a 2 ≠a 2 -a 1 即可. 2.等差中项 若 a、A、b 成等差数列,即 A= 差数列,故 A=
a?b a?b ,则 A 是 a 与 b 的等差中项;若 A= ,则 a、A、b 成等 2 2

a ? a n ?1 a?b 是 a、A、b 成等差数列,的充要条件。由于 a n = n ?1 ,所以,等差数列的 2 2

每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 3.等差数列的基本性质 ⑴公差为 d 的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为 d. ⑵公差为 d 的等差数列,各项同乘以常数 k 所得数列仍是等差数列,其公差为 kd.
1

⑶若{ a n }、{ b n }为等差数列,则{ a n ±b n }与{ka n +b}(k、b 为非零常数)也是等差数列. ⑷对任何 m、n ? N ? ,在等差数列{ a n }中有:a n = a m + (n-m)d,特别地,当 m = 1 时,便得等差 数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性. ⑸、一般地,如果 l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且 l + k + p + … = m + n + r + … (两 边的自然数个数相等) ,那么当{a n }为等差数列时,有:a l + a k + a p + … = a m + a n + a p + … . ⑹公差为 d 的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差 为 kd( k 为取出项数之差). ⑺如果{ a n }是等差数列,公差为 d,那么,a n ,a n ? 1 ,…,a 2 、a 1 也是等差数列,其公差为-d; 在等差数列{ a n }中,a m ? l -a l = a m ? k -a k = md .(其中 m、k、 l ? N ? ) ⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项. ⑼当公差 d>0 时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当 d<0 时,等差数列中的数随项数的 减少而减小;d=0 时,等差数列中的数等于一个常数. ⑽设 a l ,a m ,a n 为等差数列中的三项,且 a l 与 a m ,a m 与 a n 的项距差之比
l ?m = ? ( ? ≠-1) , m ?n

则 am=

a l ? ?a n . 1??
n( a1 ? a n ) n(n ? 1) d 的比较 与 S n = na 1 + 2 2

4.等差数列前 n 项和公式 S n = 前 n 项和公式 Sn =
n( a1 ? a n ) 2
n(n ? 1) d 2

公式适用范围 用于已知等差数列的首项和末项

相同点 都是等差数 列的前 n 项 和公式

S n = na 1 +

用于已知等差数列的首项和公差

5.等差数列前 n 项和公式 S n 的基本性质 ⑴数列{ a n }为等差数列的充要条件是: 数列{ a n }的前 n 项和 S n 可以写成 S n = an 2 + bn 的形式(其 中 a、b 为常数). ⑵在等差数列{ a n }中,当项数为 2n (n ? N * )时,S 偶 -S 奇 = nd,

S奇 S偶

=

an ;当项数为(2n-1) an ? 1

(n ? N ? )时,S 偶 -S 奇 = a n ,

S奇 S偶

=

n . n ?1

⑶若数列{ a n }为等差数列,则 S n ,S 2 n -S n ,S 3 n -S 2 n ,…仍然成等差数列,公差为 n 2 d .
2

a n ?1 Sn ⑷若两个等差数列{ a n }、{ b n }的前 n 项和分别是 S n 、T n (n 为奇数),则 = 2 . Tn b n ?1
2

⑸在等差数列{ a n }中,S n = a,S m = b (n>m),则 S m ? n = ⑹等差数列{a n }中,

n?m (a-b). n?m

Sn S d d 是 n 的一次函数,且点(n, n )均在直线 y = x + (a 1 - )上. 2 2 n n

⑺记等差数列{a n }的前 n 项和为 S n . ①若 a 1 >0, 公差 d<0, 则当 a n ≥0 且 a n?1 ≤0 时, S n 最大; ②若 a 1 <0 ,公差 d>0,则当 a n ≤0 且 a n?1 ≥0 时,S n 最小. 第三部分:等比数列 1.正确理解等比数列的含义 ⑴q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比,顺序不要错,即 q =

an ? 1 an

(n ? N ? )或 q =

an (n≥2). an ? 1

⑵由定义可知,等比数列的任意一项都不为 0,因而公比 q 也不为 0. ⑶要证明一个数列是等比数列,必须对任意 n ? N ? ,

an ? 1 an

= q;或

an = q (n≥2)都成立. an ? 1

2.等比中项与等差中项的主要区别 G b 如果 G 是 a 与 b 的等比中项,那么 = ,即 G 2 = ab,G =± ab .所以,只要两个同号 的数才 .. a G 有等比中项,而且等比中项有两个,它们互为相反数;如果 A 是 a 与 b 的等差中项,那么等差中项 A a?b 唯一地表示为 A= ,其中,a 与 b 没有同号 的限制.在这里,等差中项与等比中项既有数量上的 .. 2 差异,又有限制条件的不同. 3.等比数列的基本性质 ⑴公比为 q 的等比数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等比数列,其公比 为 q m ( m 为等距离的项数之差). ⑵对任何 m、n ? N ? ,在等比数列{ a n }中有:a n = a m ·q n ? m ,特别地,当 m = 1 时,便得等比数 列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性. ⑶一般地,如果 t ,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且 t + k,p,…,m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等),那么当{a n }为等比数列时,有:a t .a k .a p .… = a m .a n .a p .… . . ⑷若{ a n }是公比为 q 的等比数列,则{| a n |}、{a 2 n }、{ka n }、{
1 }也是等比数列,其公比分别为 an

3

| q |}、{q 2 }、{q}、{

1 }. q

⑸如果{ a n }是等比数列,公比为 q,那么,a 1 ,a 3 ,a 5 ,…,a 2n ? 1 ,…是以 q 2 为公比的等比数 列. ⑹如果{ a n }是等比数列,那么对任意在 n ? N ? ,都有 a n · a n ?2 = a 2 q 2 >0. n· ⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积. ⑻当 q>1 且 a 1 >0 或 0<q<1 且 a 1 <0 时, 等比数列为递增数列; 当 a 1 >0 且 0<q<1 或 a 1 < 0 且 q>1 时,等比数列为递减数列;当 q = 1 时,等比数列为常数列;当 q<0 时,等比数列为摆动数 列. 4.等比数列前 n 项和公式 S n 的基本性质
?na1 , 当 q ?1 时 , ? ⑴如果数列{a n }是公比为 q 的等比数列, 那么, 它的前 n 项和公式是 S n = ? a1 (1 ? q n ) , 当q ? 1时. ? ? 1? q

也就是说,公比为 q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函数值,分段的界限是 在 q = 1 处.因此,使用等比数列的前 n 项和公式,必须要弄清公比 q 是可能等于 1 还是必不等于 1, 如果 q 可能等于 1,则需分 q = 1 和 q≠1 进行讨论. ⑵当已知 a 1 ,q,n 时,用公式 S n =

a ? an q a1 (1 ? q n ) ;当已知 a 1 ,q,a n 时,用公式 S n = 1 . 1? q 1? q

⑶若 S n 是以 q 为公比的等比数列,则有 S n ? m = S m +qS n .⑵ ⑷若数列{ a n }为等比数列,则 S n ,S 2 n -S n ,S 3 n -S 2 n ,…仍然成等比数列. ⑸若项数为 3n 的等比数列(q≠-1)前 n 项和与前 n 项积分别为 S 1 与 T 1 ,次 n 项和与次 n 项积分 别为 S 2 与 T 2 ,最后 n 项和与 n 项积分别为 S 3 与 T 3 ,则 S 1 ,S 2 ,S 3 成等比数列,T 1 ,T 2 ,T 3 亦成 等比数列. 二、难点突破 1.并不是所有的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一.已知一个数 列的前几项,这个数列的通项公式更不是唯一的. 2.等差(比)数列的定义中有两个要点:一是“从第 2 项起” ,二是“每一项与它前一项的差(比) 等于同一个常数” .这里的“从第 2 项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在,而“同一个常 数”则是保证至少含有 3 项.所以,一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有 3 项. 3. 数列的表示方法应注意的两个问题: ⑴{ a n }与 a n 是不同的, 前者表示数列 a 1 , a2 , …, an , …, 而后者仅表示这个数列的第 n 项;⑵数列 a 1 ,a 2 ,…,a n ,…,与集合{ a 1 ,a 2 ,…,a n ,…,}不 同,差别有两点:数列是一列有序排布的数,而集合是一个有确定范围的整体;数列的项有明确的顺
4

序性,而集合的元素间没有顺序性. 4.注意设元的技巧时,等比数列的奇数个项与偶数个项有区别,即: ⑴对连续奇数个项的等比数列,若已知其积为 S,则通常设…,aq ? 2 , aq ? 1 , a,aq,aq 2 ,…; ⑵对连续偶数个项同号 的等比数列,若已知其积为 S,则通常设…,aq ? 3 , aq ? 1 , aq,aq 3 ,…. .. 5.一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为 0,因此,在研究等比数列时,要注意 a n ≠0,因为当 a n = 0 时,虽有 a 2 a n ? 1 成立,但{a n }不是等比数列,即“b 2 = a ·c”是 a、b、 n = a n ?1 · c 成等比数列的必要非充分条件;对比等差数列{a n }, “2b = a + c”是 a、b、 c 成等差数列的充要条 件,这一点同学们要分清. e 比数列定义知,等比数列各项均不为 0,因此,判断一数列是否成等比数列,首先要注意特殊 情况“0” .等比数列的前 n 项和公式蕴含着分类讨论思想,需分分 q = 1 和 q≠1 进行分类讨论,在具 体运用公式时,常常因考虑不周而出错.

数列基础知识定时练习题
(满分为 100 分+附加题 20 分,共 120 分;定时练习时间 120 分钟) 一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列四个数中,哪一个是数列{ n(n ? 1) }中的一项 (A)380 (B)39 ( ) (C)35 (D)23

2.在等差数列 {an } 中,公差 d ? 1 , a4 ? a17 ? 8 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 的值为( ) (A)40 (B)45 (C)50 (D)55

4.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的 2 倍,又它的首项为 1,且中间两项的和为 24,则此 等比数列的项数为( (A)12 ) (B)10 (C)8
1 1 a?b 与 的等差中项,则 2 2 的值是( a b a ?b

(D)6 )
1 3

5.已知 1 是 a 2 与 b 2 的等比中项,又是 (A)1 或
1 2

(B)1 或 ?

1 2

(C)1 或

1 3

(D)1 或 ?

6.首项为-24 的等差数列,从第 10 项开始为正,则公差 d 的取值范围是( ) (A) d ?
8 3

(B) d ? 3 )

(C) ≤ d ? 3

8 3

(D) ? d ≤3

8 3

7.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( (A)b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9

(C)b=3,ac=-9

(D)b=-3,ac=-9 )

8.在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于( A.40 B.42 C.43
5

D.45

9.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A.5 B.4 C. 3 D. 2



10.若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? ( A.4 B.2 C.-2 D.-4



11.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = ( ) A. 81 B. 27 5 27 C.

3

D. 243

12. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则 Sn 等于( ) (A) 2
n ?1

?2

(B)

3n

(C) 2 n

(D) 3n ? 1

13.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ? ( ) A. 120 B. 105 C. 90 ) D. 5 ) 1 (D) 9 D. 75

14.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? ( A. 8 B. 7 C. 6

S3 1 S6 15.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = ( S6 3 S12 3 (A) 10 1 (B) 3 1 (C) 8

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 1.在数列 {an } 中, an ?
1 n ? n ?1

,且 S n ? 9 ,则 n ?



2.等比数列 {an } 的前三项为 x , 2x ? 2 , 3x ? 3 ,则 a 4 ? 3. 若数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n .n ? 1 ,2,3….则 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 4.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S4 =14,S10- S7 =30,则 S9= 5.在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? 三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分) 1.已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? . 。 .

20 ,求 ?an ? 的通项式。 3

2.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S4 ? 1, S8 ? 17, 求通项公式an ? ? 3. 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an . 4.数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1?

6

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分 12 分。 答案 1. A 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B

解:由等比数列的性质可得 ac=(-1)×(-9)=9,b×b=9 且 b 与奇数项的符号相同,故 b=-3,选 B 解:在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, ∴ d=3,a5=14, a4 ? a5 ? a6 =3a5=42,选 B. 9.C 解: ?

?5a1 ? 20d ? 15 ? d ? 3 ,故选 C. ?5a1 ? 25d ? 30

10. D

解:由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设 a=b-d,c=b+d,由 a ? 3b ? c ? 10 可得 b=2,所以 a=2-d,c= 2+d,又 c, a, b 成等比数列可得 d=6,所以 a=-4,选 D 11.A

解:因为数列{an}是等比数列,且 a1=1,a10=3,所以 a2a3a4a5a6a7a8a9= (a2a9) (a3a8) (a4a7) (a5a6)=(a1a10)4=34=81,故选 A 12.C

【解析】因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1 ? 也是等比数列, 则

(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1
13.B

即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C。

【解析】?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,a1a2 a3 ? 80 ,则 a2 ∴ d=3, a12

? 5 ,a1a3 ? (5 ? d )(5 ? d ) ? 16 ,

? a2 ? 10d ? 35 , a11 ? a12 ? a13 ? 105 ,选 B.

14. D 15.A

【解析】 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 7a4 ? 35, ∴ a4 ? 5 ,选 D. 解析:由等差数列的求和公式可得

S3 3a1 ? 3d 1 ? ? , 可得a1 ? 2d 且 d ? 0 S6 6a1 ? 15d 3

所以

S6 6a ? 15d 27d 3 ? 1 ? ? ,故选 A S12 12a1 ? 66d 90d 10
27 2

二、填空题 1. 99 2. ?

3. 解 : 数 列 ?a n ? 满 足 : a1 ? 1, an?1 ? 2an , n ? 1 , 2 , 3… , 该 数 列 为 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , ∴
7

2n ? 1 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2n ? 1 . 2 ?1
4.解:设等差数列 ?an ? 的首项为 a1,公差为 d,由题意得 4a1 ?

4(4 ? 1) d ? 14, 2

[10 a1 ?

10(10 ? 1) 7(7 ? 1) 9(9 ? 1) d ] ? [7a1 ? d ] ? 30 ,联立解得 a1=2,d=1,所以 S9= 9 ? 2 ? ? 1 ? 54 2 2 2

5.解:由 an?1 ? an ? 2(n ? 1) 可得数列 {an } 为公差为 2 的等差数列,又 a1 ? 1 ,所以 an ? 2n-1 三、解答题 a3 2 1.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q q q 所以 2 20 1 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, q 3 3

1 1 - 18 - 当 q1= , a1=18.所以 an=18× ( )n 1= n-1 = 2× 33 n. 3 3 3 当 q=3 时, a1= 2 2 - , 所以 an= × 3n-1=2× 3n 3. 9 9

2.解:设 {an } 的公比为 q,由 S4 ? 1, S8 ? 17知q ? 1 ,所以得

a1 (q 4 ? 1) ? 1 …① q ?1

a1 (q8 ? 1) q8 ? 1 ? 17 ……②由①、②式得整理得 4 ? 17 解得 q 4 ? 16 q ?1 q ?1
所以 q=2 或 q=-2

1 2n ?1 ,所以 a ? 15 15 1 ( ?1) n ? 2 n ?1 将 q=-2 代入①式得 a1 ? ? ,所以 an ? 5 5
将 q=2 代入①式得 a1 ? 3.解析:解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时,a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. ∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3.

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